新工科數(shù)學基礎三 線性代數(shù)及Python實現(xiàn) 課件 5.3.2 對稱矩陣的對角化

§5.3.2

實對稱矩陣的特征值與特征向量性質1

實對稱矩陣的特征值為實數(shù)，其特征向量一定是實向量。證明略定理1的意義性質：設l1,l2,…,lm

是方陣A

的特征值，p1,p2,…,pm依次是與之對應的特征向量，如果l1,l2,…,lm

各不相同，則p1,p2,…,pm

線性無關．（P.134性質3）性質2

設l1和l2

是實對稱陣A

的特征值，p1,p2

是對應的特征向量，如果l1≠

l2

，則

p1,p2

正交．（P.148性質2）證明：A

p1=l1p1，

A

p2=l2

p2

，l1≠

l2

l1p1T

=(l1p1)T=(A

p1)T=p1TAT

=

p1TA（A是對稱陣）l1p1T

p2=

p1TA

p2=p1T

(l2

p2

)=l2p1T

p2(l1?l2)p1T

p2=0因為l1≠

l2

，則p1T

p2=0，即

p1,p2

正交．性質3

設

A為n階實對稱陣，l是A的特征方程的k重根，則矩陣A

?lE

的秩等于

n?k，恰有k個線性無關的特征向量與特征值l對應．§5.3.3

實對稱矩陣的對角化定理5：設

A為n階實對稱陣，則必有正交陣P，使得P

?1AP=PTAP=L，其中L

是以A

的n

個特征值為對角元素的對角矩陣（P不唯一）.（P.149定理5）定理1：n階矩陣A

和對角陣相似（即A能對角化）的充分必要條件是A

有n個線性無關的特征向量．（P.138定理1）性質3

設

A為n階實對稱陣，l

是A的特征方程的k重根，則矩陣

A

?lE

的秩等于n?k，恰有k個線性無關的特征向量與特征值l

對應．（P148）

例：設，求正交陣P，使P?1AP=L對角陣.解：因為

A是對稱陣，所以A

可以對角化．求得A

的特征值l1=?2，l2=l3=1．當l1=?2

時，解方程組(A+2E)x=0．

，得基礎解系．當l2=l3=1時，解方程組(A?E)x=0．

，得．令，則.問題：這樣的解法對嗎？當l1=?2時，對應的特征向量為；當l2=l3=1時，對應的特征向量為.顯然，必有x1⊥x2

，x1⊥x3

，但x2⊥x3

未必成立．于是把x2,x3正交化：此時x1⊥h2

，x1⊥h3

，h2⊥h3

．單位化：當l1=?2時，對應的特征向量為；當l2=l3=1時，對應的特征向量為.當l1=?2時，對應的特征向量為；當l2=l3=1時，對應的特征向量為于是

p1,p2,p3

構成正交陣從而．把對稱陣A

對角化的步驟為：求出A

的所有各不相同的特征值l1,l2,…,ls

，它們的重數(shù)依次為k1,k2,…,ks

（k1+k2+…+ks=n）．對每個ki

重特征值li

，求方程組|A?li

E|=0的基礎解系，得ki

個線性無關的特征向量． 把這ki

個線性無關的特征向量正交化、單位化，得到ki

個兩兩正交的單位特征向量． 因為k1+k2+…+ks=n

，總共可得n個兩兩正交的單位特征向量．L中對角元的排列次序應于中列向量的排列次序相對應.1.實對稱矩陣的性質：小結

(1)特征值為實數(shù)；

(2)屬于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重數(shù)和與之對應的線性無關的特征向量的個數(shù)相等；

(4)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值．2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：

(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)將特