高中數(shù)學(xué)必修二第八章第4節(jié)《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題 (28)(含解析)

第八章第4節(jié)《空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題(28)

1.如圖，正方體ABC。-&B1C15中，E,尸分別是A2,441的中點(diǎn).求證:

E,C,Di，尸四點(diǎn)共面；

2.已知曲線y=x3+x-2在點(diǎn)益處的切線。與直線4x-y-l=0平行，且點(diǎn)在第三象限.

(1)求P。的坐標(biāo)；

(2)若直線且/也過切點(diǎn)P。，求直線/的方程.

3.如圖，已知三棱柱ABC-&B1G的所有棱長都相等，側(cè)棱441，底面

ABC,E,尸分別是A/1，4G的中點(diǎn).

(I)求證：8/14(71：

(II)求平面EFCB與底面A8C所成二面角的正切值.

4.如圖，在空間中的直角三角形ABC與直角梯形EFGZ）中，平面ABC〃平面。EFG,4。L平面

DEFG,ABUDE,AC//DG.5.AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.

(I)求證：四點(diǎn)3、C、F、G共面；

(II)求平面AOGC與平面BCG尸所組成的二面角余弦值.

5.圖1是由矩形AOEB,RtAABC和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB=1,BE=BF=2,

Z.FBC=60°,將其沿4B,8c折起使得BE與8尸重合，連結(jié)OG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABC1平面BCGE；

(2)求圖2中的四邊形ACGO的面積.

6.如圖，三棱柱ABC—4B1G中，點(diǎn)兒在平面A8C內(nèi)的射影。為AC的中點(diǎn)，^ACB=90°,BC=

1,AC=CCi=2.

(I)證明：4cli&B；

(n)求二面角公一-c的余弦值.

7.已知三棱臺(tái)48C—AIBIG中，平面44道1(?平面41181c1，4411%口，且人必與必0不垂直,

若/必前。=60。，AC=CQ=1,BiQ=2.

(I)求證：BiG1AC；

(U)求A/與平面BiQCB所成角的正弦值.

8.如圖，在多面體ABCOE尸中，平面力DEF_L平面ZBCD,四邊形4OEF為正方形，四邊形4BCD

為梯形，旦AD〃BC,△4BD是邊長為1的等邊三角形，例為線段8。中點(diǎn)，BC=3.

(1)求證：AF1BD-,

(2)求點(diǎn)M與平面CDE的距離

9.如圖，在直三棱柱ABC—A/iG中，￡＞為線段A8上一點(diǎn)，484c=90。，AB=2AAr=2AC.

(/)求證：AXC1^D；

(n)若直線GD與平面BB1GC所成角的正弦值為迤，求二面角4一品6-。的余弦值.

85

10.如圖，在四棱錐P—4BC0中，底面ABCQ為矩形，平面PADL平面ABC。，PA1PD,PA=PD,

E,F分別是AO,PB的中點(diǎn).

求證：(1)PEJ.CD；

(2)EF〃平面PCD；

(3)平面P4BJL平面PCD.

11.如圖，在三棱錐A-BCC中，側(cè)面△48。是邊長為2的等邊三角形，AC=2CD=2,平面4BD_L

平面BCD,把平面ACO沿8旋轉(zhuǎn)至平面PCO的位置，記點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點(diǎn)為P(不在平面

8co內(nèi))，M,N分別是BQ,CO的中點(diǎn).

(1)證明：CD1MN.

(2)求三棱錐C-4PD的體積的最大值.

12.一副標(biāo)準(zhǔn)的三角板(如圖1)中，N4BC為直角，乙4=60。，NDEF為直角，DE=EF,BC=DF,

把BC與。尸重合，拼成一個(gè)三棱錐(如圖2).設(shè)M是AC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn).

D

B

(1)求證：平面ABC1平面EMM

(2)設(shè)平面力BED平面MNE=2,求證：I//AB.

(3)若AC=4,且二面角E—BC—4為直二面角，求直線與平面ABE所成角的正弦值.

13.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A8CD為平行四邊形，AB=3,AC=4,AD=5,PAL平面

ABCD.

(1)求證：PB1AC；

(2)若,求點(diǎn)A到平面PCD的距離.在①R4=2；②二面角P-CD-4的大小為60。；

?VP-ABCD=12＞這三個(gè)條件中，任選一個(gè)，補(bǔ)充在問題中，并加以解答?

14.如圖，在四棱柱4BCD—41/的。1中，44]L平面A8CD,底面A8CD是矩形=1，BC=魚,

CCX=2,。為棱CCi的中點(diǎn).

(1)求直線QQ與平面BC1&所成角的正弦值;

(2)求二面角Q-BDLG的余弦值.

15.在四棱錐P-ABCD中，底面A8C。為直角梯形,CC〃4B,NABC=90°,AB=2BC=2CD=4,

側(cè)面P4C，平面ABCD,PA=PD=2.

PK

(1)求證：BD1PA；

(2)已知平面PA。與平面PBC的交線為/,在/上是否存在點(diǎn)N,使二面角P-DC-N的余弦值

的絕對值為“若存在，請確定點(diǎn)N位置；若不存在，請說明理由.

16.在四棱柱4BCD-&B1C也中，側(cè)棱1JS?ABCD,AB//DC,AAr=1,AB=3k,AD=4k,

BC=5k,DC=6k(k>0).

(1)求證：CDJL平面4。。出.

(2)若直線44i與平面力B]C所成角的正弦值為求4的值.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD<^,PA_L平面ABCD,AC1AD,AB1BC,4BAC=45°,PA=AD=2,

AC=1.

p

(1)證明：PC_L4D;

(2)求二面角4-PC-。的余弦值.

18.如圖，已知正方體ABCD的棱長為6,E,F分別是棱BC,CG上的點(diǎn)，且CE=CF=2.

(1)證明：A、E、尸、劣點(diǎn)共面;

(2)求幾何體CEF-的體積V.

「

19.如圖，在長方體ABC。一&816。1中，在分別在棱。。1，8當(dāng)上，且2DE=EDBF=2FB1,

證明:

c

B

(1)當(dāng)4B=BC時(shí)，EF±AC;

(2)點(diǎn)G在平面AEF內(nèi).

20.在如圖的多面體中，EF_L平面AEB,AELEB,AD//EF,EF//BC,BC=2AD=4,EF=3,

AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn).

(1)求證：BD1EG；

(2)求二面角C-DF-E的余弦值.

【答案與解析】

1.答案：證明：連接EF,A.B,D.C,

-■E,F分別是AB,4公的中點(diǎn)，

EF//ArB,AiB〃D[C,

:.EF〃D\C,

.?.由兩條平行線確定一個(gè)平面，得到E,C,Di，尸四點(diǎn)共面.

解析：略

2.答案：解(1)由y=/+%-2,

得V=3/+i,

由已知得3/+1=4,

解得x=±1，

當(dāng)％—1時(shí)，y=0,

當(dāng)*=—1,時(shí)，y=-4,

又???點(diǎn)P。在第三象限，

???切點(diǎn)P。的坐標(biāo)為(T，-4).

(2);直線/，小匕的斜率為4,

???直線/的斜率為-：，

4

???，過切點(diǎn)Po，點(diǎn)Po的坐標(biāo)為(一1,一4),

???直線/的方程為y+4=-：(x+l),

即x+4y+17=0.

解析：本題主要考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)

系，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫出直線的方程，屬于中檔題.

(1)根據(jù)曲線方程求出導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)橐阎本€4x-y-1=0的斜率為4,根據(jù)切線與已知直線平行得

到斜率相等都為4,所以令導(dǎo)函數(shù)等于4得到關(guān)于x的方程，求出方程的解，即為切點(diǎn)P。的橫坐標(biāo)，

代入曲線方程即可求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又因?yàn)榍悬c(diǎn)在第3象限，進(jìn)而寫出滿足題意的切點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)由直線，i的斜率為4,根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1,得到直線/的斜率為一；，又根據(jù)⑴中

求得的切點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線/的方程即可.

3.答案：(I)證明：???441底面ABC,.?.4411平面4$iG，A

???當(dāng)尸￡=平面4道住1，.?.8/1441，

又??,/AiBiG為正三角形，尸為4cl中點(diǎn)，B1FJ.aG，&GC441=4,I\M

B]F_1_面4”出.?；4Gu面4CC14.

當(dāng)尸_L」G；

(n)解：設(shè)所有棱長都為2,取EF中點(diǎn)P,BC中點(diǎn)K,連PK,AK,PA.

易知PK1BC,AK1BC,

則4PKA為平面EFCB的與底面ABC所成二面角的平面角，

在4PK4中，取AK中點(diǎn)0,連尸0,有POJ^ABC,則P。14K.

且P0=2,0K=在，tan/PKA=族=亙=丁.

2T

平面EFC8與底面A8C所成二面角的正切值：逋.

3

解析：(1)證明名尸144,B1F14C1，即可證明面4CC14.

(11)取￡/中點(diǎn)P，8C中點(diǎn)K,連PK,AK,P4說明NPK4為平面EFCB的與底面A8C所成二面角

的平面角，

在4PK4中，取AK中點(diǎn)0,連尸0,有P。！面ABC,則P。工4K.通過求解三角形推出結(jié)果.

本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力，邏輯推

理能力以及計(jì)算能力.

4.答案：(1)證明：設(shè)。G的中點(diǎn)為M,連接AM、FM,

則由已知條件易證四邊形。EFM是平行四邊形，所以M尸〃DE,且MF=DE

XvAB//DE,5.AB=DE：.MF//AB,B.MF=AB

二四邊形ABM尸是平行四邊形，即BF〃AM,且BF=AM

又???M為OG的中點(diǎn)，DG=2,AC=1,面4BC〃面DEFG

.-.AC//MG,且AC=MG,即四邊形ACGM是平行四邊形

GC//AM,且GC=4M

故GC"BF,S.GC=BF,

即四點(diǎn)B、C、F、G共面；

(2)解：???四邊形EFG。是直角梯形，ADlffiiOEFG,且。Gu平面。EFG,

DEIDG,DE1AD,

而4DnDG=D,且A。，DGc?ADGC,

即DEIffiADGC,

vMF11DE,且MF=DE,???MF1面ADGC,

在平面AOGC中，過M作MN1GC,垂足為N,連接NF,

顯然NMNF是所求二面角的平面角.

???在四邊形AOGC中，AD].AC,AD1DG,AC=DM=MG=1

GC2+GD2-CD25+4-5_y/5

CD=CG=Vs,:，cosZ.DGC=

2xGCx2xV5x2-5

sinzDGC=--MN=MG-sinzDGC=—

55

在直角三角形"NF中，MF=2,MN=卓

"tan/MNF=需=矗=遍，乙MNF=在

故而ADGC與面8CG尸所組成的二面角余弦值為更.

6

解析：本題考查共面問題的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力、推理能力、運(yùn)算能力，

是中檔題.

(1)設(shè)OG的中點(diǎn)為M,連結(jié)AM,FM,則是平行四邊形，從而MF〃DE,且MF=DE,進(jìn)

而4B〃DE,推導(dǎo)出四邊形是平行四邊形，從而BF〃AM,又易證四邊形ACGM是平行四邊

形，由此能證明GC〃BF,即可證明四點(diǎn)8、C、F、G共面；

(2)由四邊形EFGD是直角梯形,4。1面DEFG,可證MF_1_面ADGC,在平面ADGC中，過M作MN1

GC,垂足為N,連接NE則NMN尸是所求二面角的平面角，求cos/MNF即可得到平面AOGC與平

面BCGF所組成的二面角余弦值.

5.答案：(1)證明：由已知可得40〃BE,CG/1BE,即有工O〃CG,

則AO,CG確定一個(gè)平面，從而A,C,G,。四點(diǎn)共面；

由四邊形ABED為矩形，可得4BJ.BE,

由A/IBC為直角三角形，可得AB1BC,

又BCCBE=B,BCu平面BCGE,BEu平面BCGE,

可得481平面BCGE,

ABu平面ABC,可得平面4BCJL平面BCGE-

(2)解：連接8G,AG,

由4B_L平面BCGE,BGu平面BCGE,可得AB1BG,

在ABCG中，BC=CG=2,Z.BCG=120°,可得BG=2BCsin60°=2汽,

可得4G=>JAB2+BG2=V13.

在△力CG中，AC=V5，CG=2,AG=V13.

可得cos乙ICG=爰親=-京，即有sin-CG=專，

由(1)可得：4O〃CG且4。=CG=2,

所以四邊形ACG。為平行四邊形，

則平行四邊形ACGD的面積為2xbx京=4.

解析：本題考查空間線線、線面和面面的位置關(guān)系，考查平行和垂直的判斷和性質(zhì)，注意運(yùn)用平面

幾何的性質(zhì)，考查推理能力，屬于中檔題.

(1)運(yùn)用空間線線平行的公理和確定平面的條件，以及線面垂直的判斷和面面垂直的判定定理，即可

得證；

(2)連接8G,AG,由線面垂直的性質(zhì)和三角形的余弦定理和勾股定理，結(jié)合三角形的面積公式，可

得所求值.

6.答案：(I)證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C4CB為x軸和y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

由題設(shè)知公。與z軸平行，有4(2,0,0),8(0,1,0)，C(0,0,0),

因?yàn)辄c(diǎn)4在平面ABC內(nèi)的射影。為AC的中點(diǎn)，

所以4D14C,

-->2——QQ

AArD+4。=441，

???|A1D|=V3'

.?.&(l,0,回

.-.AB=(-2,1,0)-AC=(-2,0,0)(麗=(一1,0,百)，麗=前+麗=(-3,0,百)，

又???砧=(-1,1,-V3).二近.布=(-3)x(-l)+0xl+V3x(-V3)=0,

4cl1ArB；

(II)設(shè)平面的法向量涇=(p,q,r),

則77_L不窺，即記?麗*=0,n-AB=0,

???—p+V3r=0且—2p+q=0,

令p=V3,

則q=2Mr=1,

/.n=(V3,2V3,1),

又沆=(0,0,1)為平面ABC的法向量，

故cos<n,m>=言篙=p

|n||7n|4

所以，二面角的余弦值為

解析：本題考查簡單多面體及其結(jié)構(gòu)特征，異面垂直的判定與性質(zhì)，考查利用空間向量求二面角的

平面角的余弦值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

(I)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C4cB為x軸和y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz,得到A,B,

C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)&在平面ABC內(nèi)的射影。為AC的中點(diǎn)，可得41DJ.4C,進(jìn)而求出&的坐標(biāo)，再

根據(jù)花*?砧=0,即可得證4Gli4B；

(II)求出平面的法向量元=(b記=(0,0,1)為平面A8C的法向量，根據(jù)cos〈君記》

=禹，即可得解二面角4一AB-C的余弦值.

7.答案：(I)過點(diǎn)A作力D141G于點(diǎn)D.

???平面4&GC1平面為B1G，

平面44傳停n平面48也1=A^Cr,ADC平面A.ACC，

ADJ?平面為B1C1，

BiCiC平面4BiG,

???AD1B]Ci，

vB1C11AAltADnAAX=A,.ADA%U平面AAiG。，

???B?L平面4AleiC,

■■ACu平面A41clC,

ABG1AC；

(口)延長。的，過點(diǎn)A作AMlCCi交CCi于點(diǎn)M,連&M,

由(1)可知:BiG1平面441GC,

VAMu平面a&CiC,

???B1C11AM,

又81ClACC1=Ci，B&,CC1u平面B1GCB,

???AMJ"平面BIGCB,

???乙481M為所求角，

解得AM=y,ABX=V7,

.八AMy[21

：?sin6=—=—.

ABr14

解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面所成的角，直線與直線垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題

的能力，屬于中檔題.

(1)過點(diǎn)4作4。，&6于點(diǎn)￡>,由題意可證BiG_L平面4&GC,得證;

(n)延長CC1，過點(diǎn)A作AM_LCQ交CQ于點(diǎn)M,連&M,可得NA&M為所求角，從而可求AB］與平

面BiGCB所成角的正弦值.

8.答案：解：(1)證明：因?yàn)锳OEF為正方形,

所以4F140.

又因?yàn)槠矫?CEF平面ABCD,

且平面4DEFn平面4BCD=AD,

所以4F1平面A8CD.

所以4F1BD：

(2)連接ME,MC,設(shè)點(diǎn)M到平面C￡>E的距離為力,

根據(jù)題意DE，平面ABC。，即。E為三棱錐E-MOC的高，四邊形ABCQ為梯形且AD〃BC,可知

乙DBC=60°,

又SMDC=^SBDC=1X^BC-BDsin&DBC=言,

所以/_MDC=,SMDCDE—

在^BDC中，依余弦定理可求CD=y/BC2+BD2-2BCBDcos60°=中.

c_V7TZ_1c,_V7,

CDE-2，M-CDE—3CDE—6，

又%-MDC=^M-CDEf即?h=

所以九=剋生.

28

解析：（1）只需證明4F1平面4BCD,即可證明4F1BD；

（2）連接ME,MC,設(shè)點(diǎn)M到平面CCE的距離為〃,根據(jù)題意DE，平面ABCQ,即OE為三棱錐EMDC

的高，四邊形ABC。為梯形且4D〃BC,可知4。8c=60°由/_MDC=尢-CDE，即可求解.

本題考查了空間線線垂直、等體積法求距離，屬于中檔題.

9.答案：（1）連接AQ,如圖所示:

因?yàn)锳4iJ■平面ABC,AC,ABu平面ABC,所以力Ai±4C,

又因?yàn)?4i=AC,所以四邊形441GC為正方形，

所以A4i1&C,

因?yàn)镹B4C=90。，所以ABd.AC,

因?yàn)?4i，ACu平面ZAiGC,且44if14C=4,

所以AB1平面441GC,

因?yàn)?Cu平面44iGC,所以4B1&C,

又因?yàn)?G，48u平面48Gl，且力CiDAB=4

所以4GL平面ABC1，又GDu平面4BCi，

所以41c1GD

(2)以公為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別取4遇，必當(dāng)，&G作為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系.

設(shè)4B=244]=24C=4,則4(2,0,0),8(2,4,0),當(dāng)(0,4,0),C(2,0,2),6(0,0,2),

設(shè)。(2,加,0)(0<m<4),則M=(2,m,-2),BC=(0,-4,0),雨=(2,0,0)，

設(shè)濟(jì)=(Xi，yi，zj是平面BBiQC的一個(gè)法向量，

則由名三=0得臚；2為=0

(西?當(dāng)8=0(2%1-0

取力=1，得宙=(0,1,2),

所以cos<n^,CD>=二，

11時(shí)恒。|V5-Vm2+8

根據(jù)直線方向向量和法向量所成角與直線和平面所成角的關(guān)系得

m-4_>/85

V5-Vm24-885'

注意到04m44,解得m=?■(舍去)，或m=3.

所以。(2,3,0),B^D=(2,-1,0),B^C[=(0,-4,2).

設(shè)芯=(>2，y2，Z2)為平面CB1G的一個(gè)法向量，

國?電=0產(chǎn)272=。

川后?砥=0飛-4y2+2Z2=0'

令丫2=2,得的=(1,2,4),

又因?yàn)?4iJ■平面AEiG，

所以初=(2,0,0)為平面AiBiG的一個(gè)法向量，

所以cos<底，硒:>=焉急=￡=膏，

所以二面角&-BiG-。的余弦值為詈.

解析：本題考查了空間直線和平面的位置關(guān)系、二面角、直線與平面所成角、空間向量的應(yīng)用，考

查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)由直三棱柱力BC—AiBC，可得：1平面ABC,結(jié)合題設(shè)條件可先證4B1平面進(jìn)

而得證4G平面力BC1，利用G。u平面ABC1，可證得：&C1C1。；

(2)以乙為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別取4通，&Bi，a的作為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式可得：平面B/C1C的一個(gè)法向量瓦＞=(0,1,2),結(jié)合題設(shè)條

件得到。(2,3,0),進(jìn)一步得到平面的一個(gè)法向量雨=(1,2,4),注意到甌=(2,0,0)是平面

4B1G的一個(gè)法向量，于是可求二面角4-BiG-D的余弦值.

10.答案：證明：(1)：PA=PD,E是AO的中

-.PELAD,\'

???平面PAD1平面ABCZ),平面PADn平面/!

ABCD=AD,/〃

PEu平面PAD,4B

：.PE1平面ABCD,

vCDu平面ABCD,：.PE1CD.

(2)取BC中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG,

?：E,F分別是A。，PB的中點(diǎn)，

FG//PC,EF//DC,

?:FGCEG=G,FGu平面EFG,EGu平面EFG,

???平面EFG〃平面PCD,

???EFu平面EFG,.-.EF〃平面PCD.

(3)???底面ABCD為矩形，CDLAD,

由(1)得CD1PE,又4。CPE=E,AD,PEu平面PAD,

CD，平面PAD,

?:APu平面PAD,:.CD1AP,

vPA1PD,PDHCD=D,PD,CDu平面PCD,

APAL平面PCD,

vPAu平面PA8,.?.平面P4B1平面PCD.

解析：(1)推導(dǎo)出PE14。，從而PE_L平面ABC。，由此能證明PEIC。.

(2)取8c中點(diǎn)G,連結(jié)EG,FG,推導(dǎo)出FG〃PC,EF//DC,從而平面EFG〃平面尸8,由此能證

明EF〃平面PCD.

(3)推導(dǎo)出CD1AD,從而CD1平面PAD,進(jìn)而P41平面PCD,由此能證明平面24BJ■平面PCD.

本題考查線線垂直、線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

11.答案：解：(1)證明：如圖，連接AM,MC,

因?yàn)?B=4D,M是BO的中點(diǎn)，

所以4M1BD,

又平面ABD1平面BCD,平面4BDCl平面BCD=BD,

所以4M_L平面BCD,

所以4M_LMC,

因?yàn)椤鰽BD為邊長為2的正三角形，所以AM=B，

又AC=2,所以由勾股定理可得MC=1,

又MC=MD=MB=1,

所以ABC。為直角三角形，且BC1CD,

又M,N分別是BQ,S的中點(diǎn)，

所以MN〃BC,

所以MN1CD.

(2)如圖，連接AN,PN,

因?yàn)槿忮FC-4PD與三棱錐P-4CD為同一個(gè)三棱錐，且44CC的面積為定值,

所以當(dāng)三棱錐P-4CD的體積最大時(shí)，必有PN1平面ACD,

此時(shí)點(diǎn)P到平面ACD的距離為PN=4N=百，

2

在△4CD中，因?yàn)?C=AD=2,CD=1,

所以山8巖x1xAN=5x1x亨=卓,

所以“YCD的最大值為xp/v=|x^x^=|)

o5Zo

所以三棱錐C-4PD的體積的最大值為今

O

解析：本題考查了面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)，三棱錐體積的求法，屬于中檔題.

⑴連接AM,MC,易證AM1MC,再根據(jù)勾股定理的逆定理可得^BCD為直角三角形，且BC1CD,

由中位線的性質(zhì)可得MN〃BC,從而證得結(jié)論；

(2)連接AN,PN,由題意可得當(dāng)三棱錐P-4CD的體積最大時(shí)，必有PN_L平面ACC,求出P到平面

ACO的距離，進(jìn)而求出S-co,從而求出三棱錐C-4P。的體積的最大值.

12.答案：(1)證明：設(shè)BC的中點(diǎn)為N,連結(jié)MN,EN,

因?yàn)闅v是AC的中點(diǎn)，N是8C的中點(diǎn)，

所以

因?yàn)?81BC,

所以MN1BC,

因?yàn)锽E，EC,BE=EC,N是BC的中點(diǎn)，

所以EN1BC,

又MNIBC,MNCEN=N,MNu平面EMMENu平面EMM

所以BC1平面EMN,

又因?yàn)锽Cu平面ABC,

所以平面ABC1平面EMN.

(2)證明：由(1)知且EC平面ABE,且EC平面MNE,

又平面ABEn平面MNE=l,所以E6Z,

又因?yàn)镸N〃AB,所以/〃AB.

(3)解：由(1)知ENJ.BC,MN1BC,所以NENM為二面角E-BC-4的平面角，

又二面角E-BC-4為直二面角，所以4ENM=90。，

則以NM、NC、NE分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系N-xyz,如圖所示:

因?yàn)锳C=4,則4B=2,BC=，NE=娼,

所以A(2.-、8.()),B(0,-V3,0),C((),\&.0),E(0,0,v旬，

M(1,O,0),則前=(1,0,一《)，BE(0.vz3.BA=(2,0,0),

可設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為正=(x,y,z),

則［沅?絲=0,即［何+Bz=0,令y=i,則z=-l,則而=(0,1,-1),

設(shè)直線EM與平面ABE所成角為仇(0404芻，

則sin。=|cos(m,EM)\=|高繇I=磊=澤

所以直線EM與平面ABE所成角的正弦值為在.

4

解析：本題考查面面垂直的判定，考查利用空間向量求線面角，涉及二面角，屬于中檔題.

(1)由題意得到MN1BC,ENLBC,再利用線面垂直的判定與面面垂直得判定即可證明；

(2)由(1)知MN〃AB,再證明MN〃AB,利用平行線的傳遞性證得/〃AB；

⑶由題意得到NENM=90°,以NM,NC,NE分別為x,y,z軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系N-xyz,

利用向量法能夠求出直線EM與平面ABE所成角的正弦值.

13.答案：解：⑴證明：???底面A8C。為平行四邊形，.?.BC=4D=5,

?.?在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

為直角三角形，AB^.AC,

又P4_L平面ABCD,ACu平面ABCD,

PA1AC,

PAC\AB=A,PA,ABu平面PA8

AC1平面PAB,

■:PBu平面PAB,

PB1AC；

(2)由(1)可得CC14C,rPAl平面A8CD,PA1CD,

vPAC\AC=A,PA,ACu平面PAC

???CD_L平面PAC,■■■PCu平面PAC,CD1PC,

①選條件PA=2,.-.PC=y/PA2+AC2=<4+16=2遙，

設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為h,則由/-.co=匕-PCD可得，

|x|x4x3x2=1xix2V5x3h,解得/i=

即點(diǎn)A到平面PCD的距離為延.

5

②選條件二面角P-CD-4的大小為60。，LCD,AC1CD,

NPC4為二面角P-CD-4的平面角，；.NPC4=60",

PA=AC-tan600=48，PC=\/PA2+AC2=V48+16=8，

設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為h,則由=5-PCD可得，

1x|x4x3x4V3=ixix8x3/i,解得：h.=2A/3>

.?.點(diǎn)A到平面PCD的距離為2次.

選條件5-ABCD=12,則%-4CD=]SA4CDy-PA=-x-x3x4：xPA=6,PA=3,

：.PC=7PAi+4P2=19+16=5，

設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為h,：.VA_PCD=：xS*,Dx/t=；x；x3x5/i=6,

解得力=蔗，.?.點(diǎn)4到平面PC。的距離為差

解析：本題考查空間中線線垂直的證明，空間中點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題，

(1)通過證明AC垂直PB所在的平面證明PB1AC；

(2)利用等體積法求出點(diǎn)A到平面PCD的距離.

14.答案：解：由題意知，四棱柱4BCD-481C1D1是直四棱柱，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC，西的

方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則"(々,0,0)，B(72,1,0).Q(0,l,2),Di(0,0,2),Q(0,L1),

所以布=(0,1,—1)，=(-V2,0,2),=(0,1,0).

西=(-魚，-1,2)，BQ=(-72,0,1).

(1)設(shè)平面BCiA的法向量為而=(a,b,c),

所以(a記=。，艮-V2a+2c=0,

IDiG?沅=0,(b=0,

令a=V2.則沆=(71,0,1)為平面BCiA的一個(gè)法向量，

故5砌=嬲哼

所以直線DiQ與平面BCWi所成角的正弦值為漁.

6

(2)設(shè)平面QB。1的法向量為元=(x,y,z),

則C元,巧=°，即1-V2x-y+2z=0,

令x=1,則詁=(1,魚，近)為平面QB。1的一個(gè)法向量.

\mn\2五2-730

故COS保,力

I河同V3xV515

由圖象可知，二面角Q——Ci為銳二面角,

所以二面角Q-BDi—G的余弦值為等.

解析：

【試題解析】

本題考查空間中的線面位置關(guān)系以及空間向量，考查考生的邏輯思維能力、空間想象能力和運(yùn)算求

解能力.

15.答案：解：(1)連接BD=y/CD2+CB2=2>/2>AD=2五,

所以+人。2=AB2,所以4D1B。，

因?yàn)槠矫?4。1平面ABCD,平面PADn平面ABC。=AD,BDu平面ABCD,

所以BD1平面PAD,

因?yàn)镻Au平面PAD,

所以BD1PA;

(2)延長AZ),8C相交于點(diǎn)M,連接尸M,

因?yàn)镸€平面PAD,Me平面PBC,所以M6I,

又pel,所以PM即為交線/,

取A8中點(diǎn)。，連OQ,則DQJ.DC,

過D在平面PAD內(nèi)作AD的垂線DH,則DHJ_平面ABCD,

以。Q,DC,?！彼谥本€為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：

則P(l,-1,&)，C(0,2,0),M(—2,2,0),D(0,0,0),

所以加=(1,T,或)，DC=(0,2,0),

設(shè)平面尸。C的法向量為沆=O，y,z),

則沆?虎=0.m-DP=0,

所以（、V=0萬八，取沅=（一近,0,1），

lx+V2z=0

設(shè)N（Xi，y],Zi）,而=2兩，

則(%]-1,%+1,Z]—V2)=A(—3,3,—V2)>

所以X]=1—34,%=-1+3A,Z]=V2—人,

麗=(1-3A,-1+3A.V2-V2A)，

~DC=(0,-2,0),

設(shè)平面NQC的法向量為運(yùn)=（%2療2*2），則元?沅=0，n-'DN=0,

百以產(chǎn)=0

“以1（1-3R工2+（V2-V22）Z2=0'

取元=（近一或九0,3A-1）,

1(-物旗1)+3)-1|

所以|cos（沆，元）1=1

V3V2(1-A)2+(3A-1)2

所以8萬一10；1+3=0,

所以4=3或；1=不經(jīng)檢驗(yàn)a=[時(shí)，不合題意，舍去.

所以存在MN為中點(diǎn).

解析：本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定，考查二面角，考查空間直角

坐標(biāo)系，利用空間向量求線線、線面和面面的夾角，考查空間思維能力，考查分析與計(jì)算能力，綜

合性較強(qiáng)，屬于中檔題.

（1）連接8。，利用線面垂直的判定定理證得801平面P4。，又P4u平面PA。，即BD1P4;

（2）延長A。，BC相交于點(diǎn)M,連接PM,以。。，DC,DH所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)而=4兩，利用空間向量，計(jì)算得8"—102+3=0,解得4=%即存在N,N為

P例中點(diǎn).

16.答案：解：（1）證明：取8的中點(diǎn)E,連接BE,

■■AB//DE,AB=DE=3k,

四邊形ABED為平行四邊形，

BE//ADS.BE=AD=4k.

在ABCE中，???BE=4k,CE=3k,BC=5k,

BE2+CE2=BC2,

：./.BEC=90°,即8E_LC。,

又：BE11AD,

???CD1AD.

vAAr_L平面ABCD,CDu平面ABCD

：■AA-Y1CD.

5LAA1C\AD=A,AAr,4。u平面4DD141，

CDJ_平面4。。出，

(2)解：以。為原點(diǎn)，方彳，DC，西的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

B1(4k,3k,1),&(4/c,0,1),

所以前=(-M觸，0),

福=(0",1),就=(0,0,1),

設(shè)平面481c的法向量五=(x,y,z),

.(-4kx4-6ky=0,一

叫n弘y+zJ，取…

得記=(3,2,-6k)(k>0),

設(shè)441與平面AB】。所成角為仇

貝/譏9=|cos<AA；，n>\=不急后=I-

解得k=l,

故k的值為L

解析：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查線面垂直，考查空間想象能力，邏輯思維能力，屬于中檔題.

(1)取C￡>的中點(diǎn)E,連接BE,證明BE1CD,可得CD1AD,利用441J■平面ABCD,可得1CD,

即可證明CD1平面ADD14,進(jìn)而可以證明面面垂直；

(2)以。為原點(diǎn)，DA，DC，西的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面2B1C的

法向量，利用直線A4與平面4B1C所成角的正弦值為右建立方程，即可求”的值.

17.答案：證明：(1)???PAI5]2?ABCD,DAcT?ABCD

DA1PA,

ACLAD,PAHAC=A,PA,ACu平面PAC,

DA1平面PAC,

又PCu平面PAC,：.PC1AD.

(2)解：過4作4Mlpc交PC于M,連接。M,

因?yàn)?M1PC,DA1PC,AMCtDA=A,AM.DAu平面AMD,PCJ_平面AMD,DMu平面AMD,

DM1PC,

則乙4MC為所求二面角的平面角,

22

在RtAPAC中，AM=7==^,

在RM04M中，DM=等，

在RtUMD中，sinN4MD=Q=圾

DM6

所以COSZTIMO=J1-

二二面角4-PC-。的余弦值為四.

6

解析：本題主要考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真

審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

(1)推導(dǎo)出ZM_LPA,AC1AD,從而DA1面PAC,由此能證明PC_LAD.

(2)過A作4Mlpc交PC于M,連接則/AMD為所求角，由此能求出二面角4一PC-D的