高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》綜合練習(xí)

高中數(shù)學(xué)《數(shù)列》綜合練習(xí)

一、單選題

1.已知首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列｛為｝的公比為我9。1),曲線C：a“f+〃ey2=],若曲線

G的離心率為e,則()

A當(dāng)qw(-oo,-l)時,E隨q的增大而減小

B當(dāng)gw(TO)時,隨q的增大而減小

C當(dāng)夕￡(()/)時，R?隨q的增大而增大

D當(dāng)ge(l,+8)時，e隨q的增大而增大

2在等差數(shù)列也,｝中，已知4=2,公差d=3,勺=32,則，等于()

A8B.9C.10D.11

4

3數(shù)列＞的前5項(xiàng)和為(

〃(a+1)

201055

AB.—C.D.

T363

4已知前〃項(xiàng)和為S〃的數(shù)列｛為｝滿足(-1)"=4+/-3〃+2,則々2022=()

A—2x2022?B.2X20222+8086C.2x20232+4044D.2X20232+8086

5已知等差數(shù)列｛%｝滿足%=1。，則%+%=()

A5B.10C.20D.40

6已知在等比數(shù)列｛〃“｝中，4+〃3=3,a3+a5=6,貝！)。得3=()

A2B.4C.V2D.2>/2

7已知公比為2的等比數(shù)列｛qj滿足%=8,記0為｛4｝在區(qū)間(0,回(機(jī)為正整數(shù))中

的項(xiàng)的個數(shù)，則數(shù)列｛鬣｝的前100項(xiàng)的和5⑼為()

A.360B.480C.600D.100

若數(shù)列僅“｝的首項(xiàng)4=-。，且滿足,1

8.=1一］，則“2022=()

4

.45

A.B.5C.一D.

454

10

9.已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S.=/+2〃,數(shù)列也｝滿足bn=n(afl+1)，則數(shù)列也｝的

最大項(xiàng)為()

A.第4項(xiàng)B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng)D.第7項(xiàng)

10.在北京冬奧會開幕式上，二十四節(jié)氣倒計時驚艷了世界.從冬至之日起，小寒、大

寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依

次成等差數(shù)列，若冬至的日影長為18.5尺，立春的日影長為15.5尺，則立夏的日影長為

()

A.9.5RB.10.5尺C.11.5尺D.12.5尺

11.已知｛〃“｝為等差數(shù)列，S,,為其前〃項(xiàng)和，若生=$5=5,則公差d等于()

A.3B.-3C.2D.-2

12.等比數(shù)列｛〃〃｝中，4a2a3=-8,%=16,則公比為（）

A.-2B.2C.-4D.4

13.已知數(shù)列｛端滿足4=。（“為正整數(shù)），?一才必是3的倍數(shù)，設(shè)集合

q+lM,不是3的倍數(shù)

A=｛x|x=%｝.有以下兩個猜想：①不論。取何值，總有Ie4；②若“W2022,且數(shù)列

｛q｝中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則。的可能取值有6個.其中（）

A.①正確，②正確B.①正確，②錯誤C.①錯誤，②正確D.①錯誤，②錯誤

14.數(shù)列｛凡｝是等差數(shù)列，4=1,且4,牝，為構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則4=

（）

A.1或3B.0或2C.3D.2

15.在等比數(shù)列｛a“｝中，%=1,%=27,貝I]44=（）.

A.-3B.3C.-D.-

33

二、填空題

16.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S?,滿足Szg=2022,且a.>0,則%生⑼的最大值

為.

17.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為?！?劭2+〃，對于任意“28,恒成立，則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是.

18.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為4=（〃2-5〃+5）2則它的前五項(xiàng)依次為.

19.在等比數(shù)列｛q｝中，若4=；，4=3,則Ss=.

20.己知等差數(shù)列｛%｝滿足4=1,%=2,則｛4｝的前5項(xiàng)和醺=.

三、解答題

21.設(shè)等差數(shù)列｛〃,｝的各項(xiàng)為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S,,,且％，辰=L4用構(gòu)成等比數(shù)列.

⑴求％及S“；

⑵若數(shù)列出｝滿足4=1,如|=嘖，求證：4,,+￡%=4".

22.已知數(shù)列何｝的前〃項(xiàng)和為5.，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛"｝的前”項(xiàng)積為，，且

S“=2a,-1,4=4,*=（她）".

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵證明:物/為等比數(shù)列.

23.已知數(shù)列｛4｝是公比#1的等比數(shù)列，4=81,且％,2%,3q成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛4｝滿足4=%],b?+b?+t=(2n+\]an,記7；=仿+"+…+(jb”,若

<iV41115

c?+-bn=-Tn'證明：—+—+-+—

"⑶"3"4Gc?3

24.己知等比數(shù)列｛%｝滿足%=4,%=32.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)心噫/。氐”求數(shù)列間的前"項(xiàng)和s「

【參考答案】

一、單選題

1.D

【解析】

【分析】

根據(jù)曲線C”的方程，結(jié)合橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率逐項(xiàng)判斷即可得出答案.

【詳解】

22

G：%/+?！?爐=1=寧+4_,

4%

當(dāng)4>1時，4a,0<—<-,曲線C〃為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，所以

an+lan

a2=~,b2^—,:Jl-烏,e隨q的增大而增大，故選D.

同理：當(dāng)口€(0,1)時6=卜%=小三,e隨q的增大而減小，排除C.

當(dāng)q€(口,())時，曲線C“為雙曲線，離心率e單調(diào)性與"的奇偶性有關(guān)，排除A,B.

故選：D.

2.D

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程，即可求解.

【詳解】

由數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且4=2,公差d=3,%=32,

可得4=2+("T)x3=32,解得〃=I1.

故選：D.

3.B

【解析】

【分析】

利用裂項(xiàng)相消法求和即可;

【詳解】

44

解：因?yàn)?41-,記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為

n(n+l)n(n+l)

10

KiJ55=411-1+4+4+4+44

T

故選：B

4.B

【解析】

【分析】

利用賦值法，分別令"=2024,“=2022求出Szg=2023x2022,5202,=2021x2020,再令

n=2023可得S2n22=25283+2022x2021,再由4必=-可求得結(jié)果

【詳解】

因?yàn)?-1)”,S“=?！?-3〃+2=a“+(〃-1)(〃-2),

所以(-1產(chǎn)4.52c叫=a2024+(2024-1)x(2024-2),

所以52024=$2024-$023+(2024-1)x(2024-2),

所以$2023=(2024-l)x(2024-2)=2023x2022,

同理S㈤=2021x2020,

02

因?yàn)?-I)?'$2023=02023+(2023-1)x(2023-2),

所以一邑儂=52023-s2()22+2022X2021,

所以52022=2s2023+2022x2021,

所以。2022=$2022—^2021

=2s2023+2022x2021-2021x2020

=2x2023x2022+2x2021

=2x20222+8086,

故選：B

5.C

【解析】

【分析】

利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求解.

【詳解】

解：由題得4+4=24=20.

故選：C

6.A

【解析】

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解可、/,即可求解.

【詳解】

解：由題意得：

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q

q+%=3,%+%=6

4

4+4聞2=3,axcf+?1^=6

.??畢：=整理得/-相_2=0,解得q2=2

q-+q2

/.4=1

??2q2=2c

故選：A

7.B

【解析】

【分析】

首先求出｛??｝的通項(xiàng)公式，通過分析數(shù)列也,｝的規(guī)律，由此求得數(shù)列也“｝的前100項(xiàng)和5⑼.

【詳解】

解：因?yàn)椤?=8,q=2,所以%=a0T=2",

由于2=2,2?=4,23=8,2&=16,25=32,26=64,27=128,所以

々對應(yīng)的區(qū)間為(OJ,則4=0；

區(qū)也對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,2],(0,3],則包=々=1,即有2個1；

仇也也也對應(yīng)的區(qū)間分別為9,4],(0,5],(0,6],(0,7],則仇=4="="=2,即有？個2；

甌名，…也對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,8],(0,9],…,(0,15],則%=%=…=%=3,即有2,個3；

篇也，…,如對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,16,(0,1刃,…,(0,31],則％=%=…=凰=4,即有24個

4；

心也3,…,%對應(yīng)的區(qū)間分別為9,32],(0,33],…,(0,63],則與2="=L=%=5,即有2,個

5；

bM也5,L,40n對應(yīng)的區(qū)間分別為(0,641,(0,65],.■-,(0,100],則%%=L=%=6,即有37

個6.

所以$(>0=1x2+2x22+3x23+4x24+5x2$+6x37=480.

故選：B

8.C

【解析】

【分析】

根據(jù)遞推公式，結(jié)合代入法可以求出數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期性進(jìn)行求解即可.

【詳解】

因?yàn)?=_:，&+i=l---,

4an

.1.,14

所以%=1-[7=5，%=1"=不4=1-彳=-屋所以該數(shù)列的周期為3,

于是有?2022=?674x3=%=二，

故選：C

9.D

【解析】

【分析】

fS,,n=\

根據(jù)?！?S_；〃>2求得%=2〃+1，若判斷｛(〃｝的最大項(xiàng)，則根據(jù)數(shù)列單調(diào)性定義得

,可求得n=7.

?！ㄖ?

【詳解】

,/S“=1+2〃，

當(dāng)〃=1時，q=3,

當(dāng)〃22時，%=S"一S”“=2〃+1,

〃〃=2〃+1.

10

貝！假設(shè)第"項(xiàng)最大("22),

=2H(H+1)15

1010

b.2b,1313

10io

2〃(〃+l)>2(n+l)(/i+2

Ti13

又“eN'，所以〃=7

故選：D.

10.A

【解析】

【分析】

由等差數(shù)列相關(guān)運(yùn)算得到公差，進(jìn)而求出立夏的日影長.

【詳解】

由題意得：｛叫為等差數(shù)列，公差為d,則4=18.5,%=15.5,則4-q=3d=-3,解

得：d=-\,則4。=4+9〃=18.5-9=9.5,故立夏的日影長為9.5尺.

故選：A

11.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)和前“項(xiàng)和公式，列方程求解即可.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列MJ的首項(xiàng)為6，則%=4+41=5,S5=5q+1。"=5,聯(lián)立解得q=-3/=2,

故選:C

12.A

【解析】

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求得?2,再根據(jù)-=^即可得解.

【詳解】

解：設(shè)公比為4，

因?yàn)?4a3=-8,所有婷=-8,則%=-2,

所以&=/=-8,解得g=-2.

a2

故選：A.

13.A

【解析】

【分析】

設(shè)出數(shù)列中的一項(xiàng)為次eN*,然后分處被3除余1,余2,余0三種情況進(jìn)行討論，借助

給出的遞推關(guān)系式進(jìn)行推證即可判斷①，結(jié)合遞推關(guān)系式得到&符合的形式，然后保證

ak<2022即可判斷②.

【詳解】

不妨設(shè)數(shù)列中的一項(xiàng)為處,N*,

①若4被3除余1,則由已知可得4+i=a*+1,ak+2=ak+2,aM=g（q.+2）,

若4被3除余2,則由已知可得4+|=4+1,《+2=+1），q+34g（4+1）+1，

若4被3除余0,則由已知可得%+i=]4，%3+2,

112

所以對任意的ZeN,,%+34§4+2,則4-4+3*4-（§怎+2）=-3）,

所以對數(shù)列中的任一項(xiàng)外,若為>3,則ak>ak+3,

因?yàn)閝eN",所以6-%3小，所以數(shù)列中必存在某一項(xiàng)443（否則與上述結(jié)論矛

盾），

若4=1,結(jié)論得證；若4=2,則縱=3,%2=1，結(jié)論得證；若％=3,則4+產(chǎn)1,

得證；所以不論。取何值，總有kA；故①正確；

②若4是3的倍數(shù)，則

若《被3除余1,則由已知可得為+2=4+2,W+3=；%+2，

若應(yīng)被3除余2,則由已知可得以+1=4+1,%+2=g%+1，

所以連續(xù)7項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為g,

因?yàn)椤秂N*,所以這7項(xiàng)中前6項(xiàng)一定都是3的倍數(shù)，而第7項(xiàng)一定不是3的倍數(shù)(否則

構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)數(shù)會多于7項(xiàng))

設(shè)第7項(xiàng)為p,則p是被3除余1或余2的正整數(shù)，則可推得出=px36,

因?yàn)?6<2022<3],所以《.=36或4=2、36,

由遞推關(guān)系式可知，在該數(shù)列的前k-1項(xiàng)中，滿足小于等于2022的項(xiàng)只有：

6

4T=3,-1，或4T=2X36_1,ak_2=36-2,或at_2=2x3-2,

所以首項(xiàng)。的所有可能取值的集合為-36-0-2,2x36,2x36-1,2x36-2｝,

故”的所有可能取值有6個，故正確.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，考查學(xué)生的抽象思維能力，屬于難度較大題.

14.A

【解析】

【分析】

根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，由此求得d,進(jìn)而求得生，從而求得4的值

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,Vat,a2,a5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，,〃；=%?%，

即(l+d)2=l+4d,解得4=0或2,

所以4=1或3,所以<7=1或3,

故選：A

15.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，求得等比數(shù)列的首項(xiàng)《和4,進(jìn)而求得4%的值.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為4，

[a.q=11

因?yàn)椤?=1，“5=27,可得《4”，解得4=不4=3,

[atq=273

所以4%=c^q'=(^)2x31=3.

故選：B.

二、填空題

16.1

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列與下標(biāo)和有關(guān)的性質(zhì)可得出+電⑼為定值，根據(jù)基

本不等式即可求的生⑼的最大值.

【詳解】

,/S2O22=20yo22=]01](%+a202l)=2022,

..生+〃2021=2,

二七生⑼也養(yǎng)=1,當(dāng)且僅當(dāng)。2="2⑼=1時取等號，

?2?2021的最大值為1.

故答案為：1.

【解析】

【分析】

利用/+1-可40可知2a〃+a+140在〃N8時恒成立，分別在a20和a<0時討論即可得到

結(jié)果.

【詳解】

當(dāng)”28時，an+l-an=4("+1)一+("+1)-加-m=2a〃+a+140恒成立，

當(dāng)時，2a〃+a+l>0,不合題意；

當(dāng)“<0時，2a〃+a+l416a+a+l=17a+l,..17tz+l<0,解得：a<---；

17

綜上所述：實(shí)數(shù)。的取值范圍為(t，.

故答案為：[-8,一土.

18.1,1,1,1,25.

【解析】

【分析】

將“=1,2,3,4,5依次代入通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

由題意得：4=(1-5+5)2=1；%=(470+5)2=1；2=(9-15+5)2=1；

%=(16-20+5)2=1；仁=(25—25+5)2=25；

，數(shù)列｛4｝前五項(xiàng)依次為：1,1,1,1,25.

故答案為：1,1,1,1,25.

【解析】

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，計算即可求得答案.

【詳解】

由題意可得，＜3（1-3，）121,

》=-------=---

51-33

121

故答案為：

20.15

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，求出等差數(shù)列的基本量，然后，利用等差數(shù)列的求和公式直接求解.

【詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,所以，△=%-4=1,所以，可得％=4+5-1"=〃，進(jìn)而

有Ss=5（4；9）=56=15.

故答案為：15

三、解答題

21.（l）a?=2?-l,S?=?2；

⑵證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和進(jìn)行求解即可;

（2）運(yùn)用累積法，結(jié)合組合數(shù)的定義進(jìn)行運(yùn)算證明即可.

⑴

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為4,公差為d,

因?yàn)閷?，阿口，”向?gòu)成等比數(shù)列，

所以4s,-1=%,用

[4巾=’+加（浜-2）=0

8a,+4d-l=a；+3a,d+2d2v7V'

又?jǐn)?shù)列｛4｝的各項(xiàng)為正數(shù)，所以4=2馮=1

所以4=2〃-l,S“=〃2；

⑵

,an+ln....i

b”i=-Z7~=1=>"4+1="，〃+也,+2="+1,

2。b?

77+1.,

所以臂=丁曲=】，

^3^5力2〃+l=242n,242n2〃?m

所以=%=丁一§

“h3b2n_1132n-l2/1-11?3???(2〃-1)

,T-n\(2〃)！2”?加2-4-6......In2"-nl2"?加

2，"'2,1l-3---(2rt-l)n\-n\1n\-n\1n\-n\

22.⑴。“=2小

⑵證明見解析

【解析】

【分析】

S.,H=1

(1)根據(jù)、■可求得答案；

電-5c,1，〃22

,Tb

(2)根據(jù)"=L，證明廣的定值，即可得證.

T?-\%

⑴

解：當(dāng)〃=1時，4=2%-1,q=l,

當(dāng)〃N2時，an=S?-S?_!=(2a?-1)-(2a?_,-1)=2an-2a,,

所以q=2a“_1,

所以數(shù)列｛為｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以4=2-'；

(2)

證明：&=4=lwO,7],=(2"-也)"，

當(dāng)“22時，b“=M=：=千泉則%"T=2?/產(chǎn)，

%(2"一%)b”_、

由于勿＞0,則b,丹配g2),

所以數(shù)列｛〃｝是等比數(shù)列.

23.⑴a“=3"(〃eN*)

⑵證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等差中項(xiàng)可得4%=34+%,結(jié)合等比數(shù)列通向公式求解；

(2)結(jié)合題意整理可得%=",利用放縮］＜71=2(h二-丁二〕,結(jié)合本題應(yīng)從

n~4n-1y2n-i2n-\