高中數(shù)學人教課標A版必修4-必修4第二章平面向量 公開課

2.1.1-2.1.2平面向量的實際背景及基本概念、幾何表示

一、選擇題

1、下列說法正確的是（）

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小.

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小.

C.向量的大小與方向有關(guān).

D.向量的?？梢员容^大小.

2、設(shè)。是正方形ABCD的中心，則向量衣,而，花，而是（）

A.相等的向量B.平行的向量

C.有相同起點的向量D.模相等的向量

3、下列物理量：①質(zhì)量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程，其中是向

量的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

4、下列命題中正確的是（）

—>—>->->->

A.若向量a與。同向，且則

B.若向量二=同，則）與辦的長度相等且方向相同或相反

C.對于任意向量|a|=|d，且a與0的方向相同，則a

D.由于零向量方向不確定，故（!不能與任意向量平行。

二、填空題

5、既有又有的量叫向量。

6、有向線段包含三個要素、、

7、向量可以用表示。

8、長度等于一個單位的向量叫單位向量。

三、解答題

9、回答平行向量的概念。

10、一人從點A出發(fā)，向東走500米到達點B,接著向北偏東60。走300米到達點

C,然后再向北偏東45。走100米到達點D。試選擇適當?shù)谋壤撸孟蛄勘硎具@個

人的位移。

11、判斷下列結(jié)論是否正確（正確的在括號內(nèi)打“J”，錯誤的打"X”）。

—>—>—>—>

（1）若4、〃都是單位向量，則4=8（）

（2）物理學中的作用力與反作用力是一對共線向量（）

（3）直角坐標平面上的x軸、y軸都是向量（）

2.1.3相等向量與共線向量

一、選擇題

1、給出下列六個命題：

①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同;

②若|a|=|B|,則a=B；

③若麗=反，則四邊形ABCD是平行四邊形;

④平行四邊形ABCD中，一定有印月=力仁；

⑤若m=n9n=k,則zn=k；

@a\\b,b\\c,則a||c.

其中不正確的命題的個數(shù)為（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2、下列命中，正確的是（)

A、\a\=\b\^>a=bB、|a|>b\=>a>h

C、a=b^a//bD、IaI=0=a=0

3、判斷下列各命題的真假：

（1）向量通的長度與向量麗的長度相等；

（2）向量Z與向量坂平行，則￡與方的方向相同或相反；

（3）兩個有共同起點的而且相等的向量，其終點必相同；

（4）兩個有共同終點的向量，一定是共線向量；

（5）向量而和向量C/5是共線向量，則點A、B、C、D必在同一條直線上;

（6）有向線段就是向量，向量就是有向線段.

其中假命題的個數(shù)為（)

A.2個B.3個C.4個D.5個

4若a為任一非零向量，B為模為1的向量，下列各式：①Ia1>?

②公〃分③|￡|>0④IB|=±1,其中正確的是（）

A.①④B.③C.①②③D.②③

二、填空題

5、平行向量方向o

6、兩個非零向量相等的充要條件是o

7、與任意向量都平行的向量是。

8、與零向量相等的向量必定是o

三、解答題

9、如圖所示，四邊形ABCD為正方形，4BCE為等腰直角三角形,

（1）找出圖中與AB共線的向量；

（2）找出圖中與相等的向量；

（3）找出圖中與IABI相等的向量;

（4）找出圖中與反相等的向量.

10、如圖，0是正方形ABCD對角線的交點，四邊形OAED,OCFB都是正方形，在圖

中所示的向量中，分別寫出

（1）與〃，的相等的向量；

（2）與而共線的向量；

（3）寫出與才。模相等的向量;

（4）向量正與前是否相等？

11、D、E、F分別是A48C各邊AB,BC,CA的中點，寫出圖中與法，七"應(yīng)>相等

的向量。

2.2.1向量的加法運算及其幾何意義

一、選擇題

l.D、E、F分別是aABC三邊AB、BC、CA的中點，則下列等式不成立的是（）

A.+DA=FAB.'FD+DE+'EF=0

C.DE+DA=ECD.DA+DE=~DF

2.正方形ABCD中，邊長為1,則I~AB+BC+CA|為（）

A.0B.V2C.2V2D.3

3.設(shè)0為。ABCD的中心，E為任意一點，則族+而+無+反為（）

A.OEB.20EC.30ED.40E

4.若三非零向量a、b、c滿足a+b+c=6,則表示該三向量的三有向線段一定構(gòu)成

()

A.一條直線B.一條線段

C.一個三角形D.以上都不正確

二、填空題

5.在QABCD中，已知詬=a,5^=b，則.

6.等式Ia+bI=IaI+Ib|成立的條件是.

7.化簡：OM+MN=.

8.若a+b平分非零向量a、b之間的夾角，則a、b的關(guān)系是.

三、解答題

9.在正六邊形ABCDEF中，已知贏=a,

而=1），用a、b表示前，CD,DE,EF.

D

10.化簡：（1）AB+BC+CA

（2）（ZB+MB）+sb+OM

IL一架飛機向北飛行300km,然后改變方向向西飛行400km,求飛機飛行的路程

及兩次位移的合成。

2.2.2向量減法運算及其幾何意義

一、選擇題

1.Z與1互為相反向量，則有-----------------------------------()

A.a+b=2aB.a-b=6C.a+b=6D.a-b=~2a

2.下列說法中，不正確的是-------------------------------------()

A.等長且方向相反的兩向量是相反向量B.方向相反的兩向量是相反向量

C.零向量的相反向量是零向量D.互為相反向量的兩向量之和是零向量

3.已知蘇=3,麗=九若|為|=5,且NAOB=90°,則日工|等于()

A.7B.13C.15D.17

4.在下歹U各等式中，?a-b=b-a@a+b-c=a-b+c@b-(-a)=b+a

@Q-a--a⑤|a-3|=|1+a|⑥|a+3|=|a|+|3|正確的個數(shù)為------()

A.4B.3C.2D.1

二、填空題

5.a+b=b-

6.BC-BA+CD=

7.在^ABC中，BC=a,CA^b,則詬等于

8.在邊長為1的正方形ABCD中，設(shè)而=Z,AD^h,AC=c,則

\a-b+c|=_____________

三、解答題

9.已知向量a,b,c,d,求作向量a-c,b-d

10.化簡：

(1)(CD+CE)+(EA-AC)；

(2)BA+AC-(DB-CD).

11.已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O,且蘇=7,OB=b,

用向量3、B分別表示向量比，OD,DC,~BC.

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義

一、選擇題

1.下列各式計算正確的是)

A.c-2a+b+cB.3(a+B)+3,-a)=6

C.AB+BA=2ABD.a+b+3a-5b=4-a-4b

2.4、〃eR,下列關(guān)系中正確的是（）

A.若4=0,則4a=0B.若a=0,則4a=0

C./Aa/=/A/aD./Aa/=A/a/

3.在下列結(jié)論中，正確的結(jié)論為()

(1)a=b|na=b；(2)a〃b且|a|=|b|=>a=b；

(3)a=b=>a/7bKa|=|b|；(4)aWb=>a與b方向相反

A.(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(3)(4)

4.在三角形ABC中，E、F分別是AB、AC的中點，若赤=。,公="則而等于（）

A.—(o+b)B.-(a-b)C.—(/?-?)D.一；(a+Z?)

二、填空題:

5.a-(2a—萬一Q)=.

6.若5x+3(x+a)=0則x-.

32

7.a二——e,b=——e,a=________b.

43

8.設(shè)ei和62為兩個不共線的向量，則。=2d一62與》=ei+462(4￡R)共線的

充要條件是幾=.

三、解答題

9、已矢口a=ei+2e2，b-3e\-2ei求a+b,a——b,3a——2b。

10、已知平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O,且蘇a,OB=b,用

向量b分別表示向量灰■，而，皮，瑟.

11、如圖，在AABC中，AB=a,~BC=b,AD為邊BC的中線,

G為aABC的重心，求向量彳5

2.3.1-2平面向量的正交分解及坐標表示

一、選擇題

1、下列各組向量中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底是()

A.a=(0,0)"=(1,-2)B.a=(-1,2)"=(5,7)

C.a=(3,5/=(6,10)D.a=(2,-3)5=(4,-6)

2、已知向量￡=(一2,4)5=(1,-2)則占與?的關(guān)系是()

A.不共線B.相等C.同向D.反向

二、填空題

3、在平面直角坐標系中，已知點A時坐標為(2,3),點B的坐標為(6,5),則

OA=,OB=o

4、已知向量|51=4,的方向與x軸的正方向的夾角是30°,則［的坐標為

三、解答題

5、已知點A(2,2)B(-2,2)C(4,6)D(-5,6)E(-2,-2)F

(-5,-6)

在平面直角坐標系中，分別作出向量前BD而并求向量萬BD阱的坐標。

6、已知，，且點的坐標為，求點的坐標.

2.3.3平面向量的坐標運算

一、選擇題

1、若向量（x,y）=d,則必有（）

A.x=0或y=0B.x=0且y=0C.xy=0D.x+y=0

—>—>i—>

2、已知AM=(—2,4),MB=(2,6),則—AB=()

2

A.(0,5)B.(0,1)c.(2,5)D.(2,1)

3、已知平行四邊形0ABC（0為坐標原點），OA=(2,0),。5=(3,1),則0c等于(

A.(1,1)B.(1,-1)C.(-1,-1)D.(-1,1)

4、若1=（4,6）,且J=2』則］的坐標為（)

A.(3,2)B.(2,3)C.(-3,-2)D.(-2,-3)

二、填空題：

-->—>—>T->

5.已知a=(—2,4)/=(5,2),則a+b=，a-b=o

--—>—>T

6.已知。=(4,3)/=(―3,8),貝！Ja+b=，a-h=o

-―->-->->

7.已知a=(2,3),b=(―2,—3),則a+Z?=,a—h=o

8.已知a=(3,2)5=(0,—1),則一務(wù)+4力=。

三、解答題

->—>—>—>—>—>—>—>

9.已知a=(2,1),Z?=(—3,4),求a+b,a-h,3a+4b的坐標。

10.已知平行四邊形ABCD的三個頂點A,B,C的坐標分別是(-2,1),(-1,3),

(3,4),試求頂點D的坐標。

11.已知A,B兩點的坐標，求A民氏4的坐標。

(1)A(3,5),B(6,9)

(2)A(-3,4),B(6,3)

2.3.4平面向量共線的坐標表示

一、選擇題

1、已知a=(-1,3),5=(x,-1),且￡/小，則x=()

A.3B.-3C.-D.--

33

2、已知5=(-6/),B=(-2,1)且￡與另共線，則外()

A.-6B.6C.3D.-3

3、已知A(2,-l),3(3,1)與福平行且方向相反的向量￡的是()

A.a-(1,—)B.a=(—6,—3)C.a=(-1,2)D.a=(—4,—8)

4、已知4(1,3),8(8」)，且A、B、C三點共線，則C點的坐標是()

2

A.(-9,1)B.(9,-1)C.(9,1)D.(-9,1)

二、填空題：

5、已知：A(4,6),8(-3,—)與AB平行的向量的坐標可以是

2

①。,3)②(7,|)@(-y,-3)@(7,9)

A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④

6、下列各組向量相互平行的是

A.￡=(-1,2)1=(3,5)B.3=(1,2),萬=(2,1)

C.a=—=(3,4)D.a=(—2,1),b—(4,—2)

7、已知A(-1,7)B(1,1)C(2,3)D(6,19)則血與前的關(guān)系為

A.不共線B.共線C.相交D.以上均不對

三、解答題

8、判斷下列向量￡與A是否共線

-8

①3=(2,3)(=(3,4)②a=(2,3)力=(§，4)

9、證明下列各組點共線:

71

(1)A(l,2)B(-3,^)C(2,-)(2)P(9,l)Q(1-3)/?(8,-)

22

10、已知A(-2,-3),B(2,l),(l,4)E>(-7,-4)判斷油與前是否共線？

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景極其含義

一、選擇題：

1.已知同=5,忖=4,2與b的夾角6=30。，則()

A.10B.-10C.10A/3D.-IOA/3

2.已知同=3,M=4,。與b的夾角6=120°,貝膽?B=()

A.6B.-6C.-673D.6百

3.已知方、B為兩個單位向量，下列四個命題正確的是()

A.a=bB.a?b=0C.\a'b|<1D.a2=b~

4.已知同=3,W=4,。與6的夾角6=150。，則3+斤=()

A.25B.25-1273C.25+12V3C.25±12石

二、填空題：

5.已知同=12,忖=9,4?5=-54/，則G與6的夾角0=

6.若向量才、寸滿足|tl=bltl=2,且才與寸的夾角為與，則|才+了|=_

7.已知|之1=5,5與B的夾角為3?！?則M在在方向上的投影為

8.若五?B<0,則M與B夾角。的取值范圍是

三、解答題：

9.已知|之|=2,|=3,a±b,且3五+2區(qū)與與也互相垂直，求人的值。

10.已知上|=4,歷|=3,(2"3勵3+楊=61,求為與6的夾角6。

11.已知1與6的夾角為衛(wèi)，\a\=2,歷|=1,求|,+看|的值。

3

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示'模'夾角

一、選擇題：

1.有下面四個關(guān)系式

①6?1=0②伍4)々=鼠(小[)③展很@\a-b\=\b\-\a\

其中正確的個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

2.設(shè)5=&,y),b=(x2,y2),則下列命題中錯誤的是()

A.|?|=7?+y；B.a//hoxiy2+x2yt-0

C.a-b=xtx2+yxy2D.aLbx[x2+yxy2=0

3.已知5=(—4,3),b=(5,2),貝ij3?B=()

A.14B.-14C.12D.-12

4.在直角AABC中，4=90°,若麗=(2,3),/=(1次)，則仁()

A.--B.-C.-D.--

3322

二、填空題：

5.已知5=(2,1),月=(3,-1),則行與6的夾角。=

6.已知近=(3,T),\b\=\a\,且。貝

7.已知向量m=(1,3),n=(2a,l-a),若〃z"L",貝lja=

8.設(shè)萬=(尤,3),B=(2,-1),若2與6的夾角為鈍角，則X的取值范圍是

三、解答題：

9.已知萬=(—3,4),b-(5,2),求\b\,a?b

10.已知己=(2,3),b=(-2,4)?c=(-1,-2),求五(a-b)(a+b),(a+b)2

11.已知Z+B=(2,—8)*—B=(—8,16),求方的值

2.5.1平面幾何中的向量方法

一、選擇題

1、已知M(3,-2),N(-5,-1),則MN中點的坐標是()

A.(8,1)B.(-1,--)C.(-8,-1)D.(1,-)

22

2、已知42,1),3(3,2),。(—1,4),則以8。是()

A.等邊三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

3、平行四邊形有三個頂點，分別是A(0,0),仇0,份,C(a,c),則第四個頂點的坐標為

)

A.(。,。+c)或(a,c-。)或(-a,b-c)B.(a,b+c)

C.(a,c-b)D.(-a,b-c)

->__>

4、和直線3x-4y+7=0平行的向量。及垂直的向量〃分別是()

->—>->->

A.a=(3,4),/?=(3,-4)B.a=(—3,4),〃=(4,-3)

—>—>—>—>

C.a—(4,3),^—(3,-4)D.a—(—4,3),Z?=(3,4)

二、填空題：

5、若。=(乂1)/=(4,犬)，貝|當工=時，。與人共線且同向。

—>—>—>

6、已知A8=(2,—1),AC=(-4,1),則BC=。

—>—>

7、已知點A(-l-2),B(2,3),C(-2,0),Z)(x,y),且AC=2BD,則x+y=

8、AB+BA=0是(真、假)命題。

三、解答題

9、求通過點A(-2,1),且平行于向量W=(3,1)的直線方程。

->—>->11―>―>—>

10.已知。=(-1,0),/?=(3,-2),c=(耳，3),求2。+3〃一6。

11.已知a=3,b=4,求。一人的范圍。

2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例

一、選擇題

1.在四邊形ABCD中，若元=而+而則（）

A.ABCD是矩形B.ABCD是菱形

CABCD是正方形D.ABCD是平行四邊形

2.已知：在△ABOtbQ?元<0,則443提（）

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.任意三角形

3.某人由A地向正東走4km到達B地，然后改變方向向北行，走2km到達C地,

則此人在AB方向上的位移是（）

A.3kmB.4kmC.273kmD.5km

->—>—>—>—>—>

4.若AB=3G，CO=5q,且AO與C8的模相等，則四邊形ABCD是（）

A.平行四邊形B.梯形C.等腰梯形D.菱形

二.解答題

5.設(shè)M、N分別是四邊形ABCD的對邊AB、CD的中點，求證：M7V=1（AD+fiC）

6.求證:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

7.A4BC中，BD,CE為中線，目B4=|CE|,求證目=|人。

AE

第二章平面向量單元練習

選擇題

->—>—>—>

1、若a=(4,6),a=26,則b的坐標為()

A.(3,2)B.(2,3)C.(-3,—2)D.(_2,—3)

—>—>

2、如圖，四邊形ABCD中,AB=DC,則相等的向量是()

A.茄與&B.辦與ob

c.公與訪D.A與ob

3、設(shè)。表示向西走10km,〃表示向北走108km,

-?->

若先向西再向北走，則a-b表示()

A.沿南偏西30。走20kmB.沿北偏西30。走20km

C.沿南偏東30°走20kmD.沿北偏東30°走20km

—>—>f—>

4、化簡(AB—CD)+(BE—的結(jié)果是)

—>—>

A.0B.AEC.CAD.AC

->Tff—―->

5、已知向量a、b,且AB=a+2Z?,BC=—5a+6b,C￡>=7a—2〃，則一定共線的

三點是()

A.A、B、DB.A、B、CC.B^C、DD.A、C、D

6、下列關(guān)系正確的是()

~~?

A.若a=0,則Xa=0B.若a=0,則4a=0

C.A,a\=MaD.2a=|A|a

->->—>->———>—>->->

7、已知ei,C2不共線，若a=3e{-^e2,b=6ei+ke2，且a〃方，則攵的值為()

A.8B.-8C.3D.-3

8、AA8C中，已知44,1),8(7,5),C(T,7),則BC邊的中線AD的長是()

7V5

A.2V5B.*C.3>/5

,F

2

二、填空題

1「17rT7]

9.化簡：——(2。+8人)一(4。-2/7)=o

32

—>—>—>—>

10.若向量W、辦滿足口=樸12,則a+b的最小值是a-b的最大

值是_。

—>—>―>

11.已知A5=(2,-1),AC=(-4,1),則BC=。

12.若口=2,"=后二與/；的夾角為45。，要使以—1與W垂直，則％=

三、解答題

—?—>—>I1—>—>—>

13.已知a-(-1,0),Z?=(3,—2),c=^<2a+3b-6c。

14.已知4口),8(3,-1),。(〃力)，若公=2低，求點C的坐標。

—>—>—>—>

15.已知。均為單位向量，它們的夾角為60°,求a+38

—>—>1->—>—>—>—>—>—>—>

16.已知a=4,q=3,a與b的夾角為120°,且c=a+2"d=2a+%人，問當女為

—>—>—>—>

何值時，(1)cJ_d?(2)clld'i

必修4第二章平面向量參考答案

2.1平面向量的實際背景及基本概念參考答案

一、選擇題

1、D；2、D；3、C4、C

二、填空題

5、大小、方向

6、起點、方向、長度

7、有向線段

8、1

三、解答題

9、方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

10>略。

11、(1)X(2)V(3)X

2.1.3相等向量與共線向量參考答案

一、選擇題

1、C；2、C；3、C；4^B；

二、填空題

5、相同或相反6、長度相等，方向相同

7、零向量8、零向量

三、解答題

9、解：VE>F分別是AC、AB的中點，EF〃BC且EF=』BC

2

又因為D是BC的中點

，①與麗共線的向量有：FE,BD,DB,DC,CD,BC,CB

②與麗的模大小相等的向量有屋，麗，麗，覺，麗

③與前相等的向量有：DB,CD.

10、解：(1)AO=BF,BO^AE；

(2)與X。共線的向量為：BF,CO,DE

(3)與印0模相等的向量有：CO,DO,BO,BF,CF,AE,DE

(4)向量％。與if。不相等.因為它們的方向不相同.

11、DE=AF=FC,

EF=BD=DA

FD=CE=EB

2.2.1向量的加法運算及其幾何意義參考答案

1.C2.A3.D4.D

->

5.2a-b6.a>b方向相同7.ON8.IaI=IbI

9.BC=a+b,CD=b,DE=-a,EF=-a-b

10.(1)0(2)AB

11.飛機兩次飛行的路程為700km,兩次位移的合成為向北偏西(tana=3)飛行

3

500km.

2.2.2向量減法運算及其幾何意義參考答案

一、選擇題

1.C2.B3.B4.C

二、填空題

5.~a6.AD7.-a-b8.2

三、解答題

9.略

10.化簡：

(1)(CD+CE)+(EA-AQ=2C\+CD

(2)BA+AC-(DB-CD)=BD

11.OC=~a，OD=-b,DC=b-a,BC=~a-b

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義

一、選擇題

l.D2.B3.A4.C

二、填空題

391

5.b6.--a7.-8.--

882

三、解答題

9.解：a-f~b=4e\a—b=-2ei+4e23a—2b=-3ei+10e2

10.解：OC=-：a^dD^-bJ)C^b-a,~BC=^a-b

.I—?...—?I—?.).

BD=-b,AD=AB+BD=a+-b\-AG=-AD

273

11.解：如圖,”I、，I

.?前=21+與=匕+D

312J33,

B

2.3.1-2平面向量的正交分解及坐標表示參考答案

一、選擇題

1、B2、D

二、填空題

3、(2,3)(6,5)4、(2百，2)

三、解答題

略

2.3.3平面向量的坐標運算參考答案

1、B2.D3.A4.B

5.(3,6)(-7,2)

6.(1,11)(7,-5)

7.(0,0)(4,6)

8.(-6,-8)

9.(-1,5),(5,-3),(-6,19)見書本108頁

10.書本108頁例5

—>—>

11.(1)A3=(3,4),氏4=(—3,—4)

(2)=79,-1),BA=(-9,1)

2.3.4平面向量共線的坐標表示參考答案

1.C2.C3.D4.C5.B6.D7.B

8.①不共線②共線9.略10.共線

2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景極其含義

一、選擇題

1.C2.B3.D4.B

二、填空題：

5.-7t6.V77.-V38.(生，萬］

4