高中數(shù)學(xué)章末整合提升

章未整合提升

知識(shí)結(jié)構(gòu)產(chǎn)a*，，ZHI?SHI-JIE?GOU「1「

「向量概念：既有大小又有方向的量

向量的幾何表示

平面向量的實(shí)際背景及基本概念＜廣且“而」口心口臺(tái)豆

相等向量：長度相等且方向相同的向量；

、共線向量：方向相同或相反的非零向量（0與任意向量共線）

,向量的加法及其幾何意義

平面向量的線性運(yùn)算，向量的減法及其幾何意義

.向量的數(shù)乘及其幾何意義

〃平面向量基本定理：/、。2不共線，任意。有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

平Al＞ht使。=力4+2262

平面向量基本定理及其坐標(biāo)表示《平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

面＜

向平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)。=（戈|,yi）,b=（X2,”），

量7其中bWO,則°〃〃㈡X1.V2—X2yi=0

〃定義。、方為非零向量，0A=|0M|cos伏。為a,力的夾角）

性質(zhì)?8=0；。、力同向，ab=\a\'\b\xa、）反向，a'b=—\a\-\b\

運(yùn)算律（加）心=。（幼），（a+b）c=ac+bc

平面向量的數(shù)量積＜______

向量的模設(shè)。=（x,y）,則同=7?+.

xi.￥2+yi,y2

夾角公式設(shè)。=（?,yi）,b=（x2f"），夾角為acos6=

平面向量在幾何中的應(yīng)用

平面向量的應(yīng)用舉例

平面向量在物理中的應(yīng)用

|專修探究〉??ZHUAN-TI-TAN?JIU〔2〕

專題一。平面向量的線性運(yùn)算

1.向量的加法、減法和數(shù)乘向量的綜合運(yùn)算通常叫作向量的線性運(yùn)算.

2.向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量.因此對(duì)它們的運(yùn)算法則、運(yùn)算律的理解和運(yùn)用

要注意大小、方向兩個(gè)方面.

3.向量共線定理和平面向量基本定理是進(jìn)行向量合成與分解的核心，是向量線性運(yùn)算

的關(guān)鍵所在，常應(yīng)用它們解決平面幾何中的共線問題、共點(diǎn)問題.

4.題型主要有證明三點(diǎn)共線、兩線段平行、線段相等、求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)等.

■典例1如圖所示，ZVIBC中，屈）=|矗，DE//BC,交AC于E,AM是BC

上的中線，交DE于N,設(shè)e=a,AC=b,用a,8分別表示向量贏，BC,DE,DN,AM,

AN.

專題二。平面向量的數(shù)量積

向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，當(dāng)兩個(gè)向量的夾角是銳角時(shí)，它們的數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)兩個(gè)

向量的夾角為鈍角時(shí)，它們的數(shù)量積為負(fù)數(shù)；當(dāng)兩個(gè)向量的夾角是90。時(shí)，它們的數(shù)量積等

于0,零向量與任何向量的數(shù)量積等于0.

通過向量的數(shù)量積的定義和由定義推出的性質(zhì)可以計(jì)算向量的長度(模卜平面內(nèi)兩點(diǎn)間

的距離、兩個(gè)向量的夾角、判斷相應(yīng)的兩條直線是否垂直.

■典例2如圖所示，在平行四邊形ABC。中，APVBD,垂足為尸，且AP=3,

則成后=.

為1』

專題三o向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示后，向量的運(yùn)算完

全化為代數(shù)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的統(tǒng)一.

2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算是將幾何問題代數(shù)化的有力工具，它是轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程、分

類討論、數(shù)形結(jié)合思想方法的具體體現(xiàn).

3.通過向量坐標(biāo)運(yùn)算主要解決求向量的坐標(biāo)、向量的模、夾角判斷共線、平行、垂直

等問題.

■典例3已知向量通=(4,3),AD=(-3,一1),點(diǎn)A(—1,-2).

(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P(2,y)滿足麗=2訪(2WR),求y與2的值.

2.在解決與向量有關(guān)的最值問題時(shí)，常常利用坐標(biāo)運(yùn)算建立目標(biāo)函數(shù)求解.

專題四Q平面向量的應(yīng)用

1.向量在平面幾何中的應(yīng)用，向量的加減運(yùn)算遵循平行四邊形法則或三角形法則，數(shù)

乘運(yùn)算和線段平行之間、數(shù)量積運(yùn)算和垂直、夾角、距離問題之間聯(lián)系密切，因此用向量方

法可以解決平面幾何中的相關(guān)問題.

2.向量在解析幾何中的應(yīng)用，主要利用向量平行與垂直的坐標(biāo)條件求直線的方程.

3.在物理中的應(yīng)用，主要解決力向量、速度向量等問題.

■典例4已知aABC中，N4cB是直角，CA=CB,。是CB的中點(diǎn)，E是AB

上一點(diǎn)，且AE=2￡B,求證4O_LCE.

2.建立平面直角坐標(biāo)系的原則，應(yīng)盡量多的使圖形頂點(diǎn)及邊落在原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上.

專題五。數(shù)形結(jié)合思想在向量問題中的應(yīng)用

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維

結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，即數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來確定,

或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來研究.

典例5已知向量a=（l』），6=（1,a）,其中。為實(shí)數(shù)，。點(diǎn)為原點(diǎn)，當(dāng)此兩

向量夾角在（0,節(jié)）變動(dòng)時(shí)，a的取值范圍是（）

B.（坐,?。?/p>

A.（0,1）

C.（坐，1）U（1,?。?/p>

D.（1,小）

即時(shí)鞏固〉g

J\shigonggu

一、選擇題

1.下列說法正確的是（）

A.單位向量都相等B.若aWb,則同并步|

C.若⑷=網(wǎng),則a〃bD.若|舊步|,則aWB

2.若。是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足（病+沆＞（無一以）=0,則△ABC一定

是（）

A.等邊三角形B,等腰直角三角形

C.直角三角形D.斜三角形

3.點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量。=（4,一3）（即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與。相同，

且每秒移動(dòng)的距離為8個(gè)單位）.設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-10,10）,則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（）

A.（-2,4）B.（-30,25）

C.（10,-5）D.（5,-10）

二、填空題

4.已知直角梯形ABC。中，AD//BC,ZADC=90°,AO