人教版高中數(shù)學(xué)必修二第4 章圓與方程4 1 圓的方程

人教版高中數(shù)學(xué)必修二第4章圓與方程

4.1圓的方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征.(重點)

2.能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(重點、難點)

3.掌握點與圓的位置關(guān)系.(易錯點)

【要點梳理夯實基礎(chǔ)】

知識點1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

閱讀教材P118?P“9第1行的內(nèi)容，完成下列問題.

1.以C(a,切為圓心，，0>0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(》一4)2+(丫一1)2=戶.

2.以原點為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+y2=戶.

［思考辨析學(xué)練結(jié)合］

判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)圓心位置和圓的半徑確定，圓就惟一確定.()

(2)方程(X—4)2+。―/?)2=m2一定表示圓.()

(3)圓。+2)2+(卜+3)2=9的圓心坐標(biāo)是(2,3),半徑是9.()

［解析］(1)正確.確定圓的幾何要素就是圓心和半徑.

(2)錯誤.當(dāng)機(jī)=0時，不表示圓.

(3)錯誤.圓(X+2)2+0+3)2=9的圓心為(一2,-3),半徑為3.

［答案］(1)V(2)X(3)X

知識點2點與圓的位置關(guān)系

閱讀教材P“9”例1”及“探究”部分，完成下列問題.

設(shè)點尸到圓心的距離為d,圓的半徑為r,則點與圓的位置關(guān)系對應(yīng)如下：

位置關(guān)系點在圓外點在圓上點在圓內(nèi)

d與r的大小關(guān)系d>rd=rd<r

［思考辨析學(xué)練結(jié)合］

已知圓的方程是(x—2>+(y—3)2=4,則點P(3,2)()

A.是圓心B.在圓上

C.在圓內(nèi)D.在圓外

［解析］圓心M(2,3),半徑r=2,.|PM7(3—2)2+(2—3J=正Vr,.?.點

P在圓內(nèi).

「答案］C

【合作探究析疑解難】

考點1直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

［典例1］(1)圓心在y軸上，半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程為()

A./+。-2)2=1B._?+°'+2)2=1

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.9+0—3)2=1

(2)已知一圓的圓心為點(2,-3),一條直徑的兩個端點分別在x軸和y軸上,

則此圓的方程是()

A.(x—2)2+(y+3)2=13

B.(x+2)2+(y—3/=13

C.(%—2)2+。+3)2=52

D.(x+2)2+(y—3)2=52

［點撥］(1)設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式求圓心坐標(biāo)，再寫出圓的

標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出直徑兩端點坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑，再寫出圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［解答］(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(0,b),

則由題意知年(0—1)2+3—2)2=1,解得b=2.

故圓的方程為9+。-2)2=1.

(2)設(shè)此直徑兩端點分別為(a,0),(0,b),由于圓心坐標(biāo)為(2,-3),所以a

=4,b=~6,所以圓的半徑.=。(4—2)2+(0+3)2=，石,從而所求圓的方程是

(x—2)2+(y+3)2=13.

［答案］(1)A(2)A

方法總結(jié)］

確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，因此用直接法求圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一般先從確定圓的兩個要素入手，即首先求出圓心坐

標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［跟蹤練習(xí)］

1.以點4—5,4)為圓心，且與x軸相切的圓的方程是()

A.。+5)2+。-4)2=25

B.(x—5>+(y+4)2=16

C.(x+5y+(y—4戶=16

D.。一5)2+。+4)2=25

［解析］因該圓與x軸相切，則圓的半徑r等于圓心縱坐標(biāo)的絕對值，所以

圓的方程為(x+5)2+(y—4)2=16.

［答案］C

考點2待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

［典例2］求圓心在直線》一2y一3=0上，且過點A(2,-3),B(—2,—5)的

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［分析］解答本題可以先根據(jù)所給條件確定圓心和半徑，再寫方程，也可以

設(shè)出方程用待定系數(shù)法求解，也可以利用幾何性質(zhì)求出圓心和半徑.

［解答］法一：設(shè)點。為圓心，

?.?點C在直線：》一2>—3=0上，

可設(shè)點C的坐標(biāo)為(2a+3,a).

又?.?該圓經(jīng)過A,B兩點、,：.\CA\=\CB\.

.??―(2a+3—2)2+(a+3)2=

?\J(2a+3+2)2+(a+5)2,

解得。=一2.

...圓心坐標(biāo)為。(一1,-2),半徑廠=也.

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x+1)2+3+2)2=10.

法二：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(X—。)2+(廠6)2=,，

f(2—a)2+(—3—￡?)2=r,

由條件知《(-2—a)2+(—5—b)2=t2,

[a-2h~3=Q,

|a=-l,

解得《。=-2,

lr=10.

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x+1)2+3+2)2=10.

—3—(-5)1

法三：線段的中點為(0,-4),kAB=1W

所以弦AB的垂直平分線的斜率k=—2,

所以線段A8的垂直平分線的方程為：

y+4=—2x,

即y=—2x~4.

［v=-2x~4,

故圓心是直線y=-2x—4與直線x—2y—3=0的交點，由J

x—2y—3=0,

x=~l,

得＜

J=-2.

即圓心為(一1,-2),圓的半徑為

r=y/(~1-2)2+(-2+3)2=Vi0,

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+(y+2)2=10.

方法總結(jié)］

1.待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟

設(shè)方程(。一。)2+。一力)2=產(chǎn))一列方程組(由已知條件，建立關(guān)于

a、/?、r的方程組)一解方程組(解方程組，求出。、氏r)一得方程(將

久從，代人所設(shè)方程，得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程).

2.注意利用圓的有關(guān)幾何性質(zhì)，可使問題計算簡單.

［跟蹤練習(xí)］

2.求圓心在x軸上，且過點A(5,2)和8(3,-2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［解］法一設(shè)圓的方程為

(x-a)2+(y—b)2=r2(r>0).

(b=0,Ia=4,

則《(5—。)2+(2—匕)2=/，解得，人=0,

1(3—a)2+(—2—/?)2=^,lr=V5.

所以所求圓的方程為(x—4)2+尸=5.

法二因為圓過A(5,2),8(3,一2)兩點,

所以圓心一定在線段AB的中垂線上.

AB中垂線的方程為尸一g(x—4),

令y=0,得x=4.即圓心坐標(biāo)為C(4,0),

所以r=1047(5—4)2+(2-0)2=小.

所以所求圓的方程為(x—4>+產(chǎn)=5.

考點3與圓有關(guān)的最值問題

探究1若如，_y)為圓ca+iy+vV上任意一點，請求出如，y)到原點

的距離的最大值和最小值.

［分析］原點到圓心q-i,o)的距離d=i,圓的半徑為故圓上的點到坐

.13II

標(biāo)原點的最大距離為1+］=1，最小距離為1—

探究2若P(x,y)是圓C(x—3)2+9=4上任意一點，請求出P(x,y)到直線

x-y+l=0的距離的最大值和最小值.

［分析］P(x,y)是圓。上的任意一點，而圓C的半徑為2,圓心C(3,0),圓

13—0+II

心C到直線x~y+1=0的距離4=,,與=2啦,所以點P到直線x~y+1

^/l2+(—1)-

=0的距離的最大值為2陋+2,最小值為272-2.

［典例3］已知x,y滿足f+(y+4)2=4,求叱%+l>+(y+Ip的最大值與最

小值.

［分析］X,y滿足/+(y+4)2=4,即點P(x,y)是圓上的點.而

"(龍+1)2+0+1)2表示點Q,)，)與點(一1,—1)的距離.故此題可以轉(zhuǎn)化為求圓“2

+。+4)2=4上的點與點(一1,—1)的距離的最值問題.

［解答］因為點P(x,y)是圓r2+(y+4)2=4上的任意一點，圓心C(0,-4),

半徑r=2,

因此"+1)2+(y+Ip表示點4(-1,一1)與該圓上點的距離.

因為依。|2=(—1)2+(—1+4)2>4,所以點4一1,一1)在圓外.如圖所示.

而HQ=^(0+1)2+(-4+1)2=V10,

所以"+1)2+(y+l)2的最大值為|AC|+r=V10+2,最小值為—r=V10

［思路總結(jié)］

1.本題將最值轉(zhuǎn)化為線段長度問題，從而使問題得以順利解決.充分

體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的強(qiáng)大作用.

2.涉及與圓有關(guān)的最值，可借助圖形性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合求解.一般

地：①女=曰的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；②形如t

x-a

=以+⑥的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；③形如m=(X—

。)2+。一切2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點間的距離的平方的最值問題等.

［跟蹤練習(xí)］

3.已知圓C：(x-3)2+(y-4)2=l,點A(0,一1),5(0,1),設(shè)尸是圓C上

的動點，令d=|鞏F+IP3F，求d的最大值及最小值.

圖4-1-1

［解］設(shè)P{x,y),

則d=|%|2+|PBF=2(f+y2)+2.

V|CO|2=32+42=25,(5—1yWf+VW(5+1產(chǎn)

即16勺^+9至36.."的最小值為2x16+2=34,最大值為2x36+2=74.

【學(xué)習(xí)檢測鞏固提高】

1.圓心是(4,-1),且過點(5,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x—4)2+0+1)2=10

B.(尤+4)2+0—1)2=10

C.(x—4)2+(y+l)2=100

D.(x-4)2+(y+l)2=V10

［解析］設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(》-4)2+。+1)2=凡把點(5,2)代入可得戶=10.

［答案］A

2.圓f+y2—Zr—8y+13=0的圓心到直線or+y—1=0的距離為1,則a=

()

43

A.—B.—aC.y/r3D.2

［解析］配方得(x—ly+Q—4>=4,

...圓心為C(l,4).

由條件知會目=1.解之得a=—玄

7"+13

［答案］A

3.經(jīng)過圓C：(x+l)2+(y—2)2=4的圓心且斜率為1的直線方程為.

［解析］圓。的圓心為(一1,2),又所求直線的斜率為1,故由點斜式得y—2=x

+1,即x-y+3=0.

［答案］x—y+3=0

4.以點(2,—1)為圓心且與直線x+y=6相切的圓的方程是.

［解析］將直線x+y=6化為x+y-6=0,圓的半徑/■"一「『」=下,所以圓

-W+142

的方程為(x—2)2+3+1)2=號25.

［答案］(x-2)2+(y+l)2=y

5.圓過點A(l,—2)、8(—1,4),求

(1)周長最小的圓的方程；

(2)圓心在直線2x-y—4=0上的圓的方程.

[解析](1)當(dāng)為直徑時，過A、B的圓的半徑最小，從而周長最小.即A3中

點(0,1)為圓心，半徑「=3依5|=^/而.則圓的方程為：/+。-1)2=10.

(2)解法一：AB的斜率為k=-3,則AB的垂直平分線的方程是＞一1=%.

即x-3y+3=0

\x_3y+3=O[x=3

⑵一y—4=0ly=2

即圓心坐標(biāo)是C(3,2).

r=h4C|=^/(3-l)2+(2+2)2=2小.

，圓的方程是(x—3y+(y—2)2=20.

解法二：待定系數(shù)法

設(shè)圓的方程為：(x—a)2+(y—/?)2=戶.

f(l—?)2+(—2—^)2=^(a=3

貝，1—a＞+(4—。＞=戶，16=2.

[2a-b-4=0口=20

二圓的方程為：(x—3)2+(y—2)2=20.

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4.1圓的方程

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課時檢測

一、選擇題

1.點P(〃?,5)與圓^+/=24的位置關(guān)系是()

A.在圓外B.在圓內(nèi)

C.在圓上D.不確定

［解析］?.加2+25>24,

.?.點P在圓外.

「答案］A

2.已知圓的方程是(x—2)2+(y—3)2=4,則點P(3,2)滿足()

A.是圓心B.在圓上C.在圓內(nèi)D.在圓外

［解析］因為(3—2>+(2—3)2=2<4,

故點P(3,2)在圓內(nèi).

「答案］C

3.以點—1)為圓心，半徑為(的圓的方程為()

?+3+l)2=f18.1+02+3+1)2=(

C.^+1j2+(y-l)2=1D.W)+&_1)2=器

［解析］由圓的幾何要素知A正確.

「答案］A

4.圓(x+l)2+(y—2)2=4的圓心坐標(biāo)和半徑分別為()

A.(-1,2),2B.(1,-2),2

C.(-1,2),4D.(1,-2),4

［解析］圓(x+l)2+(y—2)2=4的圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑r=2.

「答案］A

5.若圓。與圓(x+2)2+(y—1>=1關(guān)于原點對稱，則圓C的方程是()

A.(%—2)2+0+1)2=1B.(x-2)2+(y-l)2=l

C.(x-l)2+(y+2)2=lD.(x+l)2+(y+2)2=l

［解析］\.點P(x,y)關(guān)于原點的對稱點為尸'(-x,-y),

...將一工，—y代入。C的方程得(一尤+2)2+(—y—l)2=l.

即(x—2)2+(y+l)2=l.

［答案］A

6.若尸(2,—1)為圓1)2+尸=25的弦A8的中點，則直線AB的方程是()

A.x—y—3=0B.2x+y—3=0

C.x+y-l=0D.2%一y—5=0

［解析］,點P(2,—1)為弦AB的中點，又弦A8的垂直平分線過圓心(1,0),

二弦的垂直平分線的斜率左=窄蕓=-1,

二直線AB的斜率/=1,

故直線A8的方程為y—(—l)=x—2,即x—y—3=0.

［答案］A

7?點%由與圓/+產(chǎn)3的位置關(guān)系是()

A.在圓上B.在圓內(nèi)C.在圓外D.不能確定

［解析］將點(3,書的坐標(biāo)代入圓的方程可知g)2+(坐)2=1＞；.

二點在圓外.

［答案］c

8.若點(2a,a—1)在圓/+(y+l)2=5的內(nèi)部，則a的取值范圍是()

A.(—8,1］B.(-1,1)C.(2,5)D.(1,+8)

［解析］點(2a,a—1)在圓f+&+l)2=5的內(nèi)部，則Qap+Hvs,

解得一1＜a＜1.

［答案］B

9.若點P(l,l)為圓(了一3)2十尸=9的弦MN的中點，則弦MN所在直線方程為

(D)

A.2x+y—3=0B.x—2y+1=0

C.x+2y—3=0D.2x—y—1=0

［解析］圓心C(3,0),kPC=又點P是弦MN的中點，.,.PCLMN,

，kMNkpc=~1,

.?MMN=2,...弦MN所在直線方程為＞一1=2(%—1),即2》一＞一1=0.

「答案］D

10.點M在圓(x—5)2+。一3)2=9上，則點M到直線3x+4y—2=0的最短距離

為()

A.9B.8C.5D.2

［解析］圓心(5,3)到直線3x+4廠2=0的距離為d=BX靠得二^=5.又r=3,

則M到直線的最短距離為5-3=2.

［答案］D

二'填空題

11.若圓C的半徑為1,其圓心與點(1,0)關(guān)于直線y=x對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方

程為.

［解析］由題意知圓。的圓心為(0,1),半徑為1,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

—1)2=1.

［答案］1)2=1

12.圓心既在直線x—y=o上，又在直線x+y—4=0上，且經(jīng)過原點的圓的方

程是.

x—y=0x=2

［解析］由x+y-4=0，得

J=2

二圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑r=^22+22=272,

故所求圓的方程為(無一2)2+。-2)2=8.

［答案］(x—2)2+。-2)2=8

13.已知圓C經(jīng)過A(5,l)、5(1,3)兩點,圓心在x軸上,則C的方程為

［解析］設(shè)所求圓。的方程為。一。)2+尸=戶，

把所給兩點坐標(biāo)代入方程得

(5—〃)2+12=3

(一)2+33，解得|〃=2

r=10'

所以所求圓C的方程為(x—2)2+尸=10.

［答案］(X—2)2+y2=10

14.以直線2x+y—4=0與兩坐標(biāo)軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方

程為.

［解析］令x=0得y=4,令y=0得x=2,

.?.直線與兩軸交點坐標(biāo)為A(0,4)和8(2,0),以A為圓心過B的圓方程為九2

+0-4)2=20,

以8為圓心過A的圓方程為(%—2)2+寸=20.

［答案］f+(y-4)2=20或(x—2)2+尸=20

三'解答題

15.已知圓C的半徑為，萬，圓心在直線x-y—2=0上，且過點(一2,1),求圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程.

［解］,圓心在直線》一＞一2=0上，r=/萬，...設(shè)圓心為『一2)(/為參數(shù)).

.?.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。一杼+