高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)系列導(dǎo)學(xué)案

數(shù)列

考綱導(dǎo)讀

1、理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項公式的意義.了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能

根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.

2、理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和的公式，并能解決簡單的實際

問題.

3、理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，并能解決簡單的實際問

高考導(dǎo)航

縱觀近幾年高考試題，對數(shù)列的考查已從最低谷走出，估計以后幾年對數(shù)列的考查的比重仍

不會減小，等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式的應(yīng)用是必考內(nèi)容，數(shù)

列與函數(shù)、三角、解析幾何、組合數(shù)的綜合應(yīng)用問題是命題熱點.

從解題思想方法的規(guī)律著眼，主要有：①方程思想的應(yīng)用，利用公式列方程（組），例如等差、

等比數(shù)列中的"知三求二"問題；②函數(shù)思想方法的應(yīng)用、圖像、單調(diào)性、最值等問題；③待定

系數(shù)法、分類討論等方法的應(yīng)用.

第1課時數(shù)列的概念

基礎(chǔ)過關(guān)

1.數(shù)列的概念：數(shù)列是按一定的順序排列的一列數(shù)，在函數(shù)意義下，數(shù)列是定義域為正整數(shù)

N*或其子集｛1,2,3,......n｝的函數(shù)f(n).數(shù)列的一般形式為ax,a2,an..?簡記為｛aj,其

中a。是數(shù)列｛aj的第項.

2.數(shù)列的通項公式

一個數(shù)列｛aj的與之間的函數(shù)關(guān)系，如果可用一個公式an=f(n)來表示，我們就把這個公式叫做

這個數(shù)列的通項公式.

3.在數(shù)列｛a。｝中，前n項和Sn與通項a。的關(guān)系為：

fn=l

4.求數(shù)列的通項公式的其它方法

⑴公式法：等差數(shù)列與等比數(shù)列采用首項與公差(公比)確定的方法.

⑵觀察歸納法：先觀察哪些因素隨項數(shù)n的變化而變化，哪些因素不變；初步歸納出公式，

再取n的特珠值進(jìn)行檢驗，最后用數(shù)學(xué)歸納法對歸納出的結(jié)果加以證明.

⑶遞推關(guān)系法：先觀察數(shù)列相鄰項間的遞推關(guān)系，將它們一般化，得到的數(shù)列普遍的遞推關(guān)

系，再通過代數(shù)方法由遞推關(guān)系求出通項公式.

典型例題

例L根據(jù)下面各數(shù)列的前n項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式.

⑴—24_816

\---，----，----，----

1x33x55x77x9

(2)1,2,6,13,23,36,

⑶1,1,2,2,3,3,

解:(Da=(-l)n2n—l

n(2n-l)(2n+l)

(2)an=-7n+6)

==

C：823i—■1?83石2=4,23=7,35^410,...f3n-1-■13(n2)3n5.各'

式相加得

為=1+口+4+7+10+-+(3〃-5)]

=1+1(M-1)(377-4)

=1(3M2-7/7+6)

⑶將1,1,2,2,3,3,...變形為

222

4+05+16+0

22'…’

,1+(T嚴(yán)

n

22〃+1+(-1嚴(yán)

2―4

變式訓(xùn)練1.某數(shù)列同｝的前四項為o,72,0,6,則以下各式：

①an=^^[l+(—l)n]②an=+

⑨a=第("為偶數(shù))

⑷加一。((〃為奇數(shù))

其中可作為｛aj的通項公式的是()

A.①B.①②

C.②③D.①②③

解：D

例2.已知數(shù)列同｝的前n項和Sn，求通項.

⑴Sn=3n—2

2

⑵Sn=n+3n+l

解⑴an=Sn—s『1(n>2)ai=Si

解得：an=[2-3"T(M>2)

[1(n=l)

(2)an=P(E

[2n+2(n>2)

變式訓(xùn)練2：已知數(shù)列同｝的前n項的和Sn滿足關(guān)系式lg(Sn—l)=n,(n￡N*),則數(shù)列同｝的通

項公式為.

nnn

解：lg(5?-l)=n=>S?-1=10=>S?=10+1,當(dāng)n=l時，ai=Si=ll；當(dāng)n22時，an=Sn—Sn-i=10

115=1)

-10n-1=9-10n-1.故an=

9?10〃T(n>2)

例3.根據(jù)下面數(shù)列｛a0｝的首項和遞推關(guān)系，探求其通項公式.

-

⑴81—■1?an—2an—1H1(nN2)

⑵期=1,an=*T+3"T(n>2)

⑶a[=l,an=—―-an_x(n>2)

nn

解：⑴an=2an-i+l=>(an+l)=2(an-i+D(ri22),ai+l=2.故：ai+l=2,/.an=2—1.

=n1ri23

(2)an(an-an-i)+(an-i—an-2)+...+(33—a2)+(a2-a1)+ai—3+3+...+3+3

+1=；(3"-1).

⑶..?區(qū)=

an-\?

?口一anan-lan-2a2n~\n~2

a?-lan-2an-3?1"n-]

n-31i1

.................]=—

n—12n

變式訓(xùn)練3.已知數(shù)列｛aj中，ai=l,an+1=^(neN*),求該數(shù)列的通項公式.

%+2

解：方法一：由an+i=M得

?！?2

一工=_L,；.｛_L｝是以_L=1為首項，工為公差的等差數(shù)列.

an+lan2/2

=

??—l+(n-1)-an=

an2n+1

方法二：求出前5項，歸納猜想出加=三，然后用數(shù)學(xué)歸納證明.

n+1

例4.已知函數(shù)"x)=2X—2一x,數(shù)列相己滿足了(log?%)=—2n,求數(shù)列｛aj通項公式.

0g

解：/(log24)=212%_2一|0g2%=小

/

c1rl------—2n|^61n=d/+1—n

an

變式訓(xùn)練4.知數(shù)列氣戶的首項ai=5.前n項和為Sn且Sn+i=2Sn+n+5(n《N*).

⑴證明數(shù)列a+1｝是等比數(shù)列；

2n

(2)4"f(x)=aix+a2x+...+anx,求函數(shù)f(x)在點x=l處導(dǎo)數(shù)f】⑴.

解：⑴由已知Sn+i=2Sn+n+5,「?n22時，Sn—2Sn-i+n+4,兩式相減，得：

—

Sn+1Sn=2(Sn—Sn-1)+1,即an+i=2an+l

從而加+工+l=2(dn+1)

當(dāng)n=l時，S2=2SI+1+5,ai+a2=2ai+6,

5^.a1—■5,??32~11

.?.&±史=2,即｛an+l｝是以ai+l=6為首項，2為公比的等比數(shù)列.

ctn+1

(2)由⑴知a。=3x2'—1

2n

f(x)=aix+a2X+...+anx

n-1

:.f'(x)=ai+2a2x+...+nanx

從而/'(1)=ai+2a2+...+nan

=(3x2-l)+2(3x22-l)+...+n(3x2n-l)

=3(2+2x22+...+nx2n)—(1+2+…+n)

=3[nx2n+1-(2+...+2n)]-

=3(n-l)-2n+1-"(?D+6

歸納小結(jié)

1.根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出它的一個通項公式，關(guān)鍵在于找出這些項與項數(shù)之間的關(guān)系，常

用的方法有觀察法、通項法，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列法等.

2.由Sn求an時，用公式an=Sn—Sn-1要注意哈2這個條件，a1應(yīng)由函=$1來確定，最后看二

者能否統(tǒng)一.

3.由遞推公式求通項公式的常見形式有：an+i—an=f(n),=f(n),an+i=pan+q,分別用

an

累加法、累乘法、迭代法(或換元法).

第2課時等差數(shù)列

基礎(chǔ)過關(guān)

1.等差數(shù)列的定義：一=d(d為常數(shù)).

2.等差數(shù)列的通項公式：

(1)an=ai+xcl

=

(2)8n3mxd

3.等差數(shù)列的前n項和公式：

Sn==.

4.等差中項：如果a、b、c成等差數(shù)列，則b叫做a與c的等差中項，即b=.

5.數(shù)列同｝是等差數(shù)列的兩個充要條件是：

⑴數(shù)列｛aj的通項公式可寫成an=pn+q(p,qGR)

2

⑵數(shù)列｛a。｝的前n項和公式可寫成Sn=an+bn

(a,bGR)

6.等差數(shù)列｛aj的兩個重要性質(zhì)：

⑴m,n,p,qGN*,若m+n=p+q,則.

⑵數(shù)列同｝的前n項和為Sn，S2n-Sn,53n—S2n成數(shù)列.

典型例題

例1.在等差數(shù)列｛aj中,

(1)已知ai5=10，345=90,求aeo；

(2)已知Si2=84,520=460,求S28；

⑶已知a6=10,Ss=5,求ag和S8.

82

a]5=。1+14d—10

解：(1)方法一:

々45=41+441=90一

3

,?360=3i-l-59d—130.

aa=

方法二：d=^5~\5-|,由an=am+(n—m)d^>a60a45+(60—45)d=90+15x-1=130.

n—m45-15

2

(2)不妨設(shè)Sn=An+Bn,

122A+12B=84(A=2

202A+20B=460=-17

e2

..Sn=2n-17n

2

S28=2X28—17x28=1092

(3)***S6=Ss+a6=5+10=15,

又S=6ml+%)=6(。1+10)

622

.,-15=6(fli+10)gpai=—5

而￡1=^=3

6-1

??麗二加+2d=16

S8(%+g)=44

2

變式訓(xùn)練1.在等差數(shù)列同｝中，a5=3,%=—2,則a4+a5+...+aio=.

解：***d=ae—35=—5,

24+25+…+aio=7(“4；。10)-7(4+2d)=-49

2

例2.已知數(shù)列同｝滿足ai=2a,an=2a-—(n>2).其中a是不為。的常數(shù)，令腦=，

a

n-lan-a

⑴求證：數(shù)列｛3｝是等差數(shù)列.

⑵求數(shù)列｛aj的通項公式.

2

解：:⑴an=2a--^(n>2)

an-l

...bn='=—==「T、(n>2)

a-aaa(Q〃_]-a)

na----

an-1

bn-bn-^—--------=-(n>2)

a｛an_i—a)an_^—aa

：.數(shù)列｛bQ是公差為-的等差數(shù)列.

a

Q]—QCl

故由⑴得：bn=—+(n—1)x1=—

aaa

即：'=2得：an=a(l+i)

an-aan

變式訓(xùn)練2.已知公比為3的等比數(shù)列也｝與數(shù)列｛a“｝滿足a=3a",neN*,且q=1,

(1)判斷｛a/是何種數(shù)列，并給出證明；

(2)若C,=」一，求數(shù)列｛c“｝的前n項和

b3%

刀+1_______2。"+1a

解：1)~"=3,/.an+l-an=l,即｛〃〃｝為等差數(shù)列。

bn~3%一

c11

(2)c=------=—i__1一〃

"a“amaa+1

n%%氏+1n+t?

例3.已知同｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列同｝的前n項和,已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列｛2｝前n

n

項和。求

解：設(shè)同｝首項為由公差為d,由

S[=7al+——―d=7

2oQ]=-2

d=\

515=15q+"；14d=75

??.s產(chǎn)：』型」〃

22n22

2

?7=-3/.Tn=--n-—n

144

兩等差數(shù)列｛a。｝、｛bn｝的前n項和的比2=網(wǎng)生，則&的值是()

變式訓(xùn)練3.

S2〃+7b

7D48、23

D.------D.——

2515

,.9

生_2。5_(%十°9)5_S9_48

解：B解析:

例4.美國某公司給員工加工資有兩個方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年結(jié)束時

加300美元.問：

⑴從第幾年開始，第二種方案比第一種方案總共加的工資多？

⑵如果在該公司干10年，問選擇第二種方案比選擇第一種方案多加工資多少美元？

⑶如果第二種方案中每半年加300美元改為每半年加a美元.

問a取何值時，總是選擇第二種方案比第一種方案多加工資？

解：⑴設(shè)工作年數(shù)為n(nGN*),第一種方案總共加的工資為Si，第二種方案總共加的工資為

S2.則:

S1=1000X1+1000x2+1000x3+...+1000n

=500(n+l)n

S2=300xl+300X2+300x3+...+300x2n

=300(2n+l)n

由S2>S1，即：300(2n+l)n>500(n+l)n

解得:n>2

從第3年開始，第二種方案比第一種方案總共加的工資多.

⑵當(dāng)n=10時，由⑴得:51=500x10x11=55000

$2=300x10x21=63000

S2-SI=8000

在該公司干10年，選第二種方案比選第一種方案多加工資8000美元.

⑶若第二種方案中的300美元改成a美元.

則S；=an(2n+1)nGN*

...a>5005+D=25。+衛(wèi)2250+空

2n+l2n+l3

1000

變式訓(xùn)練4.假設(shè)某市2004年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房.預(yù)計在

今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外，每年新建住房中，中低價房

的面積均比上一年增加50萬平方米.那么，到哪一年底，

(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方

米？

(2)當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

解：⑴設(shè)中低價房面積形成數(shù)列同｝,由題意可知同｝是等差數(shù)列，

〃(幾—1)

其中則k2

ai=250,d=50,Sn=250n+--~-x50=25n+225n,

2

令25n2+225n“750,即〃+9419020,而n是正整數(shù)，

到2013年底,該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米.

⑵設(shè)新建住房面積形成數(shù)列｛bj,由題意可知｛bj是等比數(shù)列，

其中則n-1

bi=400,q=L08,bn=400(1.08)-0.85.

由題意可知有nl

an>0.853,250+(n-l)-50>400.(1.08)-0.85.

由計算器解得滿足上述不等式的最小正整數(shù)n=6.

到2009年底，當(dāng)年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.

歸納小結(jié)

1.欲證｛aj為等差數(shù)列，最常見的做法是證明：an+1一an=d(d是一個與n無關(guān)的常數(shù)).

是等差數(shù)列的最關(guān)鍵的基本量，通常是先求出再求其他的量，但有時運(yùn)算較

2.ai,da1，d,

繁.

3.對等差數(shù)列｛aj的最后若干項的求和，可以把數(shù)列各項的順序顛倒，看成公差為一d的等差

數(shù)列進(jìn)行求和.

4.遇到與等差數(shù)列有關(guān)的實際問題，須弄清是求項的問題還是求和的問題.

________第3課時等比數(shù)列

基礎(chǔ)過關(guān)

1.等比數(shù)列的定義：H=q（q為不等于零的常數(shù)）.

2.等比數(shù)列的通項公式：

⑴an=adr（2）an=amq『m

3.等比數(shù)列的前n項和公式：

c_f_（?。?/p>

Sn=1（E

4.等比中項：如果a,b,c成等比數(shù)列，那么b叫做a與c的等比中項，即b?=（或b=）.

5.等比數(shù)列｛aj的幾個重要性質(zhì)：

（1）m,n,p,qGN*,若m+n=p+q,貝

⑵Sn是等比數(shù)列｛aj的前n項和且SnHO,則Sn，S2n-Sn,S3n—s2n成數(shù)列.

⑶若等比數(shù)列｛aj的前n項和Sn滿足｛Sn｝是等差數(shù)列，則同｝的公比q=.

典型例題

例1.已知等比數(shù)列｛aj中，ai+an=66,a2an-i=128,Sn=126,求項數(shù)n和公比q的值.

解：:｛an｝是等比數(shù)列，

=

??ai-ana2-an-i?

或〃1=64

解得%=2

128。戶64一an=2

若ai=2,an=64,則2?qL】=64

qn=32q

由Sn=/(j〃)=2(1-32056,

解得q=2,于是n=6

若電=64,加=2,則64qL1=2

幽一急）

由Sn=々式］-/）

=126

i—q

解得q=；，n=6

變式訓(xùn)練L已知等比數(shù)列同｝中，由迫9=64,a3+a7=20,則an=.

解：64或1

由"1?丹=64=Ja3a7=64

[+。7=201。3+〃7=20

2

n或1。3=心?.q2=!或q2=2,.?.ail=a7q,Aa"=64或au=l

例2.設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為q(q>0),它的前n項和為40,前2n項和為3280,且前n項中

數(shù)值最大項為27,求數(shù)列的第2n項.

“1(1-4")=40

1-?

解：若q=L則nai=40,2nai=3280矛盾，；.qwl.17

如?)=3280

i-q

兩式相除得：qn=81,q=l+2ai

又,"〉。，q>l,ai>0

A｛aj是遞增數(shù)列.

x81

an=27=aiqn1

1+2。］

解得ai=l,q=3,n=4

變式訓(xùn)練2.已知等比數(shù)列｛aj前n項和%=2"—1,｛a，｝前n項和為仆，求「的表達(dá)式.

解：⑴\)1+2322=0,「?公比q="=」

由2

又,「S4一$2=g，

將口=—；代入上式得ai=1,

n1=—n1

/.an=aiq(y)(nGN)

(2)an>—=(-L)nT±(L)4

1622

=>n<5

?,?原不等式的解為n=l或n=3或n=5.

例3.有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)

的和是16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,求這四個數(shù).

解：設(shè)這四個數(shù)為a—d,a,a+d,絲應(yīng)

a

,(a+d)2

依題意有：a-d+——=\6

a+a+d=12

解得:4=9

d=—6

???這四個數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.

變式訓(xùn)練3.設(shè)S“是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，S6=36,5?=324,5?_6=144(?>6),則〃等于()

A.15B.16C.17D.18

答案：Do解析：由S“=324,S“_6=144得%+。,1+%_2+4一3+%.4+%一5=180,再由

S6=326,q+a”=36,.,.Sn=，(?2—~=324,”=18。

例4.已知函數(shù)f(x)=(x—1)2,數(shù)列同｝是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列｛bn｝是公比為q的等比數(shù)

列(qxl),若ai=f(d—1),a3=f(d+l),bi=f(q—1),b3=f(q+l),

(1)求數(shù)列同｝,｛十｝的通項公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛品｝對任意的自然數(shù)n均有：幺+合+…+三=(〃+1)%+「求數(shù)列&｝前n項和S”

入b2bn

解：(1)ai~(d—2產(chǎn)，83—d2>83—ai=2d

即cP—(d—2)2=2d,解之得d=2

3

??31=0,8n—2(n1)

又bi=(q—2產(chǎn)，bs=q2,bj=biq2

即q2=(q—2『q?,解之得q=3

n-1

bj=1,bn=3

/,-1

(2)§■=("+l)an+l-na,=4"，cn=4〃-3

bn

Sn=C]+C2+C3+…+。

=4(lx3°+2x31+3x32+...+nx3n-1)

iSs；,=lx30+2x3z+3x32+...+nx3n-1

123n

3Sn=lx3+2x3+3x3+...+nx3

1(3"-1)

—2S“=1+3+32+33+…+3E—nx3"=-2--3n-n

nn

Sn=2n-3-3+l

變式訓(xùn)練4.已知等差數(shù)列｛aj的首項ai=L公差d>0,且第二項，第五項，第十四項分別是

等比數(shù)列｛bj的第二項，第三項，第四項.

⑴求數(shù)列同｝與｛bn｝的通項公式；

⑵設(shè)數(shù)列&｝對任意正整數(shù)n,均有幺+&+與+……+%=%,求C1+C2+C3+...+C2007的

仇劣仇壯

值.

2n-1

解：⑴由題意得(ai+d)(ai+13d)=(ai+4d)(d>0)解得d=2,.*.an=2n—1,bn=3.

⑵當(dāng)n=l時，c]=3當(dāng)n22時，?..冬=/用一4，；.0=「("=1)故g=2?31

bn""3%22)

220062007

:.cx+c2+...+c2mi=3+2X3+2X3+...+2X3=3

歸納小結(jié)

1.在等比數(shù)列的求和公式中，當(dāng)公比.1時，適用公式Sn=d?,且要注意n表示項數(shù);

1-4

當(dāng)q=l時，適用公式Sn=nai；若q的范圍未確定時，應(yīng)對q=l和cpl討論求和.

2.在等比數(shù)列中，若公比q>0且qxl時，可以用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性確定數(shù)列的最大項或最

小項.

3.若有四個數(shù)構(gòu)成的函數(shù)，前三個成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列時，關(guān)鍵是如何巧妙地設(shè)

這四個數(shù)，一般是設(shè)為X—d,X,x+d,幺"匚再依題意列出方程求X、d即可.

X

4.a1與q是等比數(shù)列｛a。｝中最活躍的兩個基本量.

第4課時等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

基礎(chǔ)過關(guān)

1.等差數(shù)列的常用性質(zhì)：

(1)m,n,p,rGN*,若m+n=p+r,則有.

⑵｛aj是等差數(shù)列，則｛akn｝(kWN*,k為常數(shù))是數(shù)列.

⑶Sn，S2n-Sn,S3n—S2n構(gòu)成數(shù)列.

2.在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，關(guān)鍵是找出某一項，使這一項及它前面的項皆取正(負(fù))

值或0,而它后面的各項皆取負(fù)(正)值.

(l)ai>0,d<0時，解不等式組9°可解得Sn達(dá)到最值時n的值.

4+i<u

⑵ai<0,d>0時，解不等式紈——可解得Sn達(dá)到最小值時n的值.

3.等比數(shù)列的常用性質(zhì)：

(1)m,n,p,r￡N*,若m+n=p+r,則有.

⑵｛aj是等比數(shù)列，則｛a3、｛'｝是數(shù)列.

an

⑶若SN0,則Sn，S2n-Sn,S3n—S2n構(gòu)成數(shù)歹！J.

典型例題

例L是否存在互不相等的三個實數(shù)a、b、c,使它們同時滿足以下三個條件:

①a+b+c=6

②a、b、c成等差數(shù)列.

③將a、b、c適當(dāng)排列后成等比數(shù)列.

解：設(shè)存在這樣的三位數(shù)a,b,c.

由a+b+c=6,2b=a+c得：b=2,a+c=4

①若b為等比中項，則ac=4,a=c=2與題設(shè)awe相矛盾.

②若a為等比中項，則a2=2c,則a=c=2(舍去)或a=—4,c=8.

③若c為等比中項，則c?=2a,解得c=a=2(舍去)或c=—4,a=8.

存在著滿足條件的三個數(shù)：一4,2,8或8,2,-4.

變式訓(xùn)練1.若a、b、c成等差數(shù)列，b、c、d成等比數(shù)列，1」,工成等差數(shù)列，則a、c、e成

cde

()

A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列

C.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列D.以上答案都不是

答案：Bo解析：由26=a+c,由°?由2=工+、，

2a+cdee

2

—z—=----------,/.c=aef即a,c,e成等比數(shù)列。

cce

例2.已知公差大于0的等差數(shù)歹U｛工｝滿足a2a4+a4ae+a6a2=1,a2,游，說依次成等比數(shù)歹!J,

求數(shù)列｛aj的通項公式an.

解：設(shè)｛」■｝的公差為d(d>0),由a2,a,，as成等比數(shù)列可知,，—,'也成等比數(shù)歹U,

Cl2

,\(±+3d)2=(—+d)(—+7d)

a1ax

化簡得d2=W,.?.'=<)

/a1

又a2a4+a4ae+a6a2=1化間為

,+上+'=—

ci2a2a4。6

=3,BP(—+d)(—+5d)=3

。2ai

2d?6d=3d=—,—=—

2/2

A—=—+(n-l)d=-

%ax2

?2

??a=-

nn

變式訓(xùn)練2.已知上,;二成等差數(shù)列，求證：型上,空二也成等差數(shù)列。

abcabc

解析：由成等差數(shù)列，則2=L+』,：.2ac=6(a+c),

abcbac

2222

.b+ca+b(b+c)'C+a{a+b)bc+c+a+abb(a+c)+?+c(Q+C>2(a+c)

acacacacacb

即處￡，”￡，業(yè)成等差數(shù)列。

abc

例3.已知4ABC中，三內(nèi)角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，邊a、b、c依次成等比數(shù)列.求證:

△ABC是等邊三角形.

解：由2B=A+C,且A+B+C=180。，B=60°,由a、b、c成等比數(shù)列，有b?=ac

a2+C1—b1a2+C1—ac1

COSDB=-----------------=-------------------=—

laclac2

得(a—c)2=0,Ja=c.'.△ABC為等邊三角形.

變式訓(xùn)練3,若互不相等的實數(shù)4、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，且

a+3b+c=\G,貝I。二()

A.4B.2C.-2D.-4

a+c=2b,a-—4,

答案：D.解析：依題意有/CM/.n\b=2,

a+3b+c=10.c=8.

例4,數(shù)列｛aj的刖n項和Sn，且由=1,an+i—ySn,n=l,2,3

求：⑴a?、a3>的值及｛a1的通項公式;

⑵22+34+35+…+a2n的值.

=

解析：(1)由即=1,an+i~yn1,2,3,得己2=gS]=；g,23=；(a1+a2)

=-,a=-S=-(ai+a+a)=—

943332327

n-2

由an+1—an=；(Sn—S『i)=；an(n22),得an+i=qan(n22),又a2=g,.'.an=1-(1)(n>2)

1n=l

，同}通項公式為an=.j_.(巴片2〃>2

⑵由⑴可知a2、a4、...a2n是首項為:，公比為(。產(chǎn)，項數(shù)為n的等比數(shù)列.

??a2+a4+ae+…+a2n=-x---—

3l-(j)2

=|[(1)2n-l]

4i9

變式訓(xùn)練4,設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項的和S〃=耳%―2向+§,〃=1,2,3

求首項％與通項?！∣

417c

解析：(I)q=S]=—q——x2?+—,解得：q=2

333

aa-2+2+1

%+1=Sn+l-Sn=~n+\~^n2("—2"M)nan+l+2"=4(a“+2”)

所以數(shù)列｛""+2"｝是公比為4的等比數(shù)列

所以：a“+2〃=(q+2i)x4〃T

得：%=4"-2"(其中n為正整數(shù))

歸納小結(jié)

1.在三個數(shù)成等差（或等比）時，可用等差（或等比）中項公式；在三個以上的數(shù)成等差（或

等比）時,可用性質(zhì)：m、n、p、rGN*,若m+n=p+r,貝!Jam+an=ap+ar（或am，an=ap-ar）

進(jìn)行解答.

2.若a、b、c成等差（或等比）數(shù)列，則有2b=a+c（或b?=ac）.

3.遇到與三角形相關(guān)的問題時，一般要注意運(yùn)用正弦定理（或余弦定理）及三角形內(nèi)角和等

于180。這一性質(zhì).

4.在涉及an與Sn相關(guān)式子中用S「1和Sn的關(guān)系表示an時應(yīng)該注意"n22"這個特點.

第5課時數(shù)列求和

基礎(chǔ)過關(guān)

求數(shù)列的前n項和，一般有下列幾種方法：

1.等差數(shù)列的前n項和公式：

Sn==-

2.等比數(shù)列的前n項和公式：

①當(dāng)q=l時，Sn=.

②當(dāng)q*l時，Sn=.

3.倒序相加法：將一個數(shù)列倒過來排列與原數(shù)列相加.主要用于倒序相加后對應(yīng)項之和有公

因子可提的數(shù)列求和.

4.錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.

5,裂項求和法：把一個數(shù)列分成幾個可直接求和的數(shù)列.

典型例題

lil...

例1.已知數(shù)列：1,1++++,求它的前n

i4,248j24

項的和Sn.

解：：an=l+；+：+......+擊

1---

產(chǎn)=2???an=2—白

1----

2

則原數(shù)列可以表示為:

(2-1)，22

前n項和吊=(2—1)+I2-—

2n—i+L[+...+

222

1--

n=2-21g

=2n2

-^-+2n-2

2〃一i

變式訓(xùn)練1.數(shù)列1±2±3！,4',…前n項的和為（）

24816

1n2+n1n2+n?

A.—+B.-------+-----+1

2〃22〃2

1n2+n1n2—n

c.----+D.--------：—\~

T22n+l2

〃)

答案:B。解析：S=l+2+3+4+H+-+—+_L=5+i+]__L

“2222"22"

11

例2.求Sn=11--+..H

1+21+2+31+2+3+…+〃

12

解：a

n1+2+34----\-nn(n+1)

=2(—'

nn+\

；?%=2(L；+；W+???+—)=急

變式訓(xùn)練2：數(shù)列｛an｝的通項公式是an=廠,—,若前n項之和為10,則項數(shù)n為()

y/n+yln+l

A.11B.99

C.120D.121

1

解：C.an=---=4n+i-4n,

y/n+J〃+l

==

?■Sn-J"+1-1,由+1—1—101??n+i11?

.,.n=ll

例3.設(shè)等差數(shù)列同｝的前n項和為Sn，且Sn=（巴＞尸（”N*）,bn=a『2＞求數(shù)列佃｝的前n

項和Tn.

解：取n=l,則a尸號）2

又Sn=可得.〃（4+%,）=（。“+1）2

Van^—l(n￡N*).*.an=2n—1

23n

.??Tn=l-2+3-2+5-2+......+(2n-l)-2①

234n+1

2Tn=l-2+3-2+5-2+......+(2n-l)-2(2)

①一②得：

345n+1n+1

-Tn=2+2+2+2+......+2-(2n-l)-2

=2+23^~1n~(2n-l)-2n+1=-6+(l-n)-2n+2

n+2

.,.Tn=6+（n-l）-2

變式訓(xùn)練3.設(shè)數(shù)列同｝的前n項和為Sn=2R｛bj為等比數(shù)列，且由=%,b2（a2-ai）=bi.

⑴求數(shù)列｛aj和｛bj通項公式.

⑵設(shè)cn=①，求數(shù)列｛Cn｝前n項和Tn.

bn

解：(1)當(dāng)n=l時ai=Si=2,當(dāng)nN2時，an=Sn—Sn-i=4n—2,故｛aj通項公式為an=4n—2,

即｛aj是ai=2,d=4的等差數(shù)列，設(shè)｛bj的公比為q,則biqd=bi，d=4,q=：,故3=

1=左

4/7-2

(2)VCn=-^-==(21)4"T

bn2

4〃一1

；.Tn=Ci+C2+...+Cn=l+3x4+5x42+…+(2n—1)4n1

23nnn

：.4Tn=1x4+3x4+5x4+...+(2n—3)4~+(2n-l)4

兩式相減3Tn=?(6"5)4"+5]

/.Tn=#(6〃-5)4"+5].

例4.求Sn=l!+2,2!+3,3!+...+n,n1.

解：an=n-n!=(n+l)!—n!

Sn=(n+1)!—l!=(n+l)!—1

變式訓(xùn)練4.以數(shù)列｛aj的任意相鄰兩項為坐標(biāo)的點Pn(an＞加+1)均在一次函數(shù)y=2x+k的圖象

上，數(shù)列｛、｝滿足條件:bn=an+i—an,且片0.

⑴求證：數(shù)列電｝為等比數(shù)列.

⑵設(shè)數(shù)列同｝、｛、｝的前n項和分別為Sn、Tn,若SG=T4,S5=-9,求k的值.

解：⑴由題意，an+i=2an+k

--

??bn~3n+i-an=2an+k-an—Sn!k

bn+i=an+i+k=2an+2k=2bn

???b#o,^i±L=2

b?

???｛bn｝是公比為2的等比數(shù)列.

⑵由⑴知an=bn—k

Vb=b-2n-1.,.T=^(1~f)=Z,(2"-l)

n1n1—21

Sn=ai+a2+...+an=(bi+b2+...+bn)-nk

n

=Tn—nk=bi(2—1)—nk

?,[S6=〃.f63仿一6左=15々

?[S5=-9*[31bi-5k=-9

解得：k=8

歸納小結(jié)

1.求和的基本思想是〃轉(zhuǎn)化〃.其一是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和，或者轉(zhuǎn)化為求自然數(shù)的

方塞和，從而可用基本求和公式；其二是消項，把較復(fù)雜的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項的

和.

2.對通項中含有(一1廠的數(shù)列，求前n項和時，應(yīng)注意討論n的奇偶性.

3.倒序相加和錯位相減法是課本中分別推導(dǎo)等差、等比數(shù)列前n項和用到的方法，在復(fù)習(xí)中

應(yīng)給予重視.

數(shù)列章節(jié)測試題

一、選擇題：

1.數(shù)列0,有,2應(yīng)，而，…，則2獨是該數(shù)列的()

A.第6項B.第7項C.第10項D.第H項

2.方程無2-6x+4=0的兩根的等比中項是()

A.3B.±2C.土屈D.2

3.已知等差數(shù)列｛4｝滿足。2+。4=4，?3+。5=10，則它的前10項的和S[0=()

A.138B.135C.95D.23

4、己知等比數(shù)列｛aj的前三項依次為。一1,?+1,a+4,則=

5.一個有限項的等差數(shù)列，前4項之和為40,最后4項之和是80,