高中數(shù)學：立體幾何截面問題的十大題型

高中數(shù)學：立體幾何截面問題的十大熱門題型

目錄

1.【題型一】做截面的基本功：補全截面方法...................................2

1.1.【典例分析】............................................................2

1.2.【提分秘籍】............................................................2

1.3.【變式演練】............................................................3

2.【題型二】截面形狀的判斷..................................................4

2.1.【典例分析】...........................................................4

2.2.【提分秘籍】...........................................................5

2.3.【變式演練】...........................................................5

3.【題型三】平行關系確定截面................................................7

3.1.【典例分析】...........................................................7

3.2.【提分秘籍】...........................................................7

3.3.【變式演練】...........................................................8

4.【題型四】垂直關系確定的截面.............................................9

4.1.【典例分析】...........................................................9

4.2.【提分秘籍】..........................................................10

4.3.【變式演練】..........................................................10

5.【題型五】求截面周長.....................................................12

5.1.【典例分析】..........................................................12

5.2.【提分秘籍】..........................................................13

5.3.【變式演練】..........................................................13

6.【題型六】求截面面積.....................................................15

6.1.【典例分析】..........................................................15

6.2.【提分秘籍】..........................................................15

6.3.【變式演練】..........................................................16

7.【題型七】球截面.........................................................17

7.1.【典例分析】..........................................................17

7.2.【提分秘籍】..........................................................18

7.3.【變式演練】..........................................................18

8.【題型八】截面分體積.....................................................20

8.1.【典例分析】..........................................................20

8.2.【提分秘籍】..........................................................20

第1頁共27頁

8.3.【變式演練】................................................21

9.【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）.................................22

9.1.【典例分析】.................................................22

9.2.【提分秘籍】.................................................22

9.3.【變式演練】................................................23

10.【題型十】截面最值..............................................25

10.1.【典例分析】................................................25

10.2.【提分秘籍】................................................25

10.3.【變式演練】................................................26

1.【題型一】做截面的基本功：補全截面方法

1.1.【典例分析】

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2,AD=3,點E、F分別是AB、AA1

的中點，點E、F、C1平面，直線A1D1平面=P,則直線BP與直線CD1所成

角的余弦值是

答案：B

解析：如圖，計算可得余弦值是

1.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律

截面訓練基礎：

模型：如下圖E、F是幾等分點，不影響作圖?？梢韵饶J為中點，等學

生完全理解了，再改成任意等分點

方法：兩點成線相交法或者平行法

特征：1、三點中，有兩點連線在表面上。本題如下圖是EF（這類型的關

鍵）；2、“第三點”是在外棱上，如C1,注意：此時合格C1點特殊，在于

它是幾何體頂點，實際上無論它在何處，只要在棱上就可以。

方法一：相交法，做法如圖

第2頁共27頁

方法二：平行線法。做法如圖

1.3.【變式演練】

1.如圖，在正方體中，M、N、P分別是棱、、BC的中點，則經過M、N、

P的平面與正方體相交形成的截面是一個()

A.三角形B.平面四邊形C.平面五邊形D.平面六邊形

【答案】D

【分析】

分別取、、的中點，連接、、、、、、、、、，先證明四點共面，再證明

平面，平面可得答案.

【詳解】

如圖，分別取、、的中點，連接.................，且M、N、P分別

是棱、、BC的中點，所以、，且，所以，即四點共面，因為，所以四邊形是

平行四邊形，所以，

又因為，得，且平面，平面，

所以平面，得平面，

因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，

又因為，得，又平面，平面，

所以平面，得平面，所以六點共面，

平面六邊形即為經過M、N、P與正方體相交形成的截面，

故選：D.

2.如圖，在正方體中，E是棱的中點，則過三點A、DI、E的截面過

()

A.AB中點B.BC中點C.CD中點D.BB1中點

【答案】B

【分析】

根據(jù)截面特點結合正方形結構性質求解.

【詳解】

取的中點，連接，，如圖，則，

第3頁共27頁

所以在截面上，故選：B

3.如圖正方體，棱長為1,P為中點，Q為線段上的動點，過A、P、Q的平

面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結論錯誤的是（）

A.當時，為四邊形B.當時，為等腰梯形

C.當時，為六邊形D.當時，的面積為

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意，依次討論各選項，作出相應的截面，再判斷即可.

【詳解】

解：當時，如下圖1,是四邊形，故A正確；

當時，如下圖2,為等腰梯形，B正確：

當時，如下圖3,是五邊形，C錯誤；

當時，Q與重合，取的中點F,連接，如下圖4,由正方體的性質易得，

且，截面為為菱形，其面積為，D正確.

故選：C

2.【題型二】截面形狀的判斷

2.1.【典例分析】

一個三棱錐的各棱長均相等，其內部有一個內切球，即球與三棱錐的各面

均相切（球在三棱錐的內部，且球與三棱錐的各面只有一個交點），過一條側

棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是（）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可知，該三棱錐為正四面體，內切球與各面相切于各個面的中

心，即可判斷出選項B正確.

第4頁共27頁

【詳解】

如圖所示：

因為三棱錐的各棱長均相等，所以該三棱錐為正四面體，內切球與各面相

切于各個面的中心，

即可知過一條側棱和對邊的中點作三棱錐的截面，所得截面圖形是.故

選：B.

2.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律公眾號《品數(shù)學》

一些容易出錯誤的地方

1,截面與幾何體表面相交，交線不會超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。

2.不會與同一個表面有兩條交線。

3.與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）

4,截面截內切球或者外接球時，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關系

2.3.【變式演練】

1.如圖，正四棱錐的高為12,,,分別為，的中點，過點，，的截面交于

點，截面將四棱錐分成上下兩個部分，規(guī)定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖

為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】

根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計算可知點投影位置，

即可得出答案.

【詳解】

研究平面DPB,設AC與BD的交點為0,BM與EF交點為N,

為的中點，為的中點，，，又因為，過點作，設，，，又，，

,，為4個格，為8個格，故選：C

2,用一個平面去截正方體，所得截面不可能是（）

第5頁共27頁

A.直角三角形B.直角梯形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)正方體的幾何特征，我們可分別畫出用一個平面去截正方體得到的幾

何體的圖形，然后逐一與四個答案中的圖形進行比照，即可判斷選項.

【詳解】

當截面為三角形時，可能出現(xiàn)正三角形，但不可能出現(xiàn)直角三角形；

截面為四邊形時，可能出現(xiàn)矩形，平行四邊形，等腰梯形，但不可能出現(xiàn)

直角梯形；

當截面為五邊形時，不可能出現(xiàn)正五邊形；

截面為六邊形時，可能出現(xiàn)正六邊形，

故選:ABC.

3.在正方體中，M為AB中點，N為BC中點，P為線段上一動點（不含

C）過M、N、P與正方體的截面記為，則下面三個判斷，其中正確判斷的序號

有.

①當P為中點時，截面為六邊形；②當時，截面為五邊形；

③當截面為四邊形時，它一定是等腰梯形；

【答案】①③.

【分析】

①延長交于，交于，延長交于，取的中點，連接交于，連接，結合圖形即

可判斷；

②延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時截面為五邊形，求出即可

判斷；

③當截面為四邊形時，點與點重合，判斷四邊形的形狀即可.

【詳解】

解：如圖①，延長交于，交于，延長交于，取的中點，連接交于，連接，

因為M為AB中點，N為BC中點，所以，同理，又因，

所以，同理，所以共面，此時六邊形為截面，

第6頁共27頁

所以截面為六邊形；故①正確；

如圖②，延長交于，交于，連接交于，連接交于，此時截面為五邊形

因為，所以，所以，即，

所以當時，截面為五邊形；故②錯誤；

當截面為四邊形時，點與點重合，如圖，由①得，，所以四邊形即為截

面，

設正方體的棱長為1,則，，所以，

所以四邊形是等腰梯形；故③正確.故答案為：①③.

3.【題型三】平行關系確定截面

3.1.【典例分析】

在三棱錐中，，截面與，都平行，則截面的周長等于（）

A.B.C.D.無法確定

【答案】A

【分析】

由線面平行的性質定理確定截面的形狀，再利用三角形相似的性質求截面

的周長.

【詳解】

設，因為平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四邊形為平行

四邊形，所以，.

因為，所以，，

所以四邊形的周長為.故選：A.

3.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律

平行關系確定的截面作圖，一般情況下，利用線線、線面、面面特別是線

面的平行性質定理推導。公眾號《品數(shù)學》

第7頁共27頁

3.3.【變式演練】

1.在正方體中，與平行，且過正方體三個頂點的截面是和

【答案】平面平面

【分析】

根據(jù)題意，結合圖形，得出與平行，且過正方體三個頂點的截面是平面，

平面.

【詳解】

解：在正方體中，與平行，且過正方體三個頂點的截面是平面，平面.

,,四邊形是平行四邊形；

,又平面，平面，平面；

同理平面.故答案為：平面，平面.

2.若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面a平行的

棱有（）

A.0條B.1條

C.2條D.4條

【答案】C

【分析】

由平行四邊形的性質有兩對邊平行且相等，再應用線面平行的判定可確定

線面平行，由線面平行的性質、判定即可知有幾條棱與平面a平行.

【詳解】

如下圖示，若平面a即為面為平行四邊形，即且，且，

又面，面，則面，而面，面面，

二，由線面平行判定易知：平面a；同理可得，易得平面a.

...該三棱錐與平面a平行的棱有、，共2條.故選：C

3.如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得的幾何體，截

面為ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3在邊AB上是否存在一點0,使得0C

〃平面A1B1C1.

第8頁共27頁

【答案】存在

【分析】

取AB的中點0,連接0C,可證明，即四邊形0DC1C是平行四邊形，所

以OC〃C1D,由線線平行證明線面平行，即得證

【詳解】

存在，取AB的中點0,連接0C,作OD〃AA1交A1B1于點D,連接

C1D,則OD〃BB1〃CC1.

因為。是AB的中點，所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1,則四邊形0DC1C是

平行四邊形，所以OC〃C1D,又CIDu平面C1B1A1,且0C平面C1B1A1,所

以0C〃平面A1B1C1.

即在邊AB上存在一點0,使得0C〃平面A1B1C1.

4.【題型四】垂直關系確定的截面

4.1.【典例分析】

已知正三棱柱(底面為正三角形的直棱柱)的體積為，，是的中點，點是線

段上的動點，過且與垂直的截面與交于點，則三棱錐的體積的最小值為

A.B.C.2D.

【答案】A

【分析】

由正三棱柱的體積為，，可求得，由于，所以要使三棱錐的體積最小，則

三棱錐的體積最大，設的中點為，作出截面如圖所示，可得點在以為直徑的圓

上，從而可求出點到底面距離的最大值，進而可求得三棱錐的體積的最小值

【詳解】

如圖所示，

因為正三棱柱的體積為，，所以，即，

因為，所以要使三棱錐的體積最小，則三棱錐的體積最大，設的中點為，

作出截面如圖所示,

第9頁共27頁

因為，所以，所以點在以為直徑的圓上，

所以點到底面距離的最大值為，

所以三棱錐的體積的最小值為.故選：A.

4.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律

垂直關系確定的截面，利用線面垂直定理，轉化到表面尋找線線垂直。公

眾號《品數(shù)學》

4.3.【變式演練】

1.如圖，為正方體，任作平面與對角線垂直，使得與正方體的每個面都有

公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為，周長為，則（）

A.為定值，不為定值B.不為定值，為定值C.與均為定值

D.與均不為定值

【答案】B

【分析】

將正方體切去兩個正三棱錐與后，得到一個以平行平面與為上、下底面的

幾何體，的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與的底

面上的一條邊平行，將的側面沿棱剪開，展開在一個平面上，得到一個平行四

邊形，考查的位置，確定

【詳解】

解：將正方體切去兩個正三棱錐與后，得到一個以平行平面與為上、下底

面的幾何體，的每個側面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與

的底面上的一條邊平行，將的側面沿棱剪開，展開在一個平面上，得到一個平

行四邊形，如圖所示

而多邊形的周界展開后便成為一條與平行的線段（如圖中），顯然，，所

以為定值，

第10頁共27頁

當位于中點時，多邊形為正六邊形，而當稱到時，為正三角形，則當周長

這定值的正六邊形與正三角形面積分別為，所以不是定值，故選：B

2.正方體，的棱長為4,已知平面a,,則關于a、13截此正方體所得截面

的判斷正確的是（）

A.a截得的截面形狀可能為正三角形B.與截面a所成角的余弦值為

C.a截得的截面形狀可能為正六邊形D.8截得的截面形狀可能為正方

形

【答案】ABC

【分析】

首先根據(jù)已知條件確定截面，然后根據(jù)選項依次判斷正誤即可.

【詳解】如圖

因為正方體，，，又平面

又?.?平面同理：又??????平面

二平面可以是平面，又因為.?.為等邊三角形，故A正確

取的中點并依次連接

易知，因為平面，平面.?.平面

同理：平面又因為且平面，平面

二平面平面，平面可以是平面；

二六邊形是正六邊形，故C正確以平面是平面為例計算：設A到平面的距

離為

等體積法求距離???，...又因為，...則與平面所成角的正弦值為

,余弦值等于，故B正確對于D選項：由于直線，在正方體上任取點但異

于，與可構成平面，但是截面的形狀都不是正方形，故D錯誤故選：ABC

3.已知正方體的棱長為2,M為的中點，平面過點且與垂直，則（）

A.B.平面

C.平面平面D.平面截正方體所得的截面面積為

【答案】ABD

【分析】

分析出面，可判斷選項A；取AD的中點，由平面幾何知識可知，，從而

第11頁共27頁

判斷出面，即平面截正方體所得的截面為梯形，從而可判斷剩余的三個選項.

【詳解】

連接，則，又因為，，

所以面，又因為面，所以，故選項A正確；

取AD的中點，的中點，連接，，，，，

在正方形中，由平面幾何知識可知，，

又因為，，所以面，所以，

又因為，所以，又因為，

所以面，即平面截正方體所得的截面為梯形，

所以顯然平面，選項B正確；平面與平面不平行，選項C錯誤；

在梯形中，，，，所以梯形的高為，

所以梯形的面積為，即平面截正方體所得的截面面積為，故選項D正確.

故選：ABD.

5.【題型五】求截面周長

5.1.【典例分析】

如圖，在正方體中，，為棱的中點，為棱的四等分點（靠近點），過點作

該正方體的截面，則該截面的周長是.

【答案】

【分析】

首先根據(jù)面面平行的性質定理作出過點的正方體的截面，從而求截面的周

長.

【詳解】

如圖，取的中點，取上靠近點的三等分點，

連接，易證，則五邊形為所求截面.

因為，所以，

則，故該截面的周長是.

故答案為：.

第12頁共27頁

5.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.截面周長，可以利用多面體展開圖求。公眾號《品數(shù)學》

2,截面周長，可以在各個表面各自解三角形求解。

5.3.【變式演練】

1.正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱長均為2,點E,F分別為棱BB1,

A1C1的中點，若過點A,E,F作一截面，則截面的周長為（）

A.2+2B.C.D.

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意先作出截面，進而算出截面各邊的長度，最后得到答案.

【詳解】

如圖，在正三棱柱中，延長AF與CC1的延長線交于M,連接EM交B1C1

于P,連接FP,則四邊形AEPF為所求截面.

過E作EN平行于BC交CC1于N,則N為線段CC1的中點，由相似于可

得MC1=2,由相似于可得：，在中，，則，

在中，，則，在中，，則，

在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長為：.故選：B.

2.已知在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E,F分別是棱

C1D1,B1C1的中點，過A,E,F三點作該正方體的截面，則截面的周長為

【答案】

【分析】

根據(jù)正方體的性質作出截面圖形，進而算出周長.

【詳解】

如圖，延長EF,A1B1,相交于點M,連接AM,交BB1于點H,延長

FE,A1D1,相交于點N,連接AN,交DD1于點G,連接FH,EG,可得截面

為五邊形AHFEG.因為ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，且E,F分別是

棱C1D1,B1C1的中點，由中位線定理易得：EF=,由勾股定理易得：AG=

第13頁共27頁

AH=,EG=FH=,截面的周長為AH+HF+EF+EG+AG=+.

故答案為：+.

3.已知直三棱柱的側棱長為，，.過、的中點、作平面與平面垂直，則所得

截面周長為（）

A.B.C.D.

【答案】c

【分析】

確定平面與各棱的交點位置，計算出截面各邊邊長，由此可得出所得截面

周長.

【詳解】

如下圖所示，取的中點，連接，取的，連接，取的中點，連接、，

,為的中點，貝I」，

平面，平面，，，平面，

、分別為、的中點，則且，平面，

平面，所以，平面平面，

所以，平面即為平面，設平面交于點，

在直棱柱中，且，

所以，四邊形為平行四邊形，且，

、分別為、的中點，且，

所以，四邊形為平行四邊形，且，

且，旦，所以，四邊形為平行四邊形，

,平面，平面，平面，

設平面平面，平面，所以，，，

,所以，四邊形為平行四邊形，可得，

所以，為的中點，

延長交于點，，所以，，，

又，所以，，，為的中點，

因為平面平面，平面平面，平面平面，，

,,,,為的中點，

，，貝h

第14頁共27頁

為的中點，，則，同理，

因為直棱柱的棱長為，為的中點，，

由勾股定理可得，同理可得，

且，平面，平面，

平面，，、分別為、的中點，則，，

由勾股定理可得，同理.

因此，截面的周長為.故選：C.

6.【題型六】求截面面積

6.1.【典例分析】

已知正四棱柱中，，，則該四棱柱被過點，C,E的平面截得的截面面積

為.

【答案】

【分析】在上取點，使得，連接，則四邊形是平行四邊形，

由勾股定理可得，再結合余弦定理與面積公式即可求解

【詳解】由題意，正四棱柱中，，，

可得，在上取點，使得，連接，則有，

所以四邊形是平行四邊形，由勾股定理可得

所以,所以，所以四邊形是平行四邊形的面積為，故答案為：

6.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律

求截面面積：

1.判斷界面是否規(guī)則圖形

2.求截面各邊長度

3.規(guī)則圖形，可以用對應面積公式求

4.不規(guī)則圖形，可以分割為三角形等圖形求。

第15頁共27頁

5.難點：動態(tài)面積最值，可參考本專題10

6.3.【變式演練】

1,正方體的棱長為2,E是棱的中點，則平面截該正方體所得的截面面積

為（）

A.5B.C.D.

【答案】D

【分析】

作出示意圖，設為的中點，連接，易得平面截該正方體所得的截面為，再

計算其面積.

【詳解】

如圖所示，設為的中點，連接，設為的中點，連接，

由且，得是平行四邊形，則且，

又且，得且，則共面，

故平面截該正方體所得的截面為.

又正方體的棱長為2,,,,,

故的面積為.故選：D.

2.在棱長為的正方體中，為的中點，則過、、三點的平面截正方體所得的

截面面積為（）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】

取中點，連接、、、、，證明出，故四點、、、共面，所以過、、三點的

平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據(jù)已知，即可求解.

【詳解】

取中點，連接、、、、，

因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，

、分別為、的中點，所以，且，

所以，，故、、、四點共面，

第16頁共27頁

所以過、、三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，

其中，，，

過點、在平面內分別作的垂線，垂足點分別為、，

因為，，，所以，，故，

在平面內，因為，，，

所以，四邊形為矩形，則，所以，，

所以，梯形的高，

梯形的面積.故選：B.

3.已知正方體的棱長為2,點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平

面截得的截面為，其面積為.

【答案】四邊形

【分析】

第一空，先畫出所在平面，由平面平面得出，，四點共面，即為所求截

面；

第二空由已知條件可求出，再求出的面積，再乘以2可得截面的面積.

【詳解】如圖所示：

確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，

所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.

因為，所以，即所以

由余弦定理得：，所以，所以

.故答案為：四邊形。

7.【題型七】球截面

7.1.【典例分析】

正三棱錐中，，點在棱上，且，已知點都在球的表面上，過點作球的截

面，則截球所得截面面積的最小值為.

【答案】

【分析】通過補體把正三棱錐補成正方體，則正方體的體對角線為外接球

第17頁共27頁

直徑；求出，當平面時，平面截球。的截面面積最小，此時截面為圓面，從而

可計算截面的半徑，從而推導出截面的面積.

【詳解】，，，，

同理，故可把正三棱錐補成正方體（如圖所示），

其外接球即為球，直徑為正方體的體對角線，故，

設的中點為，連接，則旦.所以，

當平面時，平面截球。的截面面積最小，此時截面為圓面

7.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律

計算球截面

1.確定球心和半徑

2,尋找做出并計算截面與球心的距離

3.要充分利用“球心做弦的垂直垂足是弦的中點”這個性質

4.強調弦的中點，不一定是幾何體線段的中點。

7.3.【變式演練】

1.已知三棱錐的所有棱長均相等，四個頂點在球的球面上，平面經過

棱，，的中點，若平面截三棱錐和球所得的截面面積分別為，，則（）

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】

根據(jù)平面截三棱錐所得三角形為正三角，即可求出三角形面積及外接圓面

積，即可求解.

【詳解】

設平面截三棱錐所得正三角邊長為a,截面圓的半徑為r,則，

由正弦定理可得，，，故選：B

2.某四棱錐的底面為正方形，頂點在底面的射影為正方形中心，該四棱錐

所有頂點都在半徑為的球上，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面

截球的截面面積是（）

第18頁共27頁

A.B.C.D.

【答案】C

【分析】

作出圖形，可知四棱錐為正四棱錐，由勾股定理可得出，分析得出，可

設，，其中，可得出，令，，利用導數(shù)求出取最大值時對應的的值，求出的

值，可得出的長，進而可求得結果.

【詳解】

如下圖所示，可知四棱錐為正四棱錐，設，則球心在直線上，

設，，則，由勾股定理可得，即，

當四棱錐的體積最大時，則點在線段上，則，

可設，，其中，

令，，貝I」.

當時，，此時函數(shù)單調遞增，當時，，此時函數(shù)單調遞減，所以，，此

時，，貝I」，

因此，當該四棱錐的體積最大時，底面正方形所在平面截球的截面面積是,

故選：C.

3.已知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底

面中心）的外接球，BC=3,AB=，點E在線段BD上，且BD=3BE.過點E作

球0的截面，則所得截面面積的最小值是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】

如圖，01是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的

半徑，利用余弦定理求出01E=l,當截面垂直于0E時，截面面積最小，求出

截面圓的半徑即得解.

【詳解】

解：如圖，01是A在底面的射影，由正弦定理得，4BCD的外接圓半

徑;

第19頁共27頁

由勾股定理得棱錐的高A01；設球0的半徑為R,則，解得，所以

001=1；在△B01E中，由余弦定理得

所以01E=l；所以在△0E01中，0E=；

當截面垂直于0E時，截面面積最小，此時半徑為，截面面積為.故選：A

8.【題型八】截面分體積

8.1.【典例分析】

已知正四棱柱中、的交點為，AC、BD的交點為，連接，點為的中點.過點

且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值和最大值分別

為1和，則正四棱柱的體積為.

【答案】3

【分析】

當截面平行于平面時，截面面積最??；當截面為平面時，截面面積最大，

根據(jù)題設條件列出方程，然后求出正四棱柱的底面邊長和高，即可求出四棱柱

ABCD-A1B1C1D1的體積.

【詳解】

設正四棱柱的底面邊長為a,高為h,由題知當截面平行于平面時，截面

面積最??；當截面為平面時，截面面積最大，

因為過點且與直線AB平行的平面截這個正四棱柱所得截面面積的最小值

和最大值分別為1和，

所以，解得，于是正四棱柱的體積為.

故答案為：3.

8.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律

對于截面截開幾何體，一般情況下，可能會出現(xiàn)不規(guī)則幾何體，所以求體

積，需要采取“切割法”來求

第20頁共27頁

8.3.【變式演練】

1.正方體中，E,F分別是棱，的中點，則正方體被截面分成兩部分的體積

之比為.

【答案】17：7或7：17

【分析】

如圖，正方體被截面所截的一部分為棱臺，求出棱臺的體積，然后用正方

體的體積減去棱臺的體積可得另一部分的體積，從而可求得結果

【詳解】

設正方體的棱長為2,則正方體的體積為8,因為E,F分別是棱，的中

點，

所以棱臺的體積為，

所以另一部分的體積為，所以正方體被截面分成兩部分的體積之比為17：

7或7：17,故答案為：17：7或7：17

2.如圖所示，在長方體中，用截面截下一個棱錐則棱錐的體積與剩余部分

的體積之比為（）

A.1：5B.1：4C.1：3D.1：2

【答案】A

【分析】

由長方體的性質，結合三棱錐的體積公式、長方體的體積公式求及剩余部

分的體積，進而求其比例即可.

【詳解】由圖知：，，而，

剩余部分的體積為，

...棱錐的體積與剩余部分的體積之比為1：5.

故選：A

3.三棱錐中，E、F、G、H分別是棱DA、DB、BC>AC的中點，截面

EFGH將三棱錐分成兩個幾何體：、，其體積分別為、，則（）

A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4

【答案】A

第21頁共27頁

【分析】如圖，連接，設的面積為，到平面的距離為，故可計算幾何體的

體積為，從而可得兩個幾何體的體積之比.

【詳解】

如圖I,連接，設的面積為，到平面的距離為，

貝I」，而，

又，故幾何體的體積為，而三棱錐的體積為，故幾何體的體積與棱錐的體

積之比為，

故兩個幾何體、的體積之比為1:1.故選：A

9.【題型九】不規(guī)則截面（曲線形截面）

9.1.【典例分析】

如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是

一個橢圓，當為時，這個橢圓的離心率為（）

A.B.C.D.

【答案】A

【分析】

根據(jù)幾何關系用圓柱的地面半徑表示橢圓的長軸和短軸，再計算橢圓的離

心率即可.

【詳解】

設橢圓的長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c根據(jù)題意可知，

所以橢圓的離心率，選項A正確。故選：A.

9.2.【提分秘籍】

基本規(guī)律

不規(guī)則截面，會產生截面圖像為圓錐曲線，可參考專題8-1立幾中的軌跡

專題

第22頁共27頁

9.3.【變式演練】

1,古希臘數(shù)學家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究曲線，如圖①，

用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐與截面所成的角不同時，可以

得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.圖②，在底面半徑和

高均為的圓錐中，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，是母線的中點，是線段

的中點，已知過與的平面與圓錐側面的交線是以E為頂點的圓錐曲線的一部

分，則該曲線為，是該曲線上的兩點且，若經過點，則.

【答案】拋物線

【分析】

根據(jù)圓錐曲線的定義直接判斷即可，再根據(jù)拋物線通徑的性質直接得出答

案即可.

【詳解】

由已知底面半徑和高均為，得，又為中點，，且，

所以平面，根據(jù)圓錐曲線的定義可知截面與圓錐母線平行時，曲線為拋物

線，

又為中點，故，，又底面，故，

由，，故平面，，

又，故為拋物線的通徑，.

2.如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內放兩個大

小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩

個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點,由球和圓的幾

何性質可知，，.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離

為.

【答案】

【分析】設兩球的球心距離為，通過圓錐的軸截面進行分析，根據(jù)兩球半

徑可求得；利用三角形相似可求得，進而得到；利用橢圓離心率可構造方程求

得結果.

【詳解】

第23頁共27頁

作出圓錐的軸截面如圖所示，

圓錐面與兩球相切于兩點，則，，

過作，垂足為，連接，，設與交于點，

設兩球的球心距離為，

在中，，，；

，，，，解得：，，；

由已知條件，知：，即軸截面中，

又，，解得：，

即兩球的球心距離為.故答案為：.

3.如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾

何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學家Germinaldandelin

(1794-1847)的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內放兩個大小不同的

球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于E,F,

在截口曲線上任取一點A,過A作圓錐的母線，分別與兩個球相切于C,B,

由球和圓的幾何性質，可以知道，AE=AC,AF=AB,于是

AE+AF=AB+AC=BC.由B,C的產生方法可知，它們之間的距離BC是定值，

由橢圓定義可知，截口曲線是以E,F為焦點的橢圓.

如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源P,則球

在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢

圓的離心率為.

【答案】

【分析】

利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源

來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心

率.

【詳解】

切于，切于E,,球半徑為2,所以，

，，中，，

，故,，根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球。與

第24頁共27頁

相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，