第05講 正方形的性質(zhì)（解析版）-2024年九年級數(shù)學(xué)暑假講義（北師版）

第05講正方形的性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性質(zhì)定理；2．會利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計算和證明．一、正方形的定義定義：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.要點：既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更為特殊的平行四邊形，正方形是有一組鄰邊相等的矩形，還是有一個角是直角的菱形.二、正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).1.邊——四邊相等、鄰邊垂直、對邊平行；2.角——四個角都是直角；3.對角線——①相等，②互相垂直平分，③每條對角線平分一組對角；4.是軸對稱圖形，有4條對稱軸；又是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心.要點：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，其對角線將正方形分為四個等腰直角三角形.考點一：正方形性質(zhì)的理解例1．（23-24八年級下·河南周口·期中）下列關(guān)于正方形的說法錯誤的是（

）A．正方形的四條邊都相等，四個角都是直角B．正方形有四條對稱軸C．正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等D．正方形一條對角線上的點到另一條對角線兩端點的距離不一定相等【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解正方形的性質(zhì)．利用正方形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，故A正確，不符合題意；B：正方形有四條對稱軸，故B正確，不符合題意；C：正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等，故C正確，不符合題意；D：由于正方形的兩條對角線互相垂直平分且相等，所以正方形一條對角線上的點到另一條對角線兩端點的距離一定相等，故D錯誤，符合題意；【變式1-1】（23-24八年級下·湖北荊州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．都是軸對稱圖形C．對角線互相垂直且互相平分 D．對角線相等且互相平分【答案】B【分析】本題考查的知識點是菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握菱形、矩形、正方形的性質(zhì)．根據(jù)菱形、矩形、正方形性質(zhì)對選項進(jìn)行逐一判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)菱形、矩形、正方形的性質(zhì)可得：選項，菱形、正方形四條邊都相等，矩形四條邊不都相等，不符合題意，選項錯誤；選項，菱形、矩形、正方形都是軸對稱圖形，符合題意，選項正確；選項，菱形、正方形對角線互相垂直且互相平分，矩形對角線互相平分但不互相垂直，不符合題意，選項錯誤；選項，菱形對角線互相平分但不相等，矩形、正方形對角線相等且互相平分，不符合題意，選項錯誤．故選：．【變式1-2】（23-24八年級下·山東淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對角線平分一組對角 B．對角線相等C．對角線互相垂直平分 D．四條邊相等【答案】B【分析】本題考查了菱形與正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握菱形與正方形的性質(zhì)．要熟練掌握菱形對角線相互垂直平分與正方形對角線相互垂直平分相等的性質(zhì)，根據(jù)各自性質(zhì)進(jìn)行比較即可解答．【詳解】解：A．正方形和菱形的對角線都平分一組對角，故本選項不符合題意；B．正方形的對角線相等，菱形的對角線不一定相等，故本選項符合題意；C．正方形和菱形的對角線都互相垂直，故本選項不符合題意；D．正方形和菱形都是四條邊相等，故本選項不符合題意；故選B．【變式1-3】（23-24八年級下·江蘇無錫·階段練習(xí)）正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相垂直B．對角線互相平分C．對角線相等D．四個角都是直角【答案】A【分析】本題主要考查了矩形、正方形的性質(zhì)，熟知矩形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：矩形具有的性質(zhì)為對角線互相平分，對角線相等，四個角都是直角，正方形具有的性質(zhì)為對角線互相平分且垂直，對角線相等，四個角都是直角，故選：A．考點二：根據(jù)正方形的性質(zhì)求角度例2.（23-24八年級下·遼寧葫蘆島·期中）如圖，在正方形的內(nèi)側(cè)，作等邊三角形，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，得到，等邊三角形的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，等邊對等角，求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵正方形，∴，∵等邊三角形，∴，∴，，∴；故選C．【變式2-1】（23-24八年級下·黑龍江·期中）如圖，正方形中，，直線交于點，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，先由正方形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)等邊對等角得到，設(shè)，則，則可推出，，則由平角的定義可得答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，故選：B．【變式2-2】（23-24八年級下·廣西玉林·期中）如圖，正方形的對角線是菱形的一邊，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的對角線平分一組對角求出，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得，計算即可得解．本題主要考查了正方形的對角線平分一組對角，菱形的對角線平分一組對角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：是正方形的對角線，，是菱形的對角線，．故選：B．【變式2-3】（23-24九年級下·重慶·期中）如圖，正方形中，點E、F、G、H分別為邊、、、上的點，連接、、，若，，．當(dāng)時，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，如圖，過作，證明，可得，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】解：∵正方形，∴，，如圖，過作，∴四邊形為平行四邊形，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選C考點三：根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長例3.（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長為，點是的中點，垂直平分且分別交、于點、，則．【答案】/【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，連接，，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得，由點是的中點，得，設(shè)，則，由勾股定理，可得出，求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，垂直平分，，正方形的邊長為，，，是的中點，，設(shè)，則，由勾股定理，得，，，解得：，故答案為：．【變式3-1】（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在正方形中，點在上，，，垂足分別為、，若，則．【答案】【分析】此題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，由正方形，以及對角線的長，得到對角線互相垂直，等于的一半，根據(jù)三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形為矩形，進(jìn)而得到矩形的對邊相等，同時得到三角形為等腰直角三角形，由等量代換得到，求出即可．【詳解】解：正方形，，，，，，，，，四邊形為矩形，為等腰直角三角形，，，．故答案為：．【變式3-2】（23-24八年級下·廣東江門·期末）如圖，點，，在同一條直線上，正方形、正方形的邊長分別為，，為線段的中點，則的長為【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．連接，利用勾股定理可以求得的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到的形狀，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到的長．【詳解】解：連接，如圖所示，∵四邊形是正方形，四邊形是正方形，∴，∴，∵H為線段的中點，∴，∵正方形，正方形的邊長分別為，，∴，，∴，∴，故答案為：．【變式3-3】（2024·河南南陽·二模）正方形中，，點E在邊上，且，點F在邊上，當(dāng)為等腰三角形時，的長為．【答案】4或【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理．利用等腰三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)分類討論：先利用勾股定理求得，①當(dāng)時，利用勾股定理求解即可；②當(dāng)時，利用勾股定理求出的長；③當(dāng)時，設(shè)，則，利用勾股定理列式，進(jìn)行計算即可求解．【詳解】解：∵正方形中，，∴，，∵，∴，∴，①當(dāng)時，如圖，由勾股定理得；②當(dāng)時，由勾股定理得，不符合題意，舍去；③當(dāng)時，如圖，設(shè)，則，，，解得：，；綜上所述，的長為4或．故答案為：4或．考點四：根據(jù)正方形的性質(zhì)求面積例4.（23-24八年級下·云南昭通·期中）如圖，正方形的邊長為4，則圖中陰影部分的面積之和為．【答案】8【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，將陰影面積轉(zhuǎn)化為三角形面積是解題的關(guān)鍵，學(xué)會利用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．根據(jù)正方形的軸對稱的性質(zhì)可得陰影部分的面積等于正方形的面積的一半，然后列式進(jìn)行計算即可得解．【詳解】解：由圖可知：陰影部分的面積之和；故答案為：8．【變式4-1】（23-24七年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，正方形和正方形的邊長分別為和，則陰影部分的面積為.【答案】【分析】本題考查了正方形的面積和陰影部分的面積，根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系即可求解．【詳解】解：，即，解得：，故答案為：．【變式4-2】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）如圖，，是正方形的對角線上的兩點，，，則四邊形的面積是．【答案】16【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的判定，菱形的面積，解題的關(guān)鍵是連接，根據(jù)對角線互相平分證明四邊形是平行四邊形．連接交于點，則可證得，，可證四邊形為平行四邊形，且，可證得四邊形為菱形．【詳解】解：如圖，連接交于點，四邊形為正方形，，，，，即，四邊形為平行四邊形，且，四邊形為菱形，，，，菱形的面積，故答案為：16．【變式4-3】（23-24九年級上·吉林·期末）如圖，四邊形是邊長為的正方形，E是上一點，，將繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)到與重合，則的面積為．【答案】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積公式；熟練掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，根據(jù)正方形的四條邊都相等可得，分別求出、的值，根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵是繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴，∵四邊形是邊長為的正方形，∴，∴，，∴的面積為，故答案為：．考點五：求正方形重疊部分面積例5.（23-24八年級下·江蘇徐州·期中）如圖，有一個邊長為的正方形，將一塊的三角板直角頂點與正方形對角線交點O重合，兩條直角邊分別與邊交于點E，與邊交于點F．則四邊形的面積是．【答案】4【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，本題的解題關(guān)鍵是知道題中重合的部分的面積是不變的，總是等于正方形面積的．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，求出，根據(jù)全等三角形的判定得出，即可求出四邊形的面積三角形的面積，即可得出答案．【詳解】解：如圖：連接和，則和都過點O，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，故答案為：4．【變式5-1】（2023·山東菏澤·一模）如圖，兩個邊長為4的正方形重疊在一起，點是其中一個正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】連接、，證明，得到，再由，代值求解即可得到答案．【詳解】解：連接、，如圖所示：，，是正方形，為正方形的中心，，，在和中，，，，，故答案是：4．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于的面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24九年級上·河南鄭州·期中）如圖，正方形的對角線相交于點，以為頂點的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為．【答案】【分析】本題考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，推出，證出可得答案，證明是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，在與中，，∴，∴，∴，故答案為：．【變式5-3】（23-24九年級上·廣東汕頭·階段練習(xí)）將n個邊長都為的正方形按如圖所示的方法擺放，點，，…，分別是正方形對角線的交點，則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為．【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)與三角形全等的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是得到．連接，，根據(jù)正方形性質(zhì)可得，，，即可得到，即可得到，即可得到一個圖形重疊的面積，即可得到答案；【詳解】解：連接，，∵正方形的邊上為，∴，，，∴，∴，∴，∴n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為：，故答案為：．考點六：正方形折疊問題例6.（2024·上海浦東新·三模）如圖，在正方形的邊上取一點，連接，將沿翻折，點恰好與對角線上的點重合，連接，若，則的面積是．【答案】/【分析】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識．由折疊可得，，且，可得，即可求對角線的長，則可求面積．【詳解】解：如圖，連接交于，為正方形，，，，，．沿翻折，，，，，，，，，，．．故答案為：．【變式6-1】（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）如圖，對折正方形紙片，得到折痕，將紙片展平，在上取一點P，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部點M處，將紙片展平，連接，延長交于點Q，連接若正方形的邊長為6，，則的長為．【答案】或【分析】由折疊及正方形的性質(zhì)得到，，再由“”易證；分當(dāng)點在線段上和當(dāng)點在線段上兩種情況，再根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】∵在正方形中，∴，，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：，∴，，∴在和中，，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，，當(dāng)點在線段上時，∵，∴，，，∵，∴，∴，當(dāng)點在線段上時，∵，∴，，，∵，∴，∴，綜上所述，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（23-24九年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，正方形的邊長為3，、分別為、上的點，，將四邊形沿翻折，得到四邊形，恰好落在邊上，交于，若連結(jié)，則的度數(shù)為，的長是．【答案】/30度【分析】由正方形的性質(zhì)得出，，再由折疊的性質(zhì)得出，，，，，求出，得出，然后求出，，則，，設(shè)，則，得出方程，解方程即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知是線段的垂直平分線，∴，，∴；四邊形是正方形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，，，，，，，解得：，，則，∵∴，設(shè)，，，則，解得：，，故答案為：，．【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵．【變式6-3】（23-24八年級下·江蘇無錫·期中）如圖，點是正方形的邊上一動點(點不與、重合)，連接，將沿翻折，使點落在點處．

(1)當(dāng)最小時，的值為；(2)如圖，連接并延長，交的延長線于點，在點的運動過程中，的大小是否變化，若變化，請說明理由；若不變，請求的值；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，試探索、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)為，理由見解析(3)【分析】（1）當(dāng)，，三點共線時，有最小值，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）過點作于點，則，證出，則可得出結(jié)論；（3）過點作，交的延長線于點，則，證明，得出，則可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵將沿翻折，∴，，，∵，即，∴當(dāng)，，三點共線時，有最小值，此時，如圖，設(shè)，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：；

（2）為．理由如下：過點作于點，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∵將沿翻折，使點落在點處，∴，，又∵，∴，又∵，∴，又∵，，∴，∴，即，又∵，∴；

（3）．理由如下：過點作，交的延長線于點，，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，即．

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，通過作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．考點七：根據(jù)正方形的性質(zhì)證明例7.（23-24八年級下·北京西城·期中）點在正方形的邊上（不與點，重合），點關(guān)于直線的對稱點為，作射線交交于點，連接．(1)求證：；(2)過點作交射線于點．①求的度數(shù)；②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見解析；(2)；，理由見解析．【分析】（）由四邊形是正方形,得，再利用等角的余角相等證明即可；（）連接，證明，再根據(jù)等邊對等角和四邊形的內(nèi)角和求出，可得結(jié)論；過點作于點，證明，推出，再證明，，可得結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形是正方形,∴，即，∵，關(guān)于對稱，∴，∴，∴，∴；（2）連接，∵，關(guān)于對稱，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；，理由：過點作于點，

∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，，∴，∴，∵，關(guān)于對稱，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的等角相等等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握知識點的應(yīng)用．【變式7-1】（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）在正方形中，為對角線，E為上一點，連接．(1)求證：．(2)延長交于F，當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，根據(jù)即可證出結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴；（2）解：∵，且，∴，∵，∴，∵，∴．【變式7-2】（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是邊上的一動點（不與點A，D重合），連接，點C關(guān)于直線的對稱點為F，連接，．(1)如圖1，若是等邊三角形，則__________；(2)如圖2，延長交的延長線于點M，連接交于點H，連接．①求的大小；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)15(2)①；②，見解析【分析】（1）利用正方形性質(zhì)得到，利用等邊三角形性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，利用對稱的性質(zhì)得到，再利用計算求解，即可解題；（2）①利用正方形性質(zhì)得到，，利用對稱的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，設(shè)，分別利用等腰三角形性質(zhì)得到，，再根據(jù)計算求解，即可解題；②過點作交于點，連接，理由直角三角形性質(zhì)和正方形性質(zhì)證明，進(jìn)而得到，再理由勾股定理求解，即可解題，【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，是等邊三角形，，，點C關(guān)于直線的對稱點為F，，，故答案為：．（2）解：①四邊形是正方形，，，點C關(guān)于直線的對稱點為F，，，，設(shè)，，，；②解：數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：過點作交于點，連接，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，即．【點睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)，等邊三角形性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24八年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）（1）【探究】如圖1，正方形中，點、分別是，上一點，．①求證：；②若，，求正方形的邊長．（2）【應(yīng)用】如圖2，正方形中，點在邊上（不與端點重合），、分別是，上一點，交于點，，若，直接寫出的值：．【答案】（1）①見解析；②6（2）【分析】（1）①延長至點，使得，連接，，先證明，再證明即可得出答案；②設(shè)正方形邊長為，根據(jù)①中結(jié)論列方程求解即可；（2）作，連接，設(shè)正方形的邊長為，，利用（1）中結(jié)論求出、的長即可．【詳解】解：（1）①證明：延長至點，使得，連接，，如圖，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，；②解：設(shè)正方形邊長為，，，，，由①得，根據(jù)勾股定理得，，解得，正方形的邊長．（2）解：作，連接，如圖，設(shè)正方形的邊長為，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，根據(jù)勾股定理得，，解得，，則，，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)證明三角形全等，利用勾股定理求出線段長．一、單選題1．（22-23八年級下·河北邢臺·階段練習(xí)）正方形具有而平行四邊形不具有的性質(zhì)是（

）A．對角相等 B．兩組對邊分別相等C．對角線互相平分 D．對角線互相垂直【答案】D【分析】根據(jù)正方形和平行四邊形的性質(zhì)，逐個進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、正方形對角相等，平行四邊形對角相等，故A不符合題意；B、正方形兩組對邊分別相等，平行四邊形兩組對邊分別相等，故B不符合題意；C、正方形對角線互相平分，平行四邊形對角線互相平分，故C不符合題意；D、正方形對角線互相垂直，平行四邊形對角線互相平分，故D符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形是特殊的平行四邊形，以及正方形和平行四邊形的各個性質(zhì)．2．（23-24八年級下·河南焦作·期中）“方勝”是中國古代婦女的一種發(fā)飾，其圖案由兩個全等正方形相疊組成，寓意是同心吉祥．如圖，將邊長為的正方形沿對角線方向平移得到正方形，形成一個“方勝”圖案，則點D，之間的距離為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平移性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平移性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，由題意得，根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理，求出，進(jìn)而求出答案即可；【詳解】由題意得，四邊形是正方形，，，，點D，之間的距離為，故選：D．3．（22-23八年級下·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，對角線，相交于點O，E為上一點，過點E作交于點F，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求出．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴，，，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的對角線相等、互相垂直且平分是解題的關(guān)鍵．4．（23-24八年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，在正方形中，，是的中點，將沿對折至，延長交于點，則的長是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題主要考查勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．利用翻折變換對應(yīng)邊關(guān)系得出，，，利用定理得出，由全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，利用勾股定理得出，進(jìn)而求出即可．【詳解】解：如圖，連接，在正方形中，，，將沿對折至，，，，，，，，設(shè)，則，為的中點，，，在中，由勾股定理，得，，解得，．故選：B．5．（2020·黑龍江大慶·中考真題）如圖，在邊長為2的正方形中，，分別為與的中點，一個三角形沿豎直方向向上平移，在運動的過程中，點恒在直線上，當(dāng)點運動到線段的中點時，點，恰與，兩邊的中點重合．設(shè)點到的距離為，三角形與正方形的公共部分的面積為，則當(dāng)時，的值為（

）A．或 B．或 C． D．或【答案】A【分析】本題應(yīng)該分類討論，從以下三個情況進(jìn)行討論，分別是：①當(dāng)x<1時，重疊部分為直角三角形的面積，將其三角形面積用x表示，但是求出，與x<1相違背，要舍去；②當(dāng)1<x<2時，除去重疊部分，剩下的圖形為兩個直角梯形的面積，將剩余的直角梯形ANHP用x表示，求出x即可；③當(dāng)x>2時，重疊部分為一個多邊形，可以從剩余部分的角度進(jìn)行求解，分別將矩形PQFE、、的面積用x表示，求出x即可，將x求出后，應(yīng)該與前提條件假設(shè)的x的范圍進(jìn)行比較，判斷x的值．【詳解】解：∵在邊長為2的正方形EFGH中，如圖所示，當(dāng)A運動到MN的中點時，點E、F恰好與AB、AC的中點重合，即AM=EM=FM=1，且MNEF，∴AME和AMF均為等腰直角三角形，可得：ABC也是等腰直角三角形，其中AB=AC=，BC=4，設(shè)A到EF的距離AM=x，①當(dāng)x<1時，此時圖形的位置如下圖所示，AB與EF交于P點，AC與EF交于Q點，∵AM=x，且△APQ為等腰直角三角形，∴，解得：，但是與前提條件x<1相違背，故不存在該情況；②當(dāng)1<x<2時，此時圖形的位置如下圖所示，AB與EH交于P點，AC與GF交于Q點，∵公共部分面積為，正方形剩余部分，∴，四邊形ANHP是直角梯形，當(dāng)AM=x，則AN=2-x，PE=x-1，HP=3-x，NH=1，∴，解得：；③當(dāng)2＜x＜3時，此時圖形的位置如下圖所示，AB與EH交于K點，AB與HG交于I點，AC與FG交于L點，AC與HG交于J點，BC與EH交于P點，BC與GF交于Q點，∵公共部分面積為，∴，且，解得：或（舍），④當(dāng)x=3時，H,G分別是AB,AC的中點，此時重合的部分的面積為2，不符合題意；⑤當(dāng)x≥3時，重合的面積小于2，也不符合題意；所以，滿足條件的AM的值為或，故選：A．【點睛】本題考查了移動圖形間的重疊問題，需要進(jìn)行分類討論，必須要把x的移動范圍進(jìn)行分類，根據(jù)不同的x取值，畫出不同重疊的圖形，并將重疊部分的面積用x進(jìn)行表示，解題的關(guān)鍵在于利用剩余部分的面積進(jìn)行倒推求解．二、填空題6．（23-24八年級下·山東淄博·期中）如圖，已知平行四邊形和正方形，其中點E在上，若，，則．【答案】/70度【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識，解題關(guān)鍵是理解相關(guān)性質(zhì)并熟練運用．根據(jù)正方形的性質(zhì)可知，由平角的定義計算，由三角形內(nèi)角和定理計算的度數(shù)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推導(dǎo)的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，故答案為：．7．（23-24八年級下·湖北鄂州·期中）用四根長度相等的木條制作學(xué)具，先制作圖（1）所示的正方形，測得，活動學(xué)具成圖（2）所示的四邊形，測得，則圖（2）中的長是．【答案】【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．在圖（1）中先利用正方形的性質(zhì)求出；在圖（2）中，連接交于O，證明四邊形是菱形，則，求出，進(jìn)一步求出，則．【詳解】解：如圖（1）中，四邊形是正方形，，如圖（2）中，連接交于O，四邊形是菱形，，，，，，故答案為：．8．（23-24九年級下·內(nèi)蒙古·期中）如圖，正方形的邊長為，為上的一點，，為上的一點，，為上一個動點，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查正方形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，兩點之間線段最短，掌握正方形性質(zhì)，軸對稱性質(zhì)，兩點之間線段最短是解題關(guān)鍵．作點F關(guān)于對稱點，根據(jù)正方形是軸對稱圖形，是一條對稱軸，可得點F關(guān)于的對稱點在線段上，連接，P為上的一個動點，，則，的最小值為的長即可．【詳解】解：作點F關(guān)于對稱點，∵正方形是軸對稱圖形，是一條對稱軸，∴點F關(guān)于的對稱點在線段上，連接，∵P為上的一個動點，∴，則，的最小值為的長，∵，，∴，過點E作于點G，則，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，∴，∴．故答案為：．9．（23-24九年級下·江蘇鹽城·期中）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚邊長為a，小正方形地磚邊長為b，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形．則正方形的面積為．（用含a，b的代數(shù)式表示）

【答案】/【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的拼剪等知識，解題的關(guān)鍵靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．如圖，連接，，證明即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，

∵A、B、C、D是正方形的中心，∴，，，，，，，正方形的面積．故答案為：．10．（22-23八年級下·安徽滁州·期末）如圖1，正方形的邊長為3，E為邊上一點（不與端點重合）．將沿對折至，延長交邊于點G，連接．

（1）；（2）如圖2，若E為的中點，則．【答案】/度2【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得到，得到，，證明，即可證明．（2）根據(jù)，得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】（1）∵正方形，沿對折至，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，故答案為：．（2）根據(jù)（1）得，，∴，設(shè)，則，∴，∴，解得，故答案為：2．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2023·四川綿陽·一模）如圖，四邊形是正方形，點為平面內(nèi)一點，(1)若點在正方形內(nèi)，如圖1，，求的度數(shù)；(2)若點在正方形外，如果，如圖2，且，求的長．（用表示）【答案】(1)(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．(1)把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，證為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理逆定理求出證出，即可得出結(jié)果．(2)把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，證為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖1，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴；（2）解：把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，與重合，旋轉(zhuǎn)到的位置，如圖2，

∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，在中，，∴∴．12．（2024·貴州黔東南·一模）如圖，在邊長為2的正方形中，點E在邊上，點F在邊上，連接，，與相交于點P．

(1)【動手操作】在圖1中畫出線段，；(2)【問題探究】若．①利用圖2探究的值；②過點P作，垂足分別為M，N，連接，試求的最小值．