(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題02空間向量基本定理易錯(cuò)點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題02空間向量基本定理易錯(cuò)點(diǎn)專練（原卷版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點(diǎn)，且，，（）A．1 B． C．2 D．2．如圖所示，在四面體ABCD中，為等邊三角形，，，，，則（）A． B． C． D．3．設(shè)=+，=+，=+，且{，，}是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，則其中可以作為空間的基底的向量組有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，若G是的中點(diǎn)，，，則三棱錐的外接球的表面積是（）A．6π B．10π C．8π D．12π5．設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)26．已知正四面體的棱長為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（）A． B．1 C． D．27．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）．①若與共線，與共線，則與共線．②向量，，共面，即它們所在的直線共面．③如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)于空間任意一個(gè)向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得．④若，是兩個(gè)不共線的向量，而（且），則是空間向量的一組基底．A．0 B．1 C．2 D．38．如圖，在空間四邊形中，點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．9．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點(diǎn)?滿足，，則（）A． B． C．2 D．10．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（）A． B． C． D．二、填空題11．在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點(diǎn)，BG＝2GD，，，，試用基底表示向量＝________.12．在空間四邊形ABCD中，，，則________.13．在正三棱錐中，點(diǎn)O為三角形BCD的中心，，則________，________，________.14．正四面體ABCD的棱長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則的值為___．15．在正方體中，點(diǎn)分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn)，若=a，=b，=c，則=____________16．已知正方體的棱長為，給出下列四個(gè)命題：①；②；③點(diǎn)到面的距離為；④點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，則的取值范圍是其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________．17．已知關(guān)于向量的命題，（1）是，共線的充分不必要條件；（2）若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使；（3），，則；（4）若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一基底；（5）．在以上命題中，所有正確命題的序號(hào)是________．18．如圖，在平行六面體中，，，，，AC與BD相交于點(diǎn)O，則______．19．下列關(guān)于空間向量的說法中，正確的有___________.①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則②若非零向量，，滿足，，，則有③是，共線的充分不必要條件④若，共線，則20．如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且AP＝3PN，，設(shè)，，則________（用來表示）三、解答題21．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．(1)設(shè)，，，用向量表示，并求出的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．22．如圖，已知正方體的棱長為1，P，Q，R分別在AB，，上，并滿足．設(shè)，，．(1)用，，表示，；(2)設(shè)的重心為G，用，，表示；(3)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍．23．1.如圖，是四面體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，且，，(1)若，，，求；(2)試用向量，，表示．24．已知是平行六面體．(1)化簡(jiǎn)，并在圖中標(biāo)出其結(jié)果；(2)設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面對(duì)角線上靠近的四等分點(diǎn)，設(shè)，試求的，，值．25．已知平行六面體，底面是正方形，，，，，，設(shè)，，.(1)試用、、表示；(2)求的長度.專題02空間向量基本定理易錯(cuò)點(diǎn)專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，且，，，，分別為，上的點(diǎn)，且，，（）A．1 B． C．2 D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)給定條件選定基底向量，并表示出，再利用向量運(yùn)算即可得解.【詳解詳析】在四棱錐中，底面為平行四邊形，連接AC，如圖，，，則，又，，，則，，因此，.故選：B2．如圖所示，在四面體ABCD中，為等邊三角形，，，，，則（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】由空間向量的加法可得出，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算可求得的值.【詳解詳析】依題意，，因?yàn)闉榈冗吶切?，，，，，所以，，，，所以?故選：D.3．設(shè)=+，=+，=+，且{，，}是空間的一個(gè)基底，給出下列向量組:①{，，}；②{，，}；③{，，}；④{，，++}，則其中可以作為空間的基底的向量組有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】借助長方體，結(jié)合題設(shè)向量間的線性關(guān)系，將它們轉(zhuǎn)化到長方體中對(duì)應(yīng)線段上，再判斷各項(xiàng)向量組中的向量是否共面，即可確定是否可以作為基底.【詳解詳析】結(jié)合長方體，如圖可知：向量共面，不共面，不共面，，也不共面，故選：C.4．如圖，平面平面，四邊形是正方形，四邊形是矩形，若G是的中點(diǎn)，，，則三棱錐的外接球的表面積是（）A．6π B．10π C．8π D．12π【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】利用已知結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算求解，可得為直角三角形，再由為直角三角形，可知為三棱錐的外接球的直徑，再由球的表面積公式得答案．【詳解詳析】解：，，，又、、兩兩相互垂直，，即，，，，則為直角三角形，又為直角三角形，為三棱錐的外接球的直徑，則三棱錐的外接球的表面積．故選：C．5．設(shè)正四面體ABCD的棱長為a，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為（）A． B． C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】利用向量的中點(diǎn)公式表示和，然后利用向量的數(shù)量積公式運(yùn)算即可求解.【詳解詳析】由題意，正四面體ABCD如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長都為a，所以，故(a2cos60°+a2cos60°)a2．故選：A．6．已知正四面體的棱長為，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，則（）A． B．1 C． D．2【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】利用向量為基底表示，再根據(jù)數(shù)量積求解即可.【詳解詳析】解：如圖，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)所以，因?yàn)檎拿骟w的棱長為，所以故選：A7．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（）．①若與共線，與共線，則與共線．②向量，，共面，即它們所在的直線共面．③如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)于空間任意一個(gè)向量，存在有序?qū)崝?shù)組，使得．④若，是兩個(gè)不共線的向量，而（且），則是空間向量的一組基底．A．0 B．1 C．2 D．3【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】舉例，判斷①，由向量共面的定義判斷②，由空間向量基本定理判斷③，由共面向量定理和空間向量基本定理判斷④．【詳解詳析】①當(dāng)時(shí)，與不一定共線，故①錯(cuò)誤；②當(dāng)，，共面時(shí)，它們所在的直線平行于同一平面，或在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò)誤；由空間向量基本定理知③正確；④當(dāng)，不共線且時(shí)，，，共面，故④錯(cuò)誤．故選：B．8．如圖，在空間四邊形中，點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】由得，結(jié)合中點(diǎn)公式可得，由線性運(yùn)算即可求解.【詳解詳析】由得；由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)得，∴，故選：D9．已知斜三棱柱所有棱長均為2，，點(diǎn)?滿足，，則（）A． B． C．2 D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】以向量為基底向量，則，根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，兩邊平方可得答案.【詳解詳析】以向量為基底向量，所以所以故選：D10．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】利用空間向量基本定理逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解詳析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，，共面，不能?gòu)成基底，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：若，，共面，則，即，則，無解，所以，，不共面，可以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，故選項(xiàng)D正確.故選：D．二、填空題11．在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點(diǎn)，BG＝2GD，，，，試用基底表示向量＝________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】由空間向量的基本定理求解即可【詳解詳析】因?yàn)锽G＝2GD，所以，又，所以故答案為：12．在空間四邊形ABCD中，，，則________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】利用向量的加法法則，及三點(diǎn)共線的推論即可得解.【詳解詳析】，，即又，三點(diǎn)共線，，解得故答案為：13．在正三棱錐中，點(diǎn)O為三角形BCD的中心，，則________，________，________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】取中點(diǎn)N，連接，，利用空間向量的線性運(yùn)算即可得解.【詳解詳析】取中點(diǎn)N，連接，又故答案為：，，14．正四面體ABCD的棱長為2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則的值為___．【標(biāo)準(zhǔn)答案】1【思路指引】根據(jù)給定條件用空間向量的一個(gè)基底表示與，再利用空間向量數(shù)量積及運(yùn)算律計(jì)算作答.【詳解詳析】在正四面體ABCD中，令，顯然，，，如圖：因點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則，，于是得，所以的值為1.故答案為：115．在正方體中，點(diǎn)分別是面對(duì)角線A1B與B1D1的中點(diǎn)，若=a，=b，=c，則=____________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)空間向量的加減法則得到，帶入計(jì)算化簡(jiǎn)得到答案.【詳解詳析】.故答案為：.16．已知正方體的棱長為，給出下列四個(gè)命題：①；②；③點(diǎn)到面的距離為；④點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，則的取值范圍是其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】①②④【思路指引】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征即可判斷①；根據(jù)空間向量基本定理及向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可判斷②；求出三棱錐的體積，利用等體積法即可求出點(diǎn)到面的距離，從而判斷③；證明，，可得平面，從而可得點(diǎn)的軌跡為線段，即可判斷④.【詳解詳析】解：在正方體中，，故①正確；因?yàn)?，則，故②正確；設(shè)點(diǎn)到面的距離為，則，，又，則，所以，所以，即點(diǎn)到面的距離為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，連接，在正方體中，平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，同理，又，所以平面，又平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，所以點(diǎn)的軌跡為線段，所以的取值范圍是，故④正確.故答案為：①②④.17．已知關(guān)于向量的命題，（1）是，共線的充分不必要條件；（2）若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使；（3），，則；（4）若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一基底；（5）．在以上命題中，所有正確命題的序號(hào)是________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）（4）【思路指引】根據(jù)共線向量，向量垂直，向量的基本定理，向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，逐一分析5個(gè)命題的真假，即可得解．【詳解詳析】（1）若，則，反向共線，即滿足充分條件，但當(dāng)非零向量，同向共線時(shí)，不存在，即滿足不必要條件，故（1）正確；（2）若向量，中有一個(gè)零向量，則存在無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)，使，即（2）錯(cuò)誤；（3）若，，說明，，不一定存在，即（3）錯(cuò)誤；（4）令，則，所以，無解，即，，不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，即（4）正確；（5），即（5）錯(cuò)誤．命題（1）（4）正確．故答案為：（1）（4）．18．如圖，在平行六面體中，，，，，AC與BD相交于點(diǎn)O，則______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】用向量法求解距離，將轉(zhuǎn)換成模長和夾角已知的向量，根據(jù)向量平方等于模長的平方進(jìn)行計(jì)算【詳解詳析】由圖可得，，所以所以，故答案為：19．下列關(guān)于空間向量的說法中，正確的有___________.①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則②若非零向量，，滿足，，，則有③是，共線的充分不必要條件④若，共線，則【標(biāo)準(zhǔn)答案】①③【思路指引】由空間向量基本定理可判斷①；根據(jù)空間向量的位置關(guān)系可判斷②；由向量的數(shù)量積以及充分條件和必要條件的定義可判斷③；根據(jù)共線向量的定義可判斷④，進(jìn)而可得正確答案.【詳解詳析】對(duì)于①：若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個(gè)向量為共線向量，即，故①正確；對(duì)于②：若非零向量，，滿足，，，則與不一定共線，故②不正確；對(duì)于③：由可得：，可得，即，所以，反向共線，故充分性成立，若，共線則，當(dāng)時(shí)，不成立，故是，共線的充分不必要條件，故③正確；對(duì)于④：若，共線，則或與重合，故④不正確；所以正確的有①③，故答案為：①③.20．如圖所示，M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段OM上，點(diǎn)P在線段AN上，且AP＝3PN，，設(shè)，，則________（用來表示）【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】利用空間的基底結(jié)合空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得解.【詳解詳析】，而M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn)，則，因AP＝3PN，，則，所以.故答案為：三、解答題21．如圖，三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都等于1，．(1)設(shè)，，，用向量表示，并求出的長度；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)；(2)【思路指引】（1）根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則可得，根據(jù)計(jì)算可得的長度；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.(1)，因?yàn)?，同理可得，所?2)因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．所以異面直線與所成角的余弦值為．22．如圖，已知正方體的棱長為1，P，Q，R分別在AB，，上，并滿足．設(shè)，，．(1)用，，表示，；(2)設(shè)的重心為G，用，，表示；(3)當(dāng)時(shí)，求a的取值范圍．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)，(2)(3)【思路指引】（1）利用向量的加法運(yùn)算，以及數(shù)乘運(yùn)算即可表示；（2）利用