備戰(zhàn)2024高考數(shù)學二輪復習講義第三講 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應用

第3講數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應用我國著名數(shù)學家華羅庚曾針對數(shù)形結(jié)合思想作了一首著名的詩：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一種對應關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，達到“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。在三角函數(shù)的學習過程中，如三角函數(shù)的定義域，值域，周期性，奇偶性，單調(diào)性，對稱性等都可以從三角函數(shù)的圖象上直觀的顯現(xiàn)出來，而利用三角函數(shù)的圖象又非常容易理解三角函數(shù)的這些性質(zhì)。因此，明確研究三角函數(shù)問題都可用代數(shù)和幾何相結(jié)合的思想方法，即數(shù)形結(jié)合思想，來拓寬思維空間，提高解決問題的能力。例如數(shù)形結(jié)合思想在含絕對值的三角函數(shù)、在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω及在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中都有廣泛的重要應用，而本文會重點就數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的幾類應用展開詳細講解?！緫靡弧繑?shù)形結(jié)合思想在含絕對值的三角函數(shù)中的應用我們在學習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，經(jīng)常會遇到給定（）的函數(shù)解析式，求周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心及判斷奇偶性，此時我們可以直接利用公式或整體思想計算而得。但有時也會遇到這樣一類題，給定的三角函數(shù)解析式中含有絕對值，例如：、、、等，此時仍然考查周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心及判斷奇偶性，那么我們該如何求解呢？面對這類題，如果我們能把對應三角函數(shù)的圖象畫出來，借助數(shù)形結(jié)合思想則可求解上述問題，例如下面這道例題：【例1】（2023春·山東·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則D．函數(shù)的最小值為通過觀察及上述方法介紹的學習，本題用數(shù)形結(jié)合思想來求解，那么我們應該怎么去化簡函數(shù)和畫出圖象呢？首先先分類討論去絕對值，當時，即，當時，即，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：結(jié)合圖象即可得到答案【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于給定、、、等函數(shù)解析式,可以先去掉絕對值，再畫出圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合思想來求解相關(guān)問題，可通過學習這一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究稍復雜型帶絕對值的同類題型求解。【變式1.1】（2022·湖南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，現(xiàn)有下述四個結(jié)論：①的最小正周期為；②曲線關(guān)于直線對稱；③在上單調(diào)遞增；④方程在上有4個不同的實根.其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④【變式1.2】（2022·安徽·高三模擬）（多選）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．的增區(qū)間為，B．的對稱軸為，C．，使得對恒成立D．，若，則，【變式1.3】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中學?？计谥校ǘ噙x）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的最正周期為B．若，則C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．的對稱軸是【應用二】數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω的應用我們在學習三角函數(shù)圖象與性質(zhì)及三角恒等變換綜合時，會遇到這樣一類題，給出對應的三角函數(shù)的解析式，已知單調(diào)性、奇偶性或?qū)ΨQ性求ω的范圍，我們可以借助整體思想求解即可。但有時也會遇到這樣一類題，給定三角函數(shù)在確定區(qū)間內(nèi)有幾個零點或幾個極值點求ω的范圍，那么此時我們應該如何求解呢？考慮到題干當中已經(jīng)給出了確定的零點或極值點個數(shù)，如果我們能畫出圖象，并且能夠直觀的從圖象中讀出零點或極值點個數(shù)，從而確定區(qū)間范圍，再而可確定參數(shù)ω的范圍，則所求問題可求解，那么問題關(guān)鍵是我們能不能作出圖象？又該怎樣作出圖象呢？我們還是可以結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)借助五點作圖法來作圖，不妨先看下面這道例題：【例2】（2022秋·山西運城·高三?？迹┮阎瘮?shù)，若在區(qū)間上有且僅有4個零點和1個極大值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．觀察本題，角度是統(tǒng)一的，但函數(shù)名及次數(shù)不統(tǒng)一，我們可以先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時我們可以換元作圖，令，由，則，則，，作圖如下：有4個零點和1個極大值點，即右端點即可求解【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω,往往可以數(shù)形結(jié)合思想來作圖求解，如較復雜型函數(shù)則可通過誘導公式或三角恒等變換公式,將其轉(zhuǎn)化為形如（）等形式，進而結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可求解，可通過學習這一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究三角函數(shù)中已知的其他綜合條件來求ω的綜合問題?！咀兪?.1】（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個極值點和三個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間恰有3個零點，4個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式2.3】（2022·江蘇高三校考階段練習）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【應用三】數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中的應用我們在學習函數(shù)的應用時學習到函數(shù)零點的定義和函數(shù)零點存在性定理的應用，我們知道求函數(shù)的零點可以等價轉(zhuǎn)化為對應方程的根或圖象交點的橫坐標。而在學習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，我們?nèi)匀粫龅揭阎P(guān)于三角函數(shù)的解析式求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）的系列問題。在學習函數(shù)應用時我們也曾作出圖象求解，那么在三角函數(shù)的相關(guān)問題求解中，我們同意可以利用數(shù)形結(jié)合思想求解，例如下面3道例題：【例3.1】（2023春·高三練習）方程的解的個數(shù)是A．0個 B．1個 C．2個 D．3個本題不難，分別作出和的圖象，觀察圖象，即可得到交點個數(shù)【例3.2】（2023秋·福建龍巖·高三統(tǒng)考）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（

）A．6 B．8 C．12 D．16觀察本題，的系數(shù)里有，不能直接作出的圖象，那么我們該怎樣把問題等價轉(zhuǎn)換呢？結(jié)合函數(shù)零點的定義，我們可以轉(zhuǎn)換成對應方程的根或?qū)獌蓚€圖象的交點，我們不妨先把函數(shù)化簡，，令，即，于是我們可以轉(zhuǎn)換成兩圖象交點問題，可以發(fā)現(xiàn)與均關(guān)于點對稱，作圖如下：結(jié)合圖象即可求得零點之和即交點橫坐標之和【例3.3】（2022·北京·高三專題練習）若方程有兩個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．觀察本題，角度是統(tǒng)一的，但函數(shù)名及次數(shù)不統(tǒng)一，我們可以先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時我們可以換元作圖，原方程可等價于，于是我們可以畫出，如圖：結(jié)合圖象即可求得即的取值范圍【例3.4】（2023·高三練習）函數(shù)和的圖象在區(qū)間上交點的橫坐標之和為（

）A．6 B．4 C．8 D．12通過計算和類比思想，我們可以發(fā)現(xiàn)故是函數(shù)和的對稱中心，則本題直接可以作出與的圖象，如圖所示：結(jié)合圖象和對稱性即可求得交點橫坐標之和【思維提升】通過兩題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中的問題中，我們都可以用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合具體函數(shù)作出圖象。從而可直觀求解出對應問題，未來我們也可以用同樣的方法來研究較為復雜型的三角函數(shù)的性質(zhì)及零點、交點、方程的根的綜合問題?！咀兪?.1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學?？计谀┰O(shè)常數(shù)使方程在區(qū)間上恰有五個解，則（

）A． B． C． D．【變式3.2】（2022·全國·高三專題練習）設(shè)，關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3.3】（2022春·江西贛州·高一贛州市贛縣第三中學?？茧A段練習）若方程在內(nèi)有解，則a的取值范圍是.【變式3.4】（2022秋·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)，有三個不同的零點、、，且，則的值為（

）A． B．C． D．不能確定【變式3.5】（2022春·河南安陽·高一林州一中校考階段練習）函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3.6】（2020秋·浙江溫州·高一溫州中學?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，，，，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【變式3.7】（2022秋·四川廣安·高三四川省岳池縣第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，，若方程有三個不同的實數(shù)根，且三個根從小到大依次成等比數(shù)列，則實數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．【變式3.8】（2022秋·浙江杭州·高一杭州外國語學校?？计谥校┮阎P(guān)于的方程在區(qū)間上存在兩個根，則實數(shù)的取值范圍是.【變式3.9】（2023·福建·高三福建高三?？迹┖瘮?shù)，，滿足，若，在有兩個實根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3.10】（2022·貴州貴陽·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)，若直線與的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（-2，2） B．（-1，2） C．（1，2） D．（0，2）【變式3.11】（2022·廣東中山·高三校考階段練習）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為（

）A． B． C． D．【變式3.12】（2022春·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)與的圖像有個交點，其坐標依次為，，，，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16鞏固練習一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．2．（2022春·山西晉中·高一?？茧A段練習）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是減函數(shù)；③在上有三個零點；④的最小值是0.其中所有正確結(jié)論編號是（

）A．①②④ B．②③ C．①③ D．①④3．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是①函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為；②函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增；③函數(shù)圖象的一個對稱中心為點；④函數(shù)的值域為.A．①② B．③④ C．①③ D．②④4．（2022秋·福建·高三?？茧A段練習）函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·高三模擬）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．98 B．100 C．102 D．2006．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的零點為x軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．117．（2023·四川綿陽·三臺中學?？家荒＃┮阎瘮?shù)的最小正周期為，若在上有兩個實根，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2022春·安徽滁州·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)，有三個不同的零點，，，且，則的范圍為（

）A． B． C． D．9．（2020·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有且只有三個零點，則屬于A． B． C． D．二、多選題10．（2023秋·湖南湘潭·高一湘潭縣一中?？计谀┮阎瘮?shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的值域為B．當且僅當時，函數(shù)取得最大值C．的最小正周期是D．當且僅當時，11．（2023春·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．為偶函數(shù)B．的最小值為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．方程在區(qū)間內(nèi)的所有根的和為二、填空題12．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．13．（2023春·高三模擬）若方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.14．（2022秋·河北·高三統(tǒng)考階段練習）定義在上的函數(shù)滿足且.當時，.則函數(shù)在區(qū)間上所有的零點之和為.15．（2022·高三階段練習）方程的所有根的和為．第3講數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應用我國著名數(shù)學家華羅庚曾針對數(shù)形結(jié)合思想作了一首著名的詩：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合，主要指的是數(shù)與形之間的一種對應關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，達到“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。在三角函數(shù)的學習過程中，如三角函數(shù)的定義域，值域，周期性，奇偶性，單調(diào)性，對稱性等都可以從三角函數(shù)的圖象上直觀的顯現(xiàn)出來，而利用三角函數(shù)的圖象又非常容易理解三角函數(shù)的這些性質(zhì)。因此，明確研究三角函數(shù)問題都可用代數(shù)和幾何相結(jié)合的思想方法，即數(shù)形結(jié)合思想，來拓寬思維空間，提高解決問題的能力。例如數(shù)形結(jié)合思想在含絕對值的三角函數(shù)、在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω及在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中都有廣泛的重要應用，而本文會重點就數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的幾類應用展開詳細講解。【應用一】數(shù)形結(jié)合思想在含絕對值的三角函數(shù)中的應用我們在學習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，經(jīng)常會遇到給定（）的函數(shù)解析式，求周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心及判斷奇偶性，此時我們可以直接利用公式或整體思想計算而得。但有時也會遇到這樣一類題，給定的三角函數(shù)解析式中含有絕對值，例如：、、、等，此時仍然考查周期、最值、單調(diào)區(qū)間、對稱軸、對稱中心及判斷奇偶性，那么我們該如何求解呢？面對這類題，如果我們能把對應三角函數(shù)的圖象畫出來，借助數(shù)形結(jié)合思想則可求解上述問題，例如下面這道例題：【例1】（2023春·山東·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于對稱B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．若，則D．函數(shù)的最小值為通過觀察及上述方法介紹的學習，本題用數(shù)形結(jié)合思想來求解，那么我們應該怎么去化簡函數(shù)和畫出圖象呢？首先先分類討論去絕對值，當時，即，當時，即，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：結(jié)合圖象即可得到答案【答案】A【分析】本題首先可以去絕對值，將函數(shù)變成分段函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)解析式繪出函數(shù)圖像，最后結(jié)合函數(shù)圖像即可得出答案.【詳解】由題意可得：，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：故對稱軸為，A正確；由圖像易知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，B錯誤；要使，則，由圖象可得或、或，故或或，C錯誤；當時，函數(shù)取最小值，最小值，D錯誤，故選：A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角函數(shù)的對稱軸、三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于給定、、、等函數(shù)解析式,可以先去掉絕對值，再畫出圖象，從而利用數(shù)形結(jié)合思想來求解相關(guān)問題，可通過學習這一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究稍復雜型帶絕對值的同類題型求解?！咀兪?.1】（2022·湖南·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)，現(xiàn)有下述四個結(jié)論：①的最小正周期為；②曲線關(guān)于直線對稱；③在上單調(diào)遞增；④方程在上有4個不同的實根.其中所有正確結(jié)論的編號是（

）A．②④ B．①③④ C．②③④ D．①②④【答案】D【分析】結(jié)合二倍角公式對函數(shù)進行變形可得，作出在上的圖象，可知四個命題的正確性.【詳解】解：，作出在上的圖象（先作出的圖象，再利用平移變換和翻折變換得到的圖象），如圖所示，由圖可知①②④正確，③錯誤.故所有正確結(jié)論的編號是①②④.故選:D.【點睛】本題考查了二倍角公式，考查了分段函數(shù)的圖像的做法，考查了三角函數(shù)的圖像，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合.本題的關(guān)鍵是對已知函數(shù)進行整理變形后，畫出其函數(shù)的圖像.【變式1.2】（2022·安徽·高三模擬）（多選）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．的增區(qū)間為，B．的對稱軸為，C．，使得對恒成立D．，若，則，【答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性，得出函數(shù)為偶函數(shù)且周期為周期函數(shù)，進而只需要研究上圖象即可，先畫出函數(shù)在上圖象，利用性質(zhì)即可畫出函數(shù)在上圖象，結(jié)合圖象即可以判斷各選項.【詳解】為偶函數(shù)，為函數(shù)的周期，因此只需要研究上圖象即可，當時，，再根據(jù)偶函數(shù)和周期性得到，的圖象，如圖所示由圖可知：的增區(qū)間為，，故A正確；的對稱軸為，，故B正確；的最小正周期為，故C不正確；，，故D正確.故選:ABD.【變式1.3】（2023春·安徽合肥·高一合肥市第八中學?？计谥校ǘ噙x）已知函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的最正周期為B．若，則C．在區(qū)間上是增函數(shù)D．的對稱軸是【答案】ABD【分析】把函數(shù)化成分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷AC，由余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C，再結(jié)合圖象利用函數(shù)對稱性的性質(zhì)判斷D.【詳解】依題意，，函數(shù)部分圖象如圖，

由圖象知函數(shù)是周期函數(shù)，周期為，故A正確；因且，則當時，且，則且，，因此，，，B正確；觀察圖象知，在區(qū)間上不單調(diào)，所以在區(qū)間上不是增函數(shù)，故C不正確；觀察圖象知，，是函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸，且相距半個周期長，事實上，即圖象關(guān)于對稱，同理有圖象關(guān)于對稱，而函數(shù)的周期是，所以函數(shù)圖象對稱軸，D正確.故選：ABD【應用二】數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω的應用我們在學習三角函數(shù)圖象與性質(zhì)及三角恒等變換綜合時，會遇到這樣一類題，給出對應的三角函數(shù)的解析式，已知單調(diào)性、奇偶性或?qū)ΨQ性求ω的范圍，我們可以借助整體思想求解即可。但有時也會遇到這樣一類題，給定三角函數(shù)在確定區(qū)間內(nèi)有幾個零點或幾個極值點求ω的范圍，那么此時我們應該如何求解呢？考慮到題干當中已經(jīng)給出了確定的零點或極值點個數(shù)，如果我們能畫出圖象，并且能夠直觀的從圖象中讀出零點或極值點個數(shù)，從而確定區(qū)間范圍，再而可確定參數(shù)ω的范圍，則所求問題可求解，那么問題關(guān)鍵是我們能不能作出圖象？又該怎樣作出圖象呢？我們還是可以結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)借助五點作圖法來作圖，不妨先看下面這道例題：【例2】（2022秋·山西運城·高三?？迹┮阎瘮?shù)，若在區(qū)間上有且僅有4個零點和1個極大值點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．觀察本題，角度是統(tǒng)一的，但函數(shù)名及次數(shù)不統(tǒng)一，我們可以先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時我們可以換元作圖，令，由，則，則，，作圖如下：有4個零點和1個極大值點，即右端點即可求解【答案】D【分析】先利用輔助角公式得到，設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且僅有4個零點和1個極大值點，再結(jié)合圖象進行求解.【詳解】，令，由，則；因為在區(qū)間上有且僅有4個零點和1個極大值點，即在上有且僅有4個零點和1個極大值點.作出的圖象（如圖所示），則，解得，故的取值范圍是.故選：D.【思維提升】通過本題我們不難發(fā)現(xiàn)，在三角函數(shù)已知零點或極值點求ω,往往可以數(shù)形結(jié)合思想來作圖求解，如較復雜型函數(shù)則可通過誘導公式或三角恒等變換公式,將其轉(zhuǎn)化為形如（）等形式，進而結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì)可求解，可通過學習這一道題會一類題的效果。未來我們也可以用同樣的方法來研究三角函數(shù)中已知的其他綜合條件來求ω的綜合問題。【變式2.1】（2022秋·北京·高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個極值點和三個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，由已知可得，根據(jù)已知可得，應使在上有兩個極值點、三個零點，根據(jù)余弦函數(shù)的圖象即可得到關(guān)于的不等式，求解即可得到的取值范圍.【詳解】令，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間有兩個極值點、三個零點，只需函數(shù)在上有兩個極值點、三個零點即可.又因為的極值點即為的最值點，即在對稱軸處取得極值.作出的圖象，，.根據(jù)函數(shù)圖象可知，需滿足，即，即，解得，所以的取值范圍是.故選：C.【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間恰有3個零點，4個極值點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出的范圍，然后結(jié)合函數(shù)圖象、零點個數(shù)和極值點個數(shù)可，進而求出可得答案.【詳解】因為，所以，因為在區(qū)間內(nèi)恰好有3個零點，4個極值點，結(jié)合函數(shù)圖象可得：，解得，的取值范圍是.故選：A.【變式2.3】（2022·江蘇高三校考階段練習）已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用兩角和正弦公式和輔助角公式將函數(shù)整理為，由，得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像求得的范圍，從而求得的范圍.【詳解】當時，在有且僅有3個零點，結(jié)合正弦函數(shù)圖像可知，解得：故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，解答本題關(guān)鍵是先利用三角恒等變換公式將三角函數(shù)整理為形式，再利用數(shù)形結(jié)合思想求解，考查學生的數(shù)形結(jié)合與計算能力，屬于中檔題.【應用三】數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中的應用我們在學習函數(shù)的應用時學習到函數(shù)零點的定義和函數(shù)零點存在性定理的應用，我們知道求函數(shù)的零點可以等價轉(zhuǎn)化為對應方程的根或圖象交點的橫坐標。而在學習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，我們?nèi)匀粫龅揭阎P(guān)于三角函數(shù)的解析式求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）的系列問題。在學習函數(shù)應用時我們也曾作出圖象求解，那么在三角函數(shù)的相關(guān)問題求解中，我們同意可以利用數(shù)形結(jié)合思想求解，例如下面3道例題：【例3.1】（2023春·高三練習）方程的解的個數(shù)是A．0個 B．1個 C．2個 D．3個本題不難，分別作出和的圖象，觀察圖象，即可得到交點個數(shù)【答案】D【分析】先在同一坐標系中分別作出函數(shù)，的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得圖象交點個數(shù)，即方程的根的個數(shù).【詳解】解：在同一坐標系中分別作出函數(shù)，的圖象如圖：由圖可知函數(shù)，的圖象有3個交點，即方程的解有3個.故選：D.【點睛】本題考查了方程的根和函數(shù)的交點間的轉(zhuǎn)化，正弦函數(shù)、一次函數(shù)的圖象及畫法，考查了數(shù)形結(jié)合求交點個數(shù)的方法，是基礎(chǔ)題.【例3.2】（2023秋·福建龍巖·高三統(tǒng)考）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（

）A．6 B．8 C．12 D．16觀察本題，的系數(shù)里有，不能直接作出的圖象，那么我們該怎樣把問題等價轉(zhuǎn)換呢？結(jié)合函數(shù)零點的定義，我們可以轉(zhuǎn)換成對應方程的根或?qū)獌蓚€圖象的交點，我們不妨先把函數(shù)化簡，，令，即，于是我們可以轉(zhuǎn)換成兩圖象交點問題，可以發(fā)現(xiàn)與均關(guān)于點對稱，作圖如下：結(jié)合圖象即可求得零點之和即交點橫坐標之和【答案】B【分析】根據(jù)題意整理可得，將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為與的交點問題，利用圖象結(jié)合對稱性分析運算.【詳解】由題意可得：，令，且，可得，∵與均關(guān)于點對稱，由圖可設(shè)與的交點橫坐標依次為，根據(jù)對稱性可得，故函數(shù)在上所有零點之和為.故選：B.【點睛】方法點睛：判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法（1）直接求零點：令f(x)＝0，則方程解的個數(shù)即為零點的個數(shù)；（2）零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點；（3）數(shù)形結(jié)合：對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合，看其交點的個數(shù)有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．【例3.3】（2022·北京·高三專題練習）若方程有兩個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．觀察本題，角度是統(tǒng)一的，但函數(shù)名及次數(shù)不統(tǒng)一，我們可以先用輔助角公式把函數(shù)名統(tǒng)一，即，此時我們可以換元作圖，原方程可等價于，于是我們可以畫出，如圖：結(jié)合圖象即可求得即的取值范圍【答案】D【分析】由題意結(jié)合三角恒等變換轉(zhuǎn)化條件為在上有兩個不同的實數(shù)根，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意，所以在上有兩個不同的實數(shù)根，作出函數(shù)的圖象，如圖：由題意要使直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，則，解得.所以k的取值范圍是.故選：D.【點睛】本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)圖象的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想與數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.【例3.4】（2023·高三練習）函數(shù)和的圖象在區(qū)間上交點的橫坐標之和為（

）A．6 B．4 C．8 D．12通過計算和類比思想，我們可以發(fā)現(xiàn)故是函數(shù)和的對稱中心，則本題直接可以作出與的圖象，如圖所示：結(jié)合圖象和對稱性即可求得交點橫坐標之和【答案】C【分析】由題意求得的最小正周期和對稱中心及的對稱中心，分別作出它們的圖像，得交點的個數(shù)與特征，即可求交點的橫坐標之和.【詳解】解：，，令，則，所以函數(shù)的對稱中心為，因為是由函數(shù)向右平移2個單位得到的，所以關(guān)于對稱，故是函數(shù)和的對稱中心，畫出兩函數(shù)的圖像如圖所示：故兩函數(shù)有四個交點，設(shè)從左到右依次為，根據(jù)對稱性，則關(guān)于對稱，也關(guān)于對稱，所以，即函數(shù)和的圖象在區(qū)間上交點的橫坐標之和為8.故選：C.【思維提升】通過兩題我們不難發(fā)現(xiàn)，對于在三角函數(shù)求交點個數(shù)（解的個數(shù)、交點橫坐標之和）、方程的根及零點個數(shù)（零點之和）中的問題中，我們都可以用數(shù)形結(jié)合的思想結(jié)合具體函數(shù)作出圖象。從而可直觀求解出對應問題，未來我們也可以用同樣的方法來研究較為復雜型的三角函數(shù)的性質(zhì)及零點、交點、方程的根的綜合問題?！咀兪?.1】（2023春·江蘇南京·高一南京市第二十九中學?？计谀┰O(shè)常數(shù)使方程在區(qū)間上恰有五個解，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，作出函數(shù)在上的圖像，判斷方程在區(qū)間上恰有五個解的條件，解方程.【詳解】作出函數(shù)在上的圖像:由圖像可知，在區(qū)間上恰有五個解，只有時才能成立，由，解得：，，，，，故選：C【變式3.2】（2022·全國·高三專題練習）設(shè)，關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由且有個不同的實數(shù)解，可知與有兩個交點，結(jié)合圖象并列不等式，即可求出的范圍【詳解】∵∴，則由于關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，結(jié)合如下圖示

∴故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)實數(shù)解的個數(shù)求參數(shù)范圍【變式3.3】（2022春·江西贛州·高一贛州市贛縣第三中學?？茧A段練習）若方程在內(nèi)有解，則a的取值范圍是.【答案】【分析】由題得，令，，再利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.【詳解】解：由題得，令，，二次函數(shù)的對稱軸為，由二次函數(shù)的圖象得當時，；當時，.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式3.4】（2022秋·江蘇·高三專題練習）已知函數(shù)，有三個不同的零點、、，且，則的值為（

）A． B．C． D．不能確定【答案】A【分析】作出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象以及函數(shù)的圖象，利用對稱性可求得的值.【詳解】畫出函數(shù)在內(nèi)的圖象以及的圖象如下圖所示，令，，則，可得或，解得或，令，可得，解得.由圖象可知點、關(guān)于直線對稱，點、關(guān)于直線對稱，故，，所以.故選：A.【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的零點求零點之和，考查了正弦型函數(shù)圖象對稱性的應用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.【變式3.5】（2022春·河南安陽·高一林州一中校考階段練習）函數(shù)在上有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件得在上有兩個零點，令，，畫出的圖象后數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】令，得．因為，令，，因為函數(shù)在有2個零點，所以直線和的圖象有兩個交點．作出的圖象，如圖，數(shù)形結(jié)合可知，．故選：B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)的零點問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.【變式3.6】（2020秋·浙江溫州·高一溫州中學?？茧A段練習）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，，，，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得有5個根，作出的圖像，利用正弦型函數(shù)圖像的對稱性，找出間的關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)恰有5個零點，知有5個根，由五點法作圖，02πx0100如圖，可知過點，，，又則，，，故選：D.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解【變式3.7】（2022秋·四川廣安·高三四川省岳池縣第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)，，若方程有三個不同的實數(shù)根，且三個根從小到大依次成等比數(shù)列，則實數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比中項以及余弦函數(shù)的對稱性列式求得，進而可得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)方程的三個不同的實數(shù)根從小到大依次為，，則，解得，所以.故選：A.【變式3.8】（2022秋·浙江杭州·高一杭州外國語學校?？计谥校┮阎P(guān)于的方程在區(qū)間上存在兩個根，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】令，問題等價于直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，利用數(shù)形結(jié)合思想即可得解.【詳解】由，可得，，令，問題等價于直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點，如下圖所示：由圖象可知，當時，即當時，直線與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個交點.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用三角方程根的個數(shù)求參數(shù)，一般轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)來求解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.【變式3.9】（2023·福建·高三福建高三?？迹┖瘮?shù)，，滿足，若，在有兩個實根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由對稱性求得的解析式，方法1：換元后畫圖研究交點個數(shù)可得m的范圍；方法2：直接畫的圖象研究交點個數(shù)可得m的范圍.【詳解】∵，∴關(guān)于對稱，∴，，解得：，，又∵，∴，∴方法1：，，即：，，設(shè)，則在有兩個實根，即：在有兩個交點，如圖所示，當時，，∴，即：，故選：A.方法2：∵在有兩個實根，∴在有兩個交點，如圖所示，當時，∴，即：即：，故選：A.【變式3.10】（2022·貴州貴陽·高三統(tǒng)考）已知函數(shù)，若直線與的圖象恰有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．（-2，2） B．（-1，2） C．（1，2） D．（0，2）【答案】C【分析】化簡函數(shù)解析式為,做出函數(shù)的圖象,數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍.【詳解】因為,所以.由,做出的圖象如圖所示:直線與的圖象恰有兩個交點,只需滿足有兩個解.即即可.故選:C.【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的最大值和單調(diào)性,函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的圖象特征,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想,屬于中檔題.【變式3.11】（2022·廣東中山·高三校考階段練習）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點的橫坐標之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題及函數(shù)性質(zhì)可知，兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點對稱，分別作出兩個函數(shù)的圖象，由函數(shù)的對稱性性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象均關(guān)于點對稱，作圖如下：所以由圖可知，兩個函數(shù)在上共有個交點，且兩兩關(guān)于點對稱，設(shè)對稱的兩個點的橫坐標分別為，則，個交點的橫坐標之和為.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想,且其關(guān)鍵點是能正確作圖，屬于中檔題.【變式3.12】（2022春·安徽安慶·高三校聯(lián)考階段練習）函數(shù)與的圖像有個交點，其坐標依次為，，，，則（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【分析】由已知函數(shù)解析式可知兩個函數(shù)對稱中心均為為，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象根據(jù)對稱性即可得到答案．【詳解】，兩個函數(shù)對稱中心均為為，在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知共有四個交點，且關(guān)于對稱，故．故選：A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，中心對稱圖形的特點，屬于中檔題．鞏固練習一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出圖象，再利用圖象翻折得到觀察圖象可得周期.【詳解】由的圖象可知，.故選：B.【點睛】本題考查三角函數(shù)型的圖像與性質(zhì).三角函數(shù)周期的求解公式法：或的最小正周期為，的最小正周期為2．（2022春·山西晉中·高一?？茧A段練習）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②在上是減函數(shù)；③在上有三個零點；④的最小值是0.其中所有正確結(jié)論編號是（

）A．①②④ B．②③ C．①③ D．①④【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象逐一核對四個命題得答案．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，，故是偶函數(shù)，故①正確；在區(qū)間上單調(diào)遞減，故②正確；在上有無數(shù)個零點，故③錯誤；的最小值是0.，故④正確．故選：A．【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，作出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵，是中檔題．3．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是①函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為；②函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增；③函數(shù)圖象的一個對稱中心為點；④函數(shù)的值域為.A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據(jù)題意寫出分段函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)逐一進行分析即可．【詳解】由題意可知，函數(shù)即，作出函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖象可知函數(shù)關(guān)于對稱，故①正確；由圖象可知函數(shù)閉區(qū)間上單調(diào)遞增，故②正確的；當時，，可知③錯誤；由解析式和圖象可知，故④錯誤的.故選：A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象，本題的關(guān)鍵是作出函數(shù)的圖象，屬于中檔題．4．（2022秋·福建·高三?？茧A段練習）函數(shù)的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先分類討論去絕對值號，得出函數(shù)的解析式，然后畫出函數(shù)與的圖象進行判斷.【詳解】，如圖所示，要使的圖象與直線有且僅有兩個不同的交點，則只需.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，較簡單，畫出函數(shù)的圖象是關(guān)鍵.5．（2023·高三模擬）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．98 B．100 C．102 D．200【答案】B【解析】化簡函數(shù)，令，轉(zhuǎn)化為方程，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和的圖象，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，令，即，即，在同一個坐標系中分別作出和的圖象.結(jié)合指數(shù)函數(shù)和的圖象，可得一個周期內(nèi)有2個交點，即一個周期內(nèi)有2個零點，所以所求交點的個數(shù)為(個).故選：B.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點個數(shù)的判定，以及正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用，其中解答中結(jié)合指數(shù)函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象，求得一個周期內(nèi)零點的個數(shù)是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)的零點為x軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】先確定出，然后數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的圖象與軸交于所有的整數(shù)點，所以函數(shù)的最小正周期為2，則又，且，則，所以.解法一：作出函數(shù)，的大致圖象，根據(jù)圖象可以得到兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)為11，故選：D.解法二：因為，當時，，此時與的圖象無交點.當時，與的圖象有交點，且交點個數(shù)為5，根據(jù)對稱性可知，當時，與的圖象的交點個數(shù)為5.與的圖象均經(jīng)過原點，則函數(shù)的圖象與的圖象的交點個數(shù)為11.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于根據(jù)已知條件求出.7．（2023·四川綿陽·三臺中學?？家荒＃┮阎瘮?shù)的最小正周期為，若在上有兩個實根，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)可得，將問題轉(zhuǎn)化為在上與有兩個交點且交點橫坐標之差，應用數(shù)形結(jié)合確定的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，，則，即，又在上有兩個實根，，且，上，，則的圖象如下：

∴要使，則對應，∴當時，有兩個交點且.故選：D8．（2022春·安徽滁州·高三?？奸_學考試）已知函數(shù)，有三個不同的零點，，，且，則的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，將函數(shù)的零點問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線的交點橫坐標問題進行研究.根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性質(zhì)得到,進而得到，結(jié)合圖象和正弦函數(shù)的最大值，得到的取值范圍，進而得到的取值范圍.【詳解】令，當時，，的圖象如圖所示，由對稱性可知，∴,又∵，∴，,故，∴,故選：.9．（2020·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有且只有三個零點，則屬于A． B． C． D．【答案】D【分析】有且僅有三個不同零點等價于與有且僅有三個不同交點，數(shù)形結(jié)合知當與相切時，滿足題意，利用導數(shù)的幾何意義可得，進一步得到，所以，再求出的范圍即可得到答案.【詳解】由已知，有且僅有三個不同零點等價于方程有且僅有三個不同實根，等價于與有且僅有三個不同交點，如圖當與相切時，滿足題意，因為，所以，且，消a得由誘導公式，有，又，所以.故選：D【點睛】本題考查已知函數(shù)的零點