2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】以導(dǎo)數(shù)為工具研究不等式問(wèn)題，著重掌握轉(zhuǎn)化與化歸思

想、函數(shù)與方程思想等.【考情概述】用導(dǎo)數(shù)研究不等式問(wèn)題是新高考的高頻考點(diǎn)，也是熱點(diǎn)

問(wèn)題，難度較大，常以壓軸題的形式進(jìn)行考查.

考點(diǎn)一

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例1已知函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

－1，

g

（

x

）＝ln

x

－1，其中e為自然對(duì)數(shù)的

底數(shù).當(dāng)

x

＞0時(shí)，求證：

f

（

x

）≥

g

（

x

）＋2.

方法二：當(dāng)

x

＞0時(shí)，e

x

－1≥

x

－1＋1，ln

x

≤

x

－1，所以當(dāng)

x

＞0時(shí)，e

x

－1≥

x

－1－1＋2≥ln

x

－1＋2.所以

f

（

x

）≥

g

（

x

）＋2.總結(jié)提煉

1.當(dāng)待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造

“左減右”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)

性即可得證.2.在證明不等式時(shí)，若無(wú)法或難以轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題，則可

以考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1.已知函數(shù)

f

（

x

）＝e

x

＋

x

2－

x

－1.（1）

求

f

（

x

）的最小值；解：（1）

由題意，得f'（

x

）＝e

x

＋2

x

－1，易知f'（

x

）在R上單調(diào)遞

增，且f'（0）＝0.所以當(dāng)f'（

x

）＞0時(shí)，

x

＞0；當(dāng)f'（

x

）＜0時(shí)，

x

＜

0.所以

f

（

x

）在區(qū)間（－∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，＋∞）上單

調(diào)遞增.所以

f

（

x

）min＝

f

（0）＝0.（2）

求證：e

x

＋

x

ln

x

＋

x

2－2

x

＞0.解：（2）

證明：要證e

x

＋

x

ln

x

＋

x

2－2

x

＞0，即證e

x

＋

x

2－

x

－1＞

－

x

ln

x

＋

x

－1，即證

f

（

x

）＞－

x

ln

x

＋

x

－1.由（1）可知，當(dāng)

x

＞0

時(shí)，

f

（

x

）＞0恒成立.設(shè)

g

（

x

）max＝－

x

ln

x

＋

x

－1，則g'（

x

）＝－

ln

x

.由g'（

x

）＞0，得0＜

x

＜1；由g'（

x

）＜0，得

x

＞1.所以

g

（

x

）

在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞減.所以

g

（

x

）max＝

g

（1）＝0.所以

f

（

x

）＞

g

（

x

），即e

x

＋

x

2－

x

－1＞－

x

ln

x

＋

x

－1.所以e

x

＋

x

ln

x

＋

x

2－2

x

＞0.考點(diǎn)二

含參不等式恒成立或存在性問(wèn)題例2（1）

（多選）（2022·永州?？迹┮阎x在R上的奇函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間（－∞，0]上單調(diào)遞增，則“對(duì)于任意的

x

∈（0，1]，不

等式

f

（

a

e

x

＋2

x

）＋

f

（

x

ln

x

－

x

2）≥0恒成立”的充分不必要條件可

以是（

CD

）CD

總結(jié)提煉

1.不等式恒成立問(wèn)題的處理方法（1）

轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值①

若不等式

A

＜

f

（

x

）在區(qū)間

D

上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間

D

上，

A

＜

f

（

x

）

min

；②

若不等式

B

＞

f

（

x

）在區(qū)間

D

上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間

D

上，

B

＞

f

（

x

）

max

.（2）

分離參數(shù)法①

將參數(shù)與變量分離，即化為

g

（λ）≥

f

（

x

）（或

g

（λ）≤

f

（

x

））恒成立的形式；②

求函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間

D

上的最大（或最?。┲?；③

解不等式

g

（λ）≥

f

（

x

）

max

（或

g

（λ）≤

f

（

x

）

min

），得實(shí)數(shù)λ

的取值范圍.（3）

轉(zhuǎn)換為函數(shù)的圖象問(wèn)題①

若不等式

f

（

x

）＞

g

（

x

）在區(qū)間

D

上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間

D

上函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的圖象在函數(shù)

y

＝

g

（

x

）的圖象的上方；②

若不等式

f

（

x

）＜

g

（

x

）在區(qū)間

D

上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間

D

上函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的圖象在函數(shù)

y

＝

g

（

x

）的圖象的下方.2.含有一個(gè)量詞的存在性問(wèn)題的處理方法（1）

轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值；（2）

分離參數(shù)法；（3）

轉(zhuǎn)換為函數(shù)的圖象問(wèn)題；（4）

轉(zhuǎn)換為恒成立問(wèn)題.

考點(diǎn)三

含雙量詞的恒成立或存在性問(wèn)題例3已知函數(shù)

f

（

x

）＝

a

e

x

－

x

－

a

e.若存在

a

∈（－1，1），使得關(guān)

于

x

的不等式

f

（

x

）－

k

≥0恒成立，求實(shí)數(shù)

k

的取值范圍.解：方法一：①

當(dāng)

x

＝1時(shí)，

f

（1）－

k

＝－1－

k

≥0，所以

k

≤－1.②

當(dāng)

x

＞1時(shí)，令

m

（

a

）＝

f

（

x

）＝

a

e

x

－

x

－

a

e＝（e

x

－e）

a

－

x

，易

知e

x

－e＞0.因?yàn)榇嬖?/p>

a

∈（－1，1），使得

m

（

a

）－

k

≥0恒成立，且

m

（

a

）在區(qū)間（－1，1）上單調(diào)遞增，所以

k

＜

m

（1）＝e

x

－e－

x

恒成立.令

g

（

x

）＝e

x

－e－

x

（

x

＞1），則g'（

x

）＝e

x

－1＞0，所以

g

（

x

）在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞增.所以

g

（

x

）＞

g

（1）＝－1，

則

k

≤－1.③

當(dāng)

x

＜1時(shí)，令

n

（

a

）＝

f

（

x

）＝

a

e

x

－

x

－

a

e＝（e

x

－e）

a

－

x

，易知e

x

－e＜0.

因?yàn)榇嬖?/p>

a

∈（－1，1），使得

n

（

a

）－

k

≥0恒成立，且

n

（

a

）在

區(qū)間（－1，1）上單調(diào)遞減，所以

k

＜

n

（－1）＝e－e

x

－

x

恒成立.令

h

（

x

）＝e－e

x

－

x

（

x

＜1），則h'（

x

）＝－e

x

－1＜0，所以

h

（

x

）

在區(qū)間（－∞，1）上單調(diào)遞減.所以

h

（

x

）＞

h

（1）＝－1，則

k

≤－

1.綜上所述，實(shí)數(shù)

k

的取值范圍是（－∞，－1].

[變式演練]已知函數(shù)

f

（

x

）＝

a

e

x

－

x

－

a

e.若對(duì)任意的

a

∈（－1，1），存在

x

∈

（－1，1），使得

f

（

x

）－

k

≥0成立，求實(shí)數(shù)

k

的取值范圍.

1.（2020·全國(guó)Ⅱ卷改編）已知函數(shù)

f

（

x

）＝2ln

x

＋1.若

f

（

x

）≤2

x

＋

c

，求實(shí)數(shù)

c

的取值范圍.

對(duì)接高考2.（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷改編）求證：當(dāng)0＜

x

＜1時(shí)，

x

－

x

2＜

sin

x

＜

x

.證明：設(shè)

g

（

x

）＝

x

－

x

2－

sin

x

，

x

∈（0，1），則g'（

x

）＝1－2

x

－

cos

x

，所以g''（

x

）＝－2＋

sin

x

＜0.所以g'（

x

）在區(qū)間（0，1）

上單調(diào)遞減.所以g'（

x

）＜g'（0）

＝0.所以

g

（

x

）在區(qū)間（0，1）上

單調(diào)遞減.所以

g

（

x

）＜

g

（0）＝0，即

x

－

x

2－

sin

x

＜0，

x

∈（0，

1）.所以

x

－

x

2＜

sin

x

，

x

∈（0，1）.設(shè)

h

（

x

）＝

x

－

sin

x

，

x

∈

（0，1），則h'（

x

）＝1－

cos

x