專題05 中點模型之中位線、斜邊中線、中點四邊形期末真題匯編【六大題型+提升題】（原卷版）-2024學年八年級數(shù)學下學期期末真題分類匯編人教版

專題05中點模型之中位線、斜邊中線、中點四邊形期末真題匯編之六大題型中點模型是初中數(shù)學中一類重要模型，主要是結合三角形、四邊形、圓的運用，在各類考試中都會出現(xiàn)中點問題，有時甚至會出現(xiàn)在壓軸題當中，我們不妨稱之為“中點模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學習有著十分重要的意義.常見的中點模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點”構造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④中位線模型；⑤直角三角形斜邊中點模型；⑥中點四邊形模型.本專題就中點模型的后三類模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握.模型1：中位線模型三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.如圖，在三角形ABC的AB，AC邊的中點分別為D、E，則DE//BC且，△ADE∽△ABC.中點三角形：三角形三邊中點的連線組成的三角形，其周長是原三角形周長的一半，面積是原三角形面積的四分之一.模型運用條件：構造中位線（出現(xiàn)多個中點時）.模型2：直角三角形斜邊中線模型定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如圖1，若AD為斜邊上的中線，則：（1）；（2），為等腰三角形；（3），．圖1圖2拓展：如圖2，在由兩個直角三角形組成的圖中，M為中點，則（1）；（2）．模型運用條件：連斜邊上的中線（出現(xiàn)斜邊上的中點時）模型3：中點四邊形模型中點四邊形：依次連接四邊形四邊中點連線的四邊形得到中點四邊形.中點四邊形是中點模型中比較經(jīng)典的應用.中點四邊形不僅結合了常見的特殊四邊形的性質，而且還會涉及中位線這一重要知識點，總體來說屬于比較綜合的幾何模塊.結論1：順次連結任意四邊形各邊中點組成的四邊形是平行四邊形．如圖1，已知點M、N、P、Q是任意四邊形ABCD各邊中點，則四邊形MNPQ為平行四邊形.圖1圖2圖3圖4結論2：順次連結對角線互相垂直四邊形各邊中點組成的四邊形是矩形．（特例：箏形與菱形）如圖2，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為矩形.結論3：順次連結對角線相等四邊形各邊中點組成的四邊形是菱形．（特例：等腰梯形與矩形）如圖3，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，則四邊形MNPQ為菱形.結論4：順次連結對角線相等且垂直的四邊形各邊中點組成的四邊形是正方形．如圖4，已知點M、N、P、Q是四邊形ABCD各邊中點，AC=DB，AC⊥DB，則四邊形MNPQ為正方形.推廣與應用1）中點四邊形的周長：中點四邊形的周長等于原四邊形對角線之和.2）中點四邊形的面積：中點四邊形的面積等于原四邊形面積的.與三角形中位線有關的求解問題例題：（23-24八年級上·山東濰坊·期末）如圖，在矩形中，對角線，相交于點，點是邊的中點，點在對角線上，且，連接．若，則．

【變式訓練】1．（23-24九年級上·重慶萬州·期末）如圖，是的中位線，的角平分線交于點F，若，則的長為．

2．（23-24九年級上·山東淄博·期末）如圖，已知，延長直角邊BC至點D，使，E為直角邊AC上的點，且，連接ED，P，Q分別為AB，ED的中點，連接PQ，則．三角形中位線與三角形面積問題例題：（22-23八年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，是的中點，在上且，連接，相交于點，則．

【變式訓練】1．（22-23八年級上·山東煙臺·期末）如圖，是的中位線，F(xiàn)是的中點，的延長線交于點G，若的面積為，則的值為．2．（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，的面積是16，點D，E，F(xiàn)，G分別是，，，的中點，則四邊形的面積是．

與三角形中位線有關的證明例題：（23-24八年級上·山東淄博·期末）如圖，在四邊形中，，點P是對角線的中點，M是的中點，N是的中點，延長線段交的延長線于點E，延長線段交的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，求的大小．【變式訓練】1．（21-22九年級上·四川眉山·期末）如圖，四邊形中，，P是對角線的中點，M是的中點，N是的中點．(1)判斷的形狀，并證明；(2)當、所在直線存在什么關系時，．2．（23-24九年級上·云南昆明·期末）數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑，通過猜想探究圖形的變化規(guī)律，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地．如圖1，在等邊中，點，分別在邊，上，，連接，，點，，分別是，，的中點．(1)觀察猜想圖1中的形狀是______；(2)探究證明把繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，的形狀是否發(fā)生改變？并說明理由．三角形中位線的實際應用例題：（22-23八年級下·吉林·期末）如圖，為估計池塘兩岸邊A，B兩點間的距離，在池塘的一側選取點O，分別取的中點M，N，測得，則A，B兩點間的距離是．

【變式訓練】1．（22-23八年級下·湖南岳陽·期末）在數(shù)學實踐活動中，為了測量校園內被花壇隔開的A，B兩點的距離，同學們在外選擇一點C，測得，兩邊中點的距離為15m，則A，B兩點的距離是m．

2．（21-22八年級下·河南鄭州·期末）如圖所示，李叔叔家有一塊呈等邊三角形的空地已知分別是的中點，測得，李叔叔想把四邊形用籬笆圍成一圈放養(yǎng)小雞，則需要籬笆的長是直角三角形斜邊中線模型例題：（22-23八年級下·吉林·期末）如圖，在中，點D是斜邊的中點，過點D作于點E，連接，過點E作的平行線，交的延長線于點F．若，則的長為．【變式訓練】1．（23-24九年級上·貴州黔東南·期末）如圖，在中，，，，點P是內一動點，且，點Q是的中點，則的最小值為．2．（23-24八年級上·浙江寧波·期末）如圖，在中，為斜邊的中點，將沿中線翻折，點落在點，連結．（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，則的長為．中點四邊形模型例題：（22-23八年級下·浙江湖州·期末）定義：對角線垂直的四邊形叫做“對垂四邊形”．如圖，在“對垂四邊形”中，對角線與交于點O，．若點E、F、G、H分別是邊、、、的中點，且四邊形是“對垂四邊形”，則四邊形的面積是．【變式訓練】1．（21-22八年級下·江蘇南京·期末）如圖，E，F(xiàn)，G，H是四邊形ABCD各邊的中點．(1)證明：四邊形EFGH為平行四邊形．(2)若四邊形ABCD是矩形，且其面積是，則四邊形EFGH的面積是________2．（21-22八年級下·浙江寧波·期末）定義：對于一個四邊形，我們把依次連接它的各邊中點得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點四邊形”．如果原四邊形的中點四邊形是個正方形，我們把這個原四邊形叫做“中方四邊形”．概念理解：下列四邊形中一定是“中方四邊形”的是_____________．A．平行四邊形

B．矩形

C．菱形

D．正方形性質探究：如圖1，四邊形ABCD是“中方四邊形”，觀察圖形，寫出關于四邊形ABCD的兩條結論；問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側作正方形ABDE和正方形ACFG，連接BE，EG，GC．求證：四邊形BCGE是“中方四邊形”；拓展應用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點，（1）試探索AC與MN的數(shù)量關系，并說明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．一、單選題1．（22-23八年級下·云南楚雄·期末）如圖，在中，，，分別是邊，的中點，，，則（

）A． B． C． D．2．（22-23八年級上·山東青島·期末）如圖所示，順次連接四邊形各邊中點得到四邊形，使四邊形為正方形，應添加的條件分別是（

）A．且 B．且C．且 D．且3．（23-24九年級上·四川樂山·期末）如圖，中，E，F(xiàn)分別是，的中點，點D在上，延長交于N，，，，則（）

A．2 B． C．1 D．4．（23-24八年級上·山東煙臺·期末）如圖，是的中位線，是的中點，的延長線交于點，若的面積為2，則的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．95．（22-23八年級下·廣西柳州·期末）如圖，在四邊形中，，，，P、M、N分別是的中點，若．則的周長是（）A．10 B．12 C．16 D．186．（23-24八年級上·浙江麗水·期末）如圖，在等腰三角形中，，點為的中點，連結．以為邊向左作，且，．連結，記和的面積分別為和，則的最大值是（

）

A．4 B．6 C． D．8二、填空題7．（23-24八年級上·河北秦皇島·期末）如圖，公路互相垂直，公路的中點M與點C被湖隔開．若測得的長為，則M，C兩點間的距離為．8．（23-24九年級上·江蘇連云港·期末）在周長為600米的三角形地塊中修建如圖所示的三條水渠，則水渠的總長為米．9．（21-22八年級下·廣西桂林·期末）如圖，順次連接第一個矩形各邊的中點得到第1個菱形，順次連接這個菱形各邊的中點得到第二個矩形，再順次連接第二個矩形各邊的中點得到第2個菱形，按照此方法繼續(xù)下去．已知第一個矩形的面積為6，則第n個菱形的面積為．10．（23-24八年級上·浙江紹興·期末）如圖，一副三角板拼在一起，O為AD的中點，．將沿BO對折至，M為BC上的動點，則A'M的最小值為．11．（23-24八年級上·山東東營·期末）如圖，的周長為a，以它的各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，……如此下去，則的周長為．12．（23-24九年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，在矩形中，，，點E、F分別為、邊上的點，且的長為4，點G為的中點，點P為上一動點，則的最小值為．三、解答題13．（23-24八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，與交于點F，點G為的中點，．

(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．14．（23-24九年級上·江西九江·期末）課本再現(xiàn)：（1）定理

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖1，在中，，是邊上的中線．求證：．證明：如圖1，延長到點，使得，連接．……請把證明過程補充完整．知識應用：（2）如圖2，在中，是邊上的高，是邊上的中線，是的中點，連接并延長交于點，連接．求證：．15．（22-23八年級下·河北石家莊·期末）【三角形中位線定理】已知：在中，點D、E分別是邊的中點．直接寫出和的關系；【應用】如圖②，在四邊形中，點E、F分別是邊的中點，若，，，．求的度數(shù)；【拓展】如圖③，在四邊形中，與相交于點E，點M，N分別為的中點，分別交于點F、G，．求證：．

16．（22-23八年級下·四川成都·期末）如圖，已知，，點D是的中點，連接，把線段沿射線方向平移得到線段，點F在射線上，連接.(1)如圖1，當點F與點B重合時，求證：；(2)如圖2，當經(jīng)過的中點G時，連接，若，求證：；(3)如圖3，，F(xiàn)在的延長線上，連接，當時，求證：.17．（23-24八年級上·山東泰安·期末）在四邊形中，，E、F分別是的中點．(1)如圖1，若M是的中點，求證：．(2)如圖2，連接EF并延長，分別與的延長線交于點M、N，求證：．(3)如圖3，在中，，D點在上，，E、F分別是的中點，連接并延長，與的延長線交于點G，若，連接，判斷的形狀并說明理由．18．（21-22八年級下·福建泉州·期末）【猜想結論】如圖1，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，可以根據(jù)度量或目測猜想結論