高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題參考答案

2002高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽B題彩票中的數(shù)學(xué)參考答案

注意：以下答案是命題人給出的，僅供參考。各評(píng)閱組應(yīng)根據(jù)對(duì)題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進(jìn)行評(píng)閱。

評(píng)價(jià)一個(gè)方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和廣大彩民兩方面的利益。事實(shí)上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。因此，問(wèn)題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購(gòu)買(mǎi)彩票？具體地講，問(wèn)題涉及到一個(gè)方案的設(shè)置使彩民獲獎(jiǎng)的可能性有多大、獎(jiǎng)金額有多少、對(duì)彩民的吸引力有多大、廣大彩民如何看待各獎(jiǎng)項(xiàng)的設(shè)置，即彩民的心理曲線怎樣？另外，一個(gè)方案對(duì)彩民的影響程度可能與區(qū)域有關(guān)，即與彩民所在地區(qū)的經(jīng)濟(jì)狀況以及收入和消費(fèi)水平有關(guān)。為此，我們要考查一個(gè)方案的合理性問(wèn)題，需要考慮以上這些因素的影響，這是我們建立模型的關(guān)鍵所在。

1.模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明彩票搖獎(jiǎng)是公平公正的，各號(hào)碼的出現(xiàn)是隨機(jī)的；彩民購(gòu)買(mǎi)彩票是隨機(jī)的獨(dú)立事件；對(duì)同一方案中高級(jí)別獎(jiǎng)項(xiàng)的獎(jiǎng)金比例或獎(jiǎng)金額不應(yīng)低于相對(duì)低級(jí)別的獎(jiǎng)金比例或獎(jiǎng)金額；根據(jù)我國(guó)的現(xiàn)行制度，假設(shè)我國(guó)居民的平均工作年限為T(mén)=35年。---第等（高項(xiàng)）獎(jiǎng)?wù)几唔?xiàng)獎(jiǎng)總額的比例，；----第等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金額均值，；----彩民中第等獎(jiǎng)的概率，；----彩民對(duì)某個(gè)方案第等獎(jiǎng)的滿意度，即第等獎(jiǎng)對(duì)彩民的吸引力，；----某地區(qū)的平均收入和消費(fèi)水平的相關(guān)因子，稱為“實(shí)力因子”，一般為常數(shù)；----彩票方案的合理性指標(biāo)，即方案設(shè)置對(duì)彩民吸引力的綜合指標(biāo)；

2.模型的準(zhǔn)備（1）彩民獲各項(xiàng)獎(jiǎng)的概率從已給的29種方案可知，可將其分為四類,:10選6+1（6+1/10）型、:選型、:選型和:選無(wú)特別號(hào)型，分別給出各種類型方案的彩民獲各獎(jiǎng)項(xiàng)的概率公式：

：10選6+1（6+1/10）型，，,

：選型，，，，，，。

：選型，，，，，，。

：選無(wú)特別號(hào)型，，，，。各種方案的各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)概率及獲獎(jiǎng)總概率計(jì)算如表一。

表一：方案6+1/102×10-78×10-71.8×10-52.61×10-43.42×10-34.1995×10-2-----0.0456957/296.40705×10-74.48494×10-69.4184×10-52.8255×10-42.8255×10-34.7092×10-30.0298250.0377426+1/296.40705×10-71.4096×10-58.4573×10-58.8880×10-42.2200×10-31.4800×10-20.0197340.0377427/304.91207×10-73.43845×10-67.5646×10-52.2694×10-42.3828×10-33.9714×10-30.0264760.0331377/313.80290×10-72.66203×10-66.1227×10-51.8368×10-42.0205×10-33.3675×10-30.0235720.0292087/322.97101×10-72.07971×10-64.09913×10-51.4974×10-41.722×10-32.8700×10-30.0210470.0258327/332.34080×10-71.63856×10-64.0964×10-51.2289×10-41.4747×10-32.4578×10-30.0188430.0229417/341.85887×10-71.30121×10-63.3831×10-51.0149×10-41.2687×10-32.1145×10-30.0169160.0204367/351.48709×10-71.04097×10-62.8106×10-58.4318×10-51.0961×10-31.8269×10-30.0152240.0182617/361.19794×10-78.38556×10-72.3480×10-57.0439×10-59.5092×10-41.5849×10-30.0137360.0163676+1/361.19794×10-73.47402×10-62.0844×10-52.9182×10-47.2954×10-46.5659×10-30.0087550.0163677/379.71301×10-86.79911×10-71.9717×10-55.9152×10-58.2813×10-41.3802×10-30.0124220.0147106/402.6053×10-71.5632×10-65.1584×10-51.2896×10-42.0634×10-32.7512×10-30.0284280.0334255/601.831×10-79.155×10-74.9437×10-59.8874×10-52.6202×10-32.6202×10-30.0454160.050806

（2）確定彩民的心理曲線一般說(shuō)來(lái)，人們的心理變化是一個(gè)模糊的概念。在此，彩民對(duì)一個(gè)方案的各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)及獎(jiǎng)金額的看法（即對(duì)彩民的吸引力）的變化就是一個(gè)典型的模糊概念。由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)人們通常對(duì)一件事物的心理變化一般遵循的規(guī)律，不妨定義彩民的心理曲線為其中表示彩民平均收入的相關(guān)因子，稱為實(shí)力因子，一般為常數(shù)。 （3）計(jì)算實(shí)力因子實(shí)力因子是反應(yīng)一個(gè)地區(qū)的彩民的平均收入和消費(fèi)水平的指標(biāo)，確定一個(gè)地區(qū)的彩票方案應(yīng)該考慮所在地區(qū)的實(shí)力因子，在我國(guó)不同地區(qū)的收入和消費(fèi)水平是不同的，因此，不同地區(qū)的實(shí)力因子應(yīng)有一定的差異，目前各地區(qū)現(xiàn)行的方案不盡相同，要統(tǒng)一來(lái)評(píng)估這些方案的合理性，就應(yīng)該對(duì)同一個(gè)實(shí)力因子進(jìn)行研究。為此，我們以中等地區(qū)的收入水平（或全國(guó)平均水平）為例進(jìn)行研究。根據(jù)相關(guān)網(wǎng)站的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入1.5萬(wàn)元，按我國(guó)的現(xiàn)行制度，平均工作年限T=35年，則人均總收入為52.5萬(wàn)元，于是，當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，取（即吸引力的中位數(shù)），則有。同理，可以算出年收入1萬(wàn)元、2萬(wàn)元、2.5萬(wàn)元、3萬(wàn)元、4萬(wàn)元、5萬(wàn)元、10萬(wàn)元的實(shí)力因子如表二。

表二：年收入指標(biāo)1萬(wàn)元1.5萬(wàn)元2萬(wàn)元2.5萬(wàn)元3萬(wàn)元4萬(wàn)元5萬(wàn)元10萬(wàn)元42039363058984078610509821261179168157121019644203928

3．模型的建立與求解問(wèn)題（一）要綜合評(píng)價(jià)這些方案的合理性，應(yīng)該建立一個(gè)能夠充分反應(yīng)各種因素的合理性指標(biāo)函數(shù)。因?yàn)椴拭褓?gòu)買(mǎi)彩票是一種風(fēng)險(xiǎn)投資行為，為此，我們根據(jù)決策分析的理論，考慮到彩民的心理因素的影響，可取為風(fēng)險(xiǎn)決策的益損函數(shù)，于是作出如下的指標(biāo)函數(shù)：（1）即表示在考慮彩民的心理因素的條件下，一個(gè)方案的獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金設(shè)置對(duì)彩民的吸引力。另一方面，由題意知，單注所有可能的低項(xiàng)獎(jiǎng)金總額為，根據(jù)高項(xiàng)獎(jiǎng)的計(jì)算公式得單注可能的第項(xiàng)（高項(xiàng)獎(jiǎng)）獎(jiǎng)金額為，故平均值為（2）于是由（1），（2）式得（3）利用Matlab可計(jì)算出29種方案的合理性指標(biāo)值及高項(xiàng)獎(jiǎng)的期望值，排在前三位的如下表三。

表三：指標(biāo)方案

排序97/304.009×10-71.086×1062067914101117/313.784×10-71.704×106324482116257/293.637×10-77.557×1053598417143

問(wèn)題(二)根據(jù)問(wèn)題（一）的討論，現(xiàn)在的問(wèn)題是取什么樣的方案/（和取何值）、設(shè)置哪些獎(jiǎng)項(xiàng)、高項(xiàng)獎(jiǎng)的比例為多少和低項(xiàng)獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額為多少時(shí)，使目標(biāo)函數(shù)有最大值。設(shè)以，，，為決策變量，以它們之間所滿足的關(guān)系為約束條件，則可得到非線性規(guī)劃模型：關(guān)于約束條件的說(shuō)明：1）條件（1）（2）同問(wèn)題（一）；2）條件（3）（4）是對(duì)高項(xiàng)獎(jiǎng)的比例約束，的值不能太大或太小，（4）是根據(jù)已知的方案確定的；3）條件（5）是根據(jù)題意中一等獎(jiǎng)的保底額和封頂額確定的；4）條件（6）中的分別為等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額比等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金額高的倍數(shù)，可由問(wèn)題（一）的計(jì)算結(jié)果和已知各方案的獎(jiǎng)金數(shù)額統(tǒng)計(jì)得：5）條件（7）是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定的，實(shí)際中高等獎(jiǎng)的概率應(yīng)小于低等獎(jiǎng)的概率，它的值主要有確定。6）條件（8）（9）是對(duì)方案中取值范圍的約束，是由已知的方案確定的；這是一個(gè)較復(fù)雜的非線性（整數(shù)）規(guī)劃，其中概率的取值分為四種不同的情況，者有整數(shù)變量確定，一般的求解是困難的。為此，利用Matlab可求解得最優(yōu)解為，最優(yōu)值為。故對(duì)應(yīng)的最優(yōu)方案為：32選6（6/32），一、二、三等獎(jiǎng)的比例分別為80%、9%、11%，四、五、六、七等獎(jiǎng)的金額分別為200、10、1、0元。前面是針對(duì)中等收入水平的彩民情況考慮的，對(duì)于經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)和欠發(fā)達(dá)地區(qū)應(yīng)有所不同。這里分別對(duì)年收入萬(wàn)元、2萬(wàn)元、2.5萬(wàn)元、3萬(wàn)元、4萬(wàn)元、5萬(wàn)元、10萬(wàn)元,工作年限均35年的情況進(jìn)行了討論，給出適用于相應(yīng)各種情況的最優(yōu)方案，如下面的表四。

表四：年收入指標(biāo)1萬(wàn)元2萬(wàn)元2.5萬(wàn)元3萬(wàn)元4萬(wàn)元5萬(wàn)元10萬(wàn)元42039384078610509821261179168157121019644203928最優(yōu)方案5+1/336/327/306/376+1/327/337/358.255×10-74.623×10-74.103×10-73.223×10-72.475×10-72.075×10-71.828×10-70.800.800.730.700.730.730.800.100.90.170.150.190.180.130.100.110.100.150.070.090.076.5×1056．18×1051.38×1061．46×1062.23×1062.99×1063.91×10630371200044750652172227211.07×105942526076001235173915071974174