高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題參考答案

2002高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題彩票中的數(shù)學(xué)參考答案

注意：以下答案是命題人給出的，僅供參考。各評閱組應(yīng)根據(jù)對題目的理解及學(xué)生的解答，自主地進行評閱。

評價一個方案的優(yōu)劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和廣大彩民兩方面的利益。事實上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。因此，問題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購買彩票？具體地講，問題涉及到一個方案的設(shè)置使彩民獲獎的可能性有多大、獎金額有多少、對彩民的吸引力有多大、廣大彩民如何看待各獎項的設(shè)置，即彩民的心理曲線怎樣？另外，一個方案對彩民的影響程度可能與區(qū)域有關(guān)，即與彩民所在地區(qū)的經(jīng)濟狀況以及收入和消費水平有關(guān)。為此，我們要考查一個方案的合理性問題，需要考慮以上這些因素的影響，這是我們建立模型的關(guān)鍵所在。

1.模型假設(shè)與符號說明彩票搖獎是公平公正的，各號碼的出現(xiàn)是隨機的；彩民購買彩票是隨機的獨立事件；對同一方案中高級別獎項的獎金比例或獎金額不應(yīng)低于相對低級別的獎金比例或獎金額；根據(jù)我國的現(xiàn)行制度，假設(shè)我國居民的平均工作年限為T=35年。---第等（高項）獎?wù)几唔棯効傤~的比例，；----第等獎獎金額均值，；----彩民中第等獎的概率，；----彩民對某個方案第等獎的滿意度，即第等獎對彩民的吸引力，；----某地區(qū)的平均收入和消費水平的相關(guān)因子，稱為“實力因子”，一般為常數(shù)；----彩票方案的合理性指標，即方案設(shè)置對彩民吸引力的綜合指標；

2.模型的準備（1）彩民獲各項獎的概率從已給的29種方案可知，可將其分為四類,:10選6+1（6+1/10）型、:選型、:選型和:選無特別號型，分別給出各種類型方案的彩民獲各獎項的概率公式：

：10選6+1（6+1/10）型，，,

：選型，，，，，，。

：選型，，，，，，。

：選無特別號型，，，，。各種方案的各個獎項獲獎概率及獲獎總概率計算如表一。

表一：方案6+1/102×10-78×10-71.8×10-52.61×10-43.42×10-34.1995×10-2-----0.0456957/296.40705×10-74.48494×10-69.4184×10-52.8255×10-42.8255×10-34.7092×10-30.0298250.0377426+1/296.40705×10-71.4096×10-58.4573×10-58.8880×10-42.2200×10-31.4800×10-20.0197340.0377427/304.91207×10-73.43845×10-67.5646×10-52.2694×10-42.3828×10-33.9714×10-30.0264760.0331377/313.80290×10-72.66203×10-66.1227×10-51.8368×10-42.0205×10-33.3675×10-30.0235720.0292087/322.97101×10-72.07971×10-64.09913×10-51.4974×10-41.722×10-32.8700×10-30.0210470.0258327/332.34080×10-71.63856×10-64.0964×10-51.2289×10-41.4747×10-32.4578×10-30.0188430.0229417/341.85887×10-71.30121×10-63.3831×10-51.0149×10-41.2687×10-32.1145×10-30.0169160.0204367/351.48709×10-71.04097×10-62.8106×10-58.4318×10-51.0961×10-31.8269×10-30.0152240.0182617/361.19794×10-78.38556×10-72.3480×10-57.0439×10-59.5092×10-41.5849×10-30.0137360.0163676+1/361.19794×10-73.47402×10-62.0844×10-52.9182×10-47.2954×10-46.5659×10-30.0087550.0163677/379.71301×10-86.79911×10-71.9717×10-55.9152×10-58.2813×10-41.3802×10-30.0124220.0147106/402.6053×10-71.5632×10-65.1584×10-51.2896×10-42.0634×10-32.7512×10-30.0284280.0334255/601.831×10-79.155×10-74.9437×10-59.8874×10-52.6202×10-32.6202×10-30.0454160.050806

（2）確定彩民的心理曲線一般說來，人們的心理變化是一個模糊的概念。在此，彩民對一個方案的各個獎項及獎金額的看法（即對彩民的吸引力）的變化就是一個典型的模糊概念。由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識，根據(jù)人們通常對一件事物的心理變化一般遵循的規(guī)律，不妨定義彩民的心理曲線為其中表示彩民平均收入的相關(guān)因子，稱為實力因子，一般為常數(shù)。 （3）計算實力因子實力因子是反應(yīng)一個地區(qū)的彩民的平均收入和消費水平的指標，確定一個地區(qū)的彩票方案應(yīng)該考慮所在地區(qū)的實力因子，在我國不同地區(qū)的收入和消費水平是不同的，因此，不同地區(qū)的實力因子應(yīng)有一定的差異，目前各地區(qū)現(xiàn)行的方案不盡相同，要統(tǒng)一來評估這些方案的合理性，就應(yīng)該對同一個實力因子進行研究。為此，我們以中等地區(qū)的收入水平（或全國平均水平）為例進行研究。根據(jù)相關(guān)網(wǎng)站的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，不妨取人均年收入1.5萬元，按我國的現(xiàn)行制度，平均工作年限T=35年，則人均總收入為52.5萬元，于是，當萬元時，?。次Φ闹形粩?shù)），則有。同理，可以算出年收入1萬元、2萬元、2.5萬元、3萬元、4萬元、5萬元、10萬元的實力因子如表二。

表二：年收入指標1萬元1.5萬元2萬元2.5萬元3萬元4萬元5萬元10萬元42039363058984078610509821261179168157121019644203928

3．模型的建立與求解問題（一）要綜合評價這些方案的合理性，應(yīng)該建立一個能夠充分反應(yīng)各種因素的合理性指標函數(shù)。因為彩民購買彩票是一種風(fēng)險投資行為，為此，我們根據(jù)決策分析的理論，考慮到彩民的心理因素的影響，可取為風(fēng)險決策的益損函數(shù)，于是作出如下的指標函數(shù)：（1）即表示在考慮彩民的心理因素的條件下，一個方案的獎項和獎金設(shè)置對彩民的吸引力。另一方面，由題意知，單注所有可能的低項獎金總額為，根據(jù)高項獎的計算公式得單注可能的第項（高項獎）獎金額為，故平均值為（2）于是由（1），（2）式得（3）利用Matlab可計算出29種方案的合理性指標值及高項獎的期望值，排在前三位的如下表三。

表三：指標方案

排序97/304.009×10-71.086×1062067914101117/313.784×10-71.704×106324482116257/293.637×10-77.557×1053598417143

問題(二)根據(jù)問題（一）的討論，現(xiàn)在的問題是取什么樣的方案/（和取何值）、設(shè)置哪些獎項、高項獎的比例為多少和低項獎的獎金額為多少時，使目標函數(shù)有最大值。設(shè)以，，，為決策變量，以它們之間所滿足的關(guān)系為約束條件，則可得到非線性規(guī)劃模型：關(guān)于約束條件的說明：1）條件（1）（2）同問題（一）；2）條件（3）（4）是對高項獎的比例約束，的值不能太大或太小，（4）是根據(jù)已知的方案確定的；3）條件（5）是根據(jù)題意中一等獎的保底額和封頂額確定的；4）條件（6）中的分別為等獎的獎金額比等獎的獎金額高的倍數(shù)，可由問題（一）的計算結(jié)果和已知各方案的獎金數(shù)額統(tǒng)計得：5）條件（7）是根據(jù)實際問題確定的，實際中高等獎的概率應(yīng)小于低等獎的概率，它的值主要有確定。6）條件（8）（9）是對方案中取值范圍的約束，是由已知的方案確定的；這是一個較復(fù)雜的非線性（整數(shù)）規(guī)劃，其中概率的取值分為四種不同的情況，者有整數(shù)變量確定，一般的求解是困難的。為此，利用Matlab可求解得最優(yōu)解為，最優(yōu)值為。故對應(yīng)的最優(yōu)方案為：32選6（6/32），一、二、三等獎的比例分別為80%、9%、11%，四、五、六、七等獎的金額分別為200、10、1、0元。前面是針對中等收入水平的彩民情況考慮的，對于經(jīng)濟發(fā)達地區(qū)和欠發(fā)達地區(qū)應(yīng)有所不同。這里分別對年收入萬元、2萬元、2.5萬元、3萬元、4萬元、5萬元、10萬元,工作年限均35年的情況進行了討論，給出適用于相應(yīng)各種情況的最優(yōu)方案，如下面的表四。

表四：年收入指標1萬元2萬元2.5萬元3萬元4萬元5萬元10萬元42039384078610509821261179168157121019644203928最優(yōu)方案5+1/336/327/306/376+1/327/337/358.255×10-74.623×10-74.103×10-73.223×10-72.475×10-72.075×10-71.828×10-70.800.800.730.700.730.730.800.100.90.170.150.190.180.130.100.110.100.150.070.090.076.5×1056．18×1051.38×1061．46×1062.23×1062.99×1063.91×10630371200044750652172227211.07×105942526076001235173915071974174