山東省萊蕪市實驗校2024年中考數(shù)學最后沖刺濃縮卷含解析

山東省萊蕪市實驗校2024年中考數(shù)學最后沖刺濃縮精華卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．如圖，，則的度數(shù)為（）A．115° B．110° C．105° D．65°2．如圖，△ABC內接于⊙O，BC為直徑，AB=8，AC=6，D是弧AB的中點，CD與AB的交點為E，則CE：DE等于（）A．3:1 B．4:1 C．5:2 D．7:23．下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．﹣1與（﹣1）2 B．（﹣1）2與1 C．2與 D．2與|﹣2|4．下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．估計的運算結果應在哪個兩個連續(xù)自然數(shù)之間（）A．﹣2和﹣1 B．﹣3和﹣2 C．﹣4和﹣3 D．﹣5和﹣46．下列計算正確的是（

）.A．(x+y)2=x2+y2 B．(－xy2）3=－x3y6C．x6÷x3=x2 D．=27．在一次中學生田徑運動會上，參加跳遠的名運動員的成績如下表所示:成績（米）人數(shù)則這名運動員成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）A． B． C．， D．8．滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規(guī)則如下表：計費項目

里程費

時長費

遠途費

單價

1.8元/公里

0.3元/分鐘

0.8元/公里

注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為：行車里程7公里以內（含7公里）不收遠途費，超過7公里的，超出部分每公里收0.8元.

小王與小張各自乘坐滴滴快車，行車里程分別為6公里與8.5公里，如果下車時兩人所付車費相同，那么這兩輛滴滴快車的行車時間相差（）A．10分鐘 B．13分鐘 C．15分鐘 D．19分鐘9．下列說法：①平分弦的直徑垂直于弦；②在n次隨機實驗中，事件A出現(xiàn)m次，則事件A發(fā)生的頻率，就是事件A的概率；③各角相等的圓外切多邊形一定是正多邊形；④各角相等的圓內接多邊形一定是正多邊形；⑤若一個事件可能發(fā)生的結果共有n種，則每一種結果發(fā)生的可能性是．其中正確的個數(shù)（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，已知?ABCD中，E是邊AD的中點，BE交對角線AC于點F，那么S△AFE：S四邊形FCDE為()A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：611．下列各式：①a0=1②a2·a3=a5③2–2=–④–(3－5)＋(–2)4÷8×(–1)=0⑤x2+x2=2x2，其中正確的是()A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤12．如圖，將繞直角頂點順時針旋轉，得到，連接，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．如圖，AD∥BE∥CF，直線l1，l2與這三條平行線分別交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn)，，DE=6，則EF=．14．如圖，一艘船向正北航行，在A處看到燈塔S在船的北偏東30°的方向上，航行12海里到達B點，在B處看到燈塔S在船的北偏東60°的方向上，此船繼續(xù)沿正北方向航行過程中距燈塔S的最近距離是_____海里（不近似計算）．15．使有意義的的取值范圍是__________．16．如圖，將直尺與含30°角的三角尺擺放在一起，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)是___.17．請寫出一個比2大且比4小的無理數(shù)：________.18．某種藥品原來售價100元，連續(xù)兩次降價后售價為81元，若每次下降的百分率相同，則這個百分率是．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖，已知⊙O中，AB為弦，直線PO交⊙O于點M、N，PO⊥AB于C，過點B作直徑BD，連接AD、BM、AP．（1）求證：PM∥AD；（2）若∠BAP=2∠M，求證：PA是⊙O的切線；（3）若AD=6，tan∠M=，求⊙O的直徑．20．（6分）如圖，AB、AD是⊙O的弦，△ABC是等腰直角三角形，△ADC≌△AEB，請僅用無刻度直尺作圖：在圖1中作出圓心O；在圖2中過點B作BF∥AC．21．（6分）如圖，AB是的直徑，AF是切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為點E，過點C作DA的平行線與AF相交于點F，已知，．求AD的長；求證：FC是的切線．22．（8分）綜合與探究如圖，拋物線y=﹣與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，直線l經(jīng)過B，C兩點，點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接CM，將線段MC繞點M順時針旋轉90°得到線段MD，連接CD，BD．設點M運動的時間為t（t＞0），請解答下列問題：（1）求點A的坐標與直線l的表達式；（2）①直接寫出點D的坐標（用含t的式子表示），并求點D落在直線l上時的t的值；②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值；（3）在點M運動的過程中，在直線l上是否存在點P，使得△BDP是等邊三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．23．（8分）列方程解應用題八年級學生去距學校10km的博物館參觀，一部分學生騎自行車先走，過了20min后，其余學生乘汽車出發(fā)，結果他們同時到達.已知汽車的速度是騎車學生速度的2倍，求騎車學生的速度.24．（10分）化簡分式，并從0、1、2、3這四個數(shù)中取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值.25．（10分）對于平面直角坐標系中的點，將它的縱坐標與橫坐標的比稱為點的“理想值”，記作．如的“理想值”．（1）①若點在直線上，則點的“理想值”等于_______；②如圖，，的半徑為1．若點在上，則點的“理想值”的取值范圍是_______．（2）點在直線上，的半徑為1，點在上運動時都有，求點的橫坐標的取值范圍；（3），是以為半徑的上任意一點，當時，畫出滿足條件的最大圓，并直接寫出相應的半徑的值．（要求畫圖位置準確，但不必尺規(guī)作圖）26．（12分）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面．若這個輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．27．（12分）（1）解方程：=0；（2）解不等式組，并把所得解集表示在數(shù)軸上．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、A【解析】

根據(jù)對頂角相等求出∠CFB＝65°，然后根據(jù)CD∥EB，判斷出∠B＝115°．【詳解】∵∠AFD＝65°，∴∠CFB＝65°，∵CD∥EB，∴∠B＝180°?65°＝115°，故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質，知道“兩直線平行，同旁內角互補”是解題的關鍵．2、A【解析】

利用垂徑定理的推論得出DO⊥AB，AF=BF，進而得出DF的長和△DEF∽△CEA，再利用相似三角形的性質求出即可．【詳解】連接DO，交AB于點F，∵D是的中點，∴DO⊥AB，AF=BF，∵AB=8，∴AF=BF=4，∴FO是△ABC的中位線，AC∥DO，∵BC為直徑，AB=8，AC=6，∴BC=10，F(xiàn)O=AC=1，∴DO=5，∴DF=5-1=2，∵AC∥DO，∴△DEF∽△CEA，∴，∴＝=1．故選：A．【點睛】此題主要考查了垂徑定理的推論以及相似三角形的判定與性質，根據(jù)已知得出△DEF∽△CEA是解題關鍵．3、A【解析】

根據(jù)相反數(shù)的定義，對每個選項進行判斷即可.【詳解】解：A、（﹣1）2＝1，1與﹣1互為相反數(shù)，正確；B、（﹣1）2＝1，故錯誤；C、2與互為倒數(shù)，故錯誤；D、2＝|﹣2|，故錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了相反數(shù)的定義，解題的關鍵是掌握相反數(shù)的定義.4、B【解析】分析：根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．詳解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選B．點睛：本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的判斷方法：把某個圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個是軸對稱圖形．5、C【解析】根據(jù)二次根式的性質，可化簡得=﹣3=﹣2，然后根據(jù)二次根式的估算，由3＜2＜4可知﹣2在﹣4和﹣3之間．故選C．點睛：此題主要考查了二次根式的化簡和估算，關鍵是根據(jù)二次根式的性質化簡計算，再二次根式的估算方法求解.6、D【解析】分析：根據(jù)完全平方公式、積的乘方法則、同底數(shù)冪的除法法則和算術平方根的定義計算，判斷即可．詳解：（x+y）2=x2+2xy+y2，A錯誤；（-xy2）3=-x3y6，B錯誤；x6÷x3=x3，C錯誤；==2，D正確；故選D．點睛：本題考查的是完全平方公式、積的乘方、同底數(shù)冪的除法以及算術平方根的計算，掌握完全平方公式、積的乘方法則、同底數(shù)冪的除法法則和算術平方根的定義是解題的關鍵．7、D【解析】

根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義即可解決問題．【詳解】解：這些運動員成績的中位數(shù)、眾數(shù)分別是4.70，4.1．故選：D．【點睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)的定義，解題的關鍵是記住中位數(shù)、眾數(shù)的定義，屬于中考基礎題.8、D【解析】

設小王的行車時間為x分鐘，小張的行車時間為y分鐘，根據(jù)計價規(guī)則計算出小王的車費和小張的車費，建立方程求解.【詳解】設小王的行車時間為x分鐘，小張的行車時間為y分鐘，依題可得：1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案為D.【點睛】本題考查列方程解應用題，讀懂表格中的計價規(guī)則是解題的關鍵.9、A【解析】

根據(jù)垂徑定理、頻率估計概率、圓的內接多邊形、外切多邊形的性質與正多邊形的定義、概率的意義逐一判斷可得．【詳解】①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，故此結論錯誤；②在n次隨機實驗中，事件A出現(xiàn)m次，則事件A發(fā)生的頻率，試驗次數(shù)足夠大時可近似地看做事件A的概率，故此結論錯誤；③各角相等的圓外切多邊形是正多邊形，此結論正確；④各角相等的圓內接多邊形不一定是正多邊形，如圓內接矩形，各角相等，但不是正多邊形，故此結論錯誤；⑤若一個事件可能發(fā)生的結果共有n種，再每種結果發(fā)生的可能性相同是，每一種結果發(fā)生的可能性是．故此結論錯誤；故選：A．【點睛】本題主要考查命題的真假，解題的關鍵是掌握垂徑定理、頻率估計概率、圓的內接多邊形、外切多邊形的性質與正多邊形的定義、概率的意義．10、C【解析】

根據(jù)AE∥BC，E為AD中點，找到AF與FC的比，則可知△AEF面積與△FCE面積的比，同時因為△DEC面積=△AEC面積，則可知四邊形FCDE面積與△AEF面積之間的關系．【詳解】解：連接CE，∵AE∥BC，E為AD中點，

∴．

∴△FEC面積是△AEF面積的2倍．

設△AEF面積為x，則△AEC面積為3x，

∵E為AD中點，

∴△DEC面積=△AEC面積=3x．

∴四邊形FCDE面積為1x，

所以S△AFE：S四邊形FCDE為1：1．

故選：C．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質，解題關鍵是通過線段的比得到三角形面積的關系．11、D【解析】

根據(jù)實數(shù)的運算法則即可一一判斷求解.【詳解】①有理數(shù)的0次冪，當a=0時，a0=0；②為同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，正確；③中2–2=，原式錯誤；④為有理數(shù)的混合運算，正確；⑤為合并同類項，正確．故選D.12、B【解析】

根據(jù)旋轉的性質可得AC＝A′C，然后判斷出△ACA′是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得∠CAA′＝45°，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠A′B′C，最后根據(jù)旋轉的性質可得∠B＝∠A′B′C．【詳解】解：∵Rt△ABC繞直角頂點C順時針旋轉90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，∴∠B＝∠A′B′C＝65°．故選B．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、1．【解析】試題分析：∵AD∥BE∥CF，∴，即，∴EF=1．故答案為1．考點：平行線分線段成比例．14、6【解析】試題分析：過S作AB的垂線，設垂足為C．根據(jù)三角形外角的性質，易證SB=AB．在Rt△BSC中，運用正弦函數(shù)求出SC的長．解：過S作SC⊥AB于C．∵∠SBC=60°，∠A=30°，∴∠BSA=∠SBC﹣∠A=30°，即∠BSA=∠A=30°．∴SB=AB=1．Rt△BCS中，BS=1，∠SBC=60°，∴SC=SB?sin60°=1×=6（海里）．即船繼續(xù)沿正北方向航行過程中距燈塔S的最近距離是6海里．故答案為：6．15、【解析】

根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可.【詳解】由題意可得：，解得：.所以答案為.【點睛】本題主要考查了二次根式的性質，熟練掌握相關概念是解題關鍵.16、50°【解析】

先根據(jù)三角形外角的性質求出∠BEF的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質得到∠2的度數(shù)．【詳解】如圖所示：

∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20°，∠F=30°，

∴∠BEF=∠1+∠F=50°，

∵AB∥CD，

∴∠2=∠BEF=50°，

故答案是：50°．【點睛】考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握、運用三角形外角的性質（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和）．17、（或）【解析】

利用完全平方數(shù)和算術平方根對無理數(shù)的大小進行估算，然后找出無理數(shù)即可【詳解】設無理數(shù)為，，所以x的取值在4~16之間都可，故可填【點睛】本題考查估算無理數(shù)的大小，能夠判斷出中間數(shù)的取值范圍是解題關鍵18、10%．【解析】

設平均每次降價的百分率為，那么第一次降價后的售價是原來的，那么第二次降價后的售價是原來的，根據(jù)題意列方程解答即可.【詳解】設平均每次降價的百分率為，根據(jù)題意列方程得，，解得，（不符合題意，舍去），答：這個百分率是.故答案為.【點睛】本題考查一元二次方程的應用，要掌握求平均變化率的方法.若設變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關系為.三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）1；【解析】

（1）根據(jù)平行線的判定求出即可；（2）連接OA，求出∠OAP=∠BAP+∠OAB=∠BOC+∠OBC=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；（3）設BC=x，CM=2x，根據(jù)相似三角形的性質和判定求出NC=x，求出MN=2x+x=2.1x，OM=MN=1.21x，OC=0.71x，根據(jù)三角形的中位線性質得出0.71x=AD=3，求出x即可．【詳解】（1）∵BD是直徑，∴∠DAB=90°，∵PO⊥AB，∴∠DAB=∠MCB=90°，∴PM∥AD；（2）連接OA，∵OB=OM，∴∠M=∠OBM，∴∠BON=2∠M，∵∠BAP=2∠M，∴∠BON=∠BAP，∵PO⊥AB，∴∠ACO=90°，∴∠AON+∠OAC=90°，∵OA=OB，∴∠BON=∠AON，∴∠BAP=∠AON，∴∠BAP+∠OAC=90°，∴∠OAP=90°，∵OA是半徑，∴PA是⊙O的切線；（3）連接BN，則∠MBN=90°．∵tan∠M=，∴=，設BC=x，CM=2x，∵MN是⊙O直徑，NM⊥AB，∴∠MBN=∠BCN=∠BCM=90°，∴∠NBC=∠M=90°﹣∠BNC，∴△MBC∽△BNC，∴，∴BC2=NC×MC，∴NC=x，∴MN=2x+x=2.1x，∴OM=MN=1.21x，∴OC=2x﹣1.21x=0.71x，∵O是BD的中點，C是AB的中點，AD=6，∴OC=0.71x=AD=3，解得：x=4，∴MO=1.21x=1.21×4=1，∴⊙O的半徑為1．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點，能靈活運用知識點進行推理是解此題的關鍵，此題有一定的難度．20、見解析.【解析】

（1）畫出⊙O的兩條直徑，交點即為圓心O．（2）作直線AO交⊙O于F，直線BF即為所求．【詳解】解：作圖如下：（1）；（2）.【點睛】本題考查作圖?復雜作圖，圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．21、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）首先連接OD，由垂徑定理，可求得DE的長，又由勾股定理，可求得半徑OD的長，然后由勾股定理求得AD的長；（2）連接OF、OC，先證明四邊形AFCD是菱形，易證得△AFO≌△CFO，繼而可證得FC是⊙O的切線．【詳解】證明：連接OD，是的直徑，，，設，，，在中，，，解得：，，，，在中，；連接OF、OC，是切線，，，，，四邊形FADC是平行四邊形，，平行四邊形FADC是菱形，，，，，即，即，點C在上，是的切線．【點睛】此題考查了切線的判定與性質、菱形的判定與性質、垂徑定理、勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．22、（1）A（﹣3，0），y=﹣x+；（2）①D（t﹣3+，t﹣3），②CD最小值為；（3）P（2，﹣），理由見解析.【解析】

（1）當y=0時，﹣=0，解方程求得A（-3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），待定系數(shù)法可求直線l的表達式；（2）分當點M在AO上運動時，當點M在OB上運動時，進行討論可求D點坐標，將D點坐標代入直線解析式求得t的值；線段CD是等腰直角三角形CMD斜邊，若CD最小，則CM最小，根據(jù)勾股定理可求點M運動的過程中線段CD長度的最小值；（3）分當點M在AO上運動時，即0＜t＜3時，當點M在OB上運動時，即3≤t≤4時，進行討論可求P點坐標．【詳解】（1）當y=0時，﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，∵點A在點B的左側，∴A（﹣3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），設直線l的表達式為y=kx+b，將B，C兩點坐標代入得b=mk﹣，故直線l的表達式為y=﹣x+；（2）當點M在AO上運動時，如圖：由題意可知AM=t，OM=3﹣t，MC⊥MD，過點D作x軸的垂線垂足為N，∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°，∴∠MCO=∠DMN，在△MCO與△DMN中，，∴△MCO≌△DMN，∴MN=OC=，DN=OM=3﹣t，∴D（t﹣3+，t﹣3）；同理，當點M在OB上運動時，如圖，OM=t﹣3，△MCO≌△DMN，MN=OC=，ON=t﹣3+，DN=OM=t﹣3，∴D（t﹣3+，t﹣3）．綜上得，D（t﹣3+，t﹣3）．將D點坐標代入直線解析式得t=6﹣2，線段CD是等腰直角三角形CMD斜邊，若CD最小，則CM最小，∵M在AB上運動，∴當CM⊥AB時，CM最短，CD最短，即CM=CO=，根據(jù)勾股定理得CD最??；（3）當點M在AO上運動時，如圖，即0＜t＜3時，∵tan∠CBO==，∴∠CBO=60°，∵△BDP是等邊三角形，∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，AN=t+，NB=4﹣t﹣，tan∠NBO=，=，解得t=3﹣，經(jīng)檢驗t=3﹣是此方程的解，過點P作x軸的垂線交于點Q，易知△PQB≌△DNB，∴BQ=BN=4﹣t﹣=1，PQ=，OQ=2，P（2，﹣）；同理，當點M在OB上運動時，即3≤t≤4時，∵△BDP是等邊三角形，∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣3+﹣1=t﹣4+，tan∠NBD=，=，解得t=3﹣，經(jīng)檢驗t=3﹣是此方程的解，t=3﹣（不符合題意，舍）．故P（2，﹣）．【點睛】考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法，勾股定理，等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質，三角函數(shù)，分類思想的運用，方程思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．23、15【解析】試題分析：設騎車學生的速度為，利用時間關系列方程解應用題，一定要檢驗.試題解析：解:設騎車學生的速度為,由題意得,解得.經(jīng)檢驗是原方程的解.答:騎車學生的速度為15.24、x取0時，為1或x取1時，為2【解析】試題分析：利用分式的運算，先對分式化簡單，再選擇使分式有意義的數(shù)代入求值即可．試題解析：解：原式=[]===x＋1，∵x1-4≠0，x-2≠0，∴x≠1且x≠-1且x≠2，當x=0時，原式=1．或當x=1時，原式=2．25、（1）①﹣3；②；（2）；（3）【解析】

（1）①把Q（1，a）代入y=x-4,可求出a值，根據(jù)理想值定義即可得答案；②由理想值越大，點與原點連線與軸夾角越大，可得直線與相切時理想值最大，與x中相切時，理想值最小，即可得答案；（2）根據(jù)題意，討論與軸及直線相切時，LQ取最小值和最大值，求出點橫坐標即可；（3）根據(jù)題意將點轉化為直線，點理想值最大時點在上，分析圖形即可．【詳解】（1）①∵點在直線上，∴，∴點的“理想值”=-3，故答案為：﹣3.②當點在與軸切點時，點的“理想值”最小為0.當點縱坐標與橫坐標比值最大時，的“理想值”最大，此時直線與切于點，設點Q（x，y），與x軸切于A，與OQ切于Q，∵C（，1），∴tan∠COA==，∴∠COA=30°，