空間向量測試題

考點(diǎn)20空間向量

1.(2010?廣東高考理科10)若向量;=(1,l,x),)=(1,2,1),：=(1,1,1),滿足條件。4)<2力)=-2,

貝0x=.

【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的數(shù)量積運(yùn)算.

【思路點(diǎn)撥】先算出c-。、2b,再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出工

【規(guī)范解答】c—a=(0,0,1-幻，26=(2,4,2),由(").(心)=-2

得(0,0,1—x>(2,4,2)=—2,即2(1—x)=—2,解得x=2.

【答案】2

2.(2010?浙江高考理科?T20)如圖，在矩形A8C。中，點(diǎn)E,尸分別在線段4

2

AB,AD1.,4￡=￡8=4尸=]￡0=4.沿直線所將VAEE翻折成VAEF,

使平面AEF，平面6EF./

(I)求二面角A'-尸力-。的余弦值；17

(II)點(diǎn)分別在線段上，若沿直線MN將四邊形腦VCD向上翻折，使。與A重合，求線

段的長。

【命題立意】本題主要考察空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應(yīng)用，同

時(shí)考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力。

【思路點(diǎn)撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用

幾何法解決求二面角問題和翻折問題o

【規(guī)范解答】方法一：(I)取線段EF的中點(diǎn)H,連結(jié)AH,因?yàn)锳'E=A'F及H是EF的中

點(diǎn)，所以A'H_LEF,又因?yàn)槠矫鍭'EF,平面BEF.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則A'(2,2,2夜)，

C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).故FA'=(-2,2,2,2),FD=(6,0,0).設(shè)n=(x,y,z)

、rALC>.r-illr、i-2尤+2y+2yj2z=0

為平面AFD的一個(gè)法向量，所以〈o

6x=0

取z=0,貝=2,正)。

又平面BEF的一個(gè)法向量m=(0,0,1),故cos〈〃,tn)==—。

|叫閘3

所以二面角的余弦值為立

(II)設(shè)FM=x,BN=a,則Af(4+尤,0,0),N(a,8,0),

因?yàn)榉酆?，C與A'重合，所以GW=4M,CN=A'N,

f(6-x)2+82+02=(-2-x)2+22+(2V2)2/2113

故，〈,_，得X=，CL=,

(10-a)2=(2-?)2+62+(2x/2)244

21

所以—。

4

方法二：

(I)取線段EF的中點(diǎn)”，AE的中點(diǎn)G,連結(jié)4'G,A'〃,G”。

因?yàn)锳'E=A'E及”是E/7的中點(diǎn)，所以4H_L所。又因?yàn)槠矫?所，平面,所以4'//_1平

面跖尸，又Abu平面故A'"，

又因?yàn)镚、H是AF、￡尸的中點(diǎn)，易知GH〃AB,所以GHLAR,

于是AE，面A'G"，所以NA'GH為二面角4一?！币籆的平面角，

在用AA'G"中，A'H=2啦,GH=2,4G=26,所以cos/A'G”=@.

3

故二面角的余弦值為立。

3

(II)設(shè)

因?yàn)榉酆螅珻與A'重合，

所以CM=A'M,

IfiiCM2=DC2+DM2=82+(6-X)2,

A'M2^A'H2+MH2^A'H2+MG2+GH2=(272)2+(x+2)2+22

2121

得X=一，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)點(diǎn)N在線段上，所以FM=—。

44

【方法技巧】1、利用向量法解決立體幾何問題關(guān)鍵是建系，一般要找到三個(gè)互相垂直的直線建系，這種

方法思路相對簡單，但計(jì)算量大；

2、翻折問題要找好在翻折的過程中變化的與不變化的量，看好點(diǎn)、線、面等元素間位置關(guān)系的變化。

3.(2010?陜西高考理科?T18)如圖，在四棱錐P—ABCD中,底面40是矩形必，平面ABCD,AP=AB=2,

叱20,E,尸分別是PC的中點(diǎn).

(I)證明：R7J_平面啊'；

(II)求平面龐尸與平面砌尸夾角的大小。

【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、

線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學(xué)們的

空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧。

【思路點(diǎn)撥】思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；

思路二：利用幾何法求解.

【規(guī)范解答】解法一(I)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間

直角坐標(biāo)系.???力乃4戶2,除2及，四邊形/況力是矩形.

:.A,B,C,D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2&,0),

D(0,2V2,0),P(0,0,2)

又E,F分別是AD?,PC的中點(diǎn)，

?,.E(0,5/2,0),F(l,41,1).

/.PC=(2,2啦，-2)BF=(-1,V2,1)EF=(1,0,01),

PC?BF=-2+4-2=0,PC?EF=2+0-2=0,

APCVBF,PCVEF,

/.PCXBF.PC1EF,BFEF=￡,.,.PCJ"平面BEF

(II)由(I)知平面BEF的法向量4=PC=(2,2JI—2),

平面BAP的法向量々=AZ)=(0,272,0),「?4?丐=8,

設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為。，

/\叩％8V2

則COS0—COS(%,幾?)=n—r=----7==-----,

\"2/琲/4x2血2

.?.夕=45°,；.平面BEF與平面BAP的夾角為45°

解法二(I)連接PE,EC在mAPAERfACDE中,

PA=AB=CD,AE=DE,

PE=CE,即APEC是等腰三角形，

又F是PC的中點(diǎn)，；.EFJ_PC,

又BP=yjAP2+AB2=2垃=BC,F是PC0勺中點(diǎn)，

BF1PC.

又BFEF=F,PC1平面8EF.

(II)因?yàn)闉?，平面ABCD,所以必，比，又底面/物是矩形，所以ABVBC

8CJ_平面BAP,BCLPB,又由(1)知PC_L平面BEF,

二直線PC與BC的夾角即為平面BEF與平面BAF的夾角；

在4PBC中，PB=BC,NPBC=90°，,ZPCB=45°,所以平面BEF與平面BAF的夾角為45°。

4.(2010?遼寧高考理科?T19)已知三棱錐P-ABC中，PA±ABC,AB±AC,PA=AC=-AB,N為AB上一點(diǎn),

2

AB=4AN,M,S分另ij.為PB,BC的中點(diǎn).p

(I)證明：CM±SN；

(II)求SN與平面CMN所成角的大小.ML'

卜二-二h

【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的左歹/

計(jì)算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。

【思路點(diǎn)撥】建系，寫出有關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，

(I)計(jì)算CM、SN的數(shù)量積，寫出答案；

(H)求平面CMN的法向量，求線面角的余弦，求線面角，寫出答案。

【規(guī)范解答】

設(shè)PA=1,以A為原點(diǎn)，射線AB、AC、AP分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖。

則P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(l,0,-),N(-,0,0),S(l,-,0)

222

(I)

CM=(1,T，!),SN=(Ho),

222

因?yàn)镃M?SN=—工+,+0=0

22

所以CM_LSN

(n)NC=(一;,1,0),

設(shè)a=(x,y,z)為平面CMN的一個(gè)法向量,

z

x-y+—=0

2

則令x=2,得a=(2,l,—2)

=0

因?yàn)閏os<aSN>|=-----3=~

°V22

3x-

2

所SN與平面CMN所成的角為45°

【方法技巧】(1)空間中證明線線，線面垂直，經(jīng)常用向量法。

(2)求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決。

(3)線面角的范圍是0°?90°,因此直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦是非負(fù)的,

要取絕對值。

5.(2010?安徽高考理科?T18)如圖，在多面體A8C。所中，四邊形A8CD是正方形，EF//AB,

EF工FB,AB=2EF,ZBFC=90°,BF=FC

(1)求證：FH〃平面EDB：

(2)求證：AC_L平面￡￡出；

(3)求二面角B—0E—C的大小。

【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查

了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。

【思路點(diǎn)撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明。

【規(guī)范解答】綜合法證明如下：

⑴設(shè)AC與8。交于點(diǎn)G則G為40的中點(diǎn)，連EG,GH,

由于”為5c的中點(diǎn)，&GH/NAB,

=2

又EFII-A3,.?.四邊形EFHG為平行四邊形

=2

EG//FH,而EGu平面EDB,FH//平面ED3

(2)由四邊形ABCD為正方形，有ABLBC,又EF〃AB,

EF1.BC,而EF_L尸8,且BCFB=B,

EF1平面8/C,r.EF1FH,:.AB1FH.

又BF=FG,”為勺中點(diǎn)FH1BC.

且BCCAB=B,

FH1平面ABC。,；.FH1AC.

又FHHEG,AC±EG,

XAC1BD,EGcBD=G

：.AC1平面ED8

(3)?；EFJ.FBZBFC=90BF1平面CDER：.BF1DE.K

在平面CDEF內(nèi)過點(diǎn)F作FK±DE交DE的延長線于K,乂傘冰

DE±平面FKBc

則NFKB為二面角B-DE-C的一個(gè)平面角。二太品刃Z

設(shè)功=1,貝必8=2,FC=夜,DE=百、'*

FCB

又EF//DC,：.NKEF=NEDC,：.sinNKEF=sinZEDC=—=

DEJ3

：.FK=EFsinNKEF=噂，tan/FKB=變=百,

6FK

ZFKB=60，即二面角B-DE-C為60。

向量法證明如下：

四邊形A8CD為正方形，.?.48_18。,又一EF±FB,EF//AB,：.AB1FB,J.BCFB=B,

ABJ.平面FBC,；.A6_L尸H,.

又BF=FC,“為8c中點(diǎn)，F(xiàn)H1BC,海一■(

且鉆的。=8,法大一二心c

：.FH±平面ABC二求充沛T

如圖，以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以"5。"、"躥］方向?yàn)椤?

x軸、y軸、z軸的正方向建立坐標(biāo)系，*

令BH=1,則A(l,—2,0),8(1,0,0),C(-l,0,0),D(-l,-2,0),￡(0,-1,1),F(0,0,l).

(1)

設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,連接GE、GH,則G(0,-1,0)GE=(0,0,1),

又/7F=(0,0,1),/.GE//HF

GEu平面EDB,HF<Z平面EDB,/平面EDB

(2)

AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC.GE=0,/.AC1GE.

XAC±BD,且GEI,BD=G,AC1平面EBD.

(3)

設(shè)平面BDE的法向量為\=(l,y,z)

BF=(-1,-1,1),BD=(-2,-2,0).

,BE.n,=0f-1-y,+z,=0

由(，即an(c、c，得/t=ty=T，Z|=o,

BD.n；=0I-2-2y1=0

.-.n1=(l,-l,0)

設(shè)平面CDE的法向量為n；=(1,y2,z2),

CD=(0,—2,0),CE=(l,—l,l).

CZ)?n=0[必=°

由《~2，即<~，得當(dāng)=0，z)=-l,

CE>n2=0[1-Y2+Z2=0

/.n；=(L0,-l)

%?小11

/.COS<〃[,&>=---------=-=-j=~~F——,

-I411%IV2V22

;.<〃],%>=60，即二面角B-DE-C為60。

【方法技巧】1、證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行;

2、證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直;

3、確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個(gè)合適的三角形中進(jìn)

行求解。

4、以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為向量問

題進(jìn)行求解證明。應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用。

6.(2010?山東高考理科?T19)如圖，在五棱錐44%%中，

PAL^ABCDE,AB//CD,AC//ED,AE//BC,450,48=2近，

BC=2AE=4,三角形用B是等腰三角形.

(1)求證：平面故LL平面為C；

(2)求直線陽與平面上?所成角的大??；

(3)求四棱錐—的體積.

【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計(jì)算問題，考查了考

生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，通過計(jì)算證明ABJ.AC；(2)方法一：先證明4?平行于平面PCD,于

是點(diǎn)B到平面PCD的距離的距離等于點(diǎn)A到平面PCD的距離，據(jù)此可求線面角；方法二：利用空間向量求

線面角；(3)先判斷出四邊形ACDE的形狀，并求出其面積，再根據(jù)陽，平面4必定得高即為PA,從而可

求體積.

【規(guī)范解答】(1)因?yàn)?/吐45°,4氏2夜，於4,所以在AABC中，由余弦定理得：

AC2=(2V2)2+42-2x2V2x4cos45=8,解得AC=2起,

所以AB，AC2=8+8=16=BC2,即ABLAC,又RLL平面四碗所以必，AB,

又PAcAC=A,所以AB平面PAC,又ABHCD,所以CD_L平面PAC,又因?yàn)?/p>

CDu平面PCD,所以平面夕5，平面PAC-,

(2)方法一：由(1)知平面匐小平面為乙所以在平面21c內(nèi)，過點(diǎn)A作AHLPC于H,則

AH_L平面PCD,又AB〃CD,平面PCD內(nèi)，所以16平行于平面PCD,所以點(diǎn)A到平面PCD的距

離等于點(diǎn)B到平面PCD的距離.因?yàn)?PAB是等腰三角形，所以PA=AB=20,因此PB=4,在航△

PAC中，PA=20,AC=20,所以PC=4,故PC邊上的高AH=2,此即為點(diǎn)A到平面PCD的距離，

/7217171

設(shè)直線期與平面A力所成角為6,所以sin6=—=-=又0,-,所以。=—,即直線即與平

PB42L2」6

TT

面板所成角的大小為一；

6

方法二：由(1)知AB,AC,AP兩兩相互垂直，分別以AB,AC,AP為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，由于4PAB是等腰三角形，所以PA=AB=2夜，又AC=2&,因此A(0,0,0),B(2亞，

0,0),C(0,272,0),P(0,0,25/2).因?yàn)镃DLAC,又AC"ED,所以四邊形ACDE是直角梯形，因

為AE=2,AE〃BC,所以NBAE=135°,因此NCAE=45°.故CD=AE-sin45°=2x^—=J5,所以

2

D(-V2,2V2,0).因此CP=(0,-2后,2拒)，CD=(-72,0,0).設(shè)根=(x,y,z)是平面PCD的一個(gè)

法向量，則

m-CP=0,相?CD=0,解得x=0,y=z,取y=1,得〃?=(0,1,1)，又BP=(-2^,0,2板),設(shè)。表示向

量8P與平面PCD的法向量機(jī)所成的角，則COS6=2^4=,，所以。=工,因此直線如與平面也?所

|/77||BP|23

成角的大小為生7T.

6

(3)由(1)知8,平面PAC,所以CD_LAC,又.AC"ED,所以四邊形ACDE是直角梯形，

因?yàn)锳E=2,ZABC=45°,AE〃BC,所以NBAE=135",因此/CAE=45°.故

CO=AE-sin450=2xX-=0,"=AC—AE-cos450=2后—2x、一=^，所以四邊形ACDE的面

22

積為1（、歷+2J5）XJ5=3,又PAL平面ABCDE,所以四棱錐—他應(yīng)的體積為1x20x3=20.

23

7.（2010?天津高考理科?T19）

如圖，在長方體A3CD—A4GA中，E、F分別是棱8C,CG

上的點(diǎn)，CF=AB=2CE,AB:AD:=1:2:4

（1）求異面直線EF與4。所成角的余弦值；

（2）證明AEJ■平面AXED

（3）求二面角A—ED—P的正弦值。

【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量

解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力。

【思路點(diǎn)撥】建立空間直角坐標(biāo)系或常規(guī)方法處理問題。

【規(guī)范解答】方法一：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為X軸，AD所在直線為Y軸建立空間直角坐標(biāo)系（如

圖所示），設(shè)A3=1,依題意得力（0,2,0）,尸（1,2,1）,4（°，°，4）,

(1)易得"4D=(0,2T),于是cos(EF,A?=1尸-之，

I2J\I閘A?5

3

所以異面直線砂與4。所成角的余弦值為

(2)證明：已知4戶=(1,2,1),=1-1,一^,4),EO=1—l,；,o]

于是AF?%=(),AF?EZ)=0.因此，A產(chǎn)J.E4,,AF，￡D,又3cEZ)=E

所以A尸，平面AE。

1八

—y+z=0

〃?功=0

⑶解:設(shè)平面EED的法向量”=(x,y,z),則〈，即《2

u-ED=Q-x+—y=0

2

不妨令X=l,可得之=(1,2-1)。由(2)可知，At為平面AFD的一個(gè)法向量。

77*AF2.

"c一一,從而sin

—>一3

lwl|AF|

所以二面角A.-ED-F的正弦值為g

方法二：(1)設(shè)AB=1,可得AD=2,AA尸4,CF=1.CE二上

2

CECF1

鏈接BCBC,設(shè)B,C與BC交于點(diǎn)M,易知A】D〃B￡,由一=——=—，可知EF〃B3.故N8WC是異面直

CBCC,4

線EF與AD所成的角，易知BM=CM=lB1C=百,

2

BM2+CM2-BC23

所以cosZBMC=

2BM.CM5

所以異面直線FE與AJ)所成角的余弦值為己3

5

(2)連接AC,設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)?--=----=—,

BCAB2

所以RtMXJERtACBA,從而ZCDE=ZBCA，

又由于Z.CDE+Z.CED=90°,所以ZBCA+ZCED=90°,

故ACLDE,又因?yàn)镃GJ_DE且。GcAC=C,

所以DE_L平面ACF,從而AF_LDE.

連接BF,同理可證BC平面ABF,從而AFLBC所以AFJ_AJ)因?yàn)镺Ec4￡>=。，所以AFL平面AED

⑶連接AN.FN,由(2)可知DE_L平面ACF,又NFu平面ACF,ANu平面ACF,

所以DE1NF,DE±AiN,故N^NF為二面角A-ED-F的平面角

CNEC

易知RtACNERtkCBA,所以一=—,

BCAC

又AC=下所以CN=?,

在RtANCF中,NF=yjCF2+CN2=y在RjA,A7V中NA,=+AN2=生黑

連接AC,AF在RfAAC/中，AF=y/AC：+CF

AM+FM—AF)“7所以吟/s

在/?加4NF中，cosZA^NF=si—NF

2%N-FN

所以二面角A1-DE-F正弦值為且

3

8.(2010?福建高考理科?T18)如圖，圓柱00i內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-ABG,三棱柱的底面為圓柱底面的

內(nèi)接三角形，且AB是圓0的直徑。

(I)證明:平面AiACGJ_平面BBCG；

(II)設(shè)AB=AA1,在圓柱00i內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自三棱柱ABC-ABC內(nèi)的概率為p。

(i)當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動時(shí)，求p的最大值；

(ii)記平面AiACG與平面BQC所成的角為6(0°<6490°)。當(dāng)p取最大值時(shí)，求cos。的值。

【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾

何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化

思想、必然與或然思想。

【思路點(diǎn)撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的

體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計(jì)算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角

度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計(jì)算，

均可歸結(jié)為兩個(gè)向量的夾角。對于空間向量色在，有cos<d,B>=±紋,利用這一結(jié)論，我們可以較

\3\\b\

方便地處理立體幾何中的角的問題。

【規(guī)范解答】(I)TdAJ■平面ABC,BCu平面ABC,.,.AALBC,又AB是的直徑,

BC±AB,又：.ACcA41=A,.?.3C_L平面4ACG,而BCu平面4BCG，所以平面4ACG_￡

平面BJBCCJ；

(H)(i)設(shè)圓柱的底面半徑為7?，則A8=AA=2小故圓柱的體積為V=TCr?2〃=2口3,設(shè)三棱柱

ABC-ABG,的體積為匕，所以所以當(dāng)匕取得最大值時(shí)P取得最大值。又因?yàn)辄c(diǎn)。在圓周上運(yùn)動,

所以當(dāng)OC_LA3時(shí)，AMC的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-ABC,的體積匕最大，且其最大值為

--2r-r-2r=2r\故P的最大值為,；

2K

(ii)由(i)知，P取最大值時(shí)，OC±AB,于是，以。為坐標(biāo)原點(diǎn),

建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則

C(r,0,0),B(0,r,0),B,(0,r,2r),平面,

.?.BC=(r,—r,0)是平面4ACG的一個(gè)法向量，設(shè)平面用。。的法向量

nlOCrx-0

為〃=(x,y,z),由于，

n1OB、ry+2rz=0

所以平面gOC的一個(gè)法向量為“=(0,—2,1),0°<^<90°,.-.cos0=~~5~

【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的(ID(i)也可以采用向量法進(jìn)

行證明：以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,設(shè)圓柱的底面半徑為r,C(rcos0,rsin9,O),

則A8=A4)=2r,故圓柱的體積為V=nr2-2r=2兀，，設(shè)三棱柱ABC-ABG,的體積為乂，所以尸=,，

所以當(dāng)匕取得最大值時(shí)P取得最大值。S.Bc=L2r-rcos6=/cos。，所以當(dāng)cos?=l時(shí)的A46C的

I2

面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-ABG,的體積匕最大，且其最大值為L2r".2r=2/,故p的最大值為,；

2兀

9.(2010?安徽高考文科?T19)如圖，在多面體ABCDEF

中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,

EF//AB,EF