小學(xué)奧數(shù)學(xué)習(xí)資料(完整講義)

第一講觀察法

-------------------------------姚老師數(shù)學(xué)樂(lè)園

廣安岳池姚文國(guó)

在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，第一步是觀察。觀察是基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的首要步驟。小學(xué)

數(shù)學(xué)教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開(kāi)發(fā)與培養(yǎng)學(xué)生智力的第一步。

觀察法，是通過(guò)觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點(diǎn)，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，題目的

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答出來(lái)的一種解題方法。

觀察要有次序，要看得仔細(xì)、看得真切，在觀察中要?jiǎng)幽X，要想出道理、找出規(guī)律。

*例1（適于一年級(jí)程度）此題是九年義務(wù)教育六年制小學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)

第二冊(cè)，第n頁(yè)中的一道思考題。書(shū)中除圖b1的圖形外沒(méi)有文字說(shuō)明。這道題旨在引導(dǎo)

兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時(shí)兒童已經(jīng)學(xué)過(guò)20以?xún)?nèi)的加減法，基于他們已

有的知識(shí)，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中

的每一橫行，每一豎列，以及兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。

實(shí)質(zhì)上，這是一種幻方，或者說(shuō)是一種方陣。

解：現(xiàn)在通過(guò)觀察、思考，看小方格中應(yīng)填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+口=18會(huì)想到，

18-10-6=2,在橫中行右面的小方格中應(yīng)填入2（圖1-2）。

從豎右列7+2+口=18（圖1-2）會(huì)想到，18-7-2=9,在豎右列下面的小方格中應(yīng)填入9（圖

1-3)o

從正方形對(duì)角線上的9+6+口=18（圖1-3）會(huì)想到，18-9-6=3,在大正方形左上角的小方格

中應(yīng)填入3（圖1-4）。

從正方形對(duì)角線上的7+6+口=18（圖1-3）會(huì)想到，18-7-6=5,在大正方形左下角的小方格

中應(yīng)填入5（圖1-4）o

圖1-4圖1-5

從橫上行3+口+7=18（圖1-4）會(huì)想到，18-3-7=8,在橫上行中間的小方格中應(yīng)填入8（圖

1-5）o

又從橫下行5+口+9=18（圖1-4）會(huì)想到，18-5-9=4,在橫下行中間的小方格中應(yīng)填入4（圖

1-5）o

圖「5是填完數(shù)字后的幻方。

例2看每一行的前三個(gè)數(shù)，想一想接下去應(yīng)該填什么數(shù)。（適于二年級(jí)程度）

6、16、26、、、、o

9、18、27、

80、73^66、、、、o

解：觀察6、16、26這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10,26比16

大10,即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大10o

觀察9、18、27這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、27的排列規(guī)律是：18比9大9,27比18大9,

即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)大9o

觀察80、73、66這三個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7,66比73小7,

即后面的每一個(gè)數(shù)都比它前面的那個(gè)數(shù)小7o

這樣可得到本題的答案是：

6、16、26、36^46、56、66。

9、18、27、蹌、45,54>63o

80、73、66、59^辿、空、38o

例3將1?9這九個(gè)數(shù)字填入圖「6的方框中，使圖中所有的不等號(hào)均成立。（適于三年級(jí)

程度）

解：仔細(xì)觀察圖中不等號(hào)及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個(gè)方框中的數(shù)小于周?chē)?/p>

的四個(gè)數(shù)，看來(lái)在中心的方框中應(yīng)填入最小的數(shù)1。再看它周?chē)姆娇蚝筒坏忍?hào)，只有左下角的

那個(gè)方框中的數(shù)大于相鄰的兩個(gè)方框中的數(shù)，其它方框中的數(shù)都是一個(gè)比一個(gè)大，而且方框中

的數(shù)是按順時(shí)針?lè)较蚺帕性絹?lái)越小。

所以，在左下角的那個(gè)方框中應(yīng)填9,在它右鄰的方框中應(yīng)填2,在2右面的方框中填3,

在3上面的方框中填4,以后依次填5、6、7、8o

圖-7是填完數(shù)字的圖形。

>>□□>□>0

〉

〈

□〉

><H>□<0

□

〈

〈

><H>□<5〉

圖1T

X

例4從一個(gè)長(zhǎng)方形上剪去一個(gè)角后，它還剩下幾個(gè)角？（適于三年級(jí)程度）

解：此題不少學(xué)生不加思考就回答：“一個(gè)長(zhǎng)方形有四個(gè)角，剪去一個(gè)角剩下三個(gè)角。

我們認(rèn)真觀察一下，從一個(gè)長(zhǎng)方形的紙上剪去一個(gè)角，都怎么剪？都是什么情況？

（1）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)堑捻旤c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下三個(gè)角（圖1-8）。

（2）從一個(gè)角的頂點(diǎn)向?qū)吷先我庖稽c(diǎn)剪去一個(gè)角，剩下四個(gè)角（圖1-9）。

（3）從一個(gè)邊上任意一點(diǎn)向鄰邊上任意一點(diǎn)剪去一個(gè)角，

圖1-8圖1-9圖1-10

剩下五個(gè)角（圖WO）O

例5甲、乙兩個(gè)人面對(duì)面地坐著，兩個(gè)人中間放著一個(gè)三位數(shù)。這個(gè)三位數(shù)的每個(gè)數(shù)字都

相同，并且兩人中一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)比另一個(gè)人看到的這個(gè)數(shù)大一半，這個(gè)數(shù)是多少？（適

于三年級(jí)程度）

解：首先要確定這個(gè)三位數(shù)一定是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，不然就沒(méi)法考慮了。

甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說(shuō)，這個(gè)三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯?dāng)?shù)

字中，只有0、1、6、8、9這五個(gè)數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。

這個(gè)三位數(shù)在正看、倒看時(shí)，表示的數(shù)值不同，顯然這個(gè)三位數(shù)不能是000,也不能是111

和888,只可能是666或999。

如果這個(gè)數(shù)是666,當(dāng)其中一個(gè)人看到的是666時(shí)，另一個(gè)人看到的一定是999,

999-666=333,333正好是666的一半。所以這個(gè)數(shù)是666,也可以是999。

*例61966、1976、1986、1996、2006這五個(gè)數(shù)的總和是多少？（適于三年級(jí)程度）

解：這道題可以有多種解法，把五個(gè)數(shù)直接相加，雖然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，

計(jì)算起來(lái)容易出錯(cuò)。

如果仔細(xì)觀察這五個(gè)數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)數(shù)是1966,第二個(gè)數(shù)比它大10,第三個(gè)數(shù)比它大20,

第四個(gè)數(shù)比它大30,第五個(gè)數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計(jì)算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1966X5+10X(1+2+3+4)

=9830+100

=9930

這五個(gè)數(shù)還有另一個(gè)特點(diǎn)：中間的數(shù)是1986,第一個(gè)數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20,最后

一個(gè)數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20,1966和2006這兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的

平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個(gè)數(shù)的平均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方

法計(jì)算：

1966+1976+1986+1996+2006

=1986X5

=9930

例7你能從400+25=(400X4)+(25X4)=400X4+100=16中得到啟發(fā),很快算出(1)

6004-25(2)9004-25(3)14004-25(4)18004-25(5)72504-25的得數(shù)嗎？(適于四年級(jí)程

度)

解：我們仔細(xì)觀察一下算式：

4004-25=(400X4)4-(25X4)=400X44-100=16

不難看出，原來(lái)的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4,目的是將除數(shù)變成1后面帶有。的整百數(shù)。這樣

做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個(gè)相同的數(shù)(零除外)，商不變”。

進(jìn)行這種變化的好處就是當(dāng)除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。

按照這個(gè)規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。

(1)6004-25(2)9004-25

=(600X4)4-(25X4)=(900X4)4-(25X4)

=600X44-100=900X44-100

=24=36

(3)14004-25(4)18004-25

=(1400X4)4-(25X4)=(1800X4)4-(25X4)

=1400X44-100=1800X44-100

=56=72

(5)72504-25

=(7250X4)4-(25X4)

=290004-100

=290

*例8把1-1000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個(gè)長(zhǎng)方形框框出六個(gè)數(shù)，

這六個(gè)數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個(gè)數(shù)，豎著兩個(gè)數(shù)）框出的六個(gè)數(shù)的和是837,

這六個(gè)數(shù)都是多少？（適于五年級(jí)程度）

解：（1）觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1,第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大2,

第四個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大7,第五個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大8,第六個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大9。

假定不知道這幾個(gè)數(shù)，而知道上面觀察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個(gè)數(shù)的和是87,要求出這幾個(gè)

數(shù)，就要先求出六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)：

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

.?????.??9991000

圖1-11

(87-1-2-7-8-9)4-6

=604-6

=10

求出第一個(gè)數(shù)是10,往下的各數(shù)也就不難求了。

因?yàn)橛猛瑯拥姆椒虺龅牧鶄€(gè)數(shù)之和是837,這六個(gè)數(shù)之中后面的五個(gè)數(shù)也一定分別比第一

個(gè)數(shù)大1、2、7、8、9,所以，這六個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)是：

（837-1-2-7-8-9）4-6

=8104-6

=135

第二個(gè)數(shù)是：135+1=136

第三個(gè)數(shù)是：135+2=137

第四個(gè)數(shù)是：135+7=142

第五個(gè)數(shù)是：135+8=143

第六個(gè)數(shù)是：135+9=144

答略。

（2）觀察框內(nèi)的六個(gè)數(shù)可知：①上、下兩數(shù)之差都是7；②方框中間堅(jiān)行的H和18,分

別是上橫行與下橫行三個(gè)數(shù)的中間數(shù)。

11=(10+11+12)4-3

18=(17+18+19)4-3

所以上橫行與下橫行兩個(gè)中間數(shù)的和是：

874-3=29

由此可得，和是837的六個(gè)數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個(gè)中間數(shù)的和是：

8374-3=279

因?yàn)樯?、下兩個(gè)數(shù)之差是7,所以假定上面的數(shù)是x,則下面的數(shù)是x+7。

x+（x+7）=279

2x+7=279

2x=279-7

=272

x=2724-2

=136

x+7=136+7

=143

因?yàn)樯弦粰M行中間的數(shù)是136,所以，第一個(gè)數(shù)是：136-1=135

第三個(gè)數(shù)是：135+2=137

因?yàn)橄乱粰M行中間的數(shù)是143,所以，

第四個(gè)數(shù)是：143-1=142

第六個(gè)數(shù)是：142+2=144

答略。

*例9有一個(gè)長(zhǎng)方體木塊，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有幾個(gè)頂點(diǎn)？（適于五年級(jí)程度）

解：（1）鋸去一個(gè)頂點(diǎn)（圖1T2）,因?yàn)檎襟w原來(lái)有8個(gè)頂點(diǎn)，鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后，增加

了三個(gè)頂點(diǎn)，所以，

8-1+3=10

即鋸去一個(gè)頂點(diǎn)后還有10個(gè)頂點(diǎn)。

圖1-12圖1-13

（2）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8T+2=9（個(gè)）（圖1T3）。

（3）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn),則剩下的頂點(diǎn)是8-1+1=8（個(gè)）（圖1-14）o

圖1-14圖1-15

（4）如果鋸開(kāi)的截面通過(guò)長(zhǎng)方體的三個(gè)頂點(diǎn)，則剩下的頂點(diǎn)是8-1=7（個(gè)）（圖1-15）o

例10將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體（圖

1-16）,求這個(gè)物體的表面積S。（適于六年級(jí)程度）

解：我們知道，底面半徑為Y,高為h的圓柱體的表面積是2n丫葉2nyh。

圖1-16圖1-17

本題的物體由三個(gè)圓柱組成。如果分別求出三個(gè)圓柱的表面積，再把三個(gè)圓柱的表面積加

在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個(gè)物體的表面積，這種計(jì)算方法很麻煩。這是

以一般的觀察方法去解題。

如果我們改變觀察的方法，從這個(gè)物體的正上方向下俯視這個(gè)物體，會(huì)看到這個(gè)物體上面

的面積就像圖1-17那樣。這三個(gè)圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個(gè)圓柱的底面積。所以,

這個(gè)物體的表面積，就等于一個(gè)大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。

（2JiXI.5葉2JiXI.5X1）+（2JiX1X1）+（2JiX0.5X1）

=（4.5n+3n）+2n+n

=7.5n+3n

=10.5Ji

=10.5X3.14

=32.97（平方米）

答略。

*例11如圖「18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°,鑄件長(zhǎng)

20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級(jí)程度）

20

圖1-18

解：遇到這樣的題目，不但要注意計(jì)算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側(cè)

面。圖1T8表面積中的一個(gè)長(zhǎng)方形和一個(gè)扇形就容易被漏掉，因而在解題時(shí)要仔細(xì)。

求表面積的方法1：

兩個(gè)扇形面積+兩個(gè)長(zhǎng)方形面積+圓柱側(cè)面積X段

314X，72

X72X2+20X15X2+15X2X3,14X20X—

-360360

3.14x22518

X72X2+300X2+30X3.14X20X—

36090

3.14x225

X2+600+30X3.14X4

=3.14X45X2+600+120X3.14

=3.14X90+3.14X120+600

=3.14X(90+120)+600

=659.4+600

=1259.4（平方厘米）

求表面積的方法2：

(兩個(gè)圓的面積+圓柱側(cè)面積)X272+兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積

360

72

(3.14X152X2+2X15X3,14X20)X—+20X15X2

72

3.14X(225X2+30X20)X—+40X15

72

=3.14X(450+600)X—+600

360

72

=3.14X1050X—+600

360

=3.14X210+600

=659.4+600

=1259.4（平方厘米）

鑄件的體積：

72

3.14X152X20X—

360

=3.14X225X20X1

=3.14X225X4

=3.14X900

=2826（立方厘米）

答略。

第二講嘗試法

解應(yīng)用題時(shí)，按照自己認(rèn)為可能的想法，通過(guò)嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做

嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。

一般來(lái)說(shuō)，在嘗試時(shí)可以提出假設(shè)、猜想，無(wú)論是假設(shè)或猜想，都要目的明確，盡可能恰

當(dāng)、合理，都要知道在假設(shè)、猜想和嘗試過(guò)程中得到的結(jié)果是什么，從而減少?lài)L試的次數(shù)，提

高解題的效率。

例1把數(shù)字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅(jiān)列三個(gè)數(shù)相加都等于14。

（適于一年級(jí)程度）

解：七八歲的兒童，觀察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習(xí)，一般都感到困

難。可先啟發(fā)他們認(rèn)識(shí)解此題的關(guān)鍵在于試填中間的一格。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的

數(shù)便可由豎列三個(gè)數(shù)之和等于14來(lái)確定，剩下的兩個(gè)數(shù)自然應(yīng)填入左右兩格了。

中間一格應(yīng)填什么數(shù)呢？

先看一個(gè)日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁(yè),

我們一定要從合訂本大約一半的地方打開(kāi)。要是翻到第五期，就要再往后翻；要是翻到第七期、

第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁(yè)的地方翻，……

這樣反復(fù)試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁(yè)。

這就是在用“嘗試法”解決問(wèn)題。

本題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個(gè)數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按

“橫行、豎列三個(gè)數(shù)相加都得14”的要求來(lái)逐個(gè)嘗試。

rflhsfcryffki

如果中間的格中填3,則豎列下面的一格應(yīng)填多少呢？因?yàn)?4-5-3=6,所以豎列下面的一

格中應(yīng)填6（圖2-2）。

下面就要把剩下的4、7,分別填入橫行左右的兩個(gè)格中（圖2-3）。把橫行格中的4、3、7

三個(gè)數(shù)加起來(lái)，得14,合乎題目要求。

如果中間一格填4、或填6、7都不合乎題目的要求。

所以本題的答案是圖2-3或圖2-4o

例2把1、2、3……11各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于

18o（教科書(shū)第四冊(cè)第57頁(yè)的思考題，適于二年級(jí)程度）

圖2-5

解：圖2-5中有n個(gè)格，正好每一格填寫(xiě)一個(gè)數(shù)。

圖2-6中寫(xiě)有A、B、C的三個(gè)格中的三個(gè)數(shù)，既要參加橫向的運(yùn)算，又要參加縱向的運(yùn)算,

就是說(shuō)這三個(gè)數(shù)都要被用兩次。因此，確定A、B、C這三個(gè)數(shù)是解此題的關(guān)鍵。

因?yàn)??11之中中間的三個(gè)數(shù)是5、6、7,所以，我們以A、B、C分別為5、

6、7開(kāi)始嘗試（圖2-7）。

以6為中心嘗試，看6上、下兩個(gè)格中應(yīng)填什么數(shù)。

因?yàn)?8-6=12,所以6上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是12。

考慮6已是1?11之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應(yīng)是1?H之中兩頭的數(shù)。再

考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)還要與7相加，5比7小，題中要求是三個(gè)數(shù)相加都

等于18,所以在6上面的格中填11,在6下面的格中填1（圖2-8）。

圖2-8

6+11+1=18

看圖2-8o6上面的數(shù)是11,11左鄰的數(shù)是5,18-11-5=2,所以5左鄰的數(shù)是2（圖2-9）。

再看圖2-8o6下面的數(shù)是1,1右鄰的數(shù)是7,18-1-7=10,所以7右鄰的數(shù)是10（圖2-9）。

現(xiàn)在1?11之中只剩下3、4、8、9這四個(gè)數(shù)，圖2-9中也只剩下四個(gè)空格。在5的上、下,

在7的上、下都應(yīng)填什么數(shù)呢？

圖2-9圖2-10

因?yàn)?8-5=13,所以5上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是13,3、4、8、9這四個(gè)數(shù)中，只有4+9=13,

所以在5的上、下兩格中應(yīng)填9與4（圖2-10）。

看圖2-10。因?yàn)?左鄰的數(shù)是4,18-4-6=8,所以6右鄰的數(shù)是8。

因?yàn)?8-7-8=3,并且的數(shù)中，只剩下3沒(méi)有填上，所以在7下面的格中應(yīng)填上3。

圖2-10是填完數(shù)字的圖形。

*例3在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒(méi)有祛碼的天平上，最多只

能稱(chēng)兩次，你能把假手鐲找出來(lái)嗎？（適于三年級(jí)程度）

解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。

①把A、B兩組放在天平左右兩邊的秤盤(pán)上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，

則哪組較重，假的就在哪組里。

②再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤(pán)上。如果平衡，余下的1只是假

的；若不平衡，較重的那只是假的。

*例4在下面的15個(gè)8之間的任何位置上，添上+、-、X、+符號(hào)，使得下面的算式成立。

（適于三年級(jí)程度）888888888888888=1986

解：先找一個(gè)接近1986的數(shù)，如：8888+8+888=1999。

1999比1986大13o往下要用剩下的7個(gè)8經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算得出一個(gè)等于13的算式呢？

884-8=11,11與13接近，只差2。

往下就要看用剩下的4個(gè)8經(jīng)過(guò)怎樣的運(yùn)算等于2o8+8+8+8=2。

把上面的思路組合在一起，得到下面的算式：

88884-8+888-884-8-84-8-84-8=1986

例5三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是120,求這三個(gè)數(shù)。（適于四年級(jí)程度）

解：假設(shè)這三個(gè)數(shù)是2、3、4,貝U：

2X3X4=24

24<120,這三個(gè)數(shù)不是2、3、4；

假設(shè)這三個(gè)數(shù)是3、4、5,則：

3X4X5=60

60<120,這三個(gè)數(shù)不是3、4、5；

假設(shè)這三個(gè)數(shù)是4、5、6,則：

4X5X6=120

4、5、6的積正好是120,這三個(gè)數(shù)是4、5、60例6在下面式子里的適當(dāng)位置上加上括號(hào),

使它們的得數(shù)分別是47、75、23、35o(適于四年級(jí)程度)

(1)7X9+124-3-2=47

(2)7X9+124-3-2=75

(3)7X9+124-3-2=23

(4)7X9+124-3-2=35

解：本題按原式的計(jì)算順序是先做第二級(jí)運(yùn)算，再做第一級(jí)運(yùn)算，即先做乘除法而后做加

減法，結(jié)果是：

7X9+124-3-2

=63+4-2

=65

“加上括號(hào)”的目的在于改變?cè)瓉?lái)的計(jì)算順序。由于此題加中括號(hào)還是加小括號(hào)均未限制,

因此解本題的關(guān)鍵在于加寫(xiě)括號(hào)的位置?？梢詮募訉?xiě)一個(gè)小括號(hào)想起，然后再考慮加寫(xiě)中括號(hào)。

如：

(1)7X7=49,再減2就是47。這里的第一個(gè)數(shù)7是原算式中的7,要減去的2是原算式

等號(hào)前的數(shù)，所以下面應(yīng)考慮能否把9+12+3通過(guò)加括號(hào)后改成得7的算式。經(jīng)過(guò)加括號(hào),(9+12)

4-3=7,因此：

7X[(9+12)4-31-2=47

因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)乘以?xún)蓚€(gè)數(shù)的商，可以用這個(gè)數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本題也可以寫(xiě)成:

7X(9+12)4-3-2=47

(2)7X11=77,再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，要減去的2是等號(hào)前面

的數(shù)。下面要看9+12+3能不能改寫(xiě)成得11的算式。經(jīng)嘗試9+12+3不能改寫(xiě)成得11的算式,

所以不能沿用上一道題的解法。7X9+12得75,這里的7、9、12就是原式中的前三個(gè)數(shù)，所以

只要把3-2用小括號(hào)括起來(lái)，使7X9+12之和除以1,問(wèn)題就可解決。由此得到：

(7X9+12)4-(3-2)=75

因?yàn)?3-2)的差是1,所以根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的和除以一個(gè)數(shù)，可以先把兩個(gè)加數(shù)分別除以這

個(gè)數(shù)，然后把兩個(gè)商相加”這一運(yùn)算規(guī)則，上面的算式又可以寫(xiě)成：

7X9+124-(3-2)=75

在上面的這個(gè)算式中，本應(yīng)在7X9的后面寫(xiě)上“!(3-2)”，因?yàn)槿魏螖?shù)除以1等于這

個(gè)數(shù)本身，為了適應(yīng)題目的要求，不在7X9的后寫(xiě)出“+(3-2)”。

（3）25-2=23,這個(gè)算式中，只有2是原算式等號(hào)前的數(shù)，只要把7X9+12+3改寫(xiě)成得25

的算式，問(wèn)題就可解決。又因?yàn)?X9+12=75,754-3=25,所以只要把7X9+12用小括號(hào)括起來(lái),

就得到題中所求了。

（7X9+12）4-3-2=23

（4）7X5=35,7是原算式中的第一個(gè)數(shù)，原算式中的9+12+3-2能否改寫(xiě)成得5的算式

呢？因?yàn)?-2=5,要是9+12+3能改寫(xiě)成得7的算式就好了。經(jīng)改寫(xiě)為（9+12）4-3=7,因此問(wèn)

題得到解決。題中要求的算式是：

7X[（9+12）4-3-2]=35

*例7王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平

每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪

了幾天羊毛？（適于四年級(jí)程度）

解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計(jì)算，一共剪的天數(shù)是：

1124-14=8（天）

因?yàn)橥趺髅刻旒?0只，李平每天剪12只，一共剪了H2只，兩人合起來(lái)共剪了8天，并

且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。貝IJ：

12X5+20X（8-5）=120（只）

120>112,李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。

假定李平剪了6天，則：

12X6+20X（8-6）=112（只）

所以按李平剪6天計(jì)算，正滿(mǎn)足題中條件。

答：李平剪了6天。

*例8一名學(xué)生讀一本書(shū)，用一天讀80頁(yè)的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁(yè)的速度，

需要4天讀完?，F(xiàn)在要使每天讀的頁(yè)數(shù)跟能讀完這本書(shū)的天數(shù)相等，每天應(yīng)該讀多少頁(yè)？（適

于五年級(jí)程度）

解：解這道題的關(guān)鍵是要求出一本書(shū)的總頁(yè)數(shù)。因?yàn)槊刻熳x的頁(yè)數(shù)乘以讀的天數(shù)等于一本

書(shū)的總頁(yè)數(shù)，又因?yàn)槊刻熳x的頁(yè)數(shù)與讀完此書(shū)的天數(shù)相等，所以知道了總頁(yè)數(shù)就可以解題了。

根據(jù)“用一天讀80頁(yè)的速度，需要5天讀完”，是否能夠認(rèn)為總頁(yè)數(shù)就是80X5=400（頁(yè)）

呢？不能。

因?yàn)?天不一定每天都讀80頁(yè)，所以只能理解為：每天讀80頁(yè)，讀了4天還有余下的，

留到第五天才讀完。這也就是說(shuō)，這本書(shū)超過(guò)了80X4=320（頁(yè)），最多不會(huì)超過(guò)：

90X4=360（頁(yè)）

根據(jù)以上分析，可知這本書(shū)的頁(yè)數(shù)在321?360頁(yè)之間。知道總頁(yè)數(shù)在這個(gè)范圍之內(nèi)，往下

就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321?360之間。

因?yàn)?7X17=289,18X18=324,19X19=361,324在321?360之間,所以只有每天讀18

頁(yè)才符合題意，18天看完，全書(shū)324頁(yè)。

答：每天應(yīng)該讀18頁(yè)。

*例9一個(gè)數(shù)是5個(gè)2,3個(gè)3,2個(gè)5,1個(gè)7的連乘積。這個(gè)數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這

些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？（適于六年級(jí)程度）

解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：

99、98、97、96.......11、10

以上兩位數(shù)分解后，它的質(zhì)因數(shù)只能是2、3、5、7,并且在它的質(zhì)因數(shù)分解中2的個(gè)數(shù)不

超過(guò)5,3的個(gè)數(shù)不超過(guò)3,5的個(gè)數(shù)不超過(guò)2,7的個(gè)數(shù)不超過(guò)1。

經(jīng)嘗試，99不符合要求，因?yàn)樗匈|(zhì)因數(shù)H；98的分解式中有兩個(gè)7,也不符合要求；質(zhì)

數(shù)97當(dāng)然更不會(huì)符合要求。而，

96=2X2X2X2X2X3

所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。

答略。

*例10從一個(gè)油罐里要稱(chēng)出6千克油來(lái)，但現(xiàn)在只有兩個(gè)桶，一個(gè)能容4千克，另一個(gè)能

容9千克。求怎樣才能稱(chēng)出這6千克油？（適于六年級(jí)程度）

解：這道題單靠計(jì)算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問(wèn)題解決。

已知大桶可裝9千克油，要稱(chēng)出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設(shè)法倒出9千

克油中的3千克，為達(dá)到這一目的，我們應(yīng)使小桶中正好有1千克油。

怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？

（1）把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。

（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。

（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。

（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。

（5）把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時(shí)油罐外，只有大桶里有1千克油。

（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。

（7）往大桶倒?jié)M油。

（8）從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。

（9）大桶里剩下6千克油。

第三講列舉法

解應(yīng)用題時(shí)，為了解題的方便，把問(wèn)題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來(lái)加以分

析、解決，最終達(dá)到解決整個(gè)問(wèn)題的目的。這種分析、解決問(wèn)題的方法叫做列舉法。列舉法也

叫枚舉法或窮舉法。

用列舉法解應(yīng)用題時(shí)，往往把題中的條件以列表的形式排列起來(lái)，有時(shí)也要畫(huà)圖。

例1一本書(shū)共100頁(yè)，在排頁(yè)碼時(shí)要用多少個(gè)數(shù)字是6的鉛字？（適于三年級(jí)程度）

解：把個(gè)位是6和十位是6的數(shù)一個(gè)一個(gè)地列舉出來(lái)，數(shù)一數(shù)。

個(gè)位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共10個(gè)。

十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共10個(gè)。

10+10=20（個(gè)）

答：在排頁(yè)碼時(shí)要用20個(gè)數(shù)字是6的鉛字。

*例2從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過(guò)B市到C市有幾種走法?

（適于三年級(jí)程度）

解：作圖3-1,然后把每一種走法一一列舉出來(lái)。

圖3-1

第一種走法：A①B④C

第二種走法：A①B⑤C

第三種走法：A②B④C

第四種走法：A②B⑤C

第五種走法：A③B④C

第六種走法：A③B⑤C

答：從A市經(jīng)過(guò)B市到C市共有6種走法。*例3901307=100

140205=0

把+、-、X、+四種運(yùn)算符號(hào)分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中（每種運(yùn)算符號(hào)只能用一次），并在

長(zhǎng)方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個(gè)等式都成立。這時(shí)長(zhǎng)方形中的數(shù)是幾？（適于四年級(jí)

程度）

解：把+、-、X、+四種運(yùn)算符號(hào)填在四個(gè)圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎

樣填會(huì)特別麻煩。如果用些簡(jiǎn)單的推理，排除不可能的填法，就能使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答。

先看第一個(gè)式子：901307=100

如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)填上“+”號(hào)，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；如果在兩個(gè)圓圈內(nèi)

僅填“+”、“-”號(hào)，等式右端得出的數(shù)也小于100,所以在兩個(gè)圓圈內(nèi)不能同時(shí)填“+”號(hào)，

也不能同時(shí)填“+”、“-”號(hào)。

要是在等式的一個(gè)圓圈中填入“X”號(hào)，另一個(gè)圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆?hào)就容易使等式右端

得出100o9X13-7=117-7=110,未湊出100。如果在兩個(gè)圈中分別填入“+”和“X”號(hào)，就會(huì)

湊出100To

9+13X7=100

再看第二個(gè)式子：140205=0

上面已經(jīng)用過(guò)四個(gè)運(yùn)算符號(hào)中的兩個(gè)，只剩下“!”號(hào)和“-”號(hào)了。如果在第一個(gè)圓圈內(nèi)

填上“寺”號(hào)，14+2得到整數(shù)，所以：

144-2-5=2

即長(zhǎng)方形中的數(shù)是2。

*例4印刷工人在排印一本書(shū)的頁(yè)碼時(shí)共用1890個(gè)數(shù)碼，這本書(shū)有多少頁(yè)？（適于四

年級(jí)程度）

解：（1）數(shù)碼一共有10個(gè)：0、1、2……8、9o0不能用于表示頁(yè)碼，所以頁(yè)碼是一位數(shù)

的頁(yè)有9頁(yè)，用數(shù)碼9個(gè)。

（2）頁(yè)碼是兩位數(shù)的從第10頁(yè)到第99頁(yè)。因?yàn)?9-9=90,所以，頁(yè)碼是兩位數(shù)的頁(yè)有90

頁(yè)，用數(shù)碼：

2X90=180（個(gè)）

（3）還剩下的數(shù)碼：

1890-9-180=1701（個(gè)）

（4）因?yàn)轫?yè)碼是三位數(shù)的頁(yè)，每頁(yè)用3個(gè)數(shù)碼，100頁(yè)到999頁(yè)，999-99=900,而剩下的

1701個(gè)數(shù)碼除以3時(shí)，商不足600,即商小于900。所以頁(yè)碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)

To往下要看1701個(gè)數(shù)碼可以排多少頁(yè)。

17014-3=567（頁(yè)）

（5）這本書(shū)的頁(yè)數(shù)：

9+90+567=666（頁(yè)）

答略。

*例5用一根80厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成

的長(zhǎng)方形面積最大？（適于四年級(jí)程度）

解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來(lái)，然后加以比

較。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是80厘米，所以長(zhǎng)與寬的和是40厘米。列表3-1：

表3-1

1234

長(zhǎng)35302520

見(jiàn)5101520

表3-1中，長(zhǎng)、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因?yàn)轭}目要求的是哪一種圍法的長(zhǎng)方形面積最大,

第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。

前三種圍法的長(zhǎng)方形面積

分別是：

35X5=175（平方厘米）

30X10=300（平方厘米）

25X15=375（平方厘米）

答：當(dāng)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是25厘米，寬是15厘米時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大。

例6如圖3-2,有三張卡片，每一張上寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字1、2、3,從中抽出一張、兩張、三張,

按任意次序排列起來(lái)，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請(qǐng)將其中的質(zhì)數(shù)都寫(xiě)出來(lái)。

（適于五年級(jí)程度）

圖3-2

解：任意抽一張，可得到三個(gè)一位數(shù)：1、2、3,其中2和3是質(zhì)數(shù)；

任意抽兩張排列，一共可得到六個(gè)不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32,其中13、23

和31是質(zhì)數(shù)；

三張卡片可排列成六個(gè)不同的三位數(shù)，但每個(gè)三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6,即它們都是3

的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。

綜上所說(shuō)，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31,共五個(gè)。

*例7在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個(gè)糧站。一號(hào)糧站存有10噸糧食，2號(hào)糧

站存有20噸糧食，3號(hào)糧站存有30噸糧食，4號(hào)糧站是空的，5號(hào)糧站存有40噸糧食?，F(xiàn)在要

把全部糧食集中放在一個(gè)糧站里，如果每噸1千米的運(yùn)費(fèi)是0.5元，那么糧食集中到第幾號(hào)糧

站所用的運(yùn)費(fèi)最少（圖3-3）?（適于五年級(jí)程度）

10噸20噸30噸4。噸

圖3-3

解：看圖3-3,可以斷定糧食不能集中在1號(hào)和2號(hào)糧站。

下面將運(yùn)到3號(hào)、4號(hào)、5號(hào)糧站時(shí)所用的運(yùn)費(fèi)一一列舉，并比較。

（1）如果運(yùn)到3號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是:

0.5X10X（10+10）+0.5X20X10+0.5X40X（10+10）

=100+100+400

=600（元）

（2）如果運(yùn)到4號(hào)糧站，所用運(yùn)費(fèi)是：

0.5X10X（10+10+10）+0.5X20X（10+10）+0.5X30X10+0.5X40X10

=150+200+150+200

=700（元）

（3）如果運(yùn)到5號(hào)糧站，所用費(fèi)用是：

0.5X10X（10+10+10+10）+0.5X20X（10+10+10）+0.5X30X（10+10）

=200+300+300

=800（元）

800>700>600

答：集中到第三號(hào)糧站所用運(yùn)費(fèi)最少。

*例8小明有10個(gè)1分硬幣，5個(gè)2分硬幣，2個(gè)5分硬幣。要拿出1角錢(qián)買(mǎi)1支鉛筆，問(wèn)

可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來(lái)。（適于五年級(jí)程度）

解：（1）只拿出一種硬幣的方法：

①全拿1分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）

②全拿2分的：

2+2+2+2+2=1（角）

③全拿5分的：

5+5=1（角）

只拿出一種硬幣，有3種方法。

（2）只拿兩種硬幣的方法：

①拿8枚1分的，1枚2分的：

1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）

②拿6枚1分的，2枚2分的：

1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）

③拿4枚1分的，3枚2分的:

1+1+1+1+2+2+2=1（角）

④拿2枚1分的，4枚2分的：

1+1+2+2+2+2=1（角）

⑤拿5枚1分的，1枚5分的：

1+1+1+1+1+5=1（角）

只拿出兩種硬幣，有5種方法。

（3）拿三種硬幣的方法：

①拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：

1+1+1+2+5=1（角）

②拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：

1+2+2+5=1（角）

拿出三種硬幣，有2種方法。

共有：

3+5+2=10（種）

答：共有10種拿法。

*例9甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P(pán)。到現(xiàn)在為止,

甲賽了4盤(pán)，乙賽了3盤(pán)，丙賽了2盤(pán)，丁賽了1盤(pán)。問(wèn)小強(qiáng)賽了幾盤(pán)？（適于五年級(jí)程度）

解：作表3-2。

表3-2

甲乙丙T強(qiáng)

甲\

乙\

TOO\

強(qiáng)OO\

甲已經(jīng)賽了4盤(pán)，就是甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)各賽了一盤(pán)，在甲與乙、丙、丁、小強(qiáng)相交

的那些格里都打上J；乙賽的盤(pán)數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤(pán)，又與丙和小強(qiáng)各賽一盤(pán)，在乙

與丙、小強(qiáng)相交的那兩個(gè)格中都打上丙賽了兩盤(pán)，就是丙與甲、乙各賽一盤(pán)，打上J；T

與甲賽的那一盤(pán)也打上

丁未與乙、丙、小強(qiáng)賽過(guò)，在丁與乙、丙與小強(qiáng)相交的格中都畫(huà)上圈。

根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強(qiáng)與甲、乙各賽一盤(pán)，未與丙、丁賽，

共賽2盤(pán)。

答：小強(qiáng)賽了2盤(pán)。

*例10商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧

客要買(mǎi)9千克餅干，為了便于攜帶要求不開(kāi)箱。營(yíng)業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級(jí)程度）

解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。

表3-3

箱重5千克2千克1千克方法

1201

1122

1043

0174

0255

0336

0417

答：不開(kāi)箱有7種發(fā)貨方式。

*例11運(yùn)輸隊(duì)有30輛汽車(chē)，按1?30的編號(hào)順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開(kāi)走的全部

是單號(hào)車(chē)，以后幾次都由余下的第一輛車(chē)開(kāi)始隔一輛開(kāi)走一輛。到第幾次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走？最

后開(kāi)走的是第幾號(hào)車(chē)？（適于五年級(jí)程度）

解：按題意畫(huà)出表3-4列舉各次哪些車(chē)開(kāi)走。

表3-4

汽車(chē)編號(hào)1、2、3、...29、30

第一次開(kāi)走2、4、6、8、10s12、14、16s18、20、22、24、26、28、30

后剩下的

第二次開(kāi)走4、8、12、16、20、24、28

后剩下的

第三次開(kāi)走8、16s24

后剩下的

第四次開(kāi)走16

后剩下的

從表3-4中看得出，第三次開(kāi)走后剩下的是第8號(hào)、16號(hào)、24號(hào)車(chē)。按題意，第四次8號(hào)、

24號(hào)車(chē)開(kāi)走。到第五次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16號(hào)車(chē)。

答：到第五次時(shí)汽車(chē)全部開(kāi)走，最后開(kāi)走的是第16號(hào)車(chē)。

*例12在甲、乙兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放大米，甲倉(cāng)存90袋，乙倉(cāng)存50袋，甲倉(cāng)每次運(yùn)出12袋，乙

倉(cāng)每次運(yùn)出4袋。運(yùn)出幾次后，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等？（適于五年級(jí)程度）

解：根據(jù)題意列表3-5。

表3-5

甲倉(cāng)存的袋數(shù)乙倉(cāng)存的袋數(shù)

原來(lái)存9050

第一次運(yùn)走后剩7846

第二次運(yùn)走后剩6642

第三次運(yùn)走后剩5438

第四次運(yùn)走后剩4234

第五次運(yùn)走后剩3030

從表3-5可以看出，原來(lái)甲乙兩倉(cāng)庫(kù)所存大米相差40袋；第一次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米

相差78-46=32（袋）；第二次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運(yùn)走后，

兩倉(cāng)剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米相差42-34=8（袋）；

第五次運(yùn)走后，兩倉(cāng)剩下的大米袋數(shù)相等。

40-32=8

32-24=8

24-16=8

從這里可以看出，每運(yùn)走一次，兩倉(cāng)庫(kù)剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出,

兩倉(cāng)庫(kù)原存大米袋數(shù)的差，除以每次運(yùn)出的袋數(shù)差就得出運(yùn)幾次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相

（90-50）4-（12-4）=5（次）

答：運(yùn)出5次后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)剩下大米的袋數(shù)相等。

*例13有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第

二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的

人數(shù)并入第一組。這時(shí)，三組的人數(shù)一樣多。問(wèn)原來(lái)各組有多少個(gè)小朋友？（適于五年級(jí)程度）

解：三個(gè)小組共72人，第三次并入后三個(gè)小組人數(shù)相等，都是72+3=24（人）。在這以前,

即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入