2023-2024學(xué)年遼寧省錦州市某校高三上學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市某校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)于集合，；對(duì)于集合，，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,則，即z共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C.3.四張連號(hào)的電影票，小李從中隨機(jī)抽出了兩張，則這兩張票座位恰好相鄰的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗四張電影票編號(hào)為1，2，3，4，任取2張的基本事件有：12，13，14，23，24，34，共6種，其中相鄰的是12，23，34共3種，所求概率為．故選：A4.已知定義在上函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，故是以為周期的函數(shù)，則，又當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選：C.5.已知，，，，，成等比數(shù)列，，，，成等差數(shù)列，則的最小值是（）A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，，，成等比數(shù)列，故，，，，成等差數(shù)列，故，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值是4.故選：D.6.命題“，”為假命題，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若“，使得”為假命題，可得當(dāng)時(shí)，恒成立只需又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：A.7.已知函數(shù)，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題設(shè)，，即在R上為奇函數(shù)；在上，故在上遞增，易知：在R上遞增，又，則，即上；令，則，故上，遞增；上，遞減，而，，此時(shí)；綜上，的最小值為.故選：A.8.設(shè)，，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，而，令，則，，∴時(shí)，遞減；而，，∴上，即遞減，則在上，∴由，則，即.綜上，.故選：D.二、多選題9.下列說法不正確的是（）A.不等式的解集為B.已知，，則是的充分不必要條件C.若，則函數(shù)的最小值為2D.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A：由可得，所以或，所以A錯(cuò)誤.對(duì)B：由可得，所以，所以是的充分不必要條件，所以B正確.對(duì)C：由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但是，所以，所以C錯(cuò)誤.對(duì)D：若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，①當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，只要，解得；所以不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.下列各式中值為1的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗A.，故錯(cuò)誤；B.，故正確；C.，故正確；D.因?yàn)?，所以，所以，故錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（）A.的一個(gè)周期為4 B.點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C.時(shí)， D.〖答案〗AD〖解析〗為奇函數(shù)，，且，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，，即，，令，則，，，故的一個(gè)周期為4，故A正確；則直線是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱軸，故B不正確；當(dāng)時(shí)，，，，又，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；，故D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)在時(shí)，取得極小值-1B.對(duì)于，恒成立C.若，則D.若，對(duì)于恒成立，則的最大值為，的最小值為1〖答案〗BCD〖解析〗，∴上，即上遞減，則，∴A錯(cuò)誤，B正確；令，則在上，即遞減，∴時(shí)，有，C正確；，則等價(jià)于，等價(jià)于，令，則，，∴當(dāng)時(shí)，，則遞增，故；當(dāng)時(shí)，，則遞減，故；當(dāng)時(shí)，存在使，∴此時(shí)，上，則遞增，；上，則遞減，∴要使在上恒成立，則，得.綜上，時(shí)，上恒成立，時(shí)上恒成立，∴若，對(duì)于恒成立，則的最大值為，的最小值為1，正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題13.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則______.〖答案〗〖解析〗在處的切線與直線垂直，，又，，解得：.故〖答案〗為：.14.已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)根，可得，，由，可得，即，解得或，因?yàn)?，所以，即，所?故〖答案〗為：.15.“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸福”，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)境保護(hù)意識(shí)日益增強(qiáng)，錦州某家化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會(huì)減少20%，錦州環(huán)保部門為了保護(hù)好錦州優(yōu)越的生態(tài)環(huán)境，要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為______（參考數(shù)據(jù)：，）〖答案〗〖解析〗設(shè)該污染物排放前需要過濾的次數(shù)為，則由題意得，即，所以，，，所以，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)椋缘淖钚≈禐?故〖答案〗為：.16.函數(shù)、分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為______．〖答案〗〖解析〗∵①，∴，又函數(shù)、分別是定義在上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，∴②，由①②得，，不等式為（*），設(shè)，這是一個(gè)增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（*）變?yōu)椋?，若存在，使不等式成立，則為：存在，使成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值是，∴．故〖答案〗為：.四、解答題17.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）解：由（1）得，所以18.已知，，求：（1）的值；（2）的值．解：（1）由，因?yàn)?，，所以，；?）∵，，∴，∴，，∴．19.新疆地區(qū)的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆長(zhǎng)絨棉，世界頂級(jí)，做衣被，暖和、透氣、舒適，長(zhǎng)年供不應(yīng)求．評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一就是棉花的纖維長(zhǎng)度，新疆農(nóng)科所在土壤環(huán)境不同的A、B兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花，為了評(píng)價(jià)該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從A、B兩地的棉花中各隨機(jī)抽取40根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：（記纖維長(zhǎng)度不低于300mm的為“長(zhǎng)纖維”，其余為“短纖維”）．纖維長(zhǎng)度A地（根數(shù)）492178B地（根數(shù)）2122015（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”（的觀測(cè)值精確到0.01）．附：A地B地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)臨界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）現(xiàn)從抽取的80根棉花纖維中“短纖維”里任意抽取2根做進(jìn)一步研究，記B地“短纖維”的根數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)上述B地關(guān)于“長(zhǎng)纖維”與“短纖維”的調(diào)查，將B地“長(zhǎng)纖維”的頻率視為概率，現(xiàn)從B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，記抽取的“長(zhǎng)纖維”的根數(shù)為X，求X的方差．（1）解：根據(jù)題中信息可得如下列聯(lián)表：地地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)可得，因此，在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.（2）解：由題意，根棉花纖維中“短纖維”共根，其中，地的“短纖維”共根，所以隨機(jī)變量的可能取值有，，，可得，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.（3）解：從地棉花（大量的棉花）中任意抽取根是“長(zhǎng)纖維”的頻率是，所以隨機(jī)變量，可得.20.在正項(xiàng)數(shù)列中，，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．（1）解：已知①，則，且②，，得，整理得，∴，，，，由累乘法可得，又，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）證明：由（1）可知，，因?yàn)椋?，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，∴，，即，得證.21.法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊是個(gè)喜歡吃面包的人，他每天都會(huì)到同一家面包店購(gòu)買一個(gè)面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是，上下浮動(dòng)不超過.這句話用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來表達(dá)就是：每個(gè)面包的質(zhì)量服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布.（1）已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)據(jù)，記這k個(gè)數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機(jī)變量，利用該結(jié)論解決下面問題.（i）假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購(gòu)買25個(gè)面包，記隨機(jī)購(gòu)買25個(gè)面包的平均值為Y，求；（ii）龐加萊每天都會(huì)將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；（2）假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個(gè)面包，其中黑色面包有2個(gè)；第二箱中共裝有8個(gè)面包，其中黑色面包有3個(gè).現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個(gè)面包.求取出黑色面包個(gè)數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生.解：（1）（i）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?；（ii）由第一問知，龐加萊計(jì)算25個(gè)面包質(zhì)量的平均值為978.72g，，而，為小概率事件，小概率事件基本不會(huì)發(fā)生，這就是龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；（2）設(shè)取出黑色面包個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為0，1，2.則，，故分布列為：012其中數(shù)學(xué)期望.22.（1）試比較與的大?。?）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，①求的取值范圍；②證明：．（1）解：設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?），所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（2）①解：因?yàn)椋?，令，得；令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，即．因?yàn)椋?，所以?dāng)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．②證明：因?yàn)?，是的兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則．因?yàn)椋?，所以，，即，，則，即，即．因?yàn)?，所以，則，即．遼寧省錦州市某校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗對(duì)于集合，；對(duì)于集合，，所以.故選：A2.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限〖答案〗C〖解析〗,則，即z共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故選：C.3.四張連號(hào)的電影票，小李從中隨機(jī)抽出了兩張，則這兩張票座位恰好相鄰的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗四張電影票編號(hào)為1，2，3，4，任取2張的基本事件有：12，13，14，23，24，34，共6種，其中相鄰的是12，23，34共3種，所求概率為．故選：A4.已知定義在上函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，故是以為周期的函數(shù)，則，又當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選：C.5.已知，，，，，成等比數(shù)列，，，，成等差數(shù)列，則的最小值是（）A.0 B.1 C.2 D.4〖答案〗D〖解析〗，，，成等比數(shù)列，故，，，，成等差數(shù)列，故，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值是4.故選：D.6.命題“，”為假命題，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗若“，使得”為假命題，可得當(dāng)時(shí)，恒成立只需又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：A.7.已知函數(shù)，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題設(shè)，，即在R上為奇函數(shù)；在上，故在上遞增，易知：在R上遞增，又，則，即上；令，則，故上，遞增；上，遞減，而，，此時(shí)；綜上，的最小值為.故選：A.8.設(shè)，，，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，而，令，則，，∴時(shí)，遞減；而，，∴上，即遞減，則在上，∴由，則，即.綜上，.故選：D.二、多選題9.下列說法不正確的是（）A.不等式的解集為B.已知，，則是的充分不必要條件C.若，則函數(shù)的最小值為2D.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)A：由可得，所以或，所以A錯(cuò)誤.對(duì)B：由可得，所以，所以是的充分不必要條件，所以B正確.對(duì)C：由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但是，所以，所以C錯(cuò)誤.對(duì)D：若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，①當(dāng)時(shí)，不等式為恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，只要，解得；所以不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.下列各式中值為1的是（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗A.，故錯(cuò)誤；B.，故正確；C.，故正確；D.因?yàn)?，所以，所以，故錯(cuò)誤.故選：BC.11.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（）A.的一個(gè)周期為4 B.點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心C.時(shí)， D.〖答案〗AD〖解析〗為奇函數(shù)，，且，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，偶函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，，即，，令，則，，，故的一個(gè)周期為4，故A正確；則直線是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱軸，故B不正確；當(dāng)時(shí)，，，，又，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；，故D正確.故選：AD.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)在時(shí)，取得極小值-1B.對(duì)于，恒成立C.若，則D.若，對(duì)于恒成立，則的最大值為，的最小值為1〖答案〗BCD〖解析〗，∴上，即上遞減，則，∴A錯(cuò)誤，B正確；令，則在上，即遞減，∴時(shí)，有，C正確；，則等價(jià)于，等價(jià)于，令，則，，∴當(dāng)時(shí)，，則遞增，故；當(dāng)時(shí)，，則遞減，故；當(dāng)時(shí)，存在使，∴此時(shí)，上，則遞增，；上，則遞減，∴要使在上恒成立，則，得.綜上，時(shí)，上恒成立，時(shí)上恒成立，∴若，對(duì)于恒成立，則的最大值為，的最小值為1，正確.故選：BCD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題13.曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則______.〖答案〗〖解析〗在處的切線與直線垂直，，又，，解得：.故〖答案〗為：.14.已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以是方程的兩個(gè)根，可得，，由，可得，即，解得或，因?yàn)?，所以，即，所?故〖答案〗為：.15.“環(huán)境就是民生，青山就是美麗，藍(lán)天也是幸?！保S著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)境保護(hù)意識(shí)日益增強(qiáng)，錦州某家化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會(huì)減少20%，錦州環(huán)保部門為了保護(hù)好錦州優(yōu)越的生態(tài)環(huán)境，要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前需要過濾的次數(shù)至少為______（參考數(shù)據(jù)：，）〖答案〗〖解析〗設(shè)該污染物排放前需要過濾的次數(shù)為，則由題意得，即，所以，，，所以，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以的最小值?故〖答案〗為：.16.函數(shù)、分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且，若存在，使不等式成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為______．〖答案〗〖解析〗∵①，∴，又函數(shù)、分別是定義在上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，∴②，由①②得，，不等式為（*），設(shè)，這是一個(gè)增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，（*）變?yōu)?，，若存在，使不等式成立，則為：存在，使成立，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值是，∴．故〖答案〗為：.四、解答題17.已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知得解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）解：由（1）得，所以18.已知，，求：（1）的值；（2）的值．解：（1）由，因?yàn)椋?，所以，；?）∵，，∴，∴，，∴．19.新疆地區(qū)的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆長(zhǎng)絨棉，世界頂級(jí)，做衣被，暖和、透氣、舒適，長(zhǎng)年供不應(yīng)求．評(píng)價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一就是棉花的纖維長(zhǎng)度，新疆農(nóng)科所在土壤環(huán)境不同的A、B兩塊實(shí)驗(yàn)地分別種植某品種的棉花，為了評(píng)價(jià)該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從A、B兩地的棉花中各隨機(jī)抽取40根棉花纖維進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：（記纖維長(zhǎng)度不低于300mm的為“長(zhǎng)纖維”，其余為“短纖維”）．纖維長(zhǎng)度A地（根數(shù)）492178B地（根數(shù)）2122015（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”（的觀測(cè)值精確到0.01）．附：A地B地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)臨界值表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（2）現(xiàn)從抽取的80根棉花纖維中“短纖維”里任意抽取2根做進(jìn)一步研究，記B地“短纖維”的根數(shù)為Y，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)上述B地關(guān)于“長(zhǎng)纖維”與“短纖維”的調(diào)查，將B地“長(zhǎng)纖維”的頻率視為概率，現(xiàn)從B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，記抽取的“長(zhǎng)纖維”的根數(shù)為X，求X的方差．（1）解：根據(jù)題中信息可得如下列聯(lián)表：地地總計(jì)長(zhǎng)纖維短纖維總計(jì)可得，因此，在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下認(rèn)為“纖維長(zhǎng)度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.（2）解：由題意，根棉花纖維中“短纖維”共根，其中，地的“短纖維”共根，所以隨機(jī)變量的可能取值有，，，可得，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，.（3）解：從地棉花（大量的棉花）中任意抽取根是“長(zhǎng)纖維”的頻率是，所以隨機(jī)變量，可得.20.在正項(xiàng)數(shù)列中，，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，，且，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．（1）解：已知①，則，且②，，得，整理得，∴，，，，由累乘法可得，又，，符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）證明：由（1）可知，，因?yàn)?，所以，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，