高中物理第三章磁場第6節(jié)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動教學(xué)案新人教版選修3-1

第6節(jié)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

'1.洛倫茲力不改變帶電粒子速度的大小，即洛倫茲力對

帶電粒子不做功。

2.帶電粒子沿垂直磁場方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時，洛倫茲力

提供向心力，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動。

3.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動的牛頓第二定

律表達(dá)式為qvB=nr^-,軌道半徑為r=景，周期為T—

綽可見周期與帶電粒子的速度沒有關(guān)系。

qB

4.回旋加速器由兩個D形盒組成，帶電粒子在1）形盒中

做圓周運(yùn)動，每次在兩個D形盒之間的窄縫區(qū)域被電場加

一，-.，=，?_超裁12/i______

■舞魏EH加政i■當(dāng)課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高

一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動

i.用洛倫茲力演示儀觀察運(yùn)動電子在磁場中運(yùn)動

實(shí)驗(yàn)操作軌跡特點(diǎn)

不加磁場時電子束的徑跡是直線

給勵磁線圈通電后電子束的徑跡是圓

保持電子速度不變，改變磁感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度越大，軌跡半徑越小

保持磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，改變電子速度電子速度越大，軌跡半徑越大

2.洛倫茲力的作用效果

洛倫茲力只改變帶電粒子速度的方向,不改變帶電粒子速度的大小,或者說洛倫茲力不對帶電粒子做

功，不改變粒子的能量。

3.帶電粒子的運(yùn)動規(guī)律

沿著與磁場垂直的方向射入磁場的帶電粒子，在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動。洛倫茲力總與速度方向垂

直，正好起到了向心力的作用。

公式：qvB=nr^

<半徑：「與

周期:丁福

二、質(zhì)譜儀和回旋加速器

1.質(zhì)譜儀

7g747372[0U:S]

ITIIIIIT-；^

M?：*~~?~?"""??"電.

\.\\.??.八.

\,：之W療￡..

圖3-6-1

(1)原理圖：如圖3-6-1所示?

(2)加速

帶電粒子進(jìn)入質(zhì)譜儀的加速電場，由動能定理得：

1,

qU—~mv^①

(3)偏轉(zhuǎn)

帶電粒子進(jìn)入質(zhì)譜儀的偏轉(zhuǎn)磁場做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力：gvB=—.②

比荷:等。其中由-I午可知電荷量相同

⑷由①②兩式可以求出粒子的運(yùn)動半徑八質(zhì)量0、

時，半徑將隨質(zhì)量變化。

(5)質(zhì)譜儀的應(yīng)用

可以測定帶電粒子的質(zhì)量和分析同位素。

圖3-6-2

2.回旋加速器的結(jié)構(gòu)和原理

(1)兩個中空的半圓金屬盒》和D”處于與盒面垂直的勻強(qiáng)磁場中,匕和山間有一定的電勢差，如圖

3-6-2所示。

(2)帶電粒子在D形盒中只受洛倫茲力的作用而做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動半周后帶電粒子到達(dá)D形盒的狹

縫處，并

被狹縫間的電場加速，加速后的帶電粒子進(jìn)入另D形盒，由粒子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動的半徑

公式r=就知,它運(yùn)動的半徑將增大'由周期公式7=等可知，

其運(yùn)動周期與速度無關(guān),即它運(yùn)動的周期

不變，它運(yùn)動半個周期后又到達(dá)狹縫再次被加速，如此繼續(xù)下去,帶電粒子不斷地被加速，在D形盒中做半

徑逐漸增大,但周期丕變的圓周運(yùn)動。

1.自主思考一一判一判

(D帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場后一定做勻速圓周運(yùn)動。(X)

(2)運(yùn)動電荷在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的周期與速度無關(guān)。(J)

(3)運(yùn)動電荷進(jìn)入磁場后(無其他場)可能做勻速圓周運(yùn)動，不可能做類平拋運(yùn)動。(J)

(4)回旋加速器的半徑越大，帶電粒子獲得的最大動能就越大。(J)

(5)利用回旋加速器加速帶電粒子，要提高加速粒子的最終能量，應(yīng)盡可能增大磁感應(yīng)強(qiáng)度6和D形盒

的半徑上(V)

(6)帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑與帶電粒子進(jìn)入磁場時速度的大小有關(guān)，而周期與速度、半徑都無

關(guān)。(J)

2.合作探究一一議一議

mv

(1)帶電粒子若垂直進(jìn)入非勻強(qiáng)磁場后做半徑不斷變化的運(yùn)動，這時公式是否成立？

qB

提示：成立。在非勻強(qiáng)磁場中，隨著6的變化，粒子軌跡的圓心、半徑不斷變化，但粒子運(yùn)動到某位置

mv

的半徑仍由6、＜7、外加決定，仍滿足「=不。

qB

(2)回旋加速器中所加的交變電壓的周期由什么決定？

提示：由于回旋加速器工作時，必須滿足交變電壓周期和粒子在磁場中運(yùn)動周期相同，即粒子在磁場中

運(yùn)動周期決定了電壓周期。

(3)粒子經(jīng)回旋加速器加速后，最終獲得的動能與交變電壓大小有無關(guān)系？

提示：無關(guān)，僅與盒半徑有關(guān)。

字

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的勻速圓周運(yùn)動

?通知識

1.帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場中，只受洛倫茲力，由其提供向心力做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)動半徑r=

耳，運(yùn)動周期7=罕，除了半徑和周期外，我們有時還分析粒子運(yùn)動的速度、時間等問題。

qBqB

2.分析方法：“三定”，即一定圓心，二定半徑，三定圓心角。

(1)圓心的確定：因?yàn)槁鍌惼澚κ冀K與電荷運(yùn)動方向垂直，洛倫茲力為粒子做圓周運(yùn)動提供了向心力，

總是指向圓心。根據(jù)此點(diǎn)，我們可以很容易地找到圓周的圓心。在實(shí)際問題中，圓心位置的確定極為重要,

通常有兩種方法:

①畫出粒子運(yùn)動中的任意兩點(diǎn)(一般是射入和射出磁場的兩點(diǎn))的洛倫茲力的方向，其延長線的交點(diǎn)即為

圓心，如圖3-6-3甲。

oxXX

Xxx

圖3-6-3

②通過入射點(diǎn)或出射點(diǎn)作速度方向的垂線，再連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條線的交點(diǎn)就是

圓弧軌道的圓心，如圖乙。

(2)半徑的確定和計算：半徑的計算一般是利用幾何知識(三角函數(shù)關(guān)系、三角形知識等)求解。

(3)圓心角的確定：確定圓心角時，①利用好四個角的關(guān)系，即圓心角=偏向角=2X弦切角。

②利用好三角形尤其是直角三角形的相關(guān)知識。計算出圓心角0,則帶電粒子在磁場中的運(yùn)動時間

0

~—T

2no

0通方法

［典例］如圖3-6-4所示，一帶電荷量為2.OXI。-'C、質(zhì)量為1.8X1076kg的粒子,

xxBxxx

XXXXX

XXXX

P

圖3-6-4

在直線上一點(diǎn)0沿與直線夾角為30°方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為8的勻強(qiáng)磁場中，經(jīng)過1.5X10's后到

達(dá)直線上另一點(diǎn)尸，求:

(1)粒子做圓周運(yùn)動的周期；

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度8的大??；

⑶若。、戶之間的距離為0.1m,則粒子的運(yùn)動速度多大？

［思路點(diǎn)撥］

(1)畫出粒子由。點(diǎn)到一點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，確定圓心、圓心角。

(2)確定粒子運(yùn)動時間與周期的關(guān)系。

(3)確定粒子運(yùn)動的半徑及其與8之間的關(guān)系。

出粒子軌跡，如圖所示，由圖可知粒子由。到一的大圓弧所對的圓［解析］⑴作

300°300°,則專

心角為

360°

r-iun66

XI.5X10-6s=l.8X10-6So周期T=~t=~

(2)由于粒子做圓周運(yùn)動所需的向心力為洛倫茲力，得為/=半，所以

吧=曰*=2X314X18X10-16

qRqqT2.0X10-9X1.8X10-6

(3)由幾何知識可知，半徑仁”-0.1m

故粒子的速度

BqR0.314X2.0X10—9X0.1

V=----m/s=3.49X10'm/s。

m1.8X10-16

［答案］(D1.8X10-6s(2)0.314T

(3)3.49X105m/s

分析帶電粒子在磁場中做圓周運(yùn)動問題的要點(diǎn)

(D確定粒子的運(yùn)動軌跡、半徑、圓心角等是解決此類問題的關(guān)鍵。

(2)掌握粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡半徑公式和周期公式是分析此類問題的依據(jù)。

6通題組

1.(2015?全國卷I)兩相鄰勻強(qiáng)磁場區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同、方向平行。一速度方向與磁感應(yīng)強(qiáng)

度方向垂直的帶電粒子(不計重力)，從較強(qiáng)磁場區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場區(qū)域后，粒子的()

A.軌道半徑減小，角速度增大

B.軌道半徑減小，角速度減小

C.軌道半徑增大，角速度增大

D.軌道半徑增大，角速度減小

解析：選D分析軌道半徑：帶電粒子從較強(qiáng)磁場區(qū)域進(jìn)入到較弱磁場區(qū)域后，粒子的速度r大小不

變，磁感應(yīng)強(qiáng)度8減小，由公式「=寫可知，軌道半徑增大。分析角速度：由公式7=會可知，粒子在磁

qBqB

場中運(yùn)動的周期增大，根據(jù)。=早知角速度減小。選項(xiàng)D正確。

2.質(zhì)量和電荷量都相等的帶電粒子"和用以不同的速率經(jīng)小孔S垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，運(yùn)行的半圓軌跡

如圖3-6-5中虛線所示，下列表述正確的是（）

XXXX

BM

xNJ1不

乂xYX父\

st

圖3-6-5

A.M帶負(fù)電，/V帶正電

B.歷的速率小于N的速率

C.洛倫茲力對M、A'做正功

D.材的運(yùn)行時間大于,V的運(yùn)行時間

解析：選A根據(jù)左手定則可知小帶正電，M帶負(fù)電，選項(xiàng)A正確；由。陽=展得？=詈，由題知如、

q、8相同，且八〈“，所以小，選項(xiàng)B錯誤；由于洛倫茲力的方向始終與帶電粒子的運(yùn)動方向垂直，故

洛倫茲力不會對以川做功，選項(xiàng)C錯誤；又周期7=-=^,兩個帶電粒子在磁場中運(yùn)動的周期相

等，由圖可知兩個粒子在磁場中均偏轉(zhuǎn)了半個周期，故在磁場中運(yùn)動的時間相等，選項(xiàng)D錯誤。

3.如圖3-6-6所示，一束電子（電荷量為e）以速度/由/點(diǎn)垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、寬度為d的有界

勻強(qiáng)磁場中，在。點(diǎn)穿出磁場時的速度方向與電子原來的入射方向成30。夾角，則電子的質(zhì)量是多少？電

子穿過磁場的時間是多少？

圖3-6-6

解析：電子在磁場中運(yùn)動，只受洛倫茲力的作用，故其軌跡是圓周的一部分，又因洛倫茲力總是與速度

方向垂直，故電子做圓周運(yùn)動的圓心在電子射入

和穿出磁場時受到的洛倫茲力作用線的交點(diǎn)上，

即過軌跡上兩點(diǎn)作速度的垂線可找到圓心。點(diǎn)，如圖所示。

由幾何關(guān)系可知，弧m所對的圓心角"3。。,"為半徑，則片尋曠=2"

,v2mv2dBe

由eBv=//r-得zrlr-,所rrH以1勿=----

Bev

因?yàn)榛∷鶎Φ膱A心角是30°,故電子穿過磁場的時間為

112nmnmnd

t=l27=12,eB-6eB-3v

.2dBend

答案：一7不

通知識

L交變電壓的周期：帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動的周期片需與速率、半徑均無關(guān)，運(yùn)動相等的時間

（半個周期）后進(jìn)入電場，為了保證帶電粒子每次經(jīng)過狹縫時都被加速，須在狹縫兩側(cè)加上跟帶電粒子在D形

盒中運(yùn)動周期相同的交變電壓，所以交變電壓的周期也與粒子的速率、半徑無關(guān)，由帶電粒子的比荷和磁場

的磁感應(yīng)強(qiáng)度決定。

2.帶電粒子的最終能量：由r喘知，當(dāng)帶電粒子的運(yùn)動半徑最大時，其速度也最大，若D形盒半徑

為R，則帶電粒子的最終動能仄=警。可見，要提高加速粒子的最終能量，應(yīng)盡可能地增大磁感應(yīng)強(qiáng)度

6和D形盒的半徑兒

Fkm

3.粒子被加速次數(shù)的計算：粒子在回旋加速器盒中被加速的次數(shù)片西⑺是加速電壓的大?。?，一個

周期加速兩次。

4.粒子在回旋加速器中運(yùn)動的時間：在電場中運(yùn)動的時間為力，在磁場中運(yùn)動的時間為友=部*

（〃是粒子被加速次數(shù)），總時間為t=右+友，因?yàn)樾　队?，一般認(rèn)為在盒內(nèi)的時間近似等于5

。通方法

［典例］有一回旋加速器，其勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為反所加速的帶電粒子質(zhì)量為如帶電量為S

（1）求回旋加速器所加高頻交流電壓的周期7的表達(dá)式。

（2）如果D形盒半圓周的最大半徑〃=0.6m,用它來加速質(zhì)子，能把質(zhì)子（質(zhì)量加=1.67X10一”kg,電

量g=L6X10"C）從靜止加速到具有4.0X10，eV的能量，求所需勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度反

［解析］⑴粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的周期，由牛，片甲可得7=筆

K1qB

高頻交流電壓具有和粒子圓周運(yùn)動同樣的周期r=皆

（2）質(zhì)子在回旋加速器的磁場中繞行到半徑為最大半徑"時，qvB=*屋版

KZ

由以上兩式，代入數(shù)據(jù)可得：8=1.53T。

［答案］⑴片羽⑵L53T

回旋加速器問題的兩點(diǎn)提醒

（1）回旋加速器所加高頻交流電壓的周期等于粒子圓周運(yùn)動的周期且不隨粒子半徑的變化而變化。

（2）粒子的最終能量與加速電壓的大小無關(guān)，由磁感應(yīng)強(qiáng)度6和D形盒的半徑?jīng)Q定。

6通題組

1.（多選）1932年勞倫斯制成了世界上第一臺回旋加速器，其原理如圖3-6-7所示，這臺加速器由兩個

銅質(zhì)〃形盒〃、〃構(gòu)成，其間留有空隙，下列說法正確的是（）

接交流電源U

圖3-6-7

A.離子由加速器的中心附近進(jìn)入加速器

B.離子由加速器的邊緣進(jìn)入加速器

C.離子從磁場中獲得能量

D.離子從電場中獲得能量

解析：選AD離子從加速器的中間位置進(jìn)入加速器，最后由加速器邊緣飛出，所以A對，B錯。加速器

中所加的磁場是使離子做勻速圓周運(yùn)動，所加的電場由交流電提供，它用以加速離子。交流電的周期與離子

做圓周運(yùn)動的周期相同。故C錯，D對。

2.（多選）圖3-6-8甲是回旋加速器的工作原理圖。立和工是兩個中空的半圓金屬盒，它們之間有一定

的電勢差，A處的粒子源產(chǎn)生的帶電粒子，在兩盒之間被電場加速。兩半圓盒處于與盒面垂直的勻強(qiáng)磁場

中，所以粒子在半圓盒中做勻速圓周運(yùn)動。若帶電粒子在磁場中運(yùn)動的動能笈隨時間￡的變化規(guī)律如圖乙所

示，不計帶電粒子在電場中的加速時間，不考慮由相對論效應(yīng)帶來的影響，下列判斷正確的是（）

A.在E-C圖中應(yīng)該有t?+i—t?=t?-t?-i

B.在笈-1圖中應(yīng)該有t?+-t?<t~t?-i

C.在瓜-t圖中應(yīng)該有—

D.在笈7圖中應(yīng)該有瓦+L￡,〈瓦一瓦t

解析：選AC根據(jù)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動的周期與速度無關(guān)可知，在笈7圖中應(yīng)該有%+1—％尸心

選項(xiàng)A正確B錯誤；由于帶電粒子在電場中加速，電場力做功相等，所以在笈-力圖中應(yīng)該有瓦+1-

選項(xiàng)C正確D錯誤。

帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動問題

。通方法

［典例］如圖3-6-9所示，圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,

圖3-6-9

一個帶電粒子以速度丫從力點(diǎn)沿直徑/如方向射入磁場，經(jīng)過t時間從C點(diǎn)射出磁場，0C與仍成60°

角?，F(xiàn)將帶電粒子的速度變?yōu)槿?，仍從A點(diǎn)沿原方向射入磁場，不計重力，則粒子在磁場中的運(yùn)動時間是多

少？

根據(jù)作圖法找出速度為V時的粒子軌跡圓圓心。'，由幾何關(guān)系可得:［解析］

弧所對圓心角N40'C=。=60°,設(shè)圓形磁場的半徑為r,磁場中的軌跡

v20r

道半徑為A,因此有：喻,tan—,粒子的軌

徑：A=/_r,軌跡圓半

度變?yōu)槿諘r，粒子的軌道半徑為此，因此有:當(dāng)粒子速

M

V

32Q1/Q

48=加近，tan-］-=其軌跡圓半徑：7；2=gr,磁場中的軌跡弧所對圓心角：氏=120°,周期：T

2rm、一—

粒t子運(yùn)動時間：上=而7,

解得：

［答案］2t

帶電粒子在三類有界磁場中的運(yùn)動軌跡特點(diǎn)

(1)直線邊界：進(jìn)出磁場具有對稱性。

(2)平行邊界：存在臨界條件。

(3)圓形邊界：沿徑向射入必沿徑向射出。

演題組

1.（多選）長為/的水平極板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為6,板間距離也為極板不

帶電?，F(xiàn)有質(zhì)量為如、電荷量為。的帶正電粒子（不計重力），從兩極板間邊界中點(diǎn)處垂直磁感線以速度「水

平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是（）

A?使粒子的速度端

B.使粒子的速度心甯

C.使粒子的速度心外

如圖所示，帶電粒子剛好打在極板右邊緣時,

粒子剛好打在極板左邊緣時，有片上若，丹=曙

綜合上述分析可知，選項(xiàng)A、B正確。

2.（多選）如圖3-6-13所示，4點(diǎn)的離子源沿紙面垂直8方向向上射出一束負(fù)離子，離子的重力忽略

不計二為把這束負(fù)離子約束在伊之下的區(qū)域，可加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場。已知。、4兩點(diǎn)間的距離為s,負(fù)

離子的比荷端速率為y?！概c。。間的夾角為3。。,則所加勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度8的大小和方向可能

是（）

圖3-6-13

B.垂直紙面向里A.Q赤,垂直紙面向里

D.B>---，垂直紙面向外C.B>一，垂直紙面向外

qsqs

解析：選BD當(dāng)磁場方向垂直紙面向里時，離子恰好與0相切的軌跡如圖中所示，切點(diǎn)為M設(shè)圓周

r1mvmv

運(yùn)動半徑為打，由幾何關(guān)系可知，sin30°可得n=s,由力=丁可得：合=一；當(dāng)磁場方向垂

直紙面向外時，其臨界軌跡即圓弧與8相切于N點(diǎn)，如圖乙所示，由幾何關(guān)系，s=—府+.,得々=

sin30

s急所以區(qū)=答選項(xiàng)B、D正確，A、C錯誤。

3,

能＜???

/)/必必豆^1?_L

U

O2AQ

乙

3.（多選）如圖3-6-14所示，左右邊界分別為PP、的勻強(qiáng)磁場的寬度為d,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為

B,方向垂直于紙面向里，一個質(zhì)量為加、電荷量為q的微觀粒子，沿圖示方向以速度外垂直射入磁場，欲

使粒子不能從邊界Q0射出，粒子入射速度附的最大值可能是（）

P!xxQ

45夕改

：xx

f

P\xxQ'

圖3-6-14

A駟

mm

》qBd

"2mm

解析：選BC粒子射入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，由e累知，粒子的入射速度的越大，〃越尢當(dāng)粒

子的徑跡和邊界0Q'相切時，粒子剛好不從QQ'射出，此時其入射速度的應(yīng)為最大。若粒子帶正電，其運(yùn)

動軌跡如圖甲所

在=翳代入得「尸T-'選項(xiàng)B正

示（此時圓心為。點(diǎn)），容易看出Ksin45°+d=K,將

確。

Q

x

4!

P1Q'

甲

mvO

若粒子帶負(fù)電，其運(yùn)動軌跡如圖乙所示（此時圓心為0:點(diǎn)），容易看出及+及cos45°=d,將R?=-jr

qB

代入得出=----一-、N歷------,選項(xiàng)c正確。

m

課后層級訓(xùn)練，步步提升能力

一、基礎(chǔ)題分熟

1.（多選）如圖1所示，帶負(fù)電的粒子以速度r從粒子源夕處射出，若圖中勻強(qiáng)磁場范圍足夠大（方向垂

直紙面），則帶電粒子的可能軌跡是（）

圖1

B.bA.a

D.dC.c

解析：選BD粒子的出射方向必定與它的運(yùn)動軌跡相切，故軌跡a、。均不可能，正確答案為B、Do

2.如圖2所示，是一彎管，其中心線是半徑為"的一段圓弧，將它置于一給定的勻強(qiáng)磁場中，磁場

方向垂直于圓弧所在平面，并且指向紙外。有一束粒子對準(zhǔn)a端射入彎管，粒子有不同的質(zhì)量、不同的速

度，但都是一價正離子，則（）

????

a0

????

圖2

A.只有速度/大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管

B.只有質(zhì)量而大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管

C.只有質(zhì)量卬與速度r的乘積大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管

D.只有動能E大小一定的粒子可以沿中心線通過彎管

解析：選C因?yàn)榱Ｗ幽芡ㄟ^彎管要有一定的半徑，其半徑7=凡所以廣=仁小，由粒子的口、6都相

同，則只有當(dāng)陽，一定時，粒子才能通過彎管。

3.水平長直導(dǎo)線中有恒定電流/通過，導(dǎo)線正下方的電子初速度方向與電流方向相同，如圖3所示，則

電子的運(yùn)動情況是（）