人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級上冊《圓的面積》教學(xué)案例

《圓的面積》教學(xué)案例

一、案例背景

幾何，在拉丁文里是geometria,原意是土地測量或測地術(shù)。我國古

代《九章算術(shù)》中有“方田”章，給出21種辦法來計算圖形面積，由此

可看出土地測繪推動了數(shù)學(xué)探索面積的發(fā)展。從數(shù)學(xué)的早期發(fā)展時期一直

到近代數(shù)學(xué)時期，能一直被人類所關(guān)注和探索的話題并不多，關(guān)于圓的研

究卻能拉拉扯扯一直延續(xù)著。梳理一番，歷史上典型的圓面積求解方法分

別有古埃及人的實驗操作歸納、古希臘阿基米德的窮竭法、古中國劉徽的

割圓術(shù)、近代德國開普勒的無限分割法以及現(xiàn)在的微積分推導(dǎo)。教學(xué)中，

可以預(yù)想到學(xué)生很難像古埃及人那樣，獨立的運用實險操作的辦法發(fā)現(xiàn)圓

面積的計算方法。那么，對于小學(xué)生能接受的圓面積的多種推導(dǎo)方法，到

底突出哪種方法才更有價值？

實際上，就圓面積的計算來說，幾個方法間并沒有質(zhì)的區(qū)別，都把握

了圓面積是以圓半徑為邊長的正方形面積的三倍多，有區(qū)別的是得到面積

計算辦法的思考過程。表面上看，無論是阿基米德的窮竭，還是劉徽的割

圓，以及開普勒的無限分割，都有設(shè)法逼近圓的共同特點。但是如果直接

將這幾種方法引入小學(xué)課堂，勢必會導(dǎo)致大多數(shù)學(xué)生無法理解。所以結(jié)合

小學(xué)生的實際情況，決定將開普勒的無窮分割法進行簡化后在課堂上進行

重現(xiàn)，劉徽的割圓術(shù)作為理解的模塊給學(xué)生簡單展示。

開普勒運用無窮分割法求出了圓的面積，并將自己的新方法發(fā)表在

《葡萄酒桶的立體幾何》一書中，把人類的認(rèn)識帶到了通向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的通

道門口。無窮小的思考，又經(jīng)過費馬、托里拆利、帕斯卡、沃利斯等數(shù)學(xué)

家的智慧歷練，人類思維最偉大的成果微積分漸漸地明晰了，牛頓和萊布

尼茨最終分別提煉出了相關(guān)概念及計算的一般規(guī)則。微積分對于小學(xué)生來

說太過深奧，但是極限的思想還是可以進行滲透的，給學(xué)生種下思考的種

子遠比一個公式重要的多。但接受“極限”的思想對于小學(xué)生來說還是有

難度的，如何將“極限”的思想合理的滲透呢？

在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了長方形、平行四邊形、三角形的面

積推導(dǎo)方法，可以總結(jié)為“數(shù)方格”和“轉(zhuǎn)化”兩種思想?！皵?shù)方格”是

求解面積最基本的方法，通過不斷細分小方格，可以直觀的給學(xué)生滲透無

窮分割的觀點。方格越分越小，可以一直分下去，就是最基本的極限思想。

“轉(zhuǎn)化”思想也是數(shù)學(xué)求面積中常見的思想，結(jié)合開普勒的無窮分割法，

通過不斷分割再轉(zhuǎn)化為其他圖形。不斷分割到無限分割，是極限思想逐漸

形成的標(biāo)志。在本課中，圓面積的公式是本堂課的重點，但“無限分割、

化曲為直”才是對后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最具有價值的，因此也是我們教學(xué)中最應(yīng)

該著重滲透的。

二、案例過程

(1)教學(xué)目標(biāo)：

要使學(xué)生明確圓面積的概念，理解和掌握圓面積公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

通過學(xué)生操作，發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)圓面積的公式。

結(jié)合知識的教學(xué)，滲透轉(zhuǎn)化以及極限的數(shù)學(xué)思想。

了解數(shù)學(xué)史上圓面積的幾種求法：開普勒的“無窮分割法”，劉徽的

“割圓術(shù)”。

(2)學(xué)情分析

六年級的學(xué)生具有了較強的動手操作和邏輯推理能力，對于圖形面積

的推導(dǎo)已經(jīng)有了較多的的經(jīng)驗，對于轉(zhuǎn)化的思想已經(jīng)有了基本的認(rèn)識。學(xué)

生已經(jīng)在六年級上冊第一單元《分?jǐn)?shù)乘法》(“一尺之錘，日取其半，萬

世不竭?！?中初步接觸到極限的思想。

在以往的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)滲透了數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容，學(xué)生對于數(shù)學(xué)發(fā)展

史有一定了解，開普勒的“無窮分割法”和劉徽的“割圓術(shù)”應(yīng)該能夠很

好的吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動力。

(3)教學(xué)重難點：

1、重點：圓面積公式的推導(dǎo)。

2、難點：轉(zhuǎn)化和極限兩種數(shù)學(xué)思想的滲透。

(4)數(shù)學(xué)文化

16世紀(jì)的德國天文學(xué)家開普勒，當(dāng)過數(shù)學(xué)老師，他對求面積的問題非

常感興趣，曾進行過深入的研究。開普勒把圓分割成許多小扇形，將扇形

重新排列成為一個長方形，最終圓的面積就等于長方形的面積。1615年,

他將自己創(chuàng)造的這種求圓面積的新方法“無窮分割法”，發(fā)表在《葡萄酒

桶的立體幾何》一書中。“割圓術(shù)”，則是以“圓內(nèi)接正多邊形的面積”，

來無限逼近“圓面積”。劉徽形容他的“割圓術(shù)”說：割之彌細，所失彌

少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣。兩種方法中都

蘊含著極限和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

（5）教學(xué)活動流程：

（一）導(dǎo)入：

通過案例：幫王伯伯計算圓形草坪的價格，引出圓的面積問題，確立

本節(jié)課主要教學(xué)內(nèi)容：推導(dǎo)圓的面積公式。

（二）回顧以前，總結(jié)經(jīng)驗，尋找方法

總結(jié)上述圖形的面積公式推導(dǎo)過程，找到兩種面積求解思想：數(shù)方格、

轉(zhuǎn)化。

（三）嘗試不同思想，確定圓的面積公式

1.嘗試“數(shù)方格”的方法推導(dǎo)圓的面積。

引領(lǐng)學(xué)生利用“數(shù)方格”的思想求解圓的面積。

同時引導(dǎo)學(xué)生思考“數(shù)方格”的局限性。

利用“轉(zhuǎn)化”的思想推導(dǎo)圓的面積公式。

小組分組探究，教師巡視指導(dǎo)。利用課本119頁附頁引導(dǎo)學(xué)生動手操

作，重新排列轉(zhuǎn)化為其他圖形。挑選小組展示。

(1)小組展示：將圓等分成16份，然后重新組合，就能形成一個接

近平行四邊形的圖形。

小組展示：將圓等分為16份。

引發(fā)學(xué)生思考、討論：如果繼續(xù)分下去會怎樣？

總結(jié)出最終觀點：分的越多，扇形就會越小，拼起來的圖形會越接近

長方形。

教師展示均分為32份。多媒體展示64等分，128等分。(多媒體展

演“無限分割”)

分小組探究圓的面積，尋找拼成的圖形與圓形之間的關(guān)系，得到圓的

面積公式。小組展示。

總結(jié)探究的過程，引出古代數(shù)學(xué)對于圓的研究過程，介紹開普勒的無

窮分割法和劉徽的割圓術(shù)。

（四）回歸生活情境，深化空間觀念

利用得到的圓的面積公式，處理圓型草坪的面積問題。

三、案例反思

本堂課設(shè)計之初是一堂思維訓(xùn)練課，讓學(xué)生體會兩種方法的面積推導(dǎo)

過程，并在推導(dǎo)過程中滲透“轉(zhuǎn)化”和“極限”兩種數(shù)學(xué)思想，主要目的

是訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，訓(xùn)練學(xué)生的思維深度，給學(xué)生種下極限思想的種

子，并沒有把重點放在公式的應(yīng)用上，所以練習(xí)題相對較少。

在本課中，我給學(xué)生設(shè)置了很多思維困頓點，讓學(xué)生在充分思考的情

況下才能突破。首先引導(dǎo)學(xué)生通過總結(jié)以前推導(dǎo)圖形面積的經(jīng)驗得到兩個

思想：1、數(shù)方格；2、轉(zhuǎn)化。然后和學(xué)生一起利用這兩種思想進行圓的面

積公式的推導(dǎo)?！皵?shù)方格”這種方法理解起來比較簡單，并且能在教學(xué)過

程中滲透“極限”的思想，讓學(xué)生體會到“無線分割”和“無限小”的概

念，但是這種方法操作起來難度較大，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這種方法在實際操作

的時候難度較大，并不適合在生活和學(xué)習(xí)中使用。利用“轉(zhuǎn)化”的思想引

出開普勒的“無窮分割法”，帶領(lǐng)學(xué)生進一步體會極限的思想。

顯性的知識技能，終究會被慢慢淡忘；而隱性的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、數(shù)學(xué)

方法思想，更易于促進終身受益的素養(yǎng)的形成。這就要求我們數(shù)學(xué)教師一

定要善于挖掘出教材中適合滲透數(shù)學(xué)思想的知識模塊，組織學(xué)生感悟數(shù)學(xué)

思想、積淀數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。我們需要結(jié)合數(shù)學(xué)思想在不同知識技能形成與

運用過程中展示出的獨