新課標(biāo)創(chuàng)新人教A版數(shù)學(xué)必修 函數(shù)模型及其應(yīng)用

函數(shù)模型及其應(yīng)用

第1課時幾類不同增長的函數(shù)模型

預(yù)

核心必知----自讀教材找關(guān)鍵習(xí)

導(dǎo)

問題思考——辨析問題解疑惑

引

課前反思----鎖定目標(biāo)穩(wěn)啟程區(qū)

1.預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入

根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P95?P101，回答下列問題.

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番.

請問，你會選擇哪種投資方案？

(1)設(shè)第尤天所得的回報為y元，那么上述三種投資方案對應(yīng)的函數(shù)模型分別是什么？

提示：方案一對應(yīng)的函數(shù)為y=40QeN*);方案二對應(yīng)的函數(shù)為y=10x(xGN*);方案

三對應(yīng)的函數(shù)為y=0.4X2LiQGN*).

(2)上述三個函數(shù)分別是什么類型的函數(shù)？其單調(diào)性如何？

提示：函數(shù)y=40(xGN*)是常數(shù)函數(shù)，是不增不減函數(shù)；函數(shù)y=10x(xGN*)是一次函

數(shù)，是增函數(shù)；函數(shù)y=0.4X2*-i(尤CN*)是指數(shù)型函數(shù)，是增函數(shù).

2.歸納總結(jié)，核心必記

(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)尸爐y=\ogaXy=^

性質(zhì)(41)3>1)(心0)

在(0,+8)上的增減

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

性

隨X增大逐漸與y軸隨X增大逐漸與X軸

圖象的變化隨n值的不同而不同

平行平行

(2)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)的增長速度比較

①在區(qū)間(0,+°°)±,函數(shù)y="(a>l),y=logd(a>l)和丫=。(〃>0)都是增函數(shù),但

它們的增長速度不同，且不在同一個“檔次”上.

②在區(qū)間(0,+8)上隨著尤的增大，y=〃(a>l)增長速度越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于

y=/(〃>0)的增長速度，而y=logd(a>l)的增長速度則會越來越慢.

③存在一個無o，使得當(dāng)x>xo時，有存gaxCWaPaAl,〃>0).

［冏敢思考］

函數(shù)y=f與y=2*在(0,+8)上具有相同的增長速度嗎？

提示：增長速度不同.如圖所示，在(0,2)之間y=f的增長速度較快，在(2,4)之間函數(shù)

值均從4增大至,16,而無=4之后，丫=2工的增長速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于y=/的增長速度.

通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點(diǎn).

(1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、累函數(shù)的性質(zhì)各是什么？

(2)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、募函數(shù)的增長速度如何?

課

堂

互知識突破一能力提升

動II

重點(diǎn)知識拔高知識

區(qū)步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

知識點(diǎn)1函數(shù)模型增長的差異-K重點(diǎn)知識?講透練會】I

已知函數(shù)式無)=23g(X)=f,，7(X)=log2尤.

［思考1］函數(shù)7U),g(尤)，〃(無)隨著X的增大，函數(shù)值有什么共同的變化趨勢？

提示：函數(shù)/U),￡(x),/z(x)隨著X的增大，函數(shù)值增大.

［思考2］函數(shù)式X),g(x),/7(x)增長的速度有什么不同？

提示：各函數(shù)增長的速度不同，其中/u)=2*'增長得最快，其次是［x)=x2,最慢的是

/7(X)=10&2X.

講一講

1.(1)當(dāng)X越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)該是()

A.y=10000xB.j=log2%

C.y=x1000D.

(2)四個變量"，"，券，以隨變量尤變化的數(shù)據(jù)如下表：

X151015202530

226101226401626901

>22321024327681.05X1063.36X1071.07X109

2102030405060

>424.3225.3225.9076.3226.6446.907

關(guān)于X呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是.

［嘗試解答］(1)由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，則當(dāng)了越來越大時，函數(shù)y=0

,增長速度最快.

(2)以爆炸式增長的變量是呈指數(shù)函數(shù)變化的.

從表格中可以看出，四個變量yi,>2,y3,3均是從2開始變化，變量yi,y2,ys,J4

都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量”的增長速度最快，可知變量卜2關(guān)于x呈指

數(shù)函數(shù)變化.

［答案］(1)D(2加

類題?通法

常見的函數(shù)模型及增長特點(diǎn)

(1)線性函數(shù)模型

線性函數(shù)模型y=fcr+i?(k>0)的增長特點(diǎn)是直線上升，其增長速度不變.

(2)指數(shù)函數(shù)模型

指數(shù)函數(shù)模型y=</(a>l)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越

快，即增長速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”.

(3)對數(shù)函數(shù)模型

對數(shù)函數(shù)模型y=log“x(a>l)的增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越

慢，即增長速度平緩.

(4)賽函數(shù)模型

森函數(shù)y=x"（〃>0）的增長速度介于指數(shù)增長和對數(shù)增長之間.

練一練

1.如圖給出了紅豆生長時間t（月）與枝數(shù)y（枝）的散點(diǎn)圖，那么最能擬合詩句“紅豆生

南國，春來發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長時間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A.指數(shù)函數(shù)：y=2，

B.對數(shù)函數(shù)：y=log2r

C.幕函數(shù)：y=t}

D.二次函數(shù)：>=2產(chǎn)

解析：選A由題中圖象可知，該函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù).

知識點(diǎn)2函數(shù)模型增長差異的應(yīng)用?------K拔高知識?拓寬提能】I

講一講

2.某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價為50元，其成本價為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)

過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計兩套方案對污

水進(jìn)行處理，并準(zhǔn)備實(shí)施.

方案一：工廠的污水先凈化處理后再排出，每處理1立方米污水所用原料費(fèi)2元，并且

每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元；

方案二：工廠將污水排到污水處理廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的排污

費(fèi)，問：

（1）工廠每月生產(chǎn)3000件產(chǎn)品時，你作為廠長，在不污染環(huán)境，又節(jié)約資金的前提下應(yīng)

選擇哪種方案？通過計算加以說明；

(2)若工廠每月生產(chǎn)6000件產(chǎn)品，你作為廠長，又該如何決策呢？

先依據(jù)方案一、二分別建立函數(shù)模型，然后就(1)(2)作出相應(yīng)選擇.

［嘗試解答］設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品時，選擇方案一的利潤為%,選擇方案二的利潤

為yi,由題意知

yi=(50-25)%-2X0.5x-30000=24.r-30000.

J2=(50-25)X-14X0.5X=18X

⑴當(dāng)x=3000時,%=42000,”=54000,

,.>i<y2,應(yīng)選擇方案二處理污水.

⑵當(dāng)x=6000時，ji=114000,>2=108000,

Vyi>y2,應(yīng)選擇方案一處理污水.

類題?通法

不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)

不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的變化規(guī)律：

(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律；

(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律；

(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；

(4)幕函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.

因此，需抓住題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，恰當(dāng)、準(zhǔn)確地建立相應(yīng)變化規(guī)律的函數(shù)模型來解決

實(shí)際問題.

練一練

2.一天，李先生打算將1萬元存入銀行，當(dāng)時銀行提供兩種計息方式：一是單利，即

只有本金生息，利息不再產(chǎn)生利息，年利率為4%；二是復(fù)利，即第一年所生的利息第二年

也開始計息，年利率為3.6%.已知利息稅率為20%(即所產(chǎn)生的利息中應(yīng)扣除作為利息稅上交

國家的部分)，問李先生應(yīng)選用哪種計息方式？

解：若年利率為廣，則扣除利息稅后，實(shí)際利率為0.8八

按單利計息，貝”第"年的本息為10000(l+〃X0.8X0.04)=10000(l+0.032")(元)；

按復(fù)利計息，則第〃年的本息為10000(1+3.6%X0.8)"=10000X1.0288”(元)，

列表如下(單位：元)

年數(shù)12345

單利1032010640109601128011600

復(fù)利1028810584108891120311525

年數(shù)678910

單利1192012240125601288013200

復(fù)利1185712199125501291213283

從上表可以看出，若存款年數(shù)不超過8年，應(yīng)選用單利計息；若存款年數(shù)超過8年，則

應(yīng)選用復(fù)利計息.

-------------------------［課堂歸納?感悟提升］-------------------------

1.本節(jié)課的重點(diǎn)是掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、嘉函數(shù)模型的增長差異及增長差異的應(yīng)

用.

2.本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法

(1)常見函數(shù)模型的增長的差異，見講1.

(2)不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)，見講2.

3.本節(jié)課的易錯點(diǎn)是函數(shù)模型的選取，如講2.

訓(xùn)

隨堂練一課下練練

II提

課堂8分鐘對點(diǎn)練，讓課下限時檢測，提速能

學(xué)生趁熱打鐵消化所提能，每課一檢測，步區(qū)

學(xué)，既練速度又練準(zhǔn)度步為營步步贏

課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練（二十五）

［即時達(dá)標(biāo)對點(diǎn)練］

題組1函數(shù)模型增長的差異

1.當(dāng)X越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)該是（）

A.y=100xB.y=k>giooxC.y=x100D.y=100'

解析：選D幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，故選D.

2.當(dāng)2Vx<4時，2,，logM的大小關(guān)系是（）

A.2x>x2>logixB.x2>2r>log2x

￥22r

C.2>log2x>xD.x>log2x>2

解析：選B法一：在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=log2X,y=x2,y—2x,

在區(qū)間（2,4）上從上往下依次是y=f,y—2x,y=log2X的圖象，所以x2>2*>log2X.

法二：比較三個函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法.可取x=3,經(jīng)

檢驗(yàn)易知選B.

3.有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：

t12345

s1.55.913.424.137

下列所給函數(shù)模型較適合的是（）

A.y—logaX（a>l）B.y—ax+b（a>l）

C.y=ax2+b(a>0)D.+/?(?>!)

解析：選C通過所給數(shù)據(jù)可知S隨r增大，其增長速度越來越快，而A,D中的函數(shù)

增長速度越來越慢，B中的函數(shù)增長速度保持不變，故選C.

4.函數(shù)與函數(shù)y=xlnx在區(qū)間（1,十8）上增長較快的一個是.

解析：當(dāng)x變大時，無比Inx增長要快，二％2要比xlnx增長得要快.

答案：尸/

題組2函數(shù)模型增長差異的應(yīng)用

5.某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后

來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可

選用（）

A.一次函數(shù)B.二次函數(shù)

C.指數(shù)型函數(shù)D.對數(shù)型函數(shù)

解析：選D一次函數(shù)保持均勻的增長，不能體現(xiàn)題意；二次函數(shù)在對稱軸的兩側(cè)有增

也有降；而指數(shù)函數(shù)是爆炸式增長，不符合“增長越來越慢”；因此，只有對數(shù)函數(shù)最符合

題意，先快速增長，后來越來越慢.

6.某種動物繁殖數(shù)量y（只）與時間x（年）的關(guān)系為y=alog2（x+l）,設(shè)這種動物第一年有

100只，到第7年它們發(fā)展到（）

A.300只B.400只C.500只D.600只

解析：選A由已知第一年有100只，得4=100.將a=100,尤=7代入y=alog2a+l）,

得y=300.

7.某種病菌經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知這種病菌的繁殖規(guī)律為y=e*耿為常數(shù),

/為時間，單位：小時），y表示病菌個數(shù)，則仁；經(jīng)過5小時，1個病菌能繁殖為

個.

解析：設(shè)病菌原來有1個，則半小時后為2個，得2=4，解得左=21n2,j（5）—e（21n2）'5

=pom2=2i0=l024（個）.

答案：21n21024

8.某工廠8年來某種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間K年）的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

以下四種說法：

①前三年產(chǎn)量增長的速度越來越快；

②前三年產(chǎn)量增長的速度越來越慢；

③第三年后這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；

④第三年后產(chǎn)量保持不變.

其中說法正確的序號是.

解析：由fG［0,3］的圖象聯(lián)想到取函數(shù)反映了C隨時間的變化而逐漸增

長但速度越來越慢.由［3,8］的圖象可知，總產(chǎn)量C沒有變化，即第三年后停產(chǎn)，所以②

③正確.

答案：②③

9.函數(shù)兀v)=lgx,g(x)=0.3x—1的圖象如圖.

⑴指出曲線Cl，C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；

(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對兀*g(無)的大小進(jìn)行比較).

解：(l)Ci對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=0.3x—l,

C2對應(yīng)的函數(shù)為八尤)=lgx.

(2)當(dāng)xG(O,尤1)時，g(x)次x);

當(dāng)XG(X1,尤2)時，g(x)<f(x)；

當(dāng)無C(X2,+8)時，g(x)次X).

［能力提升綜合練］

1.四個物體同時從某一點(diǎn)出發(fā)向前運(yùn)動，其路程力(無)=(i=l,2,3,4)關(guān)于時間x(尤>1)的函

數(shù)關(guān)系是力（無）=/力（尤）=2x,力（無）=log加，/t（x）=2*.如果它們一直運(yùn)動下去，最終在最前面

的物體具有的函數(shù)關(guān)系是（）

A./i（x）=x2B.fi.（x）—2x

C.%（x）=log2XD.力（x）=2*

解析：選D由增長速度可知，當(dāng)自變量充分大時，指數(shù)函數(shù)的值最大，故選D.

2.某地為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，決定使每年的綠地面積比上一年增長10%,那么從今年起，

尤年后綠地面積是今年的y倍，則函數(shù)y=/（x）的大致圖象是（）

解析：選D設(shè)今年綠地面積為7%則有冽y=（l+10%）%，：.y=1.1x,故選D.

3.某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)重，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬

公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y（萬公頃）關(guān)于年數(shù)尤（年）的函數(shù)關(guān)系較為近

似的是（）

A.y=0.2xB.尸古（/+2勸

2X

C.>=而D.y=0.2+logi6X

解析：選C將x=l,2,3,y=0.2,0.4,0.76分別代入驗(yàn)算.

4.三個變量力，”，/隨著變量x的變化情況如下表：

X1357911

)15135625171536456655

)2529245218919685177149

>356.106.616.9857.27.4

則關(guān)于x分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)變化的變量依次為（）

A.yi，y2,>3B.竺，yi>第

C.”,>2，yiD.yi,”,y2

解析：選C通過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、暴函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長規(guī)律比較可知，

對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，變量”隨X的變化符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長速度越來

越快，p2隨工的變化符合此規(guī)律；森函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間，?隨X

的變化符合此規(guī)律，故選C.

5.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度。m/s和燃料質(zhì)量Mkg、火箭(除燃料

外)質(zhì)量加kg的關(guān)系是。=20001n(l+蜘，則當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時，火箭

的最大速度可達(dá)12km/s.

解析：由題意20001n(l+9=12000.

AInfl+^)=6,從而”=e6—l.

<mJ9m

答案：e6-l

6.若已知16<x<20,利用圖象可判斷出g和logK的大小關(guān)系為.

解析：作出“x)=g和g(%)=log亦的圖象，如圖所示：

41

4:

2

dv''s'"10''15'''20i

由圖象可知，在(0,4)內(nèi)，X^>10g2X；

%=4或%=16時，x|=log2X；

在(4,16)內(nèi)A^<log2X；在(16,20)內(nèi)x^>log2x

答案:A^>log2X

7.大西洋鞋魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵.記鞋魚的游速為V(m/s),能魚的耗

氧量的單位數(shù)為。，研究中發(fā)現(xiàn)V與10g3告成正比，且當(dāng)。=900時，V=l.

(1)求出V關(guān)于。的函數(shù)解析式;

(2)計算一條鞋魚的游速是1.5m/s時耗氧量的單位數(shù).

解：⑴設(shè)V=「0g3備，

:當(dāng)。=900時，V=1,：.1=左log3罌，

.??=；,V關(guān)于。的函數(shù)解析式為V=，Og3'^.

(2)令V=1.5,則L5=；log3備，，。=2700,

即一條鞋魚的游速是1.5m/s時耗氧量為2700個單位.

8.為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費(fèi)方式，其中所

使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時間尤(分)與通話費(fèi)用y(元)

的關(guān)系如圖所示.

(1)分別求出通話費(fèi)用力，丫2與通話時間x之間的函數(shù)解析式;

(2)請幫助用戶計算在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜.

解：(1)由圖象可設(shè)yi=hx+29,y?=kix,把點(diǎn)2(30,35),C(30,15)分別代入以,”的解

析式，得ki=g,%2=；.

...yi=^t+29(x20),〉2=%(尤三0).

(2)令yi=>2,即%+29=5，貝4x=96；.

當(dāng)x=96向時，yi=y2,兩種卡收費(fèi)一致；

2

當(dāng)尤<96§時，y\>yi,使用便民卡便宜；

2

當(dāng)x>96y時，y\<y2,使用如意卡便宜.

第2課時函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

預(yù)

核心必知----自讀教材找關(guān)鍵習(xí)

導(dǎo)

問題思考——辨析問題解疑惑

引

I

課前反思----鎖定目標(biāo)穩(wěn)啟程區(qū)

［核芯勢知］

1.預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入

根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P101?P106，回答下列問題.

(1)我們已學(xué)過的函數(shù)有哪些？

提示：一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及數(shù)函數(shù).

(2)建立函數(shù)模型解決問題的基本過程是什么？

提示：①收集數(shù)據(jù)；②根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點(diǎn)圖；③根據(jù)點(diǎn)

的分布特征，選擇一個能刻畫散點(diǎn)圖特征的函數(shù)模型；④選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型;

⑤將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型中進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際，若不符合實(shí)際，則重

復(fù)步驟③④⑤；若符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步；⑥用所得函數(shù)模型解釋實(shí)際問題.

2.歸納總結(jié)，核心必記

(1)解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟

利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時，一般按以下幾個步驟進(jìn)行:

①審題；②建模；③求模；④還原.

這些步驟用框圖表示如圖:

I實(shí)際問題?分析聯(lián)想抽象轉(zhuǎn)化建立函數(shù)模型?

數(shù)

問

學(xué)

題

解

解

答

決

I實(shí)際向題結(jié)論卜~—----1數(shù)學(xué)問題結(jié)論I

（2）常見的函數(shù)模型

①正比例函數(shù)模型：八彳）=皿（左為常數(shù)，4W0）；

k

②反比例函數(shù)模型：式x）=?k為常數(shù)，k*。）；

③一次函數(shù)模型：f（x^kx+b（k,b為常數(shù)，左W0）；

④二次函數(shù)模型：j{x}—a^+bx+da,b,c為常數(shù)，aWO）；

⑤指數(shù)函數(shù)模型：f{x}=abK+c（a,b,c為常數(shù)，oWO,b>Q,bWl）；

⑥對數(shù)函數(shù)模型：j{x）—mlogax+??（m,n,a為常數(shù)，/“WO,a>0,aWl）；

⑦累函數(shù)模型：Kr）=aV'+b（a,b,〃為常數(shù)，a^O,n^l）.

［問曼恩考］

（1）哪些實(shí)際問題可以用指數(shù)函數(shù)模型來表示？

提示：人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題.

⑵哪些實(shí)際問題可以用對數(shù)函數(shù)模型來表示？

提示：地震震級的變化規(guī)律、溶液pH值的變化規(guī)律、航天問題等.

［錦嗡a思］

通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點(diǎn).

（1）解決函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟是什么？

(2)常見的函數(shù)模型有哪些?

課

堂

互知識突破■*能力提升

動II

重點(diǎn)知識拔高知識

區(qū)

步步探究穩(wěn)根基深化提能奪高分

知識點(diǎn)1利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題-------1(拔高知識,拓寬提能］|

講一講

1.某種商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)和時間f(天)的函數(shù)關(guān)系為：

f/+20(0</<25),

P=QGN*)

［-/+100(25^^30).

設(shè)該商品的日銷售量。(件)與時間*天)的函數(shù)關(guān)系為Q=40—《0<fW30,teN*),求這

種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？

［思路點(diǎn)撥］日銷售金額=日銷售量義日銷售價格，而日銷售量及日銷售價格(每件)均

為才的一次函數(shù)，從而日銷售金額為f的二次函數(shù).

［嘗試解答］設(shè)日銷售金額為y(元)，則y=PQ,

f-r+20/+800(0<t<25),

所以y=L(r6N*)

'［?-140r+4000(25^/^30).

①當(dāng)0<r<25且￡N*時，y=-(t—10)2+900,

所以當(dāng)/=10時，ymax=900(元).

②當(dāng)25W/W30且￡N*時，>="—70)2—900,

所以當(dāng)/=25時，>max=l125（元）.

結(jié)合①②得ymax=l125（元）.

因此，這種商品日銷售額的最大值為1125元，且在第25天時日銷售金額達(dá)到最大.

類題?逅法

對于題中已給出數(shù)學(xué)模型的問題，只要解數(shù)學(xué)模型即可，較常用的方法是待定系數(shù)法解

模型，然后利用相應(yīng)的解析式及對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題.

練一練

1.灌滿開水的熱水瓶放在室內(nèi)，如果瓶內(nèi)開水原來的溫度是仇度，室內(nèi)氣溫是優(yōu)度，

/分鐘后，開水的溫度可由公式6=%+（仇一仇）屋卜求得，這里，左是一個與熱水瓶類型有關(guān)

的正的常量.現(xiàn)有一只某種類型的熱水瓶，測得瓶內(nèi)水溫為100℃,過1小時后又測得瓶內(nèi)

水溫變?yōu)?8°C.已知某種奶粉必須用不低于85℃的開水沖調(diào)，現(xiàn)用這種類型的熱水瓶在早

上六點(diǎn)灌滿100。。的開水，問：能否在這一天的中午十二點(diǎn)用這瓶開水來沖調(diào)上述奶粉？（假

定該地白天室溫為20℃）

解：根據(jù)題意，有98=20+（100—20）晨6叫

整理得e-6M=^.

利用計算器，解得仁0.0004222.

故6?=20+80葭°°°°4222t.

從早上六點(diǎn)至中午十二點(diǎn)共過去6小時，即360分鐘.

當(dāng)f=360時，6?=2O+8Oe-00004222X36°=2O+8Oe-0152,

由計算器算得6-88℃>85℃,

即能夠在這一天的中午十二點(diǎn)用這瓶開水來沖調(diào)奶粉.

知識點(diǎn)2自建函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題?K拔高知識?拓寬提能】I

講一講

2.某汽車城銷售某種型號的汽車，進(jìn)貨單價為25萬元.市場調(diào)研表明：當(dāng)銷售單價為

29萬元時，平均每周能售出8輛，而當(dāng)銷售單價每降低0.5萬元時，平均每周能多售出4

輛.設(shè)每輛汽車降價x萬元，每輛汽車的銷售利潤為y萬元(每輛車的銷售利潤=銷售單價

—進(jìn)貨單價).

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并在保證商家不虧本的前提下，寫出尤的取值范圍；

(2)假設(shè)這種汽車平均每周的銷售利潤為z萬元，試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)每輛汽車的銷售單價為多少萬元時，平均每周的銷售利潤最大？最大利潤是多

少？

［思路點(diǎn)撥］解決本題需弄清楚：每輛車的銷售利潤=銷售單價一進(jìn)貨單價；先求出每

輛車的銷售利潤，再乘以售出輛數(shù)可得每周銷售利潤.通過二次函數(shù)求最值，可得汽車合適

的銷售單價.

［嘗試解答］(1)因?yàn)椋?29—25—尤，

所以v=—x+4(0WxW4).

(2)z=(8+吉X4)v=(8x+8)(—x+4)=—8/+24x+32(0WxW4).

(3)由(2)知，z=-8^+24^+32=-8(x-1.5)2+50(0^X^4).

故當(dāng)X=1.5時，Zmax=50.

所以當(dāng)銷售單價為29—1.5=27.5萬元時，每周的銷售利潤最大，最大利潤為50萬元.

類題?通法

利用二次函數(shù)模型解決問題的方法

在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位.根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)解析式后，

可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際

問題中的利潤最大、用料最省等問題.

練一練

2.漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為機(jī)(加>0),為了保證魚群的生長空間，實(shí)際養(yǎng)殖量x小于

m,以便留出適當(dāng)?shù)目臻e量.已知魚群的年增長量y和實(shí)際養(yǎng)殖量與空閑率(空閑率是空閑量

與最大養(yǎng)殖量的比值)的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>Q).

(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出該函數(shù)的定義域；

(2)求魚群年增長量的最大值.

TV1—XMI—X

解：(1)根據(jù)題意知，空閑率是皿，故y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是,Q<x<m.

―、二「、乙,m~xk°一k(mY.mk八

(2)由(1)知，y=kx--^-=--x-+kx=---[x-2)-+—,0<x<m.

—i,mimk

則當(dāng)X=3?時，ymax=N.

所以，魚群年增長量的最大值為華.

知識點(diǎn)3擬合數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題K拔高知識,拓寬提能】I

講一講

元才合算.請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并按你的方案

求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字).

［思路點(diǎn)撥］借助散點(diǎn)圖，探求函數(shù)模型，根據(jù)擬合函數(shù)解決實(shí)際問題，驗(yàn)證結(jié)果.

［嘗試解答］以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖,

如右圖所示.

觀察散點(diǎn)圖可以看出，A種商品所獲純利潤y與投資額尤之間的變化規(guī)律可以用二次函

數(shù)模型進(jìn)行模擬，如圖（1）所示.

?。?,2）為最高點(diǎn),則y=a（x-4）2+2,再把點(diǎn)（1,0.65）代入,得0.65=。（1-4>+2,解得

?=—0.15,

所以>=一0.15（無一4）2+2.

B種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行

模擬，如圖⑵所示.

設(shè)y=kx+b,取點(diǎn)(1,0.25)和(4,1)代入,

[0.25=k+b,k=Q.25,

得,解得-

[l=4k+b,b=0,

所以y=0.25x.

即前六個月所獲純利潤y關(guān)于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=—0.15（x—

4）2+2;前六個月所獲純利潤y關(guān)于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y=0.25x.

設(shè)下月投入A、8兩種商品的資金分別為以、XB（萬元），總利潤為W（萬元），

XA+XB=12,

那么

2

W^yA+yB=-0.15(XA-4)+2+0.25XB.

所以W=-0.15(XA-^)2+0.15X管＞+26

當(dāng)冽=石?仁3.2（萬元）時，W取最大值，約為41萬元,

此時XB=8.8（萬元）.

即該經(jīng)營者下月把12萬元中的3.2萬元投資A種商品，8.8萬元投資B種商品，可獲得

最大利潤約為4.1萬元.

類題?通法

根據(jù)題中給出的數(shù)值，畫出散點(diǎn)圖，然后觀察散點(diǎn)圖，選擇合適的函數(shù)模型，并求解新

的問題，這是本節(jié)新的解題思路.請同學(xué)們在用待定系數(shù)法求解析式時，選擇其他數(shù)據(jù)點(diǎn)，

觀察結(jié)果的差異.

練一練

3.某皮鞋廠，從今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙，1.2萬雙，

1.3萬雙，1.37萬雙.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員

在推銷產(chǎn)品時接受定單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產(chǎn)量.廠里分析，產(chǎn)量的

增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.假如你是

廠長，將會采取什么辦法估算以后幾個月的產(chǎn)量？

解：作出圖象如圖.

產(chǎn)量行雙

1；'BC'D

~o-i~~23~~4""

方案一:（一?次函數(shù)模擬）

[3。+匕=1.3,

設(shè)模擬函數(shù)為y=ax+bf將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，有《（解得

[2a+b=1.2,

[Q=0.1,

[z7=i.

所以得y=O.lx+l.

此法的結(jié)論是：在不增加工人和設(shè)備的條件下，產(chǎn)量會月月上升1000雙，這是不太

可能的.

方案二：（二次函數(shù)模擬）

設(shè)yuaf+bx+c,將A、B、。三點(diǎn)坐標(biāo)代入,

tz+Z?+c=l,%=—0.05,

解得＜b=0.35,

有＜4Q+2/?+C=1.2,

、9〃+3Z?+c=1.3,。=0.7,

所以y=-0.05?+0.35x+0.7.

由此法計算4月產(chǎn)量為1.3萬雙，比實(shí)際產(chǎn)量少700雙，而且，由二次函數(shù)性質(zhì)可知,

產(chǎn)量自4月份開始將月月下降（圖象開口向下，對稱軸x=3.5）,不符合實(shí)際.

方案三：（恭函數(shù)模擬）

設(shè)y=66+〃，將A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入有

[a-\-b=\,1心0.48,

\廠解得

[yl2a+b=1.2,匕20.52,

所以尸0.48百+0.52.

當(dāng)％=3時，y=1.35;

當(dāng)％=4時，y=1.48.

與實(shí)際產(chǎn)量差距較大.

方案四：（指數(shù)函數(shù)模擬）

設(shè)y=〃"+c,將A,B,。三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得

ab~\-c=1,a=-0.8,

＜ab1~\-c=\.2,解得＜匕=0.5,

、加+。=13,c=lA.

所以＞=一0.8義0.5%+1.4.

把x=4代入得了=—0.8X0.54+1.4=1.35.

比較以上四個模擬函數(shù)，以指數(shù)函數(shù)模擬誤差最小，因此選用y=-0.8X0.5"H.4作模

擬函數(shù).

-------------------------［課堂歸納?感悟提升］-----------------------

1.本節(jié)課的重點(diǎn)是根據(jù)給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題，難點(diǎn)是建立數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際

問題.

2.本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法

(1)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法，見講L

(2)自建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的方法，見講2.

(3)由擬合數(shù)據(jù)建立函數(shù)解決實(shí)際問題的方法，見講3.

3.本節(jié)課的易錯點(diǎn)是對題意理解不透徹致錯，如講3.

訓(xùn)

練

隨堂練課下練

提

能課堂8分鐘對點(diǎn)練，讓課下限時檢測，提速

區(qū)學(xué)生趁熱打鐵消化所提能，每課一檢測，步

學(xué)，既練速度又練準(zhǔn)度步為營步步贏

課時達(dá)標(biāo)訓(xùn)練(二十六)

［即時達(dá)標(biāo)對點(diǎn)練］

題組1利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題

1.某公司市場營銷人員的個人月收入與其每月的銷售量成一次函數(shù)關(guān)系，如圖所示,

由圖中給出的信息可知，營銷人員沒有銷售量時的收入是()

°12銷售量/萬件

A.310元B.300元C.390元D.280元

解析：選B由圖象知，該一次函數(shù)過(1,800),(2,1300),可求得解析式y(tǒng)=500x+

300(x20),當(dāng)x=0時，y=300.

2.向高為H的水瓶中注水，注滿為止.如果注水量V與水深/z的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖

所示，那么水瓶的形狀是()

解析：選B圖反映隨著水深〃的增加，注水量V增長速度越來越慢，這反映水瓶中水

上升的液面越來越小.

題組2自建函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題

3.某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……現(xiàn)有2個這樣的細(xì)胞,

分裂x次后得到細(xì)胞的個數(shù)y與尤的函數(shù)關(guān)系是()

A.y=2xB.產(chǎn)2廠1

C.y=2"D.y=2#i

解析：選D分裂一次后由2個變成2X2=22個，分裂兩次后4X2=23個，...，分

裂x次后y=2x+1個.

4.已知某商店某種商品(以下提到的商品均指該商品)進(jìn)貨價為每件40元，當(dāng)售價為50

元時，一個月賣出500件.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每件商品的單價每提高1元，則商品一個

月的銷售量會減少10件，商店為使銷售該商品的月利潤最高，每件商品定價多少元？

解：設(shè)應(yīng)將每件商品定價為龍?jiān)?，其月利潤為y元，由題意得：j=(x-40).[500-(x-

50)X10]=-10^+1400x-40000.

當(dāng)％=-方^=70(元)時，Jmax=9000元.

即商店為使銷售該商品的月利潤最高，每件商品應(yīng)定價70元.

題組3擬合數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題

5.現(xiàn)測得(尤，y)的兩組值為(1,2),(2,5),現(xiàn)有兩個擬合模型，甲：＞=/+1；乙：y=3x

—1.若又測得(尤，y)的一組對應(yīng)值為(3,10.2),則應(yīng)選用作為擬合模型較好.

解析：圖象法，即描出已知的三個點(diǎn)的坐標(biāo)并畫出兩個函數(shù)的圖象(圖略)，比較發(fā)現(xiàn)選

甲更好.

答案：甲

6.我國1999年至2002年國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬億元)如下表所示:

年份1999200020012002

X0123

生產(chǎn)總值y8.20678.94429.593310.2398

(1)畫出函數(shù)圖象，猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式;

(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實(shí)際生產(chǎn)總值比較.

解：(1)畫出函數(shù)圖象，如圖所示，從函數(shù)的圖象可以看出，畫出的點(diǎn)近似地落在一條

直線上，設(shè)所求的一次函數(shù)為y=kx+b(k^0).

4=0.6777,

把點(diǎn)(0,8.2067)和(3,10.2398)的坐標(biāo)代入上式，解方程組，得

6=8.2067.

因此所求的函數(shù)關(guān)系式為y=0.6777x+8.2067.

⑵由⑴知，＞)=0.6777%+8.2067.

AO)=8.2067,等于表中實(shí)際生產(chǎn)總值;

/(1)=8.8844,小于表中實(shí)際生產(chǎn)總值；

/(2)=9.5621,小于表中實(shí)際生產(chǎn)總值；

式3)=10.2398,等于表中實(shí)際生產(chǎn)總值.

【能力提升綜合練]

1.擬定從甲地到乙地通話mmin的電話費(fèi)用n)=L06-(0.50㈣+1),其中加>0,同是

大于或等于m的最小整數(shù)(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),則從甲地到乙地通話時間為5.5min

的通話費(fèi)為()

A.3.71B.3.97

C.4.24D.4.77

解析：選C5.5min的通話費(fèi)為人5.5)=LO6X(O.5OX[5.5]