高中數(shù)學(xué)必修二解答題練習(xí)1（含答案解析）

高中數(shù)學(xué)必修二解答題練習(xí)1

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、解答題

1.設(shè)向量〃6=(1,-1),c=(4,-5).

⑴求歸+2年

⑵若c=2a+M。，求2+〃的值；

⑶若花工+力，BC=a-2b<CD=4a-2b>求證：A，C,。三點(diǎn)共線.

2.如圖所示，在正方體ABCD-A向體S中,E,F,G,2分別是BC,CCi,CiDi,

A/A的中點(diǎn).求證：

(l)BF〃HDi；

(2)EG〃平面BBiDiD-

(3)平面8。尸〃平面BQiH.

3.已知復(fù)數(shù)z=±+l+i,j為虛數(shù)單位.

(1)求忖和U

(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程/+〃a+〃=0的一個根，求實(shí)數(shù)相，〃的值.

4.2020年8月，習(xí)近平總書記對制止餐飲浪費(fèi)行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強(qiáng)

宣傳教育，切實(shí)培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會營造浪費(fèi)可恥、節(jié)約光榮的氛圍.為貫徹總

書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活

動.現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報名參加志愿活動.根據(jù)活動安排，擬

采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一

期志愿活動.

(1)第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人？

(2)現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取2人粘貼宣傳標(biāo)語，求抽出兩

人都是高二學(xué)生的概率是多少？

(3)食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩

飯的重量(單位：公斤)，以10天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果.在一個周期

內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：

前10天剩菜剩飯的重量為：

24.125.224.523.623.424.223.821.523.521.2

后10天剩菜剩飯的重量為：

23.221.520.821.320.419.420.219.320.618.3

借助統(tǒng)計中的圖、表、數(shù)字特征等知識，分析宣傳節(jié)約糧食活動的效果(選擇一種方

法進(jìn)行說明即可).

5.如圖，己知矩形C0EF和直角梯形A8C￡>,AB//CD,ZADC=90°,DE=DA,M

為AE的中點(diǎn).

(1)求證：AC〃平面。MF；

(2)求證：BEYDM.

,_2一一一

6.已知單位向量1之的夾角為§乃，向量1=31+￡,向量B=&+/tWwR).

(1)若不〃5,求2的值；

(2)若］j_5,求W的值.

7.下列情況中哪些適合用全面調(diào)查，哪些適合用抽樣調(diào)查？說明理由

(1)了解某城市居民的食品消費(fèi)結(jié)構(gòu)；

(2)調(diào)查一個縣各村的糧食播種面積；

(3)了解某地區(qū)小學(xué)生中患沙眼的人數(shù)；

(4)了解一批玉米種子的發(fā)芽率；

(5)調(diào)查一條河流的水質(zhì)；

(6)某企業(yè)想了解其產(chǎn)品在市場的占有率.

8.設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為〃?，n,令平面向量￡=(肛〃)，^=(1,-3).

(1)求使得事件“3,尸發(fā)生的概率；

(2)求使得事件“同<q”發(fā)生的概率.

9.如圖，在正四棱柱(側(cè)棱垂直于底面，底面為正方形)A88-44G。中，E是。。

的中點(diǎn).

(1)求證：8。||平面ACE.

(2)求證：平面ACE_L平面片8nA.

10.如圖，正方體ABC。-AMGA的棱長為2,E為AB的中點(diǎn).

(2)求三棱錐B-AEC的體積；

11.在AABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c,&b2+c2-a2+bc=O.

(1)求角A的大??；

(2)若”=6，求AABC周長的取值范圍.

12.在銳角AABC中，a,b,。分別是角A,B,C所對的邊，且J%=2csinB.

(1)求角C的大??；

(2)若c=#，且a+6=3,求18C的面積.

一1

13.已知ZcR,向量〃=(1,1+Z),b=(k,2).

(1)若向量與B平行，求左的值;

(2)若向量與B的夾角為鈍角，求左的取值范圍

A+C

14.AABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知asin=/?sinA.

2

(1)求8;

(2)若AABC為銳角三角形，且c=l,求AMC面積的取值范圍.

15.如圖，在正方體4BCD-ABCR中，E為8片的中點(diǎn).

(I)求證：BQ〃平面4RE；

(II)求直線AA與平面4RE所成角的正弦值.

16.在AABC中，a,0,c分別為角A3,C所對的邊在①(2a-c)cosB=bcosC；②

網(wǎng)康庭=2S"，③sin8+sin,+?卜石這三個條件中任選一個，作出解答.

(1)求角8的值；

(2)若AABC為銳角三角形，且。=1,求A/WC的面積的取值范圍.

17.當(dāng)實(shí)數(shù)，“分別為何值時，

(1)復(fù)數(shù)z=，/+機(jī)一2+(//+5機(jī)+6)i是：實(shí)數(shù)？虛數(shù)？

(2)復(fù)數(shù)z=log,(nr-3m-3)+ilog2(3-in)純虛數(shù)？

18.統(tǒng)計某班級20名學(xué)生數(shù)學(xué)期末考試成績(單位：分)的頻率頻率分布直方圖如圖

所示：

（1）分別求出成績落在［50,60）與［60,70）中的學(xué)生人數(shù)；

（2）從成績在［60,70）和［80,90）的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取6人參加全校數(shù)學(xué)

文化知識競賽，如果有2人獲獎，求這2人的成績都在［80,90）中的概率.

19.已知AABC中NC是直角，C4=CB,點(diǎn)。是C8的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn).

（1）設(shè)西=萬，CD=b，當(dāng)荏=g而，請用5來表示通，CE-,

（2）當(dāng)荏=2萬時，試求亞?屈.

20.某服裝公司計劃今年夏天在其下屬實(shí)體店銷售一男款襯衫，上市之前擬在該公司

（1）若該線上專營店試銷期間每件襯衫的進(jìn)價為200元，求試銷期間該襯衫日銷售總

利潤高于9500元的頻率.

(2)試銷結(jié)束后，這款襯衫正式在實(shí)體店銷售，每件襯衫定價為360元，但公司對實(shí)

體店經(jīng)銷商不零售，只提供襯衫的整箱批發(fā)，大箱每箱有70件，批發(fā)價為160元/

件；小箱每箱有60件，批發(fā)價為165元/件.某實(shí)體店決定每天批發(fā)大小相同的2箱襯

衫，根據(jù)公司規(guī)定，當(dāng)天沒銷售出的襯衫按批發(fā)價的8折轉(zhuǎn)給另一家實(shí)體店.根據(jù)往年

的銷售經(jīng)驗，該實(shí)體店的銷售量為線上專營店銷售量的80%,以線上專營店這20天的

試銷量估計該實(shí)體店連續(xù)20天的銷售量.以該實(shí)體店連續(xù)20天銷售該款襯衫的總利潤

作為決策，試問該實(shí)體店每天應(yīng)該批發(fā)2大箱襯衫還是2小箱襯衫？

參考答案:

1.(1)1

(2)2

(3)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)先求￡+2坂=(1,0),進(jìn)而求付+2年(2)列出方程組，求出進(jìn)而求出

UUIU11

4+〃；(3)求出AC=2a-8,從而得到前=4r2石=2元，得到結(jié)果.

(1)

a+2S=(-l,2)+(2,-2)=(l,0),|a+2fe|=V1+0=1；

(2)

(4,—5)="T,2)+〃(1,T),所以二5,解得：所以'+〃=2；

(3)

CllUUUlllHIMI1111I1llt_____--______

因為AC=A8+BC=a+6+a-2b=2a-/?，所以CO=4a-2"=2AC，所以A,C,D三點(diǎn)、

共線.

2.(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

【分析】

(1)取BBi的中點(diǎn)M,連接HM、MCi,四邊則HMGDi是平行四邊形，即可證明

BF/7HD,；(2)取BQi的中點(diǎn)O,易證四邊形BEGO為平行四邊形，故有OB〃GE,從

而證明EG〃平面BBiDQ.(3)由正方體得BD〃BQi,由四邊形HBFDi是平行四邊形，

可得HD1/7BF,可證平面BDF〃平面BIDIH.

【詳解】

(1)取BBi的中點(diǎn)M,連接HM、MCi,四邊則HMGDi是平行四邊形，，HDi〃MCi.

又；MG〃BF,；.BF〃HDi.

(2)取BD的中點(diǎn)O,連接EO、DiO,則OE〃力C，OE=-D,C.又D|G〃DC,D,G=

答案第1頁，共20頁

1DC,

；.OE〃DiG,OE=DiG,二四邊形OEGDi是平行四邊形，；.GE〃DQ.

又DQu平面BB1D1D,；.EG〃平面BB1D1D.

(3)由(1)知D|H〃BF,又BD〃B|Di,BQi、HD】u平面HBQi,BF、BDu平面

BDF,且B|DQHDI=DI,DBFBF=B,B平面BDF〃平面BQiH.

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面平行、線面平行的方法，直線與平面平行的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)

題.

3.(1)|z|=A/5,z=2+i;(2),"=T,n=5.

【解析】

【分析】

(1)利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出z=2-i,由此能求出|z|和〉

(2)由復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程/+〃氏+〃=0的一個根，得到(2-i>+機(jī)(2-i)+〃=0,整理得

(3+2w+”)-(/n+4)i=0,由此能求出實(shí)數(shù)"？，

【詳解】

解，(I):分?jǐn)?shù)z=---+1+/=—————+1+/

*靈以1+2/(1+2/)(1-2()

=l-2i+l+i=2-i,

Bz|=百+(-1)2=加,Z=2+Z.

(2)?.?復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程f+爾+〃=0的一個根,

(2-z)2+m(2-z)+/?=0,

:.4-4i+i2+2m-mi+n=0,/.(3+2w?+/?)-(/?+4)/=0,

j3+2m+拉=。

+4=0

解得機(jī)=-4,〃=5.

答案第2頁，共20頁

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模、共筑復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)值的求法，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)

算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2

4.(1)6,4,2；(2)y；(3)答案見解析.

【解析】

【分析】

(1)先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；

(2)先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學(xué)生包含的基本事件，即可求出概

率；

(3)可求出平均值進(jìn)行判斷；也可畫出莖葉圖觀察判斷.

【詳解】

解：(1)報名的學(xué)生共有126人，抽取的比例為:9=看，

12621

222

所以高一抽取63x王^=6人，高二抽取42x天=4人，高三抽取21x萬=2人.

(2)記高二四個學(xué)生為1,2,3,4,高三兩個學(xué)生為5,6,抽出兩人表示為(x,y),

則抽出兩人的基本事件為

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)

共15個基本事件，

其中高二學(xué)生都在同一組包含(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6

個基本事件.

記抽出兩人都是高二學(xué)生為事件A,則P(A)*=|，

所以高二學(xué)生都在同一組的概率是

(3)法一：(數(shù)字特征)前10天的平均值為23.5,后】0天的平均值為20.5,

因為20.5<23.5,

所以宣傳節(jié)約糧食活動的效果很好.

法二：(莖葉圖)畫出莖葉圖

答案第3頁，共20頁

前10天后10天

225

51224

8654232

522135

202468

1934

183

因為前10天的重量集中在23、24附近，而后10天的重量集中在20附近,

所以節(jié)約宣傳后剩飯剩菜明顯減少，宣傳效果很好.

5.(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行證明即可.

【詳解】

(1)如圖，連結(jié)EC交。尸于點(diǎn)N,連結(jié)MN.

因為C0EF為矩形，所以EC,QF相互平分，所以N為EC的中點(diǎn).

又因為M為EA的中點(diǎn)，所以MN〃AC.

又因為AC4平面DMF,且MNu平面DMF.

所以AC〃平面DMF.

(2)因為矩形C0EF,所以

又因為N4OC=90。，所以CO_LAD

因為。EnAO=。，DE,AOu平面AOE,所以COJ_平面AOE.

又因為OWu平面ADE,所以C3LOM.

又因為AB〃CD,所以AB_LOM.

因為AO=￡?E,M為AE的中點(diǎn)，所以AE_LOM.

又因為AB,AEu平面A8E,所以MOJ_平面ABE.

答案第4頁，共20頁

因為BEu平面ABE,所以

6.(1)—；(2)5/2T.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)向量平行的條件求解；

(2)由向量垂直得數(shù)量積為0求得4,再把向量平方，把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算求

解.

【詳解】

(1)若4//5，則存在實(shí)數(shù)火，使得石=肪,BPe,+Ae2=k(3et+e2)=3ket+ke2,

\=3k

因為,，互不共線,所以解得兀=Z=g；

A=k

——,2一—-24]

(2)單位向量4,02的夾角為^乃，則4=＜：(?〒=一不，

由彳》得a,b=(3q+e2),(q+2e,)=3eJ+(32+1鳩?+入%—3——(3A+1)+A=0,

解得J=5,

W=(不+5最)2=4+101￡+254=1-5+25=21,所以1=01.

7.見解析

【解析】

根據(jù)抽樣調(diào)查和全面調(diào)查的定義依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

(1)適合抽樣調(diào)查，因為調(diào)查對象較多；

(2)適合全面調(diào)查，因為調(diào)查對象較少；

(3)適合抽樣調(diào)查，因為調(diào)查對象較多；

(4)適合抽樣調(diào)查，因為調(diào)查具有破壞性；

(5)適合抽樣調(diào)查，因為調(diào)查對象較多；

(6)適合抽樣調(diào)查，因為調(diào)查對象多而且不易操作.

【點(diǎn)睛】

本題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查，屬于簡單題.

答案第5頁，共20頁

【解析】

【分析】

(1)由題意，得到機(jī)、”的取值集合，可得點(diǎn)(相，〃)的總?cè)》ㄓ?6種，當(dāng)￡_L萬時，解得

，〃與〃的關(guān)系，即可得滿足條件的(小，")的個數(shù)，代入概率公式，即可得答案.

(2)當(dāng)歸卜慟時，解得，〃與"的關(guān)系，即可得滿足條件的(加，”)的個數(shù)，代入概率公式，

即可得答案.

【詳解】

(1)由題意知，，we{123,4,5,6}、"w{1,2,3,4,5,6},故(加,〃)所有可能的取法共36種.

當(dāng)時，得"3"=0,即加=3”，滿足條件共有2種：(3,1),(6,2),

21

所以事件小B的概率。=有二六.

3o1o

(2)當(dāng)BkW時，可得加2+/00,共有(1,1),(112),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)6

種情況，

其概率尸=攝=：.

366

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率求法，解題的關(guān)鍵是列出基本事件的個數(shù)，屬基礎(chǔ)題.

9.(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)AC和BD交于點(diǎn)O,由三角形的中位線的性質(zhì)可得EO〃BDi,從而證明直線

BDi〃平面ACE.

(2)證明AC_LBD,DDilAC,可證AC上面BDD1B1,進(jìn)而證得平面ACE,平面

BDD|B1.

【詳解】

(I)證明：設(shè)ACc&)=。，則。是8。中點(diǎn)，

又是。"的中點(diǎn)，.?.OE||8R,

又；8。(X平面ACE,OEU平面ACE,

答案第6頁，共20頁

ISBRII平面ACE.

(2)證明：：ABCD-ARGR是正四棱柱，

EIA8CI)是正方形，AACVBD,

又?；BB11底面ABCD,ACu平面ABCD,

0AC1BB,,BMC,平面8/DA，

ElACu平面ACE,

???平面4支，平面48?？?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面平行和面面垂直的證明，熟練掌握證明定理是解決本題的關(guān)鍵，屬于

基礎(chǔ)題.

10.(1)證明見解析；(2)1.

【解析】

【分析】

(1)由正方體的性質(zhì)可得AC_LB￡>,AC1DD,,由線面垂直的判定定理即可求證；

(2)利用三棱錐體積相等/.gc二^At-EBC即可求解.

【詳解】

(1)在正方體ABC。—中，DDX±jjjABCD,

因為ACu面A8CD,所以AC，DR,

因為四邊形ABC。是正方形，所以4CLBD,

因為800。。=。，BOu面B。。，DRu面BDR,

所以AC_L平面BD。；

(2)正方體ABCO-A/CQ的棱長為2,E為A8的中點(diǎn)，

所以8c=2,EB=1,平面EBC,

111?

所以匕—-

，/IJ、￡>/AI]￡CCC=K<TjtEoBCC=_3S4上E6U1-C-M1=3-x2-x2xlx2=3-.

答案第7頁，共20頁

11.(1)120°；(2)2V3<L<2+x/3.

【解析】

（1）利用余弦定理計算可得;

（2）利用基本不等式計算可得;

【詳解】

An??Ac~-a~—be1

解：(1)?cosA=---------------=------=——

2bc2bc2

又,.?Ae(O°,18O°),

/.4=120。.

由〃=百，^b2+c2=3-hc,

又???〃+/之處c（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）

(2)L=a+b+c=6+b+c

a2=b2+c2-2bccosA

a2=(/?+c)2-be

即3+8C=S+C)2

,**/?+(?>2\[bc

…,(He)?

??be<---------

4

.?.(”43+3

4

A(Z?+C)2<4

BPb+c<2

?*?/?+c>>/3

/.2y/3<L<2+y/3

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.(1)60°；(2)且.

4

【解析】

答案第8頁，共20頁

【分析】

(1)根據(jù)正弦定理得到石sinB=2sinCsinB,進(jìn)而可求得sinC,即可解出C；

(2)由余弦定理可得必=1,結(jié)合三角形面積公式代入計算即可

【詳解】

(1)因為6b=2csinB,

所以由正弦定理得石sinB=2sinCsinB,

因為sinBH0,則sinC=迫^

2

又因為C是銳角，故C=60。；

(2)由余弦定理，得＜?=/-2Hcos60°，

所以6=(a+6)2-3ab=9-3ab

又因為4+6=3,

所以必=1

則=g"sinC=^.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式的計算，屬于中檔題.

13.(1)—2或1；(2)2)5-2,0)56,+oo).

【解析】

(1)利用向量平行的坐標(biāo)表示列式計算即得結(jié)果；

(2)利用(2￡-9石＜0,且不共線，列式計算即得結(jié)果.

【詳解】

解：(1)依題意,￡=(1,1+%),%=他2),2a-b=(2-k,2k)

y.2a-bllb，得2(2-%)=2〃，g|Jk2+k-2=0

解得&=-2或1；

(2)2Z-囚與B的夾角為鈍角，則(2公溝與＜0,gp(2-k)k+4k＜0,

BPk2-6k＞0,解得女＜0或&＞6.

由(1)知，當(dāng)女=一2時，2—-弓與B平行，舍去，

所以(9,-2)5-2,0)56,e).

答案第9頁，共20頁

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：兩向量夾角為銳角(或鈍角)的等價條件:

(1)兩向量夾角為銳角，等價于7弓>0,且不共線;

(2)兩向量￡石夾角為鈍角，等價于￡句<0,且Z,3不共線.

14.(1)吟;⑵吟,多

【解析】

【分析】

(1)利用正弦定理化簡題中等式，得到關(guān)于B的三角方程，最后根據(jù)A,B,C均為三角形內(nèi)角

解得8=(.(2)根據(jù)三角形面積公式S4flC=gac-sinB,又根據(jù)正弦定理和c=l得到5ABC關(guān)

于C的函數(shù)，由于AA5C是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于g來計算C的定義域，

2

最后求解S..C(C)的值域.

【詳解】

A4「AA-C

(1)根據(jù)題意必泊一^一=以皿4,由正弦定理得sinAsinf-=sin8sinA,因為

A+C

0<A<TT,故sinA>0,^肖去sinA得sin---=sinB.

4AA-CAA-C

OVBVTT,0〈號士〈乃因為故考上=8或者"上+8=萬，而根據(jù)題意A+5+C=?,

故A甘-L-C^+8=》不成立，所以4A14-上C=8,又因為A+B+C=%，代入得38=%，所以

JT2

(2)因為AABC是銳角三角形，由(1)知8=耳，A+B+C=》得到4+C=§;r,

0<C<-

02,解得

故，

。〈生-362

32

a_c

又應(yīng)用正弦定理c=l

sinAsinCf

由三角形面積公式有:

也.Si3叵喧f

a.\

S&ABC=-^sin^=-c2—sinBn=-c2

22c2sinC4sinC

答案第10頁，共20頁

6sin與cosC-cos看sinC叢？兀'2萬、316

=-----------=----------------------------=------(sin--------------cos——)=---------+——

4sinC43tanC38tanC8

又因生＜C＜2,tanC＞3,故立＜3—!—+走＜正，

62388tanC82

*s.

\ABC4-

故S/BC的取值范圍是

【點(diǎn)睛】

這道題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以用余弦

定理求解)，最后考查AABC是銳角三角形這個條件的利用.考查的很全面，是一道很好的

考題.

2

15.(I)證明見解析；(II)

【解析】

【分析】

(I)證明出四邊形ABG。為平行四邊形，可得出BC'/AR,然后利用線面平行的判定定

理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明;

(11)可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建

立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算求解.

【詳解】

(I)［方法一］:幾何法

AB”且

.?.A8//CQ且AB=CQ,所以，四邊形ABCQ為平行四邊形，則BC//AR,

答案第11頁，共20頁

BC|a平面ARE,4。<=平面4?！辏?，8^/平面4￡）1￡：；

［方法二］:空間向量坐標(biāo)法

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A。、AB.AA所在直線分別為X、丁、z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系A(chǔ)-個z,

設(shè)正方體A88-A4CQ的棱長為2,則A（0,0,0）、4（0,0,2）、"（2,0,2）、￡（0,2,1）,

碣=（2,0,2）,荏=（0,2,1）,

_,、n-AD.=0［2x+2z=0

設(shè)平面ARE的法向量為〃=x,y,z,由,得.,

n-AE=0［2y+z=0n

令z=—2,貝!|x=2,y=l,則行=（2,1,—2）.

又?.?向量星=（2,0,2）,明沂=2x2+0xl+2x（—2）=0,

又；BQ<z平面AD,E,BC,//平面ARE；

（II）［方法一］:幾何法

延長CG到F,使得弓尸=86，連接叮，交于G,

又?.?C7//BE,.?.四邊形BE尸G為平行四邊形，.?.BCJ/EF,

又?；BC\HAD、,：.4。//E/，所以平面ARE即平面4。產(chǎn)后，

答案第12頁，共20頁

連接RG,作G，LRG,垂足為H,連接.，

■:FC、，平面平面FCJRG,

又?:尸￡cCH=G,.?.直線。GJ.平面GF”，

又：直線RGu平面D,GF,：.平面D、GF1平面C,FH,

???G在平面BGF中的射影在直線FH上,二直線FH為直線FC,在平面DfiF中的射影，Z

C.FH為直線FC,與平面D、GF所成的角,

根據(jù)直線FC,//直線M，可知/GM為直線AA與平面ADfi所成的角.

2x1_2

設(shè)正方體的棱長為2,則GG=GF=I,￡>]G=6；.、

CH=(一⑹

CH_2

二sinNQFH=t

~FH~3

9

即直線A4與平面A*所成角的正弦值為;.

［方法二］:向量法

接續(xù)(I)的向量方法，求得平面平面ARE的法向量3=(2/,-2),

答案第13頁，共20頁

-,/\—A4,〃?42

又=(0,0,2),cos<n,M>=布“初=一弓，

???直線AA與平面A0E所成角的正弦值為g.

［方法三］:幾何法+體積法

如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為F,延長Ag,AE,RF,易證三線交于一點(diǎn)P.

因為86〃AA1,EF〃AR,

所以直線AA與平面A￡?E所成的角，即直線與￡與平面戶所所成的角.

設(shè)正方體的棱長為2,在APE尸中，易得PE=PF=也,EF=6,

3

可得S"=］.

1311

由w闕黜斯=匕棱觸一解尸，得^乂了g“,

整理得4”=；.

RH7

所以5布/8世"=鞋=§.

所以直線AA與平面ARE所成角的正弦值為

［方法四卜純體積法

設(shè)正方體的棱長為2,點(diǎn)A到平面AER的距離為h,

在△AER中，A￡=石，物=2應(yīng),?！?3,

￡>1爐+盤-困9+5-8_&

cosZAED]=

2DtEAE~2x3x石-5

答案第14頁，共20頁

所以sin/AED、=~~9易得,“皿=3.

114

由匕…小匕「謝，得§山的小月=qS“町，h,解得力號

.ch2

設(shè)直線4A與平面AER所成的角為。，所以smO=n=w.

/L/L3

【整體點(diǎn)評】

(1)的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；

(II)第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)

學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用

計算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計算較為

簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計算，省卻了輔助線和

幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.

16.條件選擇見解析；(1)(；(2)]￡,曰].

【解析】

(1)選擇條件①，利用正弦定理化簡已知條件，再利用兩角和的正弦公式化簡得

2sinAcos8=sinA,根據(jù)三角形內(nèi)角性質(zhì)得出sinA>0且cosB=],即可求出角B的值；

選擇條件②，根據(jù)向量的數(shù)量積公式以及三角形的面積公式，化簡得出sinB=6cosB,

即可求出角B的值；選擇條件③，根據(jù)兩角和的正弦公式和輔助角公式，化簡的出

sin(8+V]=l,從而可求出角B的值；

22

(2)根據(jù)題意，利用正弦定理邊角互化得出"M^sinA,c=-^sinC,再根據(jù)三角形面積

公式化簡得出S=3sin(2A-31+@,由AABC為銳角三角形，求出角A的范圍，從而

616J12

得出AABC的面積的取值范圍.

【詳解】

解：(1)選①(2a-c)cos8=6cosC,

由正弦定理得：2sinAcosB-sinCeosB=sinBcosC,

:.2sinAcosB=sinA,

Vi4G(0,^r),sinA>0,/.cosB=—,

答案第15頁，共20頁

?.?Bw（O9）,???B=1；

選②6忌?A=2SZS.C，

/.\f3accosB=2—acsinB,

2

:.sinB=A/3COSB，

VBG（0,^）,sinB>0,貝！Jcos4>0,

??,B*

選③sin3+sin18+5=6,

得sinB+—sinB+cos8二6，

22

A—sin^+icosB=l,

22

sin13+7

=1,

jrn7%

*.*B￡（0,4）,BH---€

666

47C7t

：.B+-=-:.B=一

62f3

(2)已知△ABC為銳角三角形，且6=1,

abc2

由正弦定理得:

sinAsinBsinCG，

；a=]sinA,c=娶SinC,

S=-acsinB=—J=sinAsinf--24j=—^-sinf2A-—j+—，

2V3I3J6I6；12

??,"18。為銳角三角形,

八A冗

0<A<一

27t.7T

=>—<A<—,

八「2乃.162

0<C=------A<—

32

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查正弦定理的邊角互化、兩角和的正弦公式、輔助角公式、向量的數(shù)

答案第16頁，共20頁

量積的應(yīng)用，考查三角形的面積公式以及三角形內(nèi)角的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間

內(nèi)的最值從而求出三角形的面積的取值范圍是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想和化簡運(yùn)算能力.

17.(1)當(dāng)加=—3或加=-2時復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，當(dāng)機(jī)工-3且〃件-2時復(fù)數(shù)z為虛數(shù)

(2)當(dāng),〃=-］時復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的特點(diǎn)列方程求m使得復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，再根據(jù)虛數(shù)的特點(diǎn)列方程求,n使得復(fù)數(shù)

z為虛數(shù)，(2)根據(jù)純虛數(shù)的特點(diǎn)列方程求m使得復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).

(1)

若復(fù)數(shù)2=>+旭一2+(蘇+5加+61為實(shí)數(shù),則病+5m+6=0

/.帆=-3或機(jī)=一2,

若復(fù)數(shù)z=>+m-2+(>+5m+6)i為虛數(shù)，貝IJ浮+5，”+6*0

W-3且加工—2,

(2)

若復(fù)數(shù)z=log2(小一3m-3)+ilog2(3-ni)純虛數(shù)，貝ij

log2—3nz-3)=0log2(3-m)*0,

2

由log2(/w一36一3)=0可得加=—1或加=4,

又〃z=4時log2。-㈤不存在，加=-1時log2。-，%)=2,

所以/n=-L

18.(I)成績落在［50,60)中學(xué)生人數(shù)為2,成績落在［60,70)中學(xué)生人數(shù)為3；(2)j.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1求出實(shí)數(shù)。的值，并計算出成績落在

［50,60)與［60,70)中的學(xué)生所占的頻率，乘以20可得結(jié)果；

(2)列出所有的基本事件，并確定事件”所抽的2人的成績都在［80,90)中”所包含的基本

事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【詳解】

答案第17頁，共20頁

（1）據(jù)直方圖知組距為10,由（2ax2+3a+7a+6a）xio=l,解得。=礪=0.005,

成績落在［50,60）中學(xué)生人數(shù)為2x0.005x10x20=2,

成績落在［60,70）中學(xué)生人數(shù)為3x0.005x10x20=3；

（2）從成績在［60,70）和［80,90）的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取6人，成績落在［60,70）

有2人，成績落在［80,90）有4人，

記成績落在［60,70）中的2人為4、4,成績落在［80,90）中的4人為瓦、生、、當(dāng)，

則從6人選2人的基本事件共有15個：

（4，4）、。聞、（A，6）、（A闖、（A，鳥）、（4，2、（&趙）、（人聲）、（&㈤）、

（4e）、（4,四）、（4區(qū)）、（鳥鳴）、（與血）、（區(qū)區(qū)）.

其中2人的成