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文檔簡(jiǎn)介

空間角度與距離歸類

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練..................................................................1

能力提升練.................................................................7

培優(yōu)拔尖練.................................................................13

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

(1)證明:〃平面PCD

(2)若尸。,平面ABC。,ZADC=120,且PD=2AD=4,求直線AP與平面。斯所成角的正弦

值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵生竺

35

【分析】(1)取尸。的中點(diǎn)G,連接CG,EG,則由三角形中位線定理可得EGHAD,EG=^AD,

再結(jié)合底面四邊形為菱形,可得四邊形EGCF為平行四邊形,從而得EF//CG.然后由線面平行

的判定定理可證得結(jié)論,

(2)由已知可得尸兩兩垂直,所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

D-xyz,然后利用空間向量求解即可

⑴證明:取P。的中點(diǎn)G,連接CG,EG,因?yàn)镋,尸分別為必,8c的中點(diǎn),所以

EG//AD,EG==AD,

2

又底面ABC。為菱形,所以CF//A£>,CF=gAO,所以EG//CF,EG=CF,所以四邊形EGCT

為平行四邊形,

所以EF//CG.又CGu平面PCDEFu平面PCD,所以£77/平面PCD

(2)解:連接8£>,因?yàn)镻O_L平面ABC。,。居D4u平面ABC。,所以J_。尸,RD-L,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形,ZADC=120,所以為等邊三角形,因?yàn)槭瑸锽C的中點(diǎn),

所以DF_L3C,因?yàn)锽C〃/M,所以DR_LD4,所以。尸,D4,OP兩兩垂直,

所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz.

因?yàn)锳D=PD=2,所以。(0,0,0),F(6,0,0),A(0,2,0),E(0,1,2),

則DE=(0,1,2),DF=(百,0,0),AF=(^3,-2,0).設(shè)平面DEF的法向量根=(x,y,z),則

m-DE=y+2z=0/一一、、

,令z=l,得加=(0,-2,1).設(shè)直線A尸與平面。EP所成的角為0,則

,\!1祖.4小I=|4|=4屆

sin。=cos(m,AF

\m\\AF\~y/5xy/l~35

所以直線Ab與平面。環(huán)所成角的正弦值為腎吧

35

2.在直三棱柱ABC-A與G中,E,尸分別是AC,A修的中點(diǎn).

B

⑴求證:E尸〃平面BB?C;

(2)若ABLAC,AB=AC=2,二面角4-EQ-歹的余弦值為處,求&A的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵石或正

2

【分析】

(1)取2C的中點(diǎn)G,連接EG,Bfi,依題意可證四邊形EG耳尸是平行四邊形,

即可得到屏7/8。,從而得證.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法計(jì)算可得.

(1)證明:在直三棱柱中,E,尸分別是AC,4片的中點(diǎn),取BC的中點(diǎn)G,連

則EG//AB且又BF//AB且

接EG,Bfi,如圖,EG=1A3,t

=所以EG〃耳尸且EG=8/,所以四邊形是平行四邊形,所以EP〃耳G.因

為4Gu平面BgGC,£Fu平面BgGC,所以所〃平面BBGC.

(2)解:因?yàn)樵谥比庵鵄BC-ABJG中,ABLAC,所以AB,AC,兩兩垂直,分別

以AB,AC,44]所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镋,尸分別是AC,4用的中點(diǎn),AB=AC=2,設(shè)

M=1r>0),則4(2,0川,磯0,1,0),G(0,2j),*1,0,。,所以EG=(O,l,r),耳E=(-2,1,T),

m-BxE=0]弘+,=0

C7=(1,-2,0).設(shè)平面用EG的一個(gè)法向量3=&,為4),由<何Z0令

\m.ECi=U一2%+X-%—0

X1=t,即,〃=("T).設(shè)平面EC/的一個(gè)法向量三=(%,%*,),由〃?四=°加

4二一1,貝!J萬(wàn).G尸=0得

+tzX2=2t

匚y92;0==0。-,則,^n=(2t,t,-1).所以

cos(加,力=T)=,3廣+1,因?yàn)槎娼瞧?EG-/的余弦值為生所

,2/+1?62+1+1?的2+114

以—£+===皆,解得仁百或f=正.所以AA的長(zhǎng)為Q或1.

V2r2+1-V5r2+11422

3.1.如圖,三棱柱42。-4月£中,BC=BBi,BCXB(=0,49,平面8瓦。0.

⑴求證:AB±BXC;

(2)若NABC=60。,直線A8與平面CO所成的角為30。,求二面角4-3?-人的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析g

⑵【分析】

(1)由線面垂直得到線線垂直,再由菱形得到對(duì)角線垂直,進(jìn)而證明線面垂直,線線垂直;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解二面角.

(1):AOL平面BBCC,用Cu平面B耳GC?^?A。,4C,?.^8C=8瓦,四邊形2qQC是平行

四邊形,

四邊形BB&C是菱形.BQ1BtC,丁A。cBQ=O,A。u平面ABC,,BQu平面ABC,:.

8Q平面ABC1,

,/ABI平面ABC,:.B.C1.AB.

(2);AB與平面BB?C所成角為30。,AO,平面BB£C,

二ZABO=30°,

若ZB,BC=60°,則ABCB,是正三角形.

令BC=2,則4c=2,BO=6,OA=1,

以。為原點(diǎn),分別以。8,。耳,Q4所在直線為x,九z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

小、/

則0(0,0,0),B(V3,0,0),男(0,1,0),4(0,0,1),^(-73,0,0),.

設(shè)平面AB?的一個(gè)法向量為4=(x,y,z),AB,=(O,l,-l),C4=(有,1,0)

4?AB1=y-z=0

令X=1,解得%=(1,一百,一百),設(shè)平面瓦GA的一個(gè)法向量為

ni.G耳=A/3X+y=0

%=(x,y,z),

I-%?A5=°—z=0/i—/—\

AB.=AB=(73,0,-1)^,即《二,令兀=1,解得〃2=I—,3,j3,

%GB]=0[y/3x+y=017

I.i々?巧1

設(shè)二面角A—AG-A的大小為e,由圖知夕非鈍角,.,.cose=kosn1,引~~口一..

二面角A-B£-A的余弦值為".

4.已知平面四邊形A3CD,AB=BC=CD=2,ZBAC=60°,ZBCD=90°(如圖1所示),現(xiàn)將

MC沿BC邊折起,使得平面ABC_L平面38,點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn),Mr為線段上一

點(diǎn),(如圖2所示).

⑴求證:BP_L平面ACQ;

(2)若二面角尸-Q0-3的余弦值為立,求三棱錐尸-BOW的體積.

7

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)逝

6

【分析】

(1)易證3尸,AC,再由平面ABC_L平面BCD,得到CD1平面曲,進(jìn)而得到(2)以C為

坐標(biāo)原點(diǎn),分別以C2,CO為X,丫軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)二面角P-QW-B的的

余弦值為立,求得〃為線段3。的中點(diǎn),然后由匕.BS=!匕.BCM=!匕.BCD求解.

724

(1)證明:因?yàn)锳B=5CNB4C=60。,所以,ABC為等邊三角形,因?yàn)槭瑸锳C的中點(diǎn),所以

BP±AC.

因?yàn)槠矫鍭BC_L平面5CD,平面ABCI平面5cD=5C,CD±BC,CDu平面BCD,所以

CD1平面

又3Pu平面ABD,所以CD_L3P,又因?yàn)镃£>AD=D,CTZAOu平面AC。,所以BP_L平面

ACD.

(2)如圖所示以C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CB,CO為X,y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

C則C(0,0,0),8(2,0,0),0(0,2,0),A(l,0,6),P(10,

BD=(-2,2,0),設(shè)=ABD(0<2<1),則

CM=CB+BM=(2,0,0)+4(-2,2,0)=(2-24,22,0),

1-0

nCP=Q,即,x+z=0

設(shè)平面PCM的一個(gè)法向量為及=(x,y,z),則IT,取尤=心有

?CM=0(2-2A)x+2Ay=0

V=X-l,z=------Z,

3

即〃-#2).平面3cM的一個(gè)法向量m=(0,0,1).設(shè)二面角的平面角為6,

烏如

則|cosO|=.一=?3=斗,解得/=即M為80中點(diǎn).止匕時(shí)

|mNw|Jn+#72

Vp_BCM=^^A-BCM-[^A-BCD,

又因?yàn)閂A_BCD=VQ-ABC=;xS.BCXCD=;X(乎X2?)X2=,所以Vp.BCM=;匕一切=玄?

能力提升練

I.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形,尸£>,底面ABCD過(guò)AD的平面a分別與線段P8,PC

相交于點(diǎn)E,F.

(1)證明:AD//EF;

(2)若AD=1,PD=CD=2,試問(wèn)是否存在平面a,使得直線PB與平面a所成角的正弦值為速?

3

若存在,求出此時(shí)8E的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

3

(2)存在,理由見(jiàn)解析,BE=-

【分析】

(1)利用線面平行判定定理和性質(zhì)定理可得答案;

(2)分別以DA、DC、。尸所在的直線為%、V、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,求出PB、

平面a的一個(gè)法向量,利用線面角的向量求法可得答案.

(1)

因?yàn)锳D7BC,平面PBC,BCu平面PBC,所以AD7平面PBC,

因?yàn)锳Du平面a,平面a平面PBC=EF,所以AD//EF.

存在,理由如下,

分別以ZM、DC、OP所在的直線為x、外z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),4(1,0,0),30,2,0),尸(0,0,2),尸8=(1,2,-2),0A=(1,0,0),

設(shè)PE=XP3=/l(l,2,—2),所以E(X,2/l,2-2/l),£)E=(2,22,2-22),

設(shè)〃=(x,y,z)為平面a的一個(gè)法向量,

n-DE=0fAx+2Ay+(2-2A)z=02

貝",(,令y=i則z=^--,%=o,

n-DA=0[x=0A-l

所以w=[o,l,£),設(shè)直線pg與平面。所成角凡

解得4=;.

所以為=;時(shí),E為3尸的中點(diǎn)時(shí),此時(shí)存在平面a,使得直線尸2與平面。所成角的正弦值為

2.如圖,在直三棱柱ABC-'4G中,AB=BC=2AA,=4,ZABC=90°,。是BC的中點(diǎn).

⑴求點(diǎn)A1到面AOG的距離;

(2)試問(wèn)線段4耳上是否存在點(diǎn)E,使AE與所成角的余弦為加?若存在,求耳E的值;若

不存在,說(shuō)明理由.

4

【答案】(1)§

⑵存在,B{E=3

【分析】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系,由空間向量求解

(2)設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo),由空間向量列方程求解

(1)

以8為原點(diǎn),BC,BA,BBt所在直線分別為x,Mz建立空間直角坐標(biāo)系,

則40,4,0),0(2,0,0),A(0,4,2),G(4,0,2),

A£>=(2,-4,0),0G=(2,0,2),設(shè)平面ADC1的一個(gè)法向量為%=(x,y,z),

[2x-4y=0,

故c0得4=(2,L—2),又A4,=(0,0,2),

[2x+2z=0

故點(diǎn)A1到面ADQ的距離為d=必丸=i

\n1|3

(2)

設(shè)E(OJ,2),則AE=(0,4-f,2),DQ=(2,0,2),

設(shè)6為異面直線AE,OG所成的角,

八\AEDC,|_______4_______Vio

由題意得c0s人由兩

"(47)2+4,205

解得f=3(r=5舍去)

故點(diǎn)E存在,BtE=3

3.如圖,在三棱柱ABC—A4/G中,四邊形A2SA/為正方形,四邊形AA/C/C為菱形,且NAA/C

=60。,平面A4/CC平面48氏4,點(diǎn)。為棱82/的中點(diǎn).

G

⑴求證:AAIJLCD;

(2)棱3。(除兩端點(diǎn)外)上是否存在點(diǎn)M,使得二面角B-AiM-Bi的余弦值為乎?若存在,

請(qǐng)指出點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)存在點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn)或者為靠近G端的八等分點(diǎn)

O

【分析】(1)取棱AA的中點(diǎn)。,由題可得AALOC,進(jìn)而可得A4,,平面08,即

得;

(2)利用坐標(biāo)法,設(shè)G〃=4G4(o<x<i),利用二面角的向量求法列出方程,即得.

⑴取棱AA的中點(diǎn)。,連接CO、8.因?yàn)樗倪呅?41GC是菱

為...

4t-----------

形,所以AC=44,,

又因?yàn)?A41c=60。,所以△AAC為等邊三角形,所以A4JOC.因?yàn)樗倪呅?期4為

正方形且。、。分別是用、期的中點(diǎn),所以441。。,又OCOD=O,OaODu平面

OCD,所以A4,_L平面OC。,

因?yàn)镃Du平面OCZ),所以的LCD.

(2)因?yàn)槠矫鍭AtCtC±平面ABB^,平面AAXC[C平面ABB^=/L4,,且。C±AAX,OCu平

面441GC,

所以O(shè)CL平面A2”4,.以。為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)AO2OC所在的直線分別為x軸、y軸、

Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AB=2,則點(diǎn)

5(1,2,0),A(-1,0,0),G(-2,0,6),4(T2,0).

設(shè)?i=(%,%,z)為平面A^iG的一個(gè)法向量,則由4?44=。及4-AG=。,

2y.=0

得石一八,不妨取4=1得4=(6,0,1).假設(shè)棱耳G上(除端點(diǎn)外)存在點(diǎn)“滿

足題意,

令QM=2G4(0<幾<1)得-2,22,有-&),設(shè)々=(%,%,Z?)為平面以M的一個(gè)法

向量,

2X2+2y2=0

則由對(duì)?A月=o及%,AM=o,得,

(A-1)%2+24y2+(,x/3-—0

由|cos(%,

2+-

所以存在點(diǎn)”為棱4G的中點(diǎn)或者為靠近G端的八等分點(diǎn)[。照=:。由\

4.如圖所示,在三棱柱ABC-A與G中,AB=3C,點(diǎn)4在平面ABC上的射影為線段AC的中

點(diǎn)。,側(cè)面A41GC是邊長(zhǎng)為2的菱形.

(1)若AABC是正三角形,求異面直線。片與BC所成角的余弦值;

(2)當(dāng)直線CB,與平面ABB,A所成角的正弦值為立1時(shí),求線段BD的長(zhǎng).

7

【答案】(1)日(2)1或:

【分析】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得直線。耳與2C所成角的余弦值.

(2)結(jié)合直線C4與平面瓦A所成的角,利用向量法列方程,化簡(jiǎn)求得的長(zhǎng).

(1)依題意點(diǎn)A1在平面ABC上的射影為線段AC的中點(diǎn)。,所以4。,平面ABC,

\DLCD,\DLBD,

由于鉆=BC,所以以。為空間坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,A(0,0,A/3),

C(O,I,O),

當(dāng),ABC是等邊三角形時(shí),網(wǎng)"0,0),4=(616),g=卜61,0).設(shè)直線。片與先所成角

為a,

BC?DB]2y/1

則cosa=

\BC\-\DB]77x2-7

⑵設(shè)。3rt>0,則2&0,o),用卜,1,后),c&=1,0,石),A(o,To),例=(o,1,右),A3=(f,1,o),

n?AA=y+V3z=0

設(shè)平面的法向量為"=(x,y,z),貝卜,故可設(shè)〃

n?AB=比+y=0

設(shè)直線C4與平面A8瓦A所成角為",貝心in〃=

4r4-13Z2+9=o,(z2-1)(4^2-9)=0,解得r=i或r=g,

培優(yōu)拔尖練

如圖(1)所示的四邊形ABCP中,AB//PC,ZABC=90°,AD//BC,PC=2AB=2,AD

將進(jìn)行翻折,使得NPDC=90。,得到如圖(2)所示的四棱錐P-ABCD.四棱錐

的體積為正,點(diǎn)/為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn)8,C不重合).

3

⑴求證:尸。_L平面ABCD;

⑵探求是否存在大小為1的二面角”-叢-5.如果存在,求出此時(shí)線段CM的長(zhǎng)度;若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵存在,72-1

【分析】

(1)通過(guò)PD_LZM和尸。_LDC即可證明;

(2)以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面R4B和平面的法向量,利用向量關(guān)系即

可求出.

(1)

在圖(1)中,AB//PC,ZABC=90°,AD/IBC,

所以/PZM=,ADC=90。,即

則在圖(2)中PD1.D4,因?yàn)镹PDC=90。,即PDLDC,

因?yàn)閆MDC=D,所以平面ABC。;

因?yàn)槠矫鍭BCD,所以PD是四棱錐尸-ABCD的高,

P-ABCD3,ABCD.glxDAxl考,則…,

因?yàn)椤浮?,DA,PD±DC,DA1DC,則可以。為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

假設(shè)存在大小為I的二面角M-R4-3,設(shè)CM=?O<f<0),又PD=LAB=1,

O

所以A(近,0,0),3(拒,1,0),P(0,0,1),M?,1,0),

則PA=(衣0,-1),AB=(0,1,0),PM=Q

設(shè)平面的法向量為々=(%,%,zj,平面PAM的法向量為九2二(%2,丁2,22),

\n,PA=0[V2x,-z,=0人

則“i即,令X1=1,則4=夜,則“=(1,0,0),

又NjA=°,即[d=2=o,

令入2=1,貝!)%=—,貝U4=(1,—Z,J5),

\n2-PM=0\tx2+y2-z2=0

371V3

Ijlllcos<n,,n>=-----/==cos7=3,解得r=&-i或/=拒+1(舍去),

9行出+(應(yīng)一)2

*

因此存在大小為J的二面角Af-R4-石,,此時(shí)線段CM的長(zhǎng)度1.’.*

0

Ai

K

2.在直角梯形CEPD中,PD//EC,PD=8,CE=6,A為線段尸。的中點(diǎn),四邊形A3CD為正方

形.將四邊形上該沿AB折疊,使得上4LAD,得到如圖(2)所示的幾何體.

(1)求直線尸。與平面PCE所成角的正弦值;

(2)當(dāng)尸為線段的中點(diǎn)時(shí),求二面角尸-CE-尸的余弦值.

【答案】

6

【分析】

(1)(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用即可向量法計(jì)算可得;

(1)

解:依題意可得上4_LAB、PAYAD,ABLAD,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0)、3(4,0,0)、C(4,4,0)、D(0,4,0),尸(0,0,4)、E(4,0,2),

所以CE=(O,T,2),CP=(T,T,4),DP=(0,-4,4),

nCE=-4y+2z=0..

設(shè)平面PCE的法向量為”=(x,y,z),所以<,令y=1i,則z=2,x=i,

nCP=-4x-4y+4z=0

所以〃=(1,1,2),

n-DP\4_V|

設(shè)直線尸。與平面尸CE所成角為凡貝抬in,=

,川叫4枝X瓜6

⑵解:依題意可得尸(2,0,0),則C#=(-25T,0),

mCF=-2a-4b=

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