2024屆河北省秦皇島市部分學(xué)校高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省秦皇島市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得或，則或，因此；又，則.故選：C.2.已知，則的虛部為（）A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以的虛部?故選：A.3.正邊長(zhǎng)為，、為線段的三等分點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，（法一）由題意，，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，；（法二）以所在直線為軸，以垂直平分線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，則，，所以，；故選：C.4.從點(diǎn)射出的光線經(jīng)軸反射后，與圓有公共點(diǎn)，則反射光線所在直線斜率的最小值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得，反射光線一定經(jīng)過(guò)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，反射光所在直線斜率不存在時(shí)，反射光的直線方程為，由，易得該方程組無(wú)解，于是反射光所在直線斜率存在，設(shè)經(jīng)過(guò)的直線為，若反射光和圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離不超過(guò)半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，，整理得，即，解得，故斜率最小值是.故選：A5.中國(guó)傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的窗欞是框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，它是傳統(tǒng)建筑中最重要的構(gòu)成要素之一，也是建筑的審美中心.如圖中矩形是某窗欞的一部分，圖中與矩形邊平行的橫線與豎線構(gòu)成矩形（）個(gè)A24 B.27 C.36 D.60〖答案〗C〖解析〗在矩形中的條橫線任選條，有種方法，條豎線任選條，有種方法，這時(shí)一定會(huì)圍成一個(gè)封閉圖形，即為所求矩形，共有種方法.故選：C6.正數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)檎龜?shù)滿(mǎn)足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，得.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為2，故選：B7.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若的離心率，則使為直角三角形的點(diǎn)有（）個(gè)A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗D〖解析〗由可得，即，可得，因此以為直徑作圓與必有四個(gè)不同的交點(diǎn)，因此中以的三角形有四個(gè)，除此之外以為直角，為直角的各有兩個(gè)，所以存在使為直角三角形的點(diǎn)共有8個(gè).故選：D8.已知函數(shù)在上有兩個(gè)不等根，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，在有兩根，則時(shí)，，，不妨設(shè)，則，.故選：D二、選擇題9.已知數(shù)列滿(mǎn)足且的前項(xiàng)和為，則（）A.是等差數(shù)列 B.為周期數(shù)列C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列〖答案〗AB〖解析〗由且則且，故，所以在上成立，A對(duì)；綜上，為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，B對(duì)；為奇數(shù)，為偶數(shù)，不成等差數(shù)列，C錯(cuò)；不成等比數(shù)列，D錯(cuò).故選：AB10.如圖為一正方體的展開(kāi)圖、則在原正方體中（）A. B.C.直線與所成的角為 D.直線與所成的角為〖答案〗BCD〖解析〗畫(huà)出原正方體如下圖所示，由圖可知：與不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，而，所以，所以B選項(xiàng)正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三角形是等邊三角形，直線與所成的角為，所以直線與所成的角為，C選項(xiàng)正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三角形是等邊三角形，直線與所成的角為，所以直線與所成的角為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且.則的圖象（）A.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)〖答案〗BD〖解析〗①，，則②，由①②得，，即③，，④，周期為6，由，得為奇函數(shù)⑤，，由③⑤得，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由④⑤得，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故BD正確.故選：BD.12.為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（F是的焦點(diǎn)），則（）A.的最小值為 B.最小值為C.最小值為 D.最小值為〖答案〗BCD〖解析〗拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)到距離為設(shè)點(diǎn)為，則整理得，，即，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)為，則點(diǎn)到距離時(shí)，最小為，最小值為，故A錯(cuò)誤.點(diǎn)為，最小為最小值為1，最小為，故B正確.等于點(diǎn)到直線的距離，最小值為到直線的距離減去，即，故C正確.到的距離為最小值為到的距離與和的最小值，即到的距離最小值，設(shè)為則到距離為當(dāng)時(shí)，最小值為2，最小值為2，得最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.五名學(xué)生每人投籃15次，統(tǒng)計(jì)他們每人投中的次數(shù)，得到五個(gè)數(shù)據(jù)，若這五個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，則他們投中次數(shù)的總和最大是_________.〖答案〗29〖解析〗假設(shè)五個(gè)數(shù)據(jù)按照由小到大排列為，因?yàn)檫@五個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，所以，所以最大的三個(gè)數(shù)的和為，因?yàn)閮蓚€(gè)較小的數(shù)一定是小于6的非負(fù)整數(shù)，且不相等，最大為4和5，所以這五個(gè)數(shù)的和一定大于20且小于等于29，故〖答案〗為：2914.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為10，則_________.〖答案〗〖解析〗其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得因?yàn)榈南禂?shù)為10，則，解得，故〖答案〗為：.15.如圖數(shù)陣中，第一行有兩個(gè)數(shù)據(jù)圴為1，將上一行數(shù)據(jù)中每相鄰兩數(shù)的和插入到兩數(shù)中，得到下一行數(shù)據(jù)，形成數(shù)陣，則數(shù)陣第11行共有_________個(gè)數(shù)，第行所有數(shù)據(jù)的和_________.〖答案〗〖解析〗由數(shù)陣形成規(guī)律，設(shè)第行數(shù)據(jù)有個(gè)，則，則，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.則，，設(shè)第行數(shù)據(jù)的和為，第行數(shù)據(jù)為，則第行數(shù)據(jù)為，，，得從第二項(xiàng)起，是以為第二項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，，，時(shí)，，.故〖答案〗為：；16.三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗三棱錐底面為直角三角形，為內(nèi)心，由，可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)內(nèi)切圓半徑，易知的周長(zhǎng)為，面積為；由等面積可得，解得；設(shè)四面體外接球球心為，所以易知在平面射影為中點(diǎn)，易知，則，設(shè)，則，且，即，解得，則四面體的外接球表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題17.某市電視臺(tái)為了解一檔節(jié)目收視情況，隨機(jī)抽取了該市n對(duì)夫妻進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到每人日均收看該節(jié)目的時(shí)間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，收視時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“熱心觀眾”，收視時(shí)間低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“非熱心觀眾”，已知抽取樣本中收視時(shí)間低于10分鐘的有10人.（1）求n，p；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“熱心觀眾”是否與性別有關(guān).非熱心觀眾熱心觀眾總計(jì)男女10總計(jì)附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）收視時(shí)間在分鐘組的頻率為，，又收視時(shí)間低于10分鐘的有10人，，；（2）“熱心觀眾”有人，則列聯(lián)表如下圖所示：非熱心觀眾熱心觀眾總計(jì)男351550女401050總計(jì)7525100零假設(shè)：“熱心觀眾”與性別無(wú)關(guān)聯(lián).將列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)證明不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為“熱心觀眾”與性別無(wú)關(guān)聯(lián).18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.（1）求；（2）求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）解：是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.，，當(dāng)時(shí)，，又，；（2）證明：，，，得.19.如圖，圓柱底面直徑長(zhǎng)為4，C是圓上一點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面；（2）若與面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：為圓柱，直線平面，直線直線又直線為圓的直徑，，，又，平面，且平面，平面平面.（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)椋矫媾c平面的交線為，所以平面，所以即為與面所成角，即，平面，所以，所以為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線為軸，以過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意得，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，，令，則，，所以平面的法向量為，設(shè)為平面的法向量，，，令，則，，所以平面的法向量為，平面與平面夾角的余弦值.20.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，面積為，已知.（1）求的值；（2）若邊上的中線，求周長(zhǎng)的最小值.解：（1）∵面積為，，且，得，，由正弦定理得：，，，，，.（2）邊上中線，，，得，，，，且，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立.又，由余弦定理得，，，設(shè)，，設(shè)，，在單調(diào)遞減，又，，，在單調(diào)遞減，則最小值為，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，故周長(zhǎng)最小值為.21.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，過(guò)的左頂點(diǎn)作的垂線，垂足為，求證：.（1）解：的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為，，，的方程為：；（2）證明：設(shè)方程為，聯(lián)立得：，，，設(shè)，則，，，，，直線與直線垂直，在中，，，即.22.已知函數(shù)與有相同的零點(diǎn).（1）求；（2）證明；當(dāng)時(shí)，.（1）解：由題意，得，，且，即，得.（2）證明：令，則，令，，令，故在上單調(diào)遞減，，由零點(diǎn)存在性定理知使且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，而，由零點(diǎn)存在性定理知使，則時(shí)，時(shí)，時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，而，在上恒成立，故.河北省秦皇島市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得或，則或，因此；又，則.故選：C.2.已知，則的虛部為（）A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以的虛部?故選：A.3.正邊長(zhǎng)為，、為線段的三等分點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的等邊三角形，（法一）由題意，，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，；（法二）以所在直線為軸，以垂直平分線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，則，，所以，；故選：C.4.從點(diǎn)射出的光線經(jīng)軸反射后，與圓有公共點(diǎn)，則反射光線所在直線斜率的最小值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得，反射光線一定經(jīng)過(guò)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，反射光所在直線斜率不存在時(shí)，反射光的直線方程為，由，易得該方程組無(wú)解，于是反射光所在直線斜率存在，設(shè)經(jīng)過(guò)的直線為，若反射光和圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離不超過(guò)半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，，整理得，即，解得，故斜率最小值是.故選：A5.中國(guó)傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的窗欞是框架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，它是傳統(tǒng)建筑中最重要的構(gòu)成要素之一，也是建筑的審美中心.如圖中矩形是某窗欞的一部分，圖中與矩形邊平行的橫線與豎線構(gòu)成矩形（）個(gè)A24 B.27 C.36 D.60〖答案〗C〖解析〗在矩形中的條橫線任選條，有種方法，條豎線任選條，有種方法，這時(shí)一定會(huì)圍成一個(gè)封閉圖形，即為所求矩形，共有種方法.故選：C6.正數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)檎龜?shù)滿(mǎn)足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，得.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為2，故選：B7.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若的離心率，則使為直角三角形的點(diǎn)有（）個(gè)A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗D〖解析〗由可得，即，可得，因此以為直徑作圓與必有四個(gè)不同的交點(diǎn)，因此中以的三角形有四個(gè)，除此之外以為直角，為直角的各有兩個(gè)，所以存在使為直角三角形的點(diǎn)共有8個(gè).故選：D8.已知函數(shù)在上有兩個(gè)不等根，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，在有兩根，則時(shí)，，，不妨設(shè)，則，.故選：D二、選擇題9.已知數(shù)列滿(mǎn)足且的前項(xiàng)和為，則（）A.是等差數(shù)列 B.為周期數(shù)列C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列〖答案〗AB〖解析〗由且則且，故，所以在上成立，A對(duì)；綜上，為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，B對(duì)；為奇數(shù)，為偶數(shù)，不成等差數(shù)列，C錯(cuò)；不成等比數(shù)列，D錯(cuò).故選：AB10.如圖為一正方體的展開(kāi)圖、則在原正方體中（）A. B.C.直線與所成的角為 D.直線與所成的角為〖答案〗BCD〖解析〗畫(huà)出原正方體如下圖所示，由圖可知：與不平行，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，而，所以，所以B選項(xiàng)正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三角形是等邊三角形，直線與所成的角為，所以直線與所成的角為，C選項(xiàng)正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三角形是等邊三角形，直線與所成的角為，所以直線與所成的角為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.11.定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且.則的圖象（）A.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng) B.關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng) D.關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)〖答案〗BD〖解析〗①，，則②，由①②得，，即③，，④，周期為6，由，得為奇函數(shù)⑤，，由③⑤得，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由④⑤得，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故BD正確.故選：BD.12.為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（F是的焦點(diǎn)），則（）A.的最小值為 B.最小值為C.最小值為 D.最小值為〖答案〗BCD〖解析〗拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)到距離為設(shè)點(diǎn)為，則整理得，，即，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)點(diǎn)為，則點(diǎn)到距離時(shí)，最小為，最小值為，故A錯(cuò)誤.點(diǎn)為，最小為最小值為1，最小為，故B正確.等于點(diǎn)到直線的距離，最小值為到直線的距離減去，即，故C正確.到的距離為最小值為到的距離與和的最小值，即到的距離最小值，設(shè)為則到距離為當(dāng)時(shí)，最小值為2，最小值為2，得最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.五名學(xué)生每人投籃15次，統(tǒng)計(jì)他們每人投中的次數(shù)，得到五個(gè)數(shù)據(jù)，若這五個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，則他們投中次數(shù)的總和最大是_________.〖答案〗29〖解析〗假設(shè)五個(gè)數(shù)據(jù)按照由小到大排列為，因?yàn)檫@五個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，所以，所以最大的三個(gè)數(shù)的和為，因?yàn)閮蓚€(gè)較小的數(shù)一定是小于6的非負(fù)整數(shù)，且不相等，最大為4和5，所以這五個(gè)數(shù)的和一定大于20且小于等于29，故〖答案〗為：2914.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為10，則_________.〖答案〗〖解析〗其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令得因?yàn)榈南禂?shù)為10，則，解得，故〖答案〗為：.15.如圖數(shù)陣中，第一行有兩個(gè)數(shù)據(jù)圴為1，將上一行數(shù)據(jù)中每相鄰兩數(shù)的和插入到兩數(shù)中，得到下一行數(shù)據(jù)，形成數(shù)陣，則數(shù)陣第11行共有_________個(gè)數(shù)，第行所有數(shù)據(jù)的和_________.〖答案〗〖解析〗由數(shù)陣形成規(guī)律，設(shè)第行數(shù)據(jù)有個(gè)，則，則，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.則，，設(shè)第行數(shù)據(jù)的和為，第行數(shù)據(jù)為，則第行數(shù)據(jù)為，，，得從第二項(xiàng)起，是以為第二項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，，，時(shí)，，.故〖答案〗為：；16.三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗三棱錐底面為直角三角形，為內(nèi)心，由，可得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)內(nèi)切圓半徑，易知的周長(zhǎng)為，面積為；由等面積可得，解得；設(shè)四面體外接球球心為，所以易知在平面射影為中點(diǎn)，易知，則，設(shè)，則，且，即，解得，則四面體的外接球表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題17.某市電視臺(tái)為了解一檔節(jié)目收視情況，隨機(jī)抽取了該市n對(duì)夫妻進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到每人日均收看該節(jié)目的時(shí)間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，收視時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“熱心觀眾”，收視時(shí)間低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“非熱心觀眾”，已知抽取樣本中收視時(shí)間低于10分鐘的有10人.（1）求n，p；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“熱心觀眾”是否與性別有關(guān).非熱心觀眾熱心觀眾總計(jì)男女10總計(jì)附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）收視時(shí)間在分鐘組的頻率為，，又收視時(shí)間低于10分鐘的有10人，，；（2）“熱心觀眾”有人，則列聯(lián)表如下圖所示：非熱心觀眾熱心觀眾總計(jì)男351550女401050總計(jì)7525100零假設(shè)：“熱心觀眾”與性別無(wú)關(guān)聯(lián).將列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)證明不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為“熱心觀眾”與性別無(wú)關(guān)聯(lián).18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.（1）求；（2）求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）解：是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.，，當(dāng)時(shí)，，又，；（2）證明：，，，