數(shù)學(xué)（必修3）練習(xí)活頁(yè)作業(yè)11直線(xiàn)與平面垂直

活頁(yè)作業(yè)(十一)直線(xiàn)與平面垂直一、選擇題1．如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線(xiàn)與平面垂直的是()①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．A．①③ B．②C．②④ D．①②④解析：由線(xiàn)面垂直的判定定理知，直線(xiàn)垂直于①③圖形所在的平面．對(duì)于②④圖形中的兩邊不一定是相交直線(xiàn)，故該直線(xiàn)與它們所在的平面不一定垂直．答案：A2．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1解析：∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥面ABC,BC?面ABC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC))?BC⊥面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC，故選A．答案：A3．用a，b，c表示三條不同的直線(xiàn)，γ表示平面，給出下列命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號(hào)是()A．①② B．②③C．①④ D．③④解析：對(duì)于①，由基本性質(zhì)4“平行于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行”可知，①正確；對(duì)于②，如長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥AD，CD⊥AD，此時(shí)AB平行于CD，因此②不正確．對(duì)于③，如當(dāng)平面α∥γ時(shí)，平面α內(nèi)的任意兩條直線(xiàn)a，b都平行于平面γ，顯然此時(shí)直線(xiàn)a，b可能相交，因此③不正確．對(duì)于④，由“垂直于同一平面的兩條直線(xiàn)平行”可知其正確性．綜上所述，其中真命題的序號(hào)是①④答案：C4．已知三條相交于點(diǎn)P的線(xiàn)段PA，PB，PC兩兩垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，則垂足H是三角形ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．垂心 D．重心解析：∵PA、PB、PC兩兩垂直，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC．又BC⊥PH，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，AH?平面PAH，∴BC⊥AH.同理AB⊥CH，AC⊥BH.∴點(diǎn)H為△ABC的垂心．答案：C二、填空題5.如圖所示：直角△ABC所在的平面外一點(diǎn)S，SA＝SB＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)．則直線(xiàn)SD與平面ABC的位置關(guān)系為_(kāi)_______．解析：∵SA＝SC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC．連接BD，在Rt△ABC中，則AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD．又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC．答案：垂直6．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形一定是________．解析：PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA，又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．AC?平面PAC，∴BD⊥AC．∴ABCD為菱形．答案：菱形三、解答題7．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于D，求證：AD⊥平面SBC．解析：∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC．又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC．又AC∩SA＝A，∴BC⊥平面SAC．∵AD?平面SAC，∴BC⊥AD．又SC⊥AD，SC∩BC＝C，∴AD⊥平面SBC．8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E⊥平面AB1解：連接A1B、CD1，則AB1⊥A1B，所以AB1⊥平面A1BCD1.又D1E?平面A1BCD1，所以D1E⊥AB1.于是D1E⊥平面AB1F?D1E⊥AF連接DE，又D1D⊥AF，D1E∩D1D＝D1，所以AF⊥平面EDD1，所以DE⊥AF.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，E是BC的中點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，DE⊥AF，即當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，D1E⊥平面AB1F一、選擇題1．已知l，m，n為兩兩垂直的三條異面直線(xiàn)，過(guò)l作平面α與直線(xiàn)m垂直，則直線(xiàn)n與平面α的關(guān)系是()A．n∥α B．n∥α或n?αC．n?α或n與α不平行 D．n?α解析：∵l?α，且l與n異面，∴n?α，又∵m⊥α，n⊥m，∴n∥α.答案：A2．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)．現(xiàn)沿AE，AF，EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中成立的是()A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF解析：∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.答案：A二、填空題3．設(shè)α表示平面，a，b表示直線(xiàn)．①a⊥α，a∥b?b⊥α；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a⊥α，b⊥α?a∥b.上述說(shuō)法中正確的序號(hào)是________．解析：①正確；②中b與α可能平行，也可能在α內(nèi)，故不正確；③易知正確．答案：①③4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝________解析：∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1又∵M(jìn)N⊥B1M，B1C1∩B1M＝B1，∴MN⊥平面C1∴MN⊥C1M∴∠C1MN＝90°．答案：90°三、解答題5．如圖，在多面體中，四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，EF⊥FB，BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)．求證：AC⊥平面EDB．證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G，則G為AC的中點(diǎn)，連接EG，GH，則GH∥AB，GH＝eq\f(1,2)AB．∵AB＝2EF，EF∥AB，∴GH∥EF，∴四邊形EFHG為平行四邊形，則EG∥FH.由四邊形ABCD為正方形，得AB⊥BC．∵EF∥AB，∴EF⊥BC．∵EF⊥FB，且FB∩BC＝B，∴EF⊥平面BFC．又FH?平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.∵BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)，∴FH⊥BC．∵AB∩BC＝B，∴FH⊥平面ABCD．∵AC?平面ABCD，∴FH⊥AC，∴EG⊥AC．又AC⊥BD，BD∩EG＝G，∴AC⊥平面BDE.6.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，問(wèn)BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD，并說(shuō)明理由．解：假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥QD．連接AQ.由已知PA⊥平面ABCD，且DQ?平面ABCD，∴PA⊥DQ.又∵PQ⊥DQ，且PQ∩PA＝P，PQ，PA?平面PAQ，∴DQ⊥平面PAQ.∵AQ?平面PAQ，∴AQ⊥DQ.設(shè)BQ＝x，則CQ＝a－x，AQ2＝x2＋1，DQ2＝(a－x)2＋1.∵AQ2＋DQ2＝AD2，∴x2＋1＋(a－x)2＋1＝a2，即x2－ax＋1＝0(*)．方程(*)的判別式Δ＝a2－4.∵a＞0，∴當(dāng)Δ＜0，即0＜a＜2時(shí)，方程(*)無(wú)實(shí)根；當(dāng)Δ＝0，即a＝2時(shí)，方程(*)有唯一實(shí)根，此時(shí)x＝1；當(dāng)Δ＞0，