新教材2024版高中數(shù)學(xué)第六章概率1隨機事件的條件概率1.1條件概率的概念學(xué)生用書北師大版選擇性必修第一冊

條件概率的概念[教材要點]要點一條件概率的概念一般地，設(shè)A，B為兩個事務(wù)，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝________為在________發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的條件概率．P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率．狀元隨筆(1)0≤P(A|B)≤1；(2)幾何說明：P(A|B)＝nABnB＝n(3)概率P(B|A)與P(AB)的區(qū)分與聯(lián)系P(AB)表示在樣本空間Ω中，計算AB發(fā)生的概率，而P(B|A)表示在縮小的樣本空間ΩA中計算B發(fā)生的概率．用古典概率公式，則P(B|A)＝AB中樣本點數(shù)ΩA要點二互斥事務(wù)的條件概率假如B與C是兩個互斥事務(wù)，則P(B∪C狀元隨筆(1)前提條件：P(A)>0.(2)P(B∪C[基礎(chǔ)自測]1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若事務(wù)A，B互斥，則P(B|A)＝1.()(2)事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生，相當(dāng)于A，B同時發(fā)生.()(3)P(B|A)≠P(AB)．()2．[多選題]下列式子成立的是()A．P(A|B)＝P(B|A)B．0≤P(A|B)≤1C．P(AB)＝P(A)·P(B|A)D．P(AB|A)＝P(B)3．下面幾種概率是條件概率的是()A．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率B．甲、乙二人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投中的條件下乙投籃一次命中的概率C．有10件產(chǎn)品，其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，恰好抽到一件次品的概率D．小明上學(xué)路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是254．若P(AB)＝35，P(A)＝34，則P(B|題型一利用定義求條件概率例1甲、乙兩城市都位于長江下游，依據(jù)一百余年氣象記錄，知道甲、乙兩市一年中雨天占的比例分別為20%和18%，兩地同時下雨的比例為12%，求：(1)乙市為雨天時，甲市也為雨天的概率；(2)甲市為雨天時，乙市也為雨天的概率.方法歸納1．用定義法求條件概率P(B|A)的步驟(1)分析題意，弄清概率模型；(2)計算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)＝PAB2．在例1題中，首先結(jié)合古典概型分別求出了事務(wù)A、B的概率，從而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之間的關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1(1)袋子中有5個球(3個白色、2個黑色)，現(xiàn)每次取一個，無放回地抽取2次，則在第一次抽到白球的條件下，其次次抽到白球的概率為()A．35B．C．12D．(2)設(shè)某動物由誕生算起活到20歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，則它活到25歲的概率是________．題型二縮小樣本空間求條件概率例2一個盒子中有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求其次只也是好的的概率．方法歸納P(B|A)表示事務(wù)B在“事務(wù)A已發(fā)生”這個附加條件下的概率，與沒有這個附加條件的概率是不同的．也就是說，條件概率是在原隨機試驗的條件上再加上確定的條件，求另一事務(wù)在此“新條件”下發(fā)生的概率．因此利用縮小樣本空間的觀點計算條件概率時，首先明確是求“在誰發(fā)生的前提下誰的概率”，其次轉(zhuǎn)換樣本空間，即把給定事務(wù)A所含的基本領(lǐng)件定義為新的樣本空間，明顯待求事務(wù)B便縮小為事務(wù)AB，如圖所示，從而P(B|A)＝nAB跟蹤訓(xùn)練2現(xiàn)有6個節(jié)目打算參與競賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，假如不放回地依次抽取2個節(jié)目，求：(1)第1次抽到舞蹈節(jié)目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率．題型三求互斥事務(wù)的條件概率例3在一個袋子中裝有10個球，設(shè)有1個紅球，2個黃球，3個黑球，4個白球，從中依次摸2個球，求在第一個球是紅球的條件下，其次個球是黃球或黑球的概率.方法歸納條件概率的解題策略(1)應(yīng)用概率加法公式的前提是事務(wù)互斥．(2)分解計算，代入求值：為了求比較困難事務(wù)的概率，一般先把它分解成兩個(或若干個)互不相容的較簡潔的事務(wù)之和，求出這些簡潔事務(wù)的概率，再利用加法公式即得所求的困難事務(wù)的概率．跟蹤訓(xùn)練3有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機任取出兩瓶，若取出的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，求另一瓶是紅色或黑色的概率．易錯辨析混淆條件概率P(B|A)與積事務(wù)的概率P(AB)致錯例4袋中有6個黃色、4個白色的乒乓球(只有顏色不同)，不放回抽取，每次任取一球，取兩次，求：(1)其次次才取到黃球的概率；(2)取出的兩個球的其中之一是黃球時，另一個也是黃球的概率．解析：(1)設(shè)A表示“第一次取到白球”，B表示“其次次取到黃球”，C表示“其次次才取到黃球”．則P(C)＝P(AB)＝410×6(2)記D表示“其中之一是黃球”，E表示“兩個都是黃球”，F(xiàn)表示“其中之一是黃球時，另一個也是黃球”．則P(F)＝P(E|D)＝PEDPD＝610×【易錯警示】易錯緣由糾錯心得求解第(1)小題時易誤認(rèn)為P(C)＝P(B|A)＝69＝23.求解第(2)小題時易誤認(rèn)為P(F)＝P(E)＝610產(chǎn)生以上錯解的緣由是不理解P(AB)與P(B|A)的含義．解題時，先要正確理解并區(qū)分條件概率與積事務(wù)的概率，P(B|A)表示在已知事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率，而P(AB)表示事務(wù)A與事務(wù)B同時發(fā)生的概率，然后正確選擇相應(yīng)的計算公式求解即可．[課堂特殊鐘]1．把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事務(wù)A，“其次次出現(xiàn)反面”為事務(wù)B，則P(B|A)等于()A．12B．C．16D．2．有一匹叫Harry的馬，參與了100場賽馬競賽，贏了20場，輸了80場．在這100場競賽中，有30場是下雨天，70場是晴天．在30場下雨天的競賽中，Harry贏了15場．假如明天下雨，Harry參與賽馬的贏率是()A．15B．C．34D．3．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事務(wù)A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事務(wù)B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝()A．18B．C．25D．4．設(shè)A，B為兩個事務(wù)，且P(A)＞0，若P(AB)＝13，P(A)＝23，則P(B|5．某地區(qū)氣象臺統(tǒng)計，該地區(qū)下雨的概率是415，刮三級以上風(fēng)的概率為215，既刮三級以上的風(fēng)又下雨的概率為110，設(shè)A求：(1)P(A|B)；(2)P(B|A)．1．1條件概率的概念新知初探·課前預(yù)習(xí)要點一PABP要點二P(B|A)＋P(C|A)[基礎(chǔ)自測]1．(1)×(2)×(3)√2．解析：A不正確，B正確，由P(B|A)＝PABPA得P(AB)＝P(B|A)·P(A)，C正確，D選項應(yīng)是P(AB|A)＝P(B答案：BC3．解析：由條件概率的定義知B為條件概率．答案：B4．解析：由公式得P(B|A)＝PABPA＝3答案：4題型探究·課堂解透例1解析：設(shè)A＝{甲市是雨天}，B＝{乙市是雨天}，P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，則(1)P(A|B)＝PABPB＝0.120.18＝23，(2)P(B|A)＝P跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)記第一次取到白球為事務(wù)A，其次次取到白球為事務(wù)B，則P(B|A)＝PABPA＝3(2)依據(jù)條件概率公式知P＝0.40.8答案：(1)C(2)0.5例2解析：方法一(定義法)設(shè)Ai＝{第i只是好的}(i＝1，2)．由題意知要求出P(A2|A1)．因為P(A1)＝610＝35，P(A1A2)＝6×所以P(A2|A1)＝P（A1方法二(干脆法)因事務(wù)A1已發(fā)生(已知)，故我們只探討事務(wù)A2發(fā)生便可，在A1發(fā)生的條件下，盒中僅剩9只晶體管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝AB發(fā)生的可能數(shù)A發(fā)生的可能數(shù)跟蹤訓(xùn)練2解析：設(shè)第1次抽到舞蹈節(jié)目為事務(wù)A，第2次抽到舞蹈節(jié)目為事務(wù)B，則第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目為事務(wù)AB.(1)從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的事務(wù)數(shù)為n(Ω)＝A6依據(jù)分步乘法計數(shù)原理n(A)＝A4于是P(A)＝nAnΩ＝20(2)因為n(AB)＝A42＝12，所以P(AB)＝nABnΩ(3)方法一由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為P(B|A)＝PABPA＝2方法二因為n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝nABnA＝12例3解析：方法一(定義法)設(shè)“摸出第一個球為紅球”為事務(wù)A，“摸出其次個球為黃球”為事務(wù)B，“摸出第三個球為黑球”為事務(wù)C.則P(A)＝110，P(AB)＝1×210×9＝145，P所以P(B|A)＝PABPA＝145÷P(C|A)＝PACPA＝130÷所以P(B∪CA＝P(B|A)＋P(C|A)＝29所以所求的條件概率為59方法二(干脆法)因為n(A)＝1×C91＝9，n(B所以P(B∪CA＝59跟蹤訓(xùn)練3解析：設(shè)事務(wù)A為“其中一瓶是藍(lán)色”，事務(wù)B為“另一瓶是紅色”，事務(wù)C為“另一瓶是黑色”，事務(wù)D為“另一瓶是紅色或黑色”，則D＝B∪C，且B與又P(A)＝C21CP(AB)＝C21·P(AC)＝C21C故P(D|A)＝P(B∪＝P(B|A)＋P(C|A)＝PABPA[課堂特殊鐘]1．解析：由題意，P(A)＝24＝12，P(AB)＝由條件概率公