數(shù)學(xué)選修2-1 第二章 232 第二課時(shí) 雙曲線方程及幾何性質(zhì)的應(yīng)用

把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第二章考點(diǎn)一考點(diǎn)二2.32.3.2考點(diǎn)三第二課時(shí)2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第二課時(shí)雙曲線方程及幾何性質(zhì)的應(yīng)用[例1]

已知直線y＝kx－1與雙曲線4x2－y2＝1.當(dāng)k為何值時(shí)，直線與雙曲線：

(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒(méi)有公共點(diǎn)？

[思路點(diǎn)撥]

討論直線與雙曲線的位置關(guān)系問(wèn)題，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為討論直線與雙曲線的方程組成方程組的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題．1．若直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

則k的值為_(kāi)_______．[思路點(diǎn)撥]

設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，由題意建立關(guān)于m的等式，求出m即可．3．過(guò)點(diǎn)P(8,1)的直線與雙曲線x2－4y2＝4相交于A,B兩

點(diǎn)，且P是線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程．4．已知雙曲線3x2－y2＝3，直線l過(guò)其右焦點(diǎn)F2，且傾斜

角為45°，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)A，B兩

點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？并求弦AB的長(zhǎng)．

解：∵直線l過(guò)點(diǎn)F2且傾斜角為45°，∴直線l的方程為y＝x－2.代入雙曲線方程，得2x2＋4x－7＝0.設(shè)A(x1，y1),B(x2，y2).[思路點(diǎn)撥]將l與C的方程聯(lián)立消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可求得弦長(zhǎng)；由l與C相交，知Δ>0，從而求出a的范圍，可得離心率的范圍．[一點(diǎn)通]

(1)直線和雙曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為由它們的方程組成的方程組的解的問(wèn)題，而方程組的解往往轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解.討論一元二次方程根的基本步驟：①觀察二次項(xiàng)系數(shù)，看是否需要討論;②分析判別式，看是否有根;③應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，雖不解方程卻能觀察根的情況.遵循以上原則，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣．

(2)直線與雙曲線有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，應(yīng)要求方程組有兩個(gè)不同的解，因此一元二次方程中二次項(xiàng)的系數(shù)一定不能為零．1.研究直線與雙曲線的位置關(guān)系要注意討論轉(zhuǎn)化以后的方程的二次項(xiàng)系數(shù)，即若二次項(xiàng)系數(shù)為0，則直線與雙曲線的漸近線平行或重合；若二次項(xiàng)系數(shù)不為0，則進(jìn)一步研究二次方程的判別式Δ，得到直