蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假第15講對(duì)稱圖形-圓全章復(fù)習(xí)與測(cè)試練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第15講對(duì)稱圖形—圓全章復(fù)習(xí)與測(cè)試（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】一．圓的認(rèn)識(shí)（1）圓的定義定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性．②中心對(duì)稱性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．三．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．五．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）．幾何語言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)．幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．九．確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．十．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．十一．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)．②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．十二．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．十三．切線的判定（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．十四．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．十五．弦切角定理（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．十六．切線長定理（1）圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．（2）切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．十七．切割線定理（1）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等．幾何語言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．十九．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．二十．弧長的計(jì)算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二十一．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形πR2或S扇形lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．二十二．圓錐的計(jì)算（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)?2πr?l＝πrl．（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl（5）圓錐的體積底面積×高注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．二十三．圓柱的計(jì)算（1）圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長．（2）圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長×高（3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側(cè)面積（4）圓柱的體積＝底面積×高．【考點(diǎn)剖析】一．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）1．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點(diǎn)，連接AD并延長與OB的延長線交于點(diǎn)C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°二．垂徑定理（共1小題）2．（2022?海陵區(qū)一模）如圖，直線l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O的弦，OC∥AB，半徑OC的長為10，弦AB的長為12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為秒．三．垂徑定理的應(yīng)用（共1小題）3．（真題?溧水區(qū)期末）在一個(gè)殘缺的圓形工件上量得弦BC＝8cm，的中點(diǎn)D到弦BC的距離DE＝2cm，則這個(gè)圓形工件的半徑是cm．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共2小題）4．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的長為．5．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點(diǎn)F，D，G，且D是的中點(diǎn)．（1）求證AB＝AC；（2）連接DF，當(dāng)DF∥AC時(shí)，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．五．圓周角定理（共1小題）6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的半徑為（）A．2 B．2 C． D．1六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）7．（2022?無錫一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，OD∥BC，若∠C＝124°，則∠B的度數(shù)為（）A．56° B．68° C．72° D．78°七．相交弦定理（共1小題）8．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦CD過弦AB的中點(diǎn)E，CE＝1，DE＝3，則AB＝．八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）9．（2022?睢寧縣模擬）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A． B． C． D．3九．確定圓的條件（共1小題）10．（真題?江都區(qū)校級(jí)月考）過A、B、C三點(diǎn)能確定一個(gè)圓的條件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③一十．三角形的外接圓與外心（共1小題）11．（真題?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．一十一．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）12．（真題?南京期末）如圖，若⊙O的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4一十二．切線的性質(zhì)（共1小題）13．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，連接OC與半圓相交于點(diǎn)D，則CD的長為（）A．2 B．3 C．1 D．2.5一十三．切線的判定（共1小題）14．（2022?思明區(qū)校級(jí)一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．一十四．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）15．（2022?宜興市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，⊙O的半徑為；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí)，其半徑為．一十五．弦切角定理（共1小題）16．（2020?南通二模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°一十六．切線長定理（共1小題）17．（真題?高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化一十七．切割線定理（共1小題）18．（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，已知⊙O與Rt△AOB的斜邊交于C，D兩點(diǎn)，C、D恰好是AB的三等分點(diǎn)，若⊙O的半徑等于5，則AB的長為．一十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）19．（2022春?宜興市校級(jí)月考）如圖，矩形OABC，B（﹣4，3），點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣2，6） B．（6，﹣1） C．（1，1） D．（﹣1，6）一十九．正多邊形和圓（共2小題）20．（真題?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接AC，則∠BAC的度數(shù)是（）A．45° B．38° C．36° D．30°21．（2022?南京一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點(diǎn)，連接AC，DM交于點(diǎn)N，則∠CND的度數(shù)是．二十．弧長的計(jì)算（共1小題）22．（真題?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，，則∠BAC的度數(shù)為（）A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°二十一．扇形面積的計(jì)算（共1小題）23．（2022?宜興市一模）如圖，半圓O的直徑AB＝6，將半圓O繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O'，與AB交于點(diǎn)P，圖中陰影部分的面積等于．二十二．圓錐的計(jì)算（共1小題）24．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，把矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓．若它們恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AD：AB為（）A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1二十三．圓柱的計(jì)算（共1小題）25．（2022?宜興市校級(jí)一模）如果圓柱的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是．【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，直線FG切⊙O于點(diǎn)E，交PA于F，交PB于點(diǎn)G，若PA＝8cm，則△PFG的周長是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm2．（3分）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?、鄞怪庇谙业闹本€必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④3．（3分）已知：如圖⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，則⊙O的半徑是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm4．（3分）如圖所示的工件槽的兩個(gè)底角均為90°，尺寸如圖（單位cm），將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)，若同時(shí)具有A，B，E三個(gè)接觸點(diǎn)，則該球的半徑是（）cm．A．10 B．18 C．20 D．225．（3分）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線，若△ABC的周長為21，BC邊的長為6，則△ADE的周長為（）A．15 B．9 C．7.5 D．76．（3分）有一個(gè)六邊形的半徑為4cm，則這個(gè)六邊形的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm27．（3分）如圖，P為∠AOB邊OA上一點(diǎn)，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P為圓心，5cm為半徑的圓與直線OB的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定8．（3分）P、Q是直線l上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且OP＝5，⊙O的半徑為5，下列敘述正確的是（）A．點(diǎn)P在⊙O外 B．點(diǎn)Q在⊙O外 C．直線l與⊙O一定相切 D．若OQ＝5，則直線l與⊙O相交9．（3分）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中FK1，K1K2，K2K3，K3K4，K5K6…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，其弧長分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6，…．當(dāng)AB＝1時(shí)，l2014等于（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，且四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)P是劣弧AD上一動(dòng)點(diǎn)，PB、PC分別與AD相交于點(diǎn)E、點(diǎn)F．當(dāng)PA＝AB且AE＝EF＝FD時(shí)，AE的長度為（）A． B． C． D．二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）11．（3分）如圖，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上，BD是直徑，則∠ACD＝°．12．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD、BD是半圓的弦，∠PDA＝∠PBD，∠BDE＝60°，若PD，則PA的長為．13．（3分）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，連接AD、BD、DC、AC，如果∠BAD＝25°，那么∠C的度數(shù)是．14．（3分）如果一個(gè)圓柱的底面半徑為1米，它的高為2米，那么這個(gè)圓柱的全面積為平方米．（結(jié)果保留π）15．（3分）已知⊙O的半徑OA為1．弦AB的長為，若在⊙O上找一點(diǎn)C，使AC，則∠BAC＝°．16．（3分）要用圓形鐵片截出邊長為8cm的正方形鐵片，選用的圓形鐵片的直徑最小要cm．17．（3分）已知圓錐的底面半徑為2cm，母線長為10cm，則圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是度．18．（3分）在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么該圓的半徑為cm．19．（3分）線段AB是圓內(nèi)接正十邊形的一條邊，則AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是度．20．（3分）已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC交弦AB于點(diǎn)P，且AB＝10cm，PB＝4cm，PC＝2cm，則OC的長等于cm．三．解答題（共6小題，滿分40分）21．（6分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，AE⊥BC于E（1）已知∠ABC＝∠DAC，AD＝4，求AC的長．（2）已知AC＝6，AE＝4，⊙O的半徑為5，求AB的長．22．（6分）如圖，已知，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于B，弦DE∥OC，連接CD并延長交BE的延長線于點(diǎn)A．（1）證明：CD是⊙O的切線；（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的長．23．（6分）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC．（1）若∠A＝36°，求∠C的度數(shù)；（2）若弦BC＝24，圓心O到弦BC的距離為6，求⊙O的半徑．（結(jié)果用根號(hào)表示）24．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E．（1）求證：點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)．（2）若∠BOD＝80°，求∠CED的度數(shù)．25．（8分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，O是邊AC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，D，在BC的延長線上取點(diǎn)F，使得BF＝EF，EF與AC交于點(diǎn)G．（1）試判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若OA＝2，∠A＝30°，求圖中陰影部分的面積．26．（8分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AD的延長線與BC的延長線相交于點(diǎn)E，DC＝DE．（1）求證：∠A＝∠AEB；（2）如果DC⊥OE，求證：△ABE是等邊三角形．第15講對(duì)稱圖形—圓全章復(fù)習(xí)與測(cè)試（核心考點(diǎn)講與練）【基礎(chǔ)知識(shí)】一．圓的認(rèn)識(shí)（1）圓的定義定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長r的點(diǎn)的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性．②中心對(duì)稱性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．三．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．五．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（1）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．②圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角）．（2）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關(guān)系的重要依據(jù)，在應(yīng)用此性質(zhì)時(shí)，要注意與圓周角定理結(jié)合起來．在應(yīng)用時(shí)要注意是對(duì)角，而不是鄰角互補(bǔ)．七．相交弦定理（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等．（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）．幾何語言：若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA?PB＝PC?PD（相交弦定理）（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)．幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC2＝PA?PB（相交弦定理推論）．八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．九．確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．十．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．十一．直線與圓的位置關(guān)系（1）直線和圓的三種位置關(guān)系：①相離：一條直線和圓沒有公共點(diǎn)．②相切：一條直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，叫做這條直線和圓相切，這條直線叫圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)．③相交：一條直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這條直線和圓相交，這條直線叫圓的割線．（2）判斷直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．①直線l和⊙O相交?d＜r②直線l和⊙O相切?d＝r③直線l和⊙O相離?d＞r．十二．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．十三．切線的判定（1）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（2）在應(yīng)用判定定理時(shí)注意：①切線必須滿足兩個(gè)條件：a、經(jīng)過半徑的外端；b、垂直于這條半徑，否則就不是圓的切線．②切線的判定定理實(shí)際上是從”圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線和圓相切“這個(gè)結(jié)論直接得出來的．③在判定一條直線為圓的切線時(shí)，當(dāng)已知條件中未明確指出直線和圓是否有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心作該直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，可簡單的說成“無交點(diǎn)，作垂線段，證半徑”；當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，可簡單地說成“有交點(diǎn)，作半徑，證垂直”．十四．切線的判定與性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．（3）常見的輔助線的：①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過圓心作這條直線的垂線”；②有切線時(shí)，常?！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．十五．弦切角定理（1）弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．（2）弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半．如右圖所示，直線PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦，則有∠PCA＝∠PBC（∠PCA為弦切角）．十六．切線長定理（1）圓的切線長定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．（2）切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角．（3）注意：切線和切線長是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．（4）切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對(duì)；③弧相等關(guān)系兩對(duì)，在一些證明求解問題中經(jīng)常用到．十七．切割線定理（1）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)．幾何語言：∵PT切⊙O于點(diǎn)T，PBA是⊙O的割線∴PT的平方＝PA?PB（切割線定理）（2）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等．幾何語言：∵PBA，PDC是⊙O的割線∴PD?PC＝PA?PB（切割線定理推論）（割線定理）由上可知：PT2＝PA?PB＝PC?PD．十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（1）內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形．三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．（2）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)內(nèi)切圓，而任一個(gè)圓都有無數(shù)個(gè)外切三角形．（3）三角形內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角．十九．正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．二十．弧長的計(jì)算（1）圓周長公式：C＝2πR（2）弧長公式：l（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）①在弧長的計(jì)算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位．②若圓心角的單位不全是度，則需要先化為度后再計(jì)算弧長．③題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示．④正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個(gè)概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一．二十一．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形πR2或S扇形lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．二十二．圓錐的計(jì)算（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)?2πr?l＝πrl．（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl（5）圓錐的體積底面積×高注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．二十三．圓柱的計(jì)算（1）圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長．（2）圓柱的側(cè)面積＝底面圓的周長×高（3）圓柱的表面積＝上下底面面積+側(cè)面積（4）圓柱的體積＝底面積×高．【考點(diǎn)剖析】一．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）1．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點(diǎn)，連接AD并延長與OB的延長線交于點(diǎn)C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【分析】連接OD，如圖，設(shè)∠C的度數(shù)為n，由于CD＝OA＝OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠DOC＝n，則利用三角形外角性質(zhì)得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，從而得到∠A的度數(shù)．【解答】解：連接OD，如圖，設(shè)∠C的度數(shù)為n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓的認(rèn)識(shí)：熟練掌握與圓有關(guān)的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．二．垂徑定理（共1小題）2．（2022?海陵區(qū)一模）如圖，直線l與圓O相交于A、B兩點(diǎn)，AC是圓O的弦，OC∥AB，半徑OC的長為10，弦AB的長為12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為16或20秒．【分析】利用分類討論的方法分兩種情況解答：①當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，利用垂徑定理和矩形的判定定理解答即可；②當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM⊥AP于點(diǎn)M，同①方法，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【解答】解：①當(dāng)∠APC＝90°時(shí)，連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，如圖，∵OH⊥AB，∴AHAB＝6，∴OH8．∵OC∥AB，OH⊥AB，CP⊥AB，∴四邊形OHPC為矩形，∴PH＝OC＝10，∴AP＝AH+HP＝16，∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度前進(jìn)，∴t＝16；②當(dāng)∠ACP＝90°時(shí)，連接OA，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CM⊥AP于點(diǎn)M，如圖，∵OH⊥AB，∴AHAB＝6，∴OH8．∵OC∥AB，OH⊥AB，CM⊥AP，∴四邊形OHMC為矩形，∴HM＝OC＝10，CM＝OH＝8，∴AM＝16，∵∠ACP＝90°，CM⊥AP，∴△AMC∽△CMP，∴，∴，∴MP＝4，∴AP＝AM+MP＝20．∵點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度前進(jìn)，∴t＝20，綜上，當(dāng)△APC是直角三角形時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為16秒或20秒，故答案為：16或20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，作出圓的弦心距是解題的關(guān)鍵．三．垂徑定理的應(yīng)用（共1小題）3．（真題?溧水區(qū)期末）在一個(gè)殘缺的圓形工件上量得弦BC＝8cm，的中點(diǎn)D到弦BC的距離DE＝2cm，則這個(gè)圓形工件的半徑是5cm．【分析】由垂徑定理的推論得圓心在直線DE上，設(shè)圓心為0，連接OB，半徑為R，再由垂徑定理得BE＝CEBC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圓心在直線DE上，設(shè)圓心為O，半徑為Rcm，如圖，連接OB，則OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CEBC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即這個(gè)圓形工件的半徑是5cm，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共2小題）4．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)M，如果AB＝CD＝2，∠AMC＝120°，那么OM的長為．【分析】根據(jù)圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，進(jìn)而利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F，連接OA，則AE＝BEAB，CF＝DFCD，在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE，∴OE1，∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF∠AMC＝60°，∴OM，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系，勾股定理，全等三角形以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握?qǐng)A心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理可求是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點(diǎn)F，D，G，且D是的中點(diǎn)．（1）求證AB＝AC；（2）連接DF，當(dāng)DF∥AC時(shí)，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．【分析】（1）連接AD，根據(jù)圓周角定理得到∠EDA＝90°，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到∠BAD＝∠CAD，進(jìn)而證明∠B＝∠C，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論；（2）連接DF，DG，證明△AEC∽△DGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE，根據(jù)勾股定理求出DE，進(jìn)而求出CE．【解答】（1）證明：連接AD，∵AE是⊙O的直徑，∴∠EDA＝90°，∵D是的中點(diǎn)，∴，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：連接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD8，∵DF∥AC，∴，∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DFAB＝5，∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴，即，解得：AE，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE，AD＝8，∴DE，∴EC＝CD﹣DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，根據(jù)△AEC∽△DGC求出AE是解題的關(guān)鍵．五．圓周角定理（共1小題）6．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC＝3，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，CD＝1，則⊙O的半徑為（）A．2 B．2 C． D．1【分析】先利用圓周角定理得到∠C＝90°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)D到AB的距離等于DC，則利用三角形面積得到AB：BC＝AD：CD＝2：1，設(shè)BC＝x，AB＝2x，利用勾股定理得到x2+32＝（2x）2，然后解方程得到AB的長，從而得到⊙O的半徑．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°，∵BD平分∠ABC，∴點(diǎn)D到AB的距離等于DC，∴S△BDA：S△BDC＝AB：BC，∵S△BDA：S△BDC＝AD：CD＝2：1，∴AB：BC＝2：1，設(shè)BC＝x，AB＝2x，在Rt△ABC中，x2+32＝（2x）2，解得x1，x2（舍去），∴AB＝2，∴⊙O的半徑為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了三角形面積公式．六．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共1小題）7．（2022?無錫一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，OD∥BC，若∠C＝124°，則∠B的度數(shù)為（）A．56° B．68° C．72° D．78°【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形和圓周角定理得∠BOD，再利用平行線的性質(zhì)得到∠CDO，最后利用四邊形內(nèi)角和求出∠B．【解答】解：∵∠C＝124°，∴∠A＝180°﹣124°＝56°，∴∠BOD＝2∠A＝112°，∵OD∥BC，∴∠CDO＝180°﹣124°＝56°，∴∠B＝360°﹣124°﹣56°﹣112°＝68°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形、平行線的性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和，解題關(guān)鍵是熟練使用圓的相關(guān)性質(zhì)．七．相交弦定理（共1小題）8．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦CD過弦AB的中點(diǎn)E，CE＝1，DE＝3，則AB＝2．【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．【解答】解：∵弦CD過弦AB的中點(diǎn)E，CE＝1，DE＝3，∴CE?DE＝AE?BE，∴1×3＝AE2，解得：AE，∴弦AB的長為：AB＝2AE＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相交弦定理，正確記憶相交弦定理是解題關(guān)鍵．八．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共1小題）9．（2022?睢寧縣模擬）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A． B． C． D．3【分析】作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'根據(jù)中位線的性質(zhì)得到OM，求出A'C的最大值即可．【解答】解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'（﹣3，0），則點(diǎn)O是AA'的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴OM是△AA'C的中位線，∴OM，∴當(dāng)A'C最大時(shí)，OM最大，∵點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，∴點(diǎn)C在以B為圓心，2為半徑的⊙B上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)A'C經(jīng)過圓心B時(shí)，AC最大，即點(diǎn)C在圖中C'位置．A'C'＝AB+BC'＝3．∴OM的最大值．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識(shí)，確定OM為最大值時(shí)點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．九．確定圓的條件（共1小題）10．（真題?江都區(qū)校級(jí)月考）過A、B、C三點(diǎn)能確定一個(gè)圓的條件是（）①AB＝2，BC＝3，AC＝5；②AB＝3，BC＝3，AC＝2；③AB＝3，BC＝4，AC＝5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【分析】首先計(jì)算兩個(gè)較短的線段長的和是否大于較長的線段長，從而判斷出三點(diǎn)是否同一條直線上，進(jìn)而可得A、B、C三點(diǎn)不能確定一個(gè)圓．【解答】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三點(diǎn)共線，不能確定一個(gè)圓；②AB＝BC，以A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，有外接圓；③A、B、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形，有外接圓．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了確定圓的條件，關(guān)鍵是掌握不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．一十．三角形的外接圓與外心（共1小題）11．（真題?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．【分析】首先連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，由⊙O是等邊△ABC的外接圓，即可求得∠OBC的度數(shù)，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得OD的長，又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長，由三角形面積公式可得出答案．【解答】解：連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，∴BC＝2BD，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，∴∠BOC360°＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB30°，∵⊙O的半徑為2，∴OB＝2，∴BD＝OB?cos∠OBD＝2×cos30°＝2，ODOB＝1，∴BC＝2．∴等邊△ABC的面積為3S△BCO＝3BC?OD＝31＝3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓，等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．一十一．直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）12．（真題?南京期末）如圖，若⊙O的半徑為6，圓心O到一條直線的距離為3，則這條直線可能是（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l4【分析】直接根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出結(jié)論．【解答】解：∵⊙O的半徑是6，圓心O到直線l的距離是3，6＞3，∴直線l與⊙O相交．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)d＜r時(shí)直線l和⊙O相交是解答此題的關(guān)鍵．一十二．切線的性質(zhì)（共1小題）13．（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，連接OC與半圓相交于點(diǎn)D，則CD的長為（）A．2 B．3 C．1 D．2.5【分析】設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，則OE⊥AC，由AB2＝AC2+BC2，證得∠C＝90°，即可證得OE∥BC，進(jìn)一步證得E是AC的中點(diǎn)，即可得到AE＝4，根據(jù)勾股定理求得半徑，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出OC＝5，即可求得CD＝OC﹣OD＝2．【解答】解：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，則OE⊥AC，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OE∥BC，∵AO＝OB，∴AE＝ECAC＝4，∵OAAB＝5，∴OEBC＝3，∴OD＝3，在Rt△ABC中，OC是斜邊AB上的中線，∴OCAB＝5，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、三角形中位線定理以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得CO和半徑OD的長，屬于中考常考題型．一十三．切線的判定（共1小題）14．（2022?思明區(qū)校級(jí)一模）如圖，AD是⊙O的弦，AB經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)C，∠A＝∠B＝30°，連接BD．求證：BD是⊙O的切線．【分析】連接OD，求出∠ODB＝90°，根據(jù)切線的判定推出即可．【解答】如圖，連接OD，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA+∠DAB＝60°，∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即OD⊥BD，∴直線BD與⊙O相切．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是證明OD⊥BD．一十四．切線的判定與性質(zhì)（共1小題）15．（2022?宜興市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，∠BAD＝∠BCD＝90°，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上運(yùn)動(dòng)，⊙O為△DCE的外接圓，當(dāng)⊙O與AD相切時(shí)，⊙O的半徑為2；當(dāng)⊙O與四邊形ABCD的其它邊相切時(shí)，其半徑為或106．【分析】⊙O與AD相切于點(diǎn)D，此時(shí)OD＝OC，∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，所以∠ODF＝30°，∠FOD＝60°，則∠OFD＝90°，在Rt△CDF中根據(jù)勾股定理列方程即可求出OC的長為2，即此時(shí)圓的半徑為2；⊙O與BC相切于點(diǎn)C，則OC＝ODCD，此時(shí)圓的半徑為；⊙O與AD相切于點(diǎn)G，連接OG、OD，OC，作OL⊥AD于點(diǎn)L，設(shè)⊙O的半徑為r，則OG＝OD＝r，作OH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)K，作KM⊥BC于點(diǎn)M，則DH＝CHCD，可推導(dǎo)出DL＝2r，OL＝AG＝4r，在Rt△DOL中根據(jù)勾股定理列方程求出r的值即可．【解答】解：如圖，⊙O與AD相切，連接OD，連接CO并延長CO交BD于點(diǎn)F，∵點(diǎn)O到AD的距離等于⊙O的半徑，且OD是⊙O的半徑，∴OD就是點(diǎn)O到AD的距離，∴AD⊥OD，∴∠ODA＝90°，∵AD＝CD＝2，CB＝AB＝6，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴tan∠ADB，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADC＝120°，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝120°﹣90°＝30°，∴∠ODF＝30°，∠FOD＝∠OCD+∠ODC＝60°，∴∠OFD＝90°，∴OFODOC，DF＝OD?sin60°ODOC，∵DF2+CF2＝CD2，且CD＝2，∴（OC）2+（OC+OC）2＝（2）2，∴OC＝2或OC＝﹣2（不符合題意，舍去），∴⊙O的半徑為2；如圖，點(diǎn)O在CD邊上，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥OC，∴⊙O與BC相切于點(diǎn)C，∵AD＝CD＝2，∴OC＝ODCD2，∴⊙O的半徑為．如圖，⊙O與AD相切于點(diǎn)G，連接OG、OD，OC，作OL⊥AD于點(diǎn)L，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠OGA＝∠OLA＝∠A＝90°，∴四邊形OGAL是矩形，∴AL＝OG＝OD＝OC＝r，∴DL＝2r，作OH⊥CD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)K，作KM⊥BC于點(diǎn)M，則DH＝CHCD，∵∠KMC＝∠MCH＝∠KHC＝90°，∴四邊形MKHC是矩形，∴KM＝CH，∵∠BMK＝90°，∠KBM＝60°，∴sin∠KBM＝sin60°，∴，∴BK＝2，∵KH∥BC，∴∠OKG＝∠ABC＝60°，∵∠OGK＝90°，∴tan∠OKG＝tan60°，∴KGOGr，∴OL＝AG＝6﹣2r＝4r，∵∠OLD＝90°，∴OL2+DL2＝OD2，∴（4r）2+（2r）2＝r2，整理得r2﹣20r+84＝0，解得r＝106或r＝106（不符合題意，舍去），∴⊙O的半徑為106，綜上所述，⊙O的半徑為或106，故答案為：2；或106．【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)、解直角三角形等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．一十五．弦切角定理（共1小題）16．（2020?南通二模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°【分析】連接BC，由弦切角定理得∠ACE＝∠ABC，再由切線的性質(zhì)求得∠DBC，最后由切線長定理求得∠D的度數(shù)．【解答】解：連接BC，∵DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，∴BD＝DC，∵∠ACE＝25°，∴∠ABC＝25°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠DBC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝50°．解法二：連接OC，BC．∵DB，DC是⊙O的切線，B，C是切點(diǎn)，∴∠OCE＝∠OBD＝90°，BD＝DC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∠OCA+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠ABC＝25°，∴∠BDC＝∠DCB＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝180°﹣2×65°＝50°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、弦切角定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．一十六．切線長定理（共1小題）17．（真題?高陽縣期末）如圖，△ABC是一張周長為17cm的三角形的紙片，BC＝5cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在⊙O的右側(cè)沿著與⊙O相切的任意一條直線MN剪下△AMN，則剪下的三角形的周長為（）A．12cm B．7cm C．6cm D．隨直線MN的變化而變化【分析】利用切線長定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，進(jìn)而得出答案．【解答】解：設(shè)E、F分別是⊙O的切點(diǎn)，∵△ABC是一張三角形的紙片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的內(nèi)切圓，點(diǎn)D是其中的一個(gè)切點(diǎn)，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，則AD+AE＝7cm，故DM＝MF，F(xiàn)N＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線長定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解題關(guān)鍵．一十七．切割線定理（共1小題）18．（2018秋?新吳區(qū)期中）如圖，已知⊙O與Rt△AOB的斜邊交于C，D兩點(diǎn)，C、D恰好是AB的三等分點(diǎn)，若⊙O的半徑等于5，則AB的長為3．【分析】過O作OH⊥AB，由垂徑定理得到CH＝DH，推出△AOB是等腰直角三角形，得到OH＝AH，設(shè)AC＝CD＝BD＝x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：過O作OH⊥AB，∴CH＝DH，∵AC＝BDAB，∴AH＝BH，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OH＝AH，設(shè)AC＝CD＝BD＝x，∴AH＝OH＝1.5x，∴CH2+OH2＝OC2，∴（x）2+（x）2＝52，∴x，∴AB＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．一十八．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）19．（2022春?宜興市校級(jí)月考）如圖，矩形OABC，B（﹣4，3），點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（﹣2，6） B．（6，﹣1） C．（1，1） D．（﹣1，6）【分析】根據(jù)題意畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，可得點(diǎn)M為△ABC角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)M作三邊的高線DM，EM，F(xiàn)M，垂足分別為D，E，F(xiàn)，所以DM＝EM＝FM，設(shè)DM＝EM＝FM＝r，根據(jù)S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，列式求出r的值，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖所示：∵點(diǎn)M為△ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)M為△ABC角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)M作三邊的高線DM，EM，F(xiàn)M，垂足分別為D，E，F(xiàn)，∴DM＝EM＝FM，設(shè)DM＝EM＝FM＝r，在矩形OABC中，∵B（﹣4，3），∴AC5，∵S△ABC3×4＝6，∴S△ABM+S△BCM+S△ACM＝S△ABC，∴r×3r×4r×5＝6，∴r＝1，∴DM＝EM＝FM＝r＝1，∴M′（﹣1，6）．則點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，6）．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．一十九．正多邊形和圓（共2小題）20．（真題?鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接AC，則∠BAC的度數(shù)是（）A．45° B．38° C．36° D．30°【分析】由正五邊形的性質(zhì)可知△ABC是等腰三角形，求出∠B的度數(shù)即可解決問題．【解答】解：在正五邊形ABCDE中，∠B（5﹣2）×180＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣108°）＝36°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形與圓，多邊形內(nèi)角與外角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是求出正五邊形的內(nèi)角，此題基礎(chǔ)題，比較簡單．21．（2022?南京一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點(diǎn)，連接AC，DM交于點(diǎn)N，則∠CND的度數(shù)是54°．【分析】連接BD，AD，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC108°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DM⊥AB，求得∠AMN＝90°，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接BD，AD，在正五邊形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC108°，∴（180°﹣108°）＝36°，在△BCD與△AED中，，∴△BCD≌△AED（SAS），∴BD＝AD，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴BM＝AM，∴DM⊥AB，∴∠AMN＝90°，∴∠CND＝∠ANM＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵二十．弧長的計(jì)算（共1小題）22．（真題?海陵區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，，則∠BAC的度數(shù)為（）A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°【分析】連接OC，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可得∠BOC＝45°，再根據(jù)圓周角定理可得∠BAC的大?。窘獯稹拷猓喝鐖D，連接OC，∵3，∴∠AOC＝3∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°45°，∴∠BACBOC＝22.5°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可得∠BOC＝45°是解題關(guān)鍵．二十一．扇形面積的計(jì)算（共1小題）23．（2022?宜興市一模）如圖，半圓O的直徑AB＝6，將半圓O繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O'，與AB交于點(diǎn)P，圖中陰影部分的面積等于4.5π﹣9．【分析】先根據(jù)題意判斷出△A′PB是等腰直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義求出PB的長，進(jìn)而可得，然后根據(jù)S陰影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP直接進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：連接A′P，∵A′B是直徑，∴∠A′PB＝90°，∵∠OBA′＝45°，∴△A′PB是等腰直角三角形，∴PA′＝PBAB＝3，∴，∴S陰影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP34.5π﹣9，故答案為：4.5π﹣9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是得出S陰影＝S扇形ABA′﹣S△A′BP．二十二．圓錐的計(jì)算（共1小題）24．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，把矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓．若它們恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AD：AB為（）A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：1【分析】設(shè)圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到2πr，解方程求出r，然后計(jì)算AD：AB即可．【解答】解：設(shè)此弧所在圓的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（AD﹣2r）cm，則2πr，解得r，則AD：AB＝AD：（AD）＝3：2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．二十三．圓柱的計(jì)算（共1小題）25．（2022?宜興市校級(jí)一模）如果圓柱的母線長為5cm，底面半徑為2cm，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是20πcm2．【分析】根據(jù)柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長和矩形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：這個(gè)圓柱的側(cè)面積＝5×2π×2＝20π（cm2）．故答案為20πcm2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱的計(jì)算：圓柱的母線（高）等于展開后所得矩形的寬，圓柱的底面周長等于矩形的長．【過關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，直線FG切⊙O于點(diǎn)E，交PA于F，交PB于點(diǎn)G，若PA＝8cm，則△PFG的周長是（）A．8cm B．12cm C．16cm D．20cm【分析】由于PA、FG、PB都是⊙O的切線，可根據(jù)切線長定理，將△ABC的周長轉(zhuǎn)化為切線長求解．【解答】解：根據(jù)切線長定理可得：PA＝PB，F(xiàn)A＝FE，GE＝GB；所以△PFG的周長＝PF+FG+PG，＝PF+FE+EG+PG，＝PF+FA+GB+PG，＝PA+PB＝16cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是切線長定理，圖中提供了許多等量線段，分析圖形時(shí)關(guān)鍵是要仔細(xì)探索，找出圖形的各對(duì)相等切線長．2．（3分）下列說法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?、鄞怪庇谙业闹本€必過圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【分析】根據(jù)垂徑定理判斷．【解答】解：根據(jù)垂徑定理，①正確；②錯(cuò)誤．平分弦（不是直徑）的直徑平分弦所對(duì)的弧；③錯(cuò)誤．垂直于弦且平分弦的直線必過圓心；④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】注意概念性質(zhì)的語言敘述，有時(shí)是專門來混淆是非的，只是一字之差，所以學(xué)生一定要養(yǎng)成認(rèn)真仔細(xì)的習(xí)慣．3．（3分）已知：如圖⊙O的割線PAB交⊙O于點(diǎn)A，B，PA＝7cm，AB＝5cm，PO＝10cm，則⊙O的半徑是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】延長PO交圓于D，由已知可求得PB的長，再根據(jù)割線定理即可求得半徑的長．【解答】解：延長PO交圓于D，∵PA＝7cm，AB＝5cm，∴PB＝12cm；設(shè)圓的半徑是x，∵PA?PB＝PC?PD，∴（10﹣x）（10+x）＝84，∴x＝4．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)割線定理列方程求解．4．（3分）如圖所示的工件槽的兩個(gè)底角均為90°，尺寸如圖（單位cm），將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)，若同時(shí)具有A，B，E三個(gè)接觸點(diǎn)，則該球的半徑是（）cm．A．10 B．18 C．20 D．22【分析】設(shè)圓心為O點(diǎn)，連OE，交AB于C，則OE⊥AB，AC＝BC＝8，在Rt△OAC中，設(shè)⊙O的半徑為R，OC＝R﹣4，利用勾股定理得到R2＝82+（R﹣4）2，解方程即可．【解答】解：設(shè)圓心為O點(diǎn)，連OE，交AB于C，如圖，AB＝16，CE＝4，則OE⊥AB，∴AC＝BC＝8，在Rt△OAC中，設(shè)⊙O的半徑為R，OC＝R﹣4，∴OA2＝AC2+OC2，∴R2＝82+（R﹣4）2，解得，R＝10，即該球的半徑是10cm．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的?。部疾榱斯垂啥ɡ恚?．（3分）如圖為△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且DE為⊙I的切線，若△ABC的周長為21，BC邊的長為6，則△ADE的周長為（）A．15 B．9 C．7.5 D．7【分析】根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)及切線長定理可得DM＝DP，BN＝BM，CN＝CQ，EQ＝EP，則BM+CQ＝6，所以△ADE的周長＝AD+DE+AE＝AD+AE+DM+EQ，代入求出即可．【解答】解：∵△ABC的周長為21，BC＝6，∴AC+AB＝21﹣6＝15，設(shè)⊙I與△ABC的三邊AB、BC、AC的切點(diǎn)為M、N、Q，切DE為P，∵DM＝DP，BN＝BM，CN＝CQ，EQ＝EP，∴BM+CQ＝BN+CN＝BC＝6，∴△ADE的周長＝AD+DE+AE＝AD+AE+DP+PE＝AD+DM+AE+EQ＝AB﹣BM+AC﹣CQ＝AC+AB﹣（BM+CQ）＝15﹣6＝9，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題充分利用圓的切線的性質(zhì)，及圓切線長定理．6．（3分）有一個(gè)六邊形的半徑為4cm，則這個(gè)六邊形的面積為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【分析】根據(jù)正六邊形的邊長等于半徑進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵正六邊形的半徑等于邊長，∴正六邊形的邊長a＝4cm；∴正六邊形的面積S＝64×4sin60°＝24cm2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)，熟知正六邊形的邊長等于半徑是解答此題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，P為∠AOB邊OA上一點(diǎn)，∠AOB＝30°，OP＝10cm，以P為圓心，5cm為半徑的圓與直線OB的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．無法確定【分析】過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出PD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D，∵∠AOB＝30°，OP＝10cm，∴PDOP＝5cm，∴以P為圓心，5cm為半徑的圓與直線OB相切．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，熟知設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，當(dāng)r＝d時(shí)，直線與圓相切是解答此題的關(guān)鍵．8．（3分）P