2024八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專(zhuān)題5.3正方形重難點(diǎn)題型含解析新版浙教版

Page1專(zhuān)題5.3正方形-重難點(diǎn)題型【學(xué)問(wèn)點(diǎn)1正方形的定義】有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)2正方形的性質(zhì)】①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，相互垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有四條對(duì)稱(chēng)軸．【題型1正方形的性質(zhì)（求角的度數(shù)）】【例1】（海珠區(qū)校級(jí)期中）如圖，以正方形ABCD的一邊AD為邊向外作等邊△ADE，則∠ABE的度數(shù)是．【分析】由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，進(jìn)而可求得∠ABE＝15°．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE=12（180°﹣∠故答案為：15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈敏運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【變式1-1】（黃浦區(qū)期末）如圖，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，AE＝AD，BE交AD于點(diǎn)F，∠ADE＝75°，則∠AFB＝°．【分析】依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形內(nèi)角和求出頂角∠DAE的度數(shù)，依據(jù)正方形的性質(zhì)得△ABE為等腰三角形，再由直角三角形的兩銳角互余得答案．【解答】解：∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝75°，∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠BAE＝90°+30°＝120°，∴∠ABE=180°-120°∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°．故答案為：60．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，正方形的四個(gè)角都是直角，且各邊都相等；在幾何證明中常運(yùn)用等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊來(lái)證明邊相等或角相等；在三角形中，要嫻熟駕馭三角形的內(nèi)角和定理和直角三角形的兩個(gè)銳角互余．【變式1-2】（海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在正方形ABCD內(nèi)，以AB為邊作等邊△ABE，則∠BEG＝°．【分析】本題通過(guò)正方形的性質(zhì)得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．進(jìn)而得到∠ADE＝∠AED＝75°，從而得到答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．又∵三角形ABE是等邊三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，嫻熟駕馭基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)是解題的關(guān)鍵．【變式1-3】（大興區(qū)期中）在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F．連接AE，若∠PAB＝20°，求∠ADF的度數(shù)．【分析】由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得AE＝AB，∠EAB＝40°，即可求得∠EAD的度數(shù)，依據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠ADF＝∠AED，進(jìn)而可求解．【解答】解：∵點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，∴AP是對(duì)稱(chēng)軸，∴∠PAB＝∠PAE＝20°，∴∠EAB＝2∠BAP＝40°，AE＝AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAD＝130°，∴AE＝AD，∴∠ADF＝∠AED，∴∠ADF=180°-130°【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證得AE＝AD是解題的關(guān)鍵．【題型2正方形的性質(zhì)（求線段的長(zhǎng)度）】【例2】（崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長(zhǎng)為．【分析】先由勾股定理求出BD，再求出AD＝ED，依據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：過(guò)E作EF⊥AB于F，設(shè)EF＝x，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD=2AB=2，EF＝BF＝∴BE=2x∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED=2x+1=∴x＝1-2∴BE=2故答案為：2-【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；證明三角形是等腰三角形，列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式2-1】（余杭區(qū)月考）邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)EC、FD，點(diǎn)G，H分別是EC、DF的中點(diǎn)，連結(jié)GH，則GH的長(zhǎng)為．【分析】連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，依據(jù)正方形的性質(zhì)得到/A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD＝CF＝22，依據(jù)勾股定理和三角形的中位線定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，∵E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，∴AE＝CF=1∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，在△PDH和△CFH中，∠DPH=∠FCH∠DHP=∠FHC∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝2，∴AP＝AD﹣PD＝2，∴PE=A∵點(diǎn)G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，∴GH=12EP【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是駕馭正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．【變式2-2】（南開(kāi)區(qū)期中）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG，點(diǎn)G在CD上，AB＝5，CE＝2，T為AF的中點(diǎn)，求CT的長(zhǎng)．【分析】連接AC，CF，如圖，依據(jù)正方形的性質(zhì)得到AC=2，AB＝52，CF=2CE＝22，∠ACD＝45°，∠GCF＝45°，則利用勾股定理得到AF=58，然后依據(jù)【解答】解：連接AC、CF，如圖，∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，∴AC=2AB＝52，CF=2CE＝22，∠ACD＝45°，∠∴∠ACF＝45°+45°＝90°，在Rt△ACF中，AF=(5∵T為AF的中點(diǎn)，∴CT=12AF∴CT的長(zhǎng)為582【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，相互垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)，也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)．【變式2-3】（綦江區(qū)校級(jí)月考）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且∠EDF＝45°．（1）求證：EF＝AE+CF；（2）當(dāng)AE＝1時(shí)，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）延長(zhǎng)BC至H，使CH＝AE，連接DH，可得△DAE≌△DCH，則DE＝DH，∠ADE＝∠CDH；由于∠ADE+∠FDC＝45°，所以∠FDC+∠HCD＝45°，可得∠EDF＝∠HDF，這樣△EDF≌△HDF，可得EF＝FH，結(jié)論得證；（2）設(shè)EF＝x，由（1）的結(jié)論可知CF＝x﹣1，BF＝4﹣x，在Rt△BEF中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）證明：延長(zhǎng)BC至H，使CH＝AE，連接DH，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCE＝90°．∴△DAE≌△DCH（SAS）．∴DE＝DH，∠ADE＝∠CDH．∵∠ADC＝90°，∠EDF＝45°，∴∠ADE+∠FDC＝45°．∴∠FDC+∠CDH＝45°．即∠FDH＝45°．∴∠EDF＝∠FDH＝45°．在△EDF和△HDF中，DE=DH∠EDF=∠HDF∴△EDF≌△HDF（SAS）．∴EF＝FH．∵FH＝FC+CH＝FC+AE，∴EF＝AE+FC．（2）設(shè)EF＝x，則FH＝x．∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∴AB＝BC＝3．∵AE＝1，∴BE＝2，CH＝1．∴FC＝x﹣1．∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2，∴22+（4﹣x）2＝x2．解得：x=5∴EF=5【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定與性質(zhì)，勾股定理．證明一條線段等于兩條線段的和的題目一般接受補(bǔ)短法或截長(zhǎng)法，通過(guò)構(gòu)造三角形的全等來(lái)解決．【題型3正方形的性質(zhì)（求面積、周長(zhǎng)）】【例3】（儀征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE＝CF，線段BF、AE相交于點(diǎn)O，若圖中陰影部分的面積為14，則△ABO的周長(zhǎng)為．【分析】由“SAS”可證△ABE≌△BCF，可得S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，可求S△ABO=12×（4×4﹣14）＝1，可得2AO?BO＝4，由勾股定理可求AO【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，∴S△ABO＝S四邊形ECFO，∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CBF+∠AEB＝∠AOB，∵圖中陰影部分的面積為14，∴S△ABO=1∴12×AO×∴2AO?BO＝4，∵AB2＝AO2+BO2＝16，∴（AO+BO）2＝20，∴AO+BO＝25，∴△ABO的周長(zhǎng)＝AB+AO+BO＝25+故答案為：25+【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，求出AO+BO的值是本題的關(guān)鍵．【變式3-1】（倉(cāng)山區(qū)期中）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點(diǎn)H．若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為3：4，則△BCH的周長(zhǎng)為（）A．25-4 B．25 C．25+4 D．2【分析】先計(jì)算出正方形的面積，再由比例求出空白部分的面積，通過(guò)證明△BCE≌△CDF可求解S△BCH，∠BHC＝90°，再由勾股定理及完全平方公式可求解BH+CH的長(zhǎng)，即可求出△BCG的周長(zhǎng)﹒【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，BC＝CD＝AB＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∴S正方形ABCD＝16，∵S陰影：S正方形ABCD＝3：4，∴S陰影=3∴S空白＝16﹣12＝4，在△BCE和△CDF中，BC=CD∠BCE=∠D=90°∴△BCE≌△CDF（SAS），∴S△BCH＝S四邊形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF，∵∠DCF+∠HCB＝90°，∴∠HBC+∠HCB＝90°，∴∠BHC＝90°，∴BH2+CH2＝BC2＝16，BH?CH＝4，∴（BH+CH）2＝BH2+CH2+2BH?CH＝16+2×4＝24，∴BH+CH=26∴△BCH的周長(zhǎng)為BH+CH+BC=26故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及面積的和差相關(guān)學(xué)問(wèn)，關(guān)鍵是證明全等兩個(gè)三角形面積全等，得到△BCH面積．【變式3-2】（海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，E為BC上一點(diǎn)，CE＝6，F(xiàn)為DE的中點(diǎn)．若OF的長(zhǎng)為1，則△CEF的周長(zhǎng)為（）A．14 B．16 C．18 D．12【分析】由正方形的性質(zhì)及三角形的中位線可求得BE＝2，由直角三角形斜邊上的中線可求得△CEF的周長(zhǎng)為ED+EC，利用勾股定理可求解ED的長(zhǎng)，進(jìn)而可求解．【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F為DE的中點(diǎn)，∴OF為△DBE的中位線，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周長(zhǎng)為EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED=C∴△CEF的周長(zhǎng)為EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查勾股定理，正方形的性質(zhì)，三角形的中位線，求解ED的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（河西區(qū)期中）將5個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)A1，A2，A3，A4是正方形的中心，則這個(gè)正方形重疊部分的面積和為（）A．2cm2 B．1cm2 C．4cm2 D．6cm2【分析】在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，即可證得：△A1EN≌△A1MF，則四邊形A1MA2N的面積＝四邊形EA1FA2的面積=14正方形【解答】解：如圖，在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，兩邊相交于M和N，∠A1EN＝∠A1MF＝90°，∠EA1N+∠ENA1＝90°，∠EA1N+∠FA1M＝90°，∴∠ENA1＝∠FA1M，A1E＝A1F，∴△A1EN≌△A1MF（ASA），∴四邊形A1MA2N的面積＝四邊形EA1FA2的面積=14正方形同理可證，另外三個(gè)陰影四邊形的面積都等于14正方形ABCD∴圖中重疊部分（陰影部分）的面積和＝正方形ABCD的面積＝4cm2，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正確作出幫助線，證得：四邊形A1MA2N的面積＝四邊形EA1FA2的面積=14正方形【題型4正方形的性質(zhì)（探究數(shù)量關(guān)系）】【例4】（和平區(qū)期末）如圖，若在正方形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DE＝DF，則AE與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】延長(zhǎng)AE交CF于點(diǎn)G，依據(jù)四邊形ABCD是正方形，證明△ADE≌△CDF，進(jìn)而可得AE＝CF，AE⊥CF．【解答】解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：如圖，延長(zhǎng)AE交CF于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ADE和△CDF中，AD=CD∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DCF+∠F＝90°，∴∠DAE+∠F＝90°，∴AG⊥CF，即AE⊥CF．∴AE＝CF，AE⊥CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是駕馭正方形的性質(zhì)．【變式4-1】（西山區(qū)期末）如圖（1），正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE，垂足為M，AM與BD相交于點(diǎn)F．（1）干脆寫(xiě)出OE與OF的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖（2）若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AM⊥DE于點(diǎn)M，AM交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，其他條件不變．摸索究OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB＝OA，又因?yàn)锳M⊥BE，所以∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，從而求證出△AOF≌△BOE，得到OE＝OF．（2）由“ASA”可證△AOF≌△BOE，得到OE＝OF．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AM⊥DE，∴∠AOD＝∠DOE＝∠AME＝90°，OA＝OD，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠AFO＝∠MEA，在△AOF和△DOE中，∠AFO=∠MEAAO=DO∴△AOF≌△BOE（ASA），∴OE＝OF，故答案為：OE＝OF；（2）OE＝OF，理由如下：∵正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AM⊥DE，∴∠AOD＝∠DOE＝∠AME＝90°，OA＝OD，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠AFO＝∠MEA，在△AOF和△DOE中，∠AFO=∠MEAAO=DO∴△AOF≌△BOE（ASA），∴OE＝OF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，駕馭全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（安陽(yáng)縣期末）四邊形ABCD是正方形，G是直線BC上隨意一點(diǎn)，BE⊥AG于點(diǎn)E，DF⊥AG于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)G在BC邊上時(shí)（如圖1），易證DF﹣BE＝EF．（1）當(dāng)點(diǎn)G在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，在圖2中補(bǔ)全圖形，寫(xiě)出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）當(dāng)點(diǎn)G在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，在圖3中補(bǔ)全圖形，寫(xiě)出DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系，不用證明．【分析】由ABCD是正方形，得到AB＝DA、AB⊥AD，由BE⊥AG、DF⊥AG，結(jié)合題干得到∠ABE＝∠DAF，于是得出△ABE≌△DAF，即可AF＝BE．（1）同理證明△ABE≌△DAF，得AF＝BE，DF＝AE，依據(jù)圖2可得結(jié)論；（2）同理證明△ABE≌△DAF，得AF＝BE，DF＝AE，依據(jù)圖3可得結(jié)論．【解答】證明：如圖1，∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，∠AEB=∠AFD∠ABE=∠DAF∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴DF﹣BE＝AE﹣AF＝EF．（1）如圖2，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：BE＝DF+EF，理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA、AB⊥AD．∵BE⊥AG、DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，∠AEB=∠AFD∠ABE=∠DAF∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴BE＝AF＝AE+EF＝DF+EF；（2）如圖3，DF、BE、EF的數(shù)量關(guān)系是：EF＝DF+BE；理由是：∵ABCD是正方形，∴AB＝DA，AB⊥AD．∵BE⊥AG，DF⊥AG，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，又∵∠BAE+∠DAF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF，在△ABE和△DAF中，∠AEB=∠AFD∠ABE=∠DAF∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF＝BE，DF＝AE，∴EF＝AE+AF＝DF+BE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭全等三角形的判定與性質(zhì)定理，此題難度適中．【變式4-3】（天河區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC、BD相交于O．（1）如圖1，設(shè)E、F分別是AD、AB上的點(diǎn)，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在確定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你用等式干脆寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，設(shè)E、F分別是AB上不同的兩個(gè)點(diǎn)，且∠EOF＝45°，請(qǐng)你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）首先證明△EOA≌△FOB，推出AE＝BF，從而得出結(jié)論；（2）在BC上取一點(diǎn)H，使得BH＝AE．由△OAE≌△OBH，推出AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，由△FOE≌△FOH，推出EF＝FH，由∠FBH＝90°，推出FH2＝BF2+BH2，由此即可解答．【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2．理由：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠EOF＝∠AOB＝90°，∴∠EOA＝∠FOB，在△EOA和△FOB中，∠EOA=∠FOBOA=OB∴△EOA≌△FOB（ASA），∴AE＝BF，在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；（2）在BC上取一點(diǎn)H，使得BH＝AE．∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，在△OAE和△OBH中，OA=OB∴△OAE≌△OBH（SAS），∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，∵∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠BOF＝45°，∴∠BOF+∠BOH＝45°，∴∠FOE＝∠FOH＝45°，在△FOE和△FOH中?，OF=OF∠FOE=∠FOH∴△FOE≌△FOH（SAS），∴EF＝FH，∵∠FBH＝90°，∴FH2＝BF2+BH2，∴EF2＝BF2+AE2，【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用幫助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．【題型5正方形的性質(zhì)綜合應(yīng)用】【例5】（周村區(qū)期末）（1）如圖1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接EF，AG．求證：EF＝FG；（2）如圖2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的長(zhǎng)．【分析】（1）證△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可；（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．通過(guò)證明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AM＝AE、對(duì)應(yīng)角∠BAM＝∠CAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和∠MAN＝45°得到∠MAN＝∠EAN＝45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MN＝EN；最終由勾股定理得到EN2＝EC2+NC2即MN2＝BM2+NC2．【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，AD=AB∠ABE=∠ADG∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△FAE和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠FAG=45°∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，AB=AC∠B=∠ACE∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，AM=AE∠MAN=∠EAN∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN=10【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用幫助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題；【變式5-1】（余杭區(qū)月考）已知正方形ABCD如圖所示，連接其對(duì)角線AC，∠BCA的平分線CF交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CF于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥CF，交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）求證：BF＝DP；（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求△ACP的面積；（3）求證：CP＝BM+2FN．【分析】（1）由“ASA”可證△CDP≌△CBF，可得BF＝DP；（2）依據(jù)等角對(duì)等邊易證AP＝AC，依據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，然后依據(jù)三角形的面積公式即可求解；（3）由全等三角形的性質(zhì)可得CP＝CF，在CN上截取NH＝FN，連接BH，則可以證明△AMB≌BHC，得到CH＝BM，即可證得．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，∵CP⊥CF，∴∠FCP＝90°＝∠BCD，∴∠BCF＝∠DCP，∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，∴△CDP≌△CBF（ASA）∴BF＝DP；（2）∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，∴∠BFC＝67.5°，∵△CDP≌△CBF，∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，∴∠ACP＝∠P＝67.5°，∴AC＝AP，∵AC=2AB＝42∴S△ACP=12AP×CD＝8（3）在CN上截取NH＝FN，連接BH，∵△CDP≌△CBF，∴CP＝CF，∵FN＝NH，且BN⊥FH，∴BH＝BF，∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，∴∠HBC＝∠BAM＝45°，∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，∴△AMB≌△BHC（ASA），∴CH＝BM，∴CF＝BM+2FN，∴CP＝BM+2FN．【點(diǎn)評(píng)】本題是正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等學(xué)問(wèn)，正確作出幫助線是關(guān)鍵．【變式5-2】（莆田期末）如圖1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，求證：AE＝EF；（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的隨意一點(diǎn)，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”是否照舊成立，若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)E是BC邊上的隨意點(diǎn)一，在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請(qǐng)賜予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）取AB的中點(diǎn)H，連接EH，依據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF；（2）成立，延長(zhǎng)BA到M，使AM＝CE，依據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE＝EF；（3）存在，作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，則有：DM∥EF，連接ME、DF，證明△ADM≌△BAE（ASA），得到DM＝AE，由（1）AE＝EF，所以DM＝EF，所以四邊形DMEF為平行四邊形．【解答】（1）證明：取AB的中點(diǎn)H，連接EH；如圖1所示∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥EF；∴∠1+∠AEB＝90°，∠2+∠AEB＝90°∴∠1＝∠2，∵BH＝BE，∠BHE＝45°，且∠FCG＝45°，∴∠AHE＝∠ECF＝135°，AH＝CE，在△AHE和△ECF中，∠1=∠2AH=CE∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF；（2）解：AE＝EF成立，理由如下：如圖2，延長(zhǎng)BA到M，使AM＝CE，∵∠AEF＝90°，∴∠FEG+∠AEB＝90°．∵∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∴∠MAE＝∠CEF．∵AB＝BC，∴AB+AM＝BC+CE，即BM＝BE．∴∠M＝45°，∴∠M＝∠FCE．在△AME與△ECF中，∠MAE=∠CEFAM=CE∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（3）存在，理由如下：點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，如圖3，作DM⊥AE于AB交于點(diǎn)M，則有：DM∥EF，連接ME、DF，在△ADM與△BAE中，∠ADM=∠BAEAD=AB∴△ADM≌△BAE（ASA），∴DM＝AE，由（1）AE＝EF，∴DM＝EF，∴四邊形DMEF為平行四邊形．【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及全等三角形判定的理解及運(yùn)用，解決本題的關(guān)鍵是作出幫助線．【變式5-3】（江津區(qū)期中）在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在線段OC上，點(diǎn)F在線段AB上，連接BE，連接EF交BD于點(diǎn)M，已知∠AEB＝∠OME．（1）如圖1，求證：EB＝EF；（2）如圖2，點(diǎn)N在線段EF上，AN＝EN，AN延長(zhǎng)線交DB于H，連接DF，求證：DF=2AH【分析】（1）依據(jù)四邊形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，進(jìn)而得到∠5＝∠FBE，即可得到EF＝EB；（2）連接DE，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH＝BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到DE＝BE＝AH＝EF，再依據(jù)△DEF是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．【解答】證明：（1）如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）連接DE，∵AN＝EN，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，AC⊥BD，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH和△BOE中，∠5=∠4OA=OB∴△AOH≌△BOE（ASA），AH＝BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴DC＝BC，∠1＝∠2＝45°，在△DCE和△BCE中，DC=BC∠1=∠2∴△DCE≌△BCE（SAS），∴DE＝BE＝AH＝EF，∵AC⊥BD，∴∠6＝∠AEB，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF=D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)全等三角形的推斷．【學(xué)問(wèn)點(diǎn)3正方形的判定】①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．【題型6判定正方形成立的條件】【例6】（上蔡縣期末）下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（）①對(duì)角線相互垂直或有一組鄰邊相等的矩形是正方形；②對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；③對(duì)角線相互垂直且相等的平行四邊形是正方形；④對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】依據(jù)正方形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：①對(duì)角線相互垂直或有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故①正確；②對(duì)角線相等或有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，故②正確；③對(duì)角線相互垂直且相等的平行四邊形是正方形，故③正確；④對(duì)角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形，故④正確；綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是逐個(gè)推斷即可得出答案．【變式6-1】（建湖縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF【分析】依據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，有BE＝EC，BF＝FC進(jìn)而得出四邊形BECF是菱形；由菱形的性質(zhì)知，以及菱形與正方形的關(guān)系，進(jìn)而分別分析得出即可．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四邊形BECF是菱形；當(dāng)BC＝AC時(shí)，∵∠ACB＝90°，則∠A＝45°時(shí)，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形．故選項(xiàng)A正確，但不符合題意；當(dāng)BD＝DF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)B正確，但不符合題意；當(dāng)AC＝BF時(shí)，無(wú)法得出菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意；當(dāng)CF⊥BF時(shí)，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項(xiàng)D正確，但不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)及中垂線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的判定等學(xué)問(wèn)，嫻熟駕馭正方形的相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．【變式6-2】（開(kāi)原市校級(jí)月考）已知四邊形ABCD是平行四邊形，再?gòu)乃膫€(gè)條件中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現(xiàn)有下列四種選法，其中錯(cuò)誤的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90?，③AC＝BD，④AC⊥BDA．選①② B．選①③ C．選②③ D．選②④【分析】依據(jù)要判定四邊形是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形進(jìn)而分別分析得出即可．【解答】解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；B、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；C、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)符合題意．D、由②得有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，由④得對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定方法：①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．【變式6-3】（陜西期中）如圖，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．要使四邊形EFGH是正方形，BD、AC應(yīng)滿足的條件是．【分析】依據(jù)條件先判定四邊形EFGH為菱形，再依據(jù)∠FEH＝90°，即可得到菱形EFGH是正方形．【解答】解：滿足的條件應(yīng)為：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴在△ADC中，HG為△ADC的中位線，∴HG∥AC且HG=12同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=則HG∥EF且HG＝EF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四邊形EFGH為菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案為：AC＝BD且AC⊥BD．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及正方形的判定．解題時(shí)留意：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．【題型7正方形判定的證明】【例7】（富平縣期末）如圖，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，點(diǎn)F在邊CD上（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求證：四邊形ABCD是正方形．【分析】作EM⊥BC于點(diǎn)M，可證EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的數(shù)量關(guān)系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可證AB＝BC，可得結(jié)論．【解答】證明：如圖，作EM⊥BC于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定，矩形的性質(zhì)，靈敏運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．【變式7-1】（婁星區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是兩銳角平分線的交點(diǎn)，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分別為D，F(xiàn)，求證：四邊形CDEF是正方形．【分析】過(guò)E作EM⊥AB，依據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EF＝ED＝EM．再證明四邊形EFDC是矩形，可依據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形得到四邊形CDEF是正方形．【解答】證明：過(guò)E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四邊形EFDC是矩形，∵EF＝ED，∴四邊形CDEF是正方形．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的判定，關(guān)鍵是駕馭鄰邊相等的矩形是正方形．【變式7-2】（新鄉(xiāng)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M、N．（1）求證：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝°時(shí)，四邊形MPND是正方形，并說(shuō)明理由．【分析】（1）依據(jù)角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質(zhì)即可得到：∠ADB＝∠CDB；（2）由三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，可證四邊形MPND是矩形，再依據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．【解答】證明：（1）∵對(duì)角線BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=BC∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB；（2）當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，四邊形MPND是正方形，理由如下：∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，∴四邊形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝45°，∵∠PMD＝90°，∴∠MPD＝∠PDM＝45°，∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形，故答案為：90．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記各種幾何圖形的性質(zhì)和判定．【變式7-3】（渠縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中點(diǎn)、F是AC中點(diǎn)，AN是△ABC的外角∠MAC的平分線，延長(zhǎng)DF交AN于點(diǎn)E，連接CE．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，則四邊形ADCE的面積為多少？（3）干脆回答：當(dāng)△ABC滿足時(shí)，四邊形ADCE是正方形．【分析】（1）依據(jù)AN是△ABC外角∠CAM的平分線，推得∠MAE=12（∠B+∠ACB），再由∠B＝∠ACB，得∠MAE＝∠B，則AN∥BC，依據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得FD∥AB，可得四邊形ABDE為平行四邊形，則AE＝BD＝CD，得出四邊形ADCE為平行四邊形，再證出AD⊥AE即可得出四邊形（2）由（1）知四邊形ADCE是矩形，由條件可證明△ABC為等邊三角形，求出CD和AD長(zhǎng)，則四邊形ADCE的面積可求出；（3）由（1）知四邊形ADCE是矩形，增加條件能使AD＝DC即可【解答】（1）證明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE=12∠∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F為AC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，∴FD∥AB，∴四邊形ABDE為平行四邊形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四邊形ADCE為平行四邊形，∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四邊形ADCE為矩形；（2）解：由（1）知四邊形ADCE是矩形，∵BC＝AB＝4，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∵D為BC的中點(diǎn)，∴∠ADC＝90°，BD＝CD＝2，∴AD＝23，∴四邊形ADCE的面積為CD×AD＝2×23=43（3）解：答案不唯一，如當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADCE是正方形．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD＝DC，∵四邊形ADCE為矩形，∴四邊形ADCE為正方形．故答案為：∠BAC＝90°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，嫻熟駕馭特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型8正方形的判定與性質(zhì)綜合】【例8】（天心區(qū)期中）四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E為線段AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）如圖，求證：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝22，求CG的長(zhǎng)度；（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是40°時(shí)，干脆寫(xiě)出∠EFC的度數(shù)．【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，依據(jù)正方形的判定定理證明即可；（2）通過(guò)計(jì)算發(fā)覺(jué)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn)F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問(wèn)題；（3）分兩種情形：①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，求得∠DEC＝45°+40°＝85°，得到∠CEF＝5°，依據(jù)角的和差得到∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，∠QEF=∠PEDEQ=EP∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）如圖2中，在Rt△ABC中，AC=2AB＝42∵CE＝22，∴AE＝CE，∴點(diǎn)F與C重合，此時(shí)△DCG是等腰直角三角形，∴四邊形DECG是正方形，∴CG＝CE＝22；（3）①如圖3，當(dāng)DE與AD的夾角為40°時(shí)，∠DEC＝45°+40°＝85°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝5°，∵∠ECF＝45°，∴∠EFC＝130°，②如圖4，當(dāng)DE與DC的夾角為40°時(shí)，∵∠DEF＝∠DCF＝90°，∴∠EFC＝∠EDC＝40°，綜上所述，∠EFC＝130°或40°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等學(xué)問(wèn)，解題的關(guān)鍵是靈敏運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)探討的思想思索問(wèn)題．【變式8-1】（青山區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝42，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE、過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE．交BC點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．（1）求證：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）過(guò)E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥CD于N點(diǎn)，即可得到EN＝EM，然后推斷∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法證出△ADE≌△CDG