高中數學競賽講義十二

高中數學競賽講義（十二）

?立體幾何

一、基礎知識

公理1?條直線。上如果有兩個不同的點在平面。內.則這條直線在這個平面內，記

作：a匚a.

公理2兩個平面如果有一個公共點，則有且只有一條通過這個點的公共直線，即若P

GanB,則存在唯一的直線m,使得aCB=m，且pem。

公理3過不在同一條直線上的三個點有且只有一個平面。即不共線的三點確定一個平

面.

推論1直線與直線外一點確定?個平面.

推論2兩條相交直線確定一個平面.

推論3兩條平行直線確定一個平面.

公理4在空間內，平行于同一直線的兩條直線平行.

定義1異面直線及成角：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.過空間任

意一點分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，不超過90°的角叫做兩條異

面直線成角.與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異

面直線之間的線段長度叫做兩條異面直線之間的距離.

定義2直線與平面的位置關系有兩種；直線在平面內和直線在平面外.直線與平面相

交和直線與平面平行（直線與平面沒有公共點叫做直線與平面平行）統(tǒng)稱直線在平面外.

定義3直線與平面垂直：如果直線與平面內的每一條直線都垂直，則直線與這個平面

垂直.

定理1如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直.

定理2兩條直線垂直于同一個平面，則這兩條直線平行.

定理3若兩條平行線中的?條與?個平面垂直，則另一條也和這個平面垂直.

定理4平面外一點到平面的垂線段的長度叫做點到平面的距離，若?條直線與平面平

行，則直線上每一點到平面的距離都相等，這個距離叫做直線與平面的距離.

定義5一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線.由斜線上每一點向平面

引垂線，垂足叫這個點在平面上的射影.所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線

在平面內的射影.斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角.

結論1斜線與平面成角是斜線與平面內所有直線成角中最小的角.

定理4（三垂線定理）若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內的射影，c為平面a

內的一條直線，若c，b,則c，a.逆定理：若c~La,則cJ~b.

定理5直線d是平面a外一條直線，若它與平面內一條直線b平行，則它與平面a平

行

定理6若直線。與平面a平行，平面B經過直線a且與平面a交于直線6,則a〃b.

結論2若直線。與平面a和平面B都平行，且平面a與平面B相交于b,則a//b.

定理7（等角定理）如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個

角相等.

定義6平面與平面的位置關系有兩種：平行或相交.沒有公共點即平行，否則即相交.

定理8平面a內有兩條相交直線a,b都與平面6平行，則a〃B.

定理9平面a與平面B平行，平面YCa=a,YflB=b,則a//b.

定義7（二面角），經過同一條直線m的兩個半平面a,B（包括直線m,稱為二面角的

棱）所組成的圖形叫二面角，記作a—m—B,也可記為A—m-B,a—AB—B等.過棱上

任意?點P在兩個半平面內分別作棱的垂線AP,BP,則/APB（W90°）叫做二面角的平面角.

它的取值范圍是[0,n].

特別地，若NAPB=90°,則稱為直二面角，此時平面與平面的位置關系稱為垂直，即a

■LB.

定理10如果一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.

定理11如果兩個平面垂直，過第一個平面內的一點作另一個平面的垂線在第一個平

面內.

定理12如果兩個平面垂直，過第一個子面內的一點作交線的垂線與另一個平面垂直.

定義8有兩個面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個平行四邊形的

公共邊（稱為側棱）都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱.兩個互相平行的面叫做

底面.如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體；側棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是

正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.底面是矩形的直棱柱叫做長方體.棱長都相等的正四棱柱叫

正方體.

定義9有一個面是多邊形（這個面稱為底面），其余各面是一個有公共頂點的三角形的

多面體叫棱錐.底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐.

定理13（凸多面體的歐拉定理）設多面體的頂點數為V,棱數為E,面數為F,則

V+F-E=2.

定義10空間中到一個定點的距離等于定長的點的軌跡是一個球面.球面所圍成的幾

何體叫做球.定長叫做球的半徑，定點叫做球心.

定理14如果球心到平面的距離d小于半徑R,那么平面與球相交所得的截面是圓面，

圓心與球心的連線與截面垂直.設截面半徑為r,d2+r2=R2.過球心的截面圓周叫做球大

圓.經過球面兩點的球大圓夾在兩點間劣弧的長度叫兩點間球面距離.

定義11（經度和緯度）用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯

線.緯線上任意一點與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點的緯度.用經過南極和北極

的平面去截地球所得到的截面半圓周（以兩極為端點）叫做經線,經線所在的平面與本初子午

線所在的半平面所成的二面角叫做經度，根據位置不同又分東經和西經.

定理15（祖原理）夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任

意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.

定理16（三面角定理）從空間一點出發(fā)的不在同?個平面內的三條射線共組成三個

角.其中任意兩個角之和大于另一個，三個角之和小于360°.

定理17（面積公式）若一個球的半徑為R,則它的表面積為S陽面=4JiR2,若一個圓錐

的母線長為L底面半徑為r,則它的側面積S?=nrl.

定理18（體積公式）半徑為R的球的體積為V球=號4/；若棱柱（或圓柱）的底面

積為s,高h,則它的體積為V=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s,高為h,則它的體積

定理19如圖12-1所示，四面體ABCD中，記NBDC=a,ZADC=P,ZADB=Y,ZBAC=A,

ZABC=B,ZACB=C?DH-L平面ABC于H。

(1)射影定理：SAABD?COS①二SAABH,其中二面角D—AB—H為中。

用asn/Tsny

-----=------=-----

(2)正弦定理：mAshB

(3)余弦定理：cosa=cosBcosY+sin0sinYcosA.

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosQ.

°u=—I

(4)四面體的體積公式3DH?SAABC

-dklid血，一

61(其中d是aba之間的距離，丁是它們的夾角)

2^

~3aSAABD?SA.o?sin0(其中0為二面角B—AI>-C的平面角)。

二、方法與例題

1.公理的應用。

例1直線a,b,c都與直線d相交,且a//b,c//b,求證：a,b,c,d共面。

［證明］設d與a,b,c分別交于A,B,C,因為b與d相交，兩者確定一個平面，設為a.

又因為a〃b,所以兩者也確定一個平面，記為B。因為Ada,所以AeB,因為BGb,所

以BGB,所以dUB.又過b,d的平面是唯一的，所以a,B是同一個平面，所以aCZa.

同理c?二a.即a,b,c,d共面。

例2長方體有一個截面是正六邊形是它為正方體的什么條件？

［解］充要條件。先證充分性，設圖12-2中PQRSTK是長方體ABCD-ABCD的正六邊形

截面，延長PQ,SR設交點為0,因為直線SRU平面CCDD,又0右直線SR,所以0G平面

CCiD.D,又因為直線PQU平面ABCD,又0G直線PQ,所以0G平面ABCD。所以0G直線

CD,由正六邊形性質知,N0RQ=/0QR=60°,所以A0RQ為正三角形，因為CD〃C六,所以

CRSR

G&BO=1。所以R是CG中點，同理Q是BC的中點，又AORGgzXOQa,所以GR=CQ,

所以CC尸CB,同理CD=CG,所以該長方體為正方體。充分性得證。必要性留給讀者自己證

明。

2.異面直線的相關問題。

例3正方體的12條棱互為異面直線的有多少對?

［解］每條棱與另外的四條棱成異面直線，重復計數一共有異面直線12X4=48對，而

4S=

每一對異面直線被計算兩次，因此一共有亍-24對。

例4見圖12-3,正方體，ABCD—ABCD棱長為1,求面對角線AC與AB1所成的角。

BBH

［解］連結AC,B.C,因為AiA-BB-GC,所以AA-GC,所以AACG為平行四邊形,

所以AC-AC。

所以AC與ABi所成的角即為AC與ABi所成的角，由正方體的性質AB產BC=AC,所以N

BiAC=60°?所以AG與同所成角為60°。

3.平行與垂直的論證。

例5A,B,C,D是空間四點，且四邊形ABCD四個角都是直角，求證：四邊形ABCD

是矩形。

［證明］若ABCD是平行四邊形，則它是矩形；若ABCD不共面，設過A,B,C的平面為

a,過D作DD」a于D”見圖12-4,連結AD”CD”因為AB^ADi,又因為DD」平面a,

又ABUa,所以DP-LAB,所以ABJ■平面ADDI,所以。同理BC，C?,所以ABC%

為矩形，所以/ADQ=90°,但ADKAD,CDKCD,所以AD'+CD'AC'HV,與4?十°a

〈Aiy+CD?矛盾。所以ABCD是平面四邊形，所以它是矩形。

例6一個四面體有兩個底面上的高線相交。證明：它的另兩條高線也相交。

［證明］見圖12-5,設四面體ABCD的高線AE與BF相交于0,因為AE-L平面BCD,所

以AEJLCD,BF-1平面ACD,所以BF-LCD,所以CD-L平面ABO,所以CD-LAB。設四面體另

兩條高分別為CM,DN,連結CN,因為DNJ■平面ABC,所以DN^AB,又AB^CD,所以AB，

平面CDN,所以AB>LCN。設CN交AB于P,連結PD,作C?TJ_PD于因為ABJ■平面

CDN,所以AB?L",所以"J■平面ABD,即“為四面體的高，所以B與CM重合,

所以CM,DN為△PCD的兩條高，所以兩者相交。

例7在矩形ABCD中，AD=2AB,E是AD中點，沿BE將AABE折起，并使AC=AD,見圖

12-6o求證：平面ABF：J■平面BCDE。

［證明］取BE中點0,CD中點M,連結AO,0M,0D,0C,則OM〃BC,又CD_LBC,所

以OM-LCD。又因為AC=AD,所以AM~LCD,所以CDJ■平面AOM,所以AO-LCD。又因為AB=AE,

所以AO±BE0因為EDWBC,所以BE與CD不平行，所以BE與CD是兩條相交直線。所以A0±

平面BC-DE。又直線A0U平面ABE。所以平面ABE±■平面BCDE。

4.直線與平面成角問題。

例8見圖12-7,正方形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點，G為BF的中點，將正

方形沿EF折成120°的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。

ff±BF=-^5

［解］設邊長AB=2,因為EF-AD,又AD^AB。所以EFJLAB,所以BG=22

-AS=-

又AE，EF,BE±EF,所以/AEB=120°。過A作AMJ-BE于M,貝|JNAEM=6O°,ME=22,

AM=AEsin60°=2.山余弦定理MGJBM2+BGJ2BM?BGCOSN

（小團工*，吏二

MBG=121\2/23*442=2,所以MG=6因為EF_LAE,EF-L

BE,所以EFJ■平面AEB,所以EF-LAM,又AMJ_BE,所以AM-L平面BCE。所以NAGM為AG

王=亞

與平面EBCF所成的角。而tanNAGM=J24。所以AG與平面EBCF所成的角為

anxan—

例9見圖12-8,0A是平面a的一條斜角，AB，a于B,C在a內，且AC-1-0C,ZA0C=

a,ZA0B=0,ZB0C=Yo證明：cosa=cos0?cosY.

［證明］因為AB,a,ACJ-OC,所以由三垂線定理，BC-1-0C,所以OAcosB=0B,OBcos

Y=0C,又Rt△OAC中，OAcosa=0C,所以OAcosBcosY=0Acosa,所以cosa=cosB?cos

5.二面角問題。

例10見圖12-9,設S為平面ABC外一點，ZASB=45°,ZCSB=60°,二面角A—SB—C

為直角二面角，求/ASC的余弦值。

［解］作CM，SB于M,MN，AS于N,連結CN,因為二面角A—SB—C為直二面角，所

以平面ASB1■平面BSC。又CM，SB,所以CM-L平面ASB,又MN，AS,所以由三垂線定理的

逆定理有CN_LAS,所以SC?COSNCSN=SN=SC?COS/CSM?COS/ASB,所以COSN

顯

ASC=cos45°cos60（-4。

例11見圖12T0,已知直角AABC的兩條直角邊AC=2,BC=3,P為斜邊AB上一點，

沿CP將此三角形折成直二面角A—CP—B,當AB="時，求二面角p—AC—B的大小。

［解］過P作PDJLAC于D,作PE’CP交BC于E,連結DE,因為A—CP—B為直二面角，

即平面ACP-L平面CPB,所以PEJ■平面ACP,又PD^CA,所以由三垂線定理知DE，AC,所

以NPDE為二面角P—AC—B的平面角。設/BCP=。，則cos/ECD=cos9?cos（90°-。）=sin

3l

-2---4---l--------=—1—1

。cos0,山余弦定理cosNACB=2x2x32,所以sin0cos0=",所以sin20

f更”=也

=1.又O<2O<JI,所以0=4,設CP=a,則PD=2a,PE=a.所以tan/PDE=PD

所以二面角P—AC—B的大小為■歷。

6.距離問題。

例12正方體ABCAABCD的棱長為a,求對角線AC與BG的距離。

［解］以B為原點，建立直角坐標系如圖12-11所示?設P,Q分別是BG,CA上的點,

OP_CQ——Cji

且31'3,各點、各向量的坐標分別為A(a,O,O),B(O,O,O),C(O,a,O),

..1.1.1.1.1.1-1-1.1

PQ=BQ-BP=BC￥-CA--9C.K￥-BA--BC--BC--BB.=-BC

331333313331

=I至卜ga7

333，所以3，所以3aXa+JaXa=0,

W.C'一?aXa-^aXa=O,所以而,始1?瓦?*■耳。所以PQ為AC與BG的公垂線段,

所以兩者距離為

例13如圖12-12所示，在三棱維S—ABC中，底面是邊長為4夜的正三角形，棱SC

的長為2,且垂直于底面，E,I）分別是BC,AB的中點，求CD與SE間的距離。

［分析］取BD中點F,則EF〃CD,從而CD〃平面SEF,要求CD與SE間的距離就轉化

為求點C到平面SEF間的距離。

［解］設此距離為h,則由體積公式

qSC-Sgf=*s-4sr=—

計算可得S-EF=3,Sg=N3?所以3

7.凸多面體的歐拉公式。

例14-個凸多面體有32個面，每個面或是三角形或是五邊形，對于V個頂點每個頂

點均有T個三角形面和P個五邊形面相交，求lOOP+lOT+Vo

［解］因F=32,所以32-E+V=2,所以E斗+30。因為T+P個面相交于每個頂點，每個頂

點出發(fā)有T+P條棱，所以2E=V(T+P).由此得V(T+P)=2(V+30),即V(T+P-2)=60.由于每個

VTVP

三角形面有三條棱，故三角形面有虧個，類似地，五邊形有了個，又因為每個面或者是

三角形或者是五邊形，所以'3$'=32,由此可得3T+5P=16,它的唯一正整數解為T=P=2,

代入V(T+P-2)=60得V=30,所以100P+10T+V250?

8.與球有關的問題。

例15圓柱直徑為4R,高為22R,問圓柱內最多能裝半徑為R的球多少個？

［解］最底層恰好能放兩個球，設為球。和球兩者相切，同時與圓柱相切，在球

Oi與球Oz上放球6與球0”使0@與0Q,相垂直，且這4個球任兩個相外切，同樣在球a

與球a上放球。5與球a,……直到不能再放為止。

先計算過OBO,與過o,o2的兩平行面與圓柱底面的截面間距離為J(勿產一=想最。

設共裝K層，則(22-JE)R<J2R(KT)+2RW22R,解得K=15,因此最多裝30個。

9.四面體中的問題。

例16已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形，A點在側面SBC上的射影H是△SBC的

垂心，二面角H—AB—C的平面角等于30°,SA=。求三棱錐S—ABC的體積。

［解］由題設，A11J■平面SBC,作BH-tSC于E,由三垂線定理可知SC-LAE,SCJ-AB,

故SCJ■平面ABEo設S在平面ABC內射影為0,則S0-1■平面ABC,由三垂線定理的逆定理知,

C0J-AB于F。同理，B0±AC,所以0為AABC垂心。又因為△ABC是等邊三角形，故0為4

ABC的中心，從而SA=SB=SC=,因為CF_1_AB,CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂

線定理知，EF±AB,所以NEFC是二面角H—AB—C的平面角，故NEFC=30",所以

2小xL/R更

0C=SCcos60°=2,SO=Wtan60°=3,又0C=3AB,所以ABuQoCuB。所以Vs-

ABC=34X3'X3=4O

例17設d是任意四面體的相對?棱間距離的最小值，h是四面體的最小高的長，求證:

2d>h.

［證明］不妨設A到面BCD的高線長AH=h,AC與BD間的距離為d,作AF±BD于點F,

CN，BD于點N,則CN〃HF,在面BCD內作矩形CNFE,連AE,因為BD〃CE,所以BD〃平面

ACE,所以BD到面ACE的距離為BD與AC間的距離d。在AAEF中，AH為邊EF上的高，AE

邊上的高FG=d,作EM_LAF于M,則由EC〃平面ABD知,EM為點C到面ABD的距離（因EM_L

面ABD）,于是EM》AH=h。在RtAEMF與Rt△AHF中，由EM2AH得EF2AF。又因為AAEH

kAHAR〈AF+8F

sAFEG,所以d一照一庭8FW2。所以2d>h.

注：在前面例題中除用到教材中的公理、定理外，還用到了向量法、體積法、射影法,

請讀者在解題中認真總結。

三、基礎訓練題

1.正三角形ABC的邊長為4,到A,B,C的距離都是1的平面有個.

2.空間中有四個點E,F,G,H,命題甲：E,F,G,H不共面；命題乙：直線EF和GH

不相交，則甲是乙的條件。

3.動點P從棱長為a的正方體的一個頂點出發(fā)，沿棱運動，每條棱至多經過一次，則

點P運動的最大距離為一。

4.正方體ABCD—ABCD中，E,F分別是面ADDA、面ABCD的中心,G為棱C3中點，

直線CRGF與AB所成的角分別是a,6。則a+0=。

5.若a,b為兩條異面直線，過空間一點。與a,b都平行的平面有個。

6.CD是直角△ABC斜邊AB上的高，BD=2AD,將AACD繞CD旋轉使二面角A—CD—B為

60°,則異面直線AC與BD所成的角為o

1

7.已知PA-L平面ABC,AB是。。的直徑，C是圓周上一點且AC=』AB,則二面角A—PC

一B的大小為o

8.平面a上有一個AABC,ZABC=105°fAC=2(#+泥)，平面a兩側各有一點S,T,

使得SA=SB=SC=J^,TA=TB=TC=5,則ST=.

9.在三棱錐S—ABC中，SAJ■底面ABC,二面角A—SB—C為直二面角，若NBSC=45°,

SB=a,則經過A,B,C,S的球的半徑為.

10.空間某點到棱長為1的正四面體頂點距離之和的最小值為.

11.異面直線a,b滿足a〃Q,b〃B,b〃Q,a〃B,求證：a〃B。

12.四面體SABC中，SA,SB,SC兩兩垂直，So,Si,S2,S3分另U表示△ABC,ASBC,A

SCA,ASAB的面積，求證：*=級+融+型.

13.正三棱柱ABC—ABC中,E在棱BBi上,截面AiECJ■側面AACC,(1)求證：BE=EB＞；

(2)若AA尸AB,求二面角EC-Ar-BC的平面角。

四、高考水平訓練題

1.三棱柱ABC-ABG中，M為AB的中點，N為B￡與BG的交點，平面AMN交B￡于P,

81P

則'=.

5/13更

2.空間四邊形ABCD中，AD=1,BC=/，且AD^BC,BD=2,AC=2,則AC與BD

所成的角為.

3.平面aJL平面B,aflB=直線AB,點CGa,點DGB,ZBAC=45°,ZBAD=60°,

且CD±AB,則直線AB與平面ACD所成的角為.

4.單位正方體ABCI)—ABCD中，二面角A—BD)—Bi大小為.

5.如圖12-13所示，平行四邊形ABCD的頂點A在二面角a—MN—B的棱MN上，點B,

C,D都在a上，且AB=2AD,ZDAN=45°,ZBAD=60°,若QABCD在半平面B上射影為為菜，

則二面角a—MN—B=.

6.已知異面直線a,b成角為9,點M,A在a上，點N,B在b上，MN為公垂線，且MN=d,

MA=m,NB=n?則AB的長度為.

7.已知正三棱錐S—ABC側棱長為4,ZASB=45°,過點A作截面與側棱SB,SC分別交

于M,N,則截面AAMN周長的最小值為.

8.L與k為兩條異面直線，L上兩點A,B到I?的距離分別為a,b,二面角A一卜一B

大小為9,則L與h之間的距離為.

9.在半徑為R的球0上一點P引三條兩兩垂直的弦PA,PB,PC,則

PA2+PB2+PC2=.

10.過AABC的頂點向平面a引垂線AAl,BB?CCi,點A”Bi,GWa,則NBAC與/

BiAiCi的大小關系是.

11.三棱錐A—BCD中NACB=NADB=90",ZABC=60°,ZBAD=45°,二面角A—CD—B為直

角二面角。（1）求直線AC與平面ABD所成的角：（2）若M為BC中點，E為BD中點，求

AM與CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。

12.四棱錐P—ABCD底面是邊長為4的正方形,P1）JL底面ABCD,PD=6,M,N分別是四,

AB的中點，（1）求二面角M—DN—C的大??；（2）求異面直線CD與MN的距離。

13.三棱錐S—ABC中，側棱SA,SB,SC兩兩互相垂直，M為AABC的重心，D為AB中

點，作與SC平行的直線DP,證明：（1）DP與SM相交；（2）設DP與SM的交點為二，則

"為三棱錐S—ABC外接球球心。

五、聯(lián)賽一試水平訓練題

1.現(xiàn)有邊長分別為3,4,5的三角形兩個，邊長分別為4,5,四的三角形四個，邊

長分別為6,4,5的三角形六個，用上述三角形為面，可以拼成個四面體。

2.■個六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這兩個多

面體的內切球的半徑之比是一個既約分數7，那么mn=o

6y

3.已知三個平面a,B,Y每兩個平面之間的夾角都是,且加廣

=a,#ny=s，na=c,命題甲：號；命題乙：a,b,c相交于一點。則甲是乙的

條件。

4.棱錐M—ABCD的底面是正方形，且MA,AB,如果AAMD的面積為1,則能放入這個

棱錐的最大球的半徑為.

5.將給定的兩個全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個所有二面角都相等的六

面體，并且該六面體的最短棱長為2,則最遠兩個頂點間距離為