廣東省深圳市高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷-1

試卷類(lèi)型：A2024年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)2024.2本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生請(qǐng)務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上．將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若角的終邊過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦函數(shù)定義結(jié)合誘導(dǎo)公式計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：A2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕?故選：B.3.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且對(duì)任意，均有成立，則下列函數(shù)中符合條件的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、奇偶性定義逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)即可求解.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，又定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，即函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，滿足題意.故選：D.4.已知是夾角為的兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由投影向量計(jì)算公式可得答案.【詳解】在向量上的投影向量為..故選：A5.由0，2，4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成的數(shù)列記為，即，若，則（）A.34 B.33 C.32 D.30【答案】B【解析】【分析】由題意可知一位自然數(shù)有2個(gè)，兩位自然數(shù)有6個(gè)，三位自然數(shù)有18個(gè)，利用列舉法列出符合題意得自然數(shù)，即可求解.【詳解】由0,2,4組成可重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，按從小到大的順序排成數(shù)列，則一位自然數(shù)有2個(gè)，兩位自然數(shù)有個(gè)，三位自然數(shù)有個(gè)，四位自然數(shù)有個(gè)，又四位自然數(shù)為2024為四位自然數(shù)中的第6個(gè)，所以.故選：B6.已知某圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為，且，若半徑為2的球與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面均相切，則該圓臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的軸截面圖，結(jié)合圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征求解，然后代入圓臺(tái)體積公式求解即可.【詳解】如圖，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心O一定在的中點(diǎn)處，設(shè)球O與母線切于M點(diǎn)，所以，所以，所以與全等，所以，同理，所以，過(guò)A作，垂足為G，則，，所以，所以，所以，所以，所以該圓臺(tái)的體積為.故選：C7.已知數(shù)列滿足，，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.624 B.625 C.626 D.650【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，按奇偶分類(lèi)求和即得.【詳解】數(shù)列中，，，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公差為2，則，當(dāng)時(shí)，，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為，則，所以.故選：C8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，若，且雙曲線的離心率為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義結(jié)合已知條件求得，從而再得，由余弦定理求得，由誘導(dǎo)公式得，設(shè)，則，再由余弦定理求得，從而利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，因?yàn)?，所以，由雙曲線的定義可得，所以，在中，由余弦定理得，在中，，設(shè)，則，由得，解得，所以，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用，結(jié)合余弦定理與雙曲線的定義，從而得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”．為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)，已知運(yùn)動(dòng)員甲特訓(xùn)的成績(jī)分別為：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，則這組數(shù)據(jù)的（）A.眾數(shù)為12 B.平均數(shù)為14 C.中位數(shù)為14.5 D.第85百分位數(shù)為16【答案】BC【解析】【分析】由眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，第百分位數(shù)的定義求出即可.【詳解】成績(jī)從小到大排列為：.A：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為，故A錯(cuò)誤；B：平均數(shù)，故B正確；C：中位數(shù)為：，故C正確；D：第85百分位數(shù)為第，即第位，為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.設(shè)，且，則下列關(guān)系式可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】首先求出，再分別構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性一一分析即可.詳解】由于，知，及其，則，解得，對(duì)AB，，設(shè)函數(shù)，，故在上單調(diào)遞減，則1，即，故A對(duì)B錯(cuò)；對(duì)C，由于，設(shè)，，故在上單調(diào)遞減，，故，若，故C對(duì)；對(duì)D，，設(shè)，，令，則，則，，則，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，八面體的每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，且頂點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)．若點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，則（）A.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，異面直線與所成角為B.當(dāng)∥平面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到的距離可能為D.存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)幾何體的特征，化空間為平面，逐個(gè)推理，計(jì)算分析.【詳解】因?yàn)闉檎叫?，連接與，相交于點(diǎn)，連接，則，，兩兩垂直，故以為正交基地，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，為的中點(diǎn)，則.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，，，設(shè)異面直線與所成角為，，，故，A正確；設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則∥，平面，平面，則∥平面，又∥平面，又，設(shè)，故平面∥平面，平面平面，平面平面，則∥，則為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包含邊界）運(yùn)動(dòng)，則，點(diǎn)的軌跡是過(guò)點(diǎn)與平行的線段，長(zhǎng)度為4，B不正確；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，，得，即，即點(diǎn)的軌跡以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓在四邊內(nèi)（包含邊界）的一段?。ㄈ缦聢D），到的距離為，弧上的點(diǎn)到的距離最小值為，因?yàn)?，所以存在點(diǎn)到的距離為，C正確；由于圖形的對(duì)稱(chēng)性，我們可以先分析正四棱錐內(nèi)接最大圓柱的體積，設(shè)圓柱底面半徑為，高為，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn),，，根據(jù)相似，得，即，，則圓柱體積，設(shè)，求導(dǎo)得，令得，或，因，所以舍去，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)有極大值也是最大值，有最大值，，故所以存在一個(gè)體積為的圓柱體可整體放入內(nèi)，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：異面直線所成的角；線面平行性質(zhì)；空間點(diǎn)的軌跡，圓柱的體積計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求體積的最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若函數(shù)的最小正周期為，其圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則______．【答案】【解析】【分析】由三角函數(shù)的周期公式求出，再由正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心即可求出.詳解】由得，，所以，又的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，所以,解得，又，所以，.故答案為：13.設(shè)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則的最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)向量的坐標(biāo)表示和模的概念可得，由題意和相等向量可得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)，則，由，得，整理，得，又，代入，有，所以，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，得，所以.即的最大值為.故答案為：14.已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】18【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得的表達(dá)式，由此化簡(jiǎn)推出，結(jié)合說(shuō)明，繼而利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故則的最小值為18，故答案為：18【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及不等式求最值的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式推出，并說(shuō)明，然后利用基本不等式求最值即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，且，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求（用列舉法表示）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得、，解得，結(jié)合求得，即可證明；（2）由（1）可得，根據(jù)累乘法可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，即，①因?yàn)?，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，上式也成立，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闈M足上式，所以．，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．16.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，平面平面，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理結(jié)合勾股定理逆定理可得，后結(jié)合平面平面，可得，后結(jié)合可得結(jié)論；（2）由（1）結(jié)合題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，即可得答案.【小問(wèn)1詳解】不妨設(shè)，，由余弦定理得，在中，，平面平面，平面平面平面，平面．平面，四邊形是菱形，，又，且平面平面平面．【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，平面平面，平面平面，平面，又四邊形是菱形，，均等邊三角形，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，及過(guò)點(diǎn)A平行于的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則，由（1）平面，為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則即．令，可得，，平面與平面的夾角的余弦值為．17.在某數(shù)字通信中，信號(hào)的傳輸包含發(fā)送與接收兩個(gè)環(huán)節(jié)．每次信號(hào)只發(fā)送0和1中的某個(gè)數(shù)字，由于隨機(jī)因素干擾，接收到的信號(hào)數(shù)字有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為，；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為．假設(shè)每次信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．（1）當(dāng)連續(xù)三次發(fā)送信號(hào)均為0時(shí)，設(shè)其相應(yīng)三次接收到的信號(hào)數(shù)字均相同的概率為，求的最小值；（2）當(dāng)連續(xù)四次發(fā)送信號(hào)均為1時(shí)，設(shè)其相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為，記其中連續(xù)出現(xiàn)相同數(shù)字的次數(shù)的最大值為隨機(jī)變量（中任意相鄰的數(shù)字均不相同時(shí)，令），若，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析；期望為【解析】【分析】（1）由獨(dú)立乘法、互斥加法得函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)一步即可求解最小值；（2）的可能取值為1，2，3，4．有獨(dú)立乘法、互斥加法公式求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得分布列以及數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】由題可知，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值為．【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)知，的可能取值為1，2，3，4．①當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0101或1010．因此，，②當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，，③當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為1110，或0111，或0001，或1000．因此，，④當(dāng)時(shí)，相應(yīng)四次接收到的信號(hào)數(shù)字依次為0000，或1111．因此，．所以的分布列為1234因此，的數(shù)學(xué)期望．18.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)時(shí)，求證：．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)后再求導(dǎo)，由二次導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞減，再由零點(diǎn)存在定理確定的最小值.（2）求導(dǎo)后令得，再利用換元法設(shè)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性和極值，畫(huà)出圖像，再由方程根的個(gè)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).（3）先證明當(dāng)時(shí)，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后分析單調(diào)性得到最小值可證明之；再由（2）知，當(dāng)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)時(shí)，，則，取最小值取，則有，即可證明.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，則，因?yàn)椋裕畡t在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋允沟迷谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因此，在上的最小值是與兩者中的最小者．因?yàn)?，所以函?shù)在上的最小值為．【小問(wèn)2詳解】，由，解得，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且值域?yàn)椋?，由，解得，設(shè)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．根據(jù)時(shí)，，得的大致圖像如圖所示．因此有：（?。┊?dāng)時(shí)，方程無(wú)解，即無(wú)零點(diǎn)，沒(méi)有極值點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，令，則在上時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，即，得，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解，即有兩個(gè)零點(diǎn)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；（ⅳ）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，即有一個(gè)零點(diǎn)，有一個(gè)極值點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)．【小問(wèn)3詳解】先證明當(dāng)時(shí)，．設(shè)，則，記，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，不等式成立．由（2）知，當(dāng)函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)時(shí)，，則，在不等式中，取，則有，即不等式成立．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值時(shí)，通常求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性分析最值，若在給定區(qū)間上不是單調(diào)的，常用零點(diǎn)存在定理分析其單調(diào)性，再比較區(qū)間的端點(diǎn)值找到最值.（2）討論函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)值，通常轉(zhuǎn)化為分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)或兩函數(shù)相等時(shí)方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，求最值，再數(shù)形結(jié)合分析交點(diǎn)個(gè)數(shù)或方程根個(gè)數(shù).（3）證明不等式成立問(wèn)題時(shí)可采用構(gòu)造函數(shù)，找到不等式一邊的最小值大于另一邊，或最大值小于另一邊，即函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題.19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)．其中，且，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求的方程，并說(shuō)明軌跡的形狀；（2）設(shè)點(diǎn)，若曲線上兩動(dòng)點(diǎn)均在軸上方，，且與相交于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，求證：的值及的周長(zhǎng)均為定值；②當(dāng)時(shí)，記的面積為，其內(nèi)切圓半徑為，試探究是否存在常數(shù)，使得