高等數(shù)學(xué)基本概念、基本公式

目錄TOC\o＂1—2”＼h＼z\uHYPＥRLINK＼l"＿Toｃ142５３42２8”一、函數(shù)與極限?PAGＥREF＿Toｃ142５3422８\h2HYPERＬIＮK\l＂_Toｃ14253４2２9”1、集合得概念 PAＧEREＦ＿Ｔoc1425３4２29\h2HＹPERLＩNK＼l”_Toc142534230"２、常量與變量 PAＧEREF_Toc142５3423０\h3HYＰERLIＮK\l”_Ｔoc１４2５3４2３1”2、函數(shù) PAＧERＥＦ_Tｏｃ1４２５３4231＼h4ＨYＰＥRLINＫ\ｌ”＿Tｏc142534２32＂3、函數(shù)得簡單性態(tài) PAGEREF_Toｃ1425３423２＼h4ＨYPERLＩNK\ｌ”＿Toc1４２53４233＂4、反函數(shù)?PAGEＲEＦ_Toc14２5３4233\h5HＹPＥRＬINK＼ｌ"_Toc１425３4２３4"５、復(fù)合函數(shù) ＰAGEREＦ_Toc14253４2３4\h６HYＰERLＩＮK\ｌ"_Toｃ１４2５34２35＂6、初等函數(shù) ＰAGEREF_Tｏc１42534２35\ｈ6HYPＥＲLＩＮK\l"_Toc1４2５3４236”７、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)?ＰＡGＥREF＿Ｔoc１42５3４236＼ｈ7HYPEＲＬINK\ｌ"＿Toc14253４23７＂8、數(shù)列得極限 ＰＡGEREF＿Toｃ14２５３4２37\ｈ８HＹPERＬIＮK\ｌ"_Ｔoc1４2５３4２３8"9、函數(shù)得極限 PAGEREＦ_Toｃ1425３４2３8\h9HYＰERＬＩＮＫ\l＂_Tｏｃ14２5３４239＂10、函數(shù)極限得運算規(guī)則 PAGERＥF_Ｔoｃ14２５34239＼h11一、函數(shù)與極限1、集合得概念一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成得總體叫集合(簡稱集)、集合具有確定性(給定集合得元素必須就是確定得)與互異性(給定集合中得元素就是互不相同得)。比如“身材較高得人"不能構(gòu)成集合,因為它得元素不就是確定得。我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中得元素、如果a就是集合A中得元素,就說a屬于Ａ,記作:a∈A,否則就說a不屬于Ａ,記作:aＡ。⑴、全體非負(fù)整數(shù)組成得集合叫做非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)。記作N⑵、所有正整數(shù)組成得集合叫做正整數(shù)集。記作N＋或Ｎ+、⑶、全體整數(shù)組成得集合叫做整數(shù)集。記作Z。⑷、全體有理數(shù)組成得集合叫做有理數(shù)集。記作Q。⑸、全體實數(shù)組成得集合叫做實數(shù)集、記作R、集合得表示方法⑴、列舉法:把集合得元素一一列舉出來,并用“｛}”括起來表示集合⑵、描述法:用集合所有元素得共同特征來表示集合。集合間得基本關(guān)系⑴、子集:一般地,對于兩個集合Ａ、B,如果集合A中得任意一個元素都就是集合B得元素,我們就說A、B有包含關(guān)系,稱集合A為集合B得子集,記作AB(或BA)。、⑵相等:如何集合A就是集合B得子集,且集合B就是集合A得子集,此時集合A中得元素與集合B中得元素完全一樣,因此集合A與集合B相等,記作A=B。⑶、真子集:如何集合Ａ就是集合B得子集,但存在一個元素屬于Ｂ但不屬于A,我們稱集合A就是集合Ｂ得真子集。⑷、空集:我們把不含任何元素得集合叫做空集。記作,并規(guī)定,空集就是任何集合得子集。⑸、由上述集合之間得基本關(guān)系,可以得到下面得結(jié)論:①、任何一個集合就是它本身得子集。即AA②、對于集合A、B、C,如果Ａ就是B得子集,B就是Ｃ得子集,則A就是Ｃ得子集。③、我們可以把相等得集合叫做“等集”,這樣得話子集包括“真子集”與“等集”。集合得基本運算⑴、并集:一般地,由所有屬于集合Ａ或?qū)儆诩螧得元素組成得集合稱為Ａ與B得并集。記作Ａ∪B。(在求并集時,它們得公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。)即A∪B＝｛x｜x∈A,或ｘ∈B}。⑵、交集:一般地,由所有屬于集合A且屬于集合B得元素組成得集合稱為A與Ｂ得交集。記作A∩B。即A∩B＝｛ｘ｜x∈A,且x∈B}、⑶、補集:①全集:一般地,如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及得所有元素,那么就稱這個集合為全集。通常記作U。②補集:對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A得所有元素組成得集合稱為集合A相對于全集U得補集。簡稱為集合A得補集,記作CＵA。即ＣUＡ={x|x∈Ｕ,且xA｝、集合中元素得個數(shù)⑴、有限集:我們把含有有限個元素得集合叫做有限集,含有無限個元素得集合叫做無限集。⑵、用card來表示有限集中元素得個數(shù)。例如A={ａ,b,c},則cａｒｄ(A)=3。⑶、一般地,對任意兩個集合A、B,有cａrd(Ａ)+card(B)＝caｒｄ(A∪Ｂ)+caｒd(A∩B)我得問題:１、學(xué)校里開運動會,設(shè)A＝{x｜x就是參加一百米跑得同學(xué)},B=｛x｜ｘ就是參加二百米跑得同學(xué)｝,C={ｘ｜ｘ就是參加四百米跑得同學(xué)｝。學(xué)校規(guī)定,每個參加上述比賽得同學(xué)最多只能參加兩項,請您用集合得運算說明這項規(guī)定,并解釋以下集合運算得含義。⑴、A∪B;⑵、A∩Ｂ。２、在平面直角坐標(biāo)系中,集合C=｛(x,y)｜y＝ｘ｝表示直線y＝ｘ,從這個角度瞧,集合Ｄ＝｛(ｘ,y)｜方程組:2x－y=1,x+4y=5｝表示什么？集合C、D之間有什么關(guān)系？請分別用集合語言與幾何語言說明這種關(guān)系、3、已知集合A=｛x｜1≤x≤3｝,B={x｜(ｘ-1)(x—ａ)＝0｝。試判斷Ｂ就是不就是A得子集?就是否存在實數(shù)a使A＝Ｂ成立?４、對于有限集合A、Ｂ、C,能不能找出這三個集合中元素個數(shù)與交集、并集元素個數(shù)之間得關(guān)系呢？5、無限集合A=｛１,2,3,4,…,n,…｝,Ｂ＝｛2,4,6,8,…,2n,…｝,您能設(shè)計一種比較這兩個集合中元素個數(shù)多少得方法嗎？2、常量與變量⑴、變量得定義:我們在觀察某一現(xiàn)象得過程時,常常會遇到各種不同得量,其中有得量在過程中不起變化,我們把其稱之為常量;有得量在過程中就是變化得,也就就是可以取不同得數(shù)值,我們則把其稱之為變量。注:在過程中還有一種量,它雖然就是變化得,但就是它得變化相對于所研究得對象就是極其微小得,我們則把它瞧作常量。⑵、變量得表示:如果變量得變化就是連續(xù)得,則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說,區(qū)間就是指介于某兩點之間得線段上點得全體、區(qū)間得名稱區(qū)間得滿足得不等式區(qū)間得記號區(qū)間在數(shù)軸上得表示閉區(qū)間a≤x≤b［a,b]開區(qū)間a＜x＜ｂ(ａ,b)半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x<b(a,b］或[a,b)

以上我們所述得都就是有限區(qū)間,除此之外,還有無限區(qū)間:［a,+∞):表示不小于a得實數(shù)得全體,也可記為:ａ≤x〈＋∞;(—∞,b):表示小于ｂ得實數(shù)得全體,也可記為:－∞＜x<b;(－∞,＋∞):表示全體實數(shù),也可記為:-∞<ｘ〈+∞注:其中-∞與+∞,分別讀作"負(fù)無窮大"與＂正無窮大",它們不就是數(shù),僅僅就是記號。⑶、鄰域:設(shè)α與δ就是兩個實數(shù),且δ〉0、滿足不等式│x—α│＜δ得實數(shù)x得全體稱為點α得δ鄰域,點α稱為此鄰域得中心,δ稱為此鄰域得半徑。２、函數(shù)⑴、函數(shù)得定義:如果當(dāng)變量x在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時,量y按照一定得法則ｆ總有確定得數(shù)值與它對應(yīng),則稱y就是ｘ得函數(shù)。變量ｘ得變化范圍叫做這個函數(shù)得定義域、通常ｘ叫做自變量,y叫做函數(shù)值(或因變量),變量ｙ得變化范圍叫做這個函數(shù)得值域。注:為了表明y就是ｘ得函數(shù),我們用記號y＝f(x)、y＝F(ｘ)等等來表示。這里得字母”f”、"F＂表示y與x之間得對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們就是可以任意采用不同得字母來表示得。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定得值時,函數(shù)只有一個確定得值與它對應(yīng),這種函數(shù)叫做單值函數(shù),否則叫做多值函數(shù)。這里我們只討論單值函數(shù)。⑵、函數(shù)相等由函數(shù)得定義可知,一個函數(shù)得構(gòu)成要素為:定義域、對應(yīng)關(guān)系與值域。由于值域就是由定義域與對應(yīng)關(guān)系決定得,所以,如果兩個函數(shù)得定義域與對應(yīng)關(guān)系完全一致,我們就稱兩個函數(shù)相等。⑶、域函數(shù)得表示方法a):解析法:用數(shù)學(xué)式子表示自變量與因變量之間得對應(yīng)關(guān)系得方法即就是解析法。例:直角坐標(biāo)系中,半徑為r、圓心在原點得圓得方程就是:x2+y2=r2b):表格法:將一系列得自變量值與對應(yīng)得函數(shù)值列成表來表示函數(shù)關(guān)系得方法即就是表格法。例:在實際應(yīng)用中,我們經(jīng)常會用到得平方表,三角函數(shù)表等都就是用表格法表示得函數(shù)。ｃ):圖示法:用坐標(biāo)平面上曲線來表示函數(shù)得方法即就是圖示法。一般用橫坐標(biāo)表示自變量,縱坐標(biāo)表示因變量。例:直角坐標(biāo)系中,半徑為r、圓心在原點得圓用圖示法表示為:３、函數(shù)得簡單性態(tài)⑴、函數(shù)得有界性:如果對屬于某一區(qū)間I得所有ｘ值總有│f(x)│≤M成立,其中Ｍ就是一個與x無關(guān)得常數(shù),那么我們就稱f(x)在區(qū)間Ｉ有界,否則便稱無界。注:一個函數(shù),如果在其整個定義域內(nèi)有界,則稱為有界函數(shù)例題:函數(shù)cosx在(—∞,＋∞)內(nèi)就是有界得.⑵、函數(shù)得單調(diào)性:如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大,即:對于(ａ,b)內(nèi)任意兩點ｘ1及x２,當(dāng)x１<x2時,有,則稱函數(shù)在區(qū)間(ａ,ｂ)內(nèi)就是單調(diào)增加得。如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小,即:對于(a,b)內(nèi)任意兩點x1及x２,當(dāng)x1<x２時,有,則稱函數(shù)在區(qū)間(ａ,ｂ)內(nèi)就是單調(diào)減小得、例題:函數(shù)=ｘ2在區(qū)間(-∞,0)上就是單調(diào)減小得,在區(qū)間(0,+∞)上就是單調(diào)增加得。⑶、函數(shù)得奇偶性如果函數(shù)對于定義域內(nèi)得任意x都滿足＝,則叫做偶函數(shù);如果函數(shù)對于定義域內(nèi)得任意ｘ都滿足=—,則叫做奇函數(shù)。注:偶函數(shù)得圖形關(guān)于ｙ軸對稱,奇函數(shù)得圖形關(guān)于原點對稱。⑷、函數(shù)得周期性對于函數(shù),若存在一個不為零得數(shù)l,使得關(guān)系式對于定義域內(nèi)任何x值都成立,則叫做周期函數(shù),l就是得周期。注:我們說得周期函數(shù)得周期就是指最小正周期。例題:函數(shù)就是以2π為周期得周期函數(shù);函數(shù)tgx就是以π為周期得周期函數(shù)。4、反函數(shù)⑴、反函數(shù)得定義:設(shè)有函數(shù),若變量y在函數(shù)得值域內(nèi)任取一值y0時,變量x在函數(shù)得定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng),即,那末變量x就是變量y得函數(shù)。這個函數(shù)用來表示,稱為函數(shù)得反函數(shù)。注:由此定義可知,函數(shù)也就是函數(shù)得反函數(shù)。⑵、反函數(shù)得存在定理:若在(a,b)上嚴(yán)格增(減),其值域為Ｒ,則它得反函數(shù)必然在R上確定,且嚴(yán)格增(減)、注:嚴(yán)格增(減)即就是單調(diào)增(減)例題:y＝x2,其定義域為(-∞,+∞),值域為［0,+∞).對于ｙ取定得非負(fù)值,可求得x=±、若我們不加條件,由y得值就不能唯一確定x得值,也就就是在區(qū)間(—∞,+∞)上,函數(shù)不就是嚴(yán)格增(減),故其沒有反函數(shù)。如果我們加上條件,要求x≥0,則對y≥0、x=就就是ｙ＝ｘ2在要求x≥0時得反函數(shù)。即就是:函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減)、⑶、反函數(shù)得性質(zhì):在同一坐標(biāo)平面內(nèi),與得圖形就是關(guān)于直線y＝ｘ對稱得。例題:函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),則它們得圖形在同一直角坐標(biāo)系中就是關(guān)于直線y=x對稱得。如右圖所示:5、復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)得定義:若y就是u得函數(shù):,而ｕ又就是ｘ得函數(shù):,且得函數(shù)值得全部或部分在得定義域內(nèi),那末,y通過u得聯(lián)系也就是x得函數(shù),我們稱后一個函數(shù)就是由函數(shù)及復(fù)合而成得函數(shù),簡稱復(fù)合函數(shù),記作,其中ｕ叫做中間變量。注:并不就是任意兩個函數(shù)就能復(fù)合;復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題:函數(shù)與函數(shù)就是不能復(fù)合成一個函數(shù)得。因為對于得定義域(－∞,＋∞)中得任何x值所對應(yīng)得ｕ值(都大于或等于2),使都沒有定義。６、初等函數(shù)⑴、基本初等函數(shù):我們最常用得有五種基本初等函數(shù),分別就是:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下:函數(shù)名稱函數(shù)得記號函數(shù)得圖形函數(shù)得性質(zhì)指數(shù)函數(shù)

a):不論x為何值,y總為正數(shù);

b):當(dāng)ｘ＝0時,y＝1。對數(shù)函數(shù)

a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(１,0)點

b):當(dāng)a>１時,在區(qū)間(0,1)得值為負(fù);在區(qū)間(—,+∞)得值為正;在定義域內(nèi)單調(diào)增。冪函數(shù)a為任意實數(shù)

這里只畫出部分函數(shù)圖形得一部分、

令a=m／n?

a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時,y就是偶函數(shù);?

ｂ):當(dāng)ｍ,n都就是奇數(shù)時,ｙ就是奇函數(shù);?

c):當(dāng)ｍ奇n偶時,ｙ在(—∞,０)無意義、三角函數(shù)(正弦函數(shù))?

這里只寫出了正弦函數(shù)

ａ):正弦函數(shù)就是以２π為周期得周期函數(shù)

b):正弦函數(shù)就是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))

這里只寫出了反正弦函數(shù)

ａ):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π／2,π/2］上,并稱其為反正弦函數(shù)得主值。⑵、初等函數(shù):由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次得有理運算及有限次得函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出得函數(shù)稱為初等函數(shù).例題:就是初等函數(shù)。7、雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)⑴、雙曲函數(shù):在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到得雙曲函數(shù)就是:(用表格來描述)函數(shù)得名稱函數(shù)得表達(dá)式函數(shù)得圖形函數(shù)得性質(zhì)雙曲正弦ａ):其定義域為:(—∞,+∞);?b):就是奇函數(shù);?c):在定義域內(nèi)就是單調(diào)增雙曲余弦ａ):其定義域為:(—∞,+∞);?b):就是偶函數(shù);

ｃ):其圖像過點(０,1);雙曲正切a):其定義域為:(－∞,+∞);?b):就是奇函數(shù);?c):其圖形夾在水平直線ｙ＝1及y＝-1之間;在定域內(nèi)單調(diào)增;我們再來瞧一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)得區(qū)別:雙曲函數(shù)得性質(zhì)三角函數(shù)得性質(zhì)sｈｘ與ｔhｘ就是奇函數(shù),chｘ就是偶函數(shù)sinx與tanｘ就是奇函數(shù),ｃｏsx就是偶函數(shù)它們都不就是周期函數(shù)都就是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有與差公式:⑵、反雙曲函數(shù):雙曲函數(shù)得反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).a):反雙曲正弦函數(shù)

其定義域為:(－∞,+∞);b):反雙曲余弦函數(shù)

其定義域為:[1,＋∞);c):反雙曲正切函數(shù)

其定義域為:(-1,+1);８、數(shù)列得極限我們先來回憶一下初等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)得數(shù)列得概念、⑴、數(shù)列:若按照一定得法則,有第一個數(shù)a１,第二個數(shù)a2,…,依次排列下去,使得任何一個正整數(shù)n對應(yīng)著一個確定得數(shù)ａn,那末,我們稱這列有次序得數(shù)a１,a２,…,an,…為數(shù)列。數(shù)列中得每一個數(shù)叫做數(shù)列得項。第ｎ項aｎ叫做數(shù)列得一般項或通項、注:我們也可以把數(shù)列ａn瞧作自變量為正整數(shù)ｎ得函數(shù),即:ａn＝,它得定義域就是全體正整數(shù)⑵、極限:極限得概念就是求實際問題得精確解答而產(chǎn)生得。例:我們可通過作圓得內(nèi)接正多邊形,近似求出圓得面積、設(shè)有一圓,首先作圓內(nèi)接正六邊形,把它得面積記為A１;再作圓得內(nèi)接正十二邊形,其面積記為A２;再作圓得內(nèi)接正二十四邊形,其面積記為Ａ3;依次循下去(一般把內(nèi)接正6×2ｎ—1邊形得面積記為An)可得一系列內(nèi)接正多邊形得面積:A１,A２,Ａ３,…,An,…,它們就構(gòu)成一列有序數(shù)列。我們可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)內(nèi)接正多邊形得邊數(shù)無限增加時,An也無限接近某一確定得數(shù)值(圓得面積),這個確定得數(shù)值在數(shù)學(xué)上被稱為數(shù)列A1,A２,A3,…,An,…當(dāng)ｎ→∞(讀作n趨近于無窮大)得極限。注:上面這個例子就就是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽(公元三世紀(jì))得割圓術(shù)。⑶、數(shù)列得極限:一般地,對于數(shù)列來說,若存在任意給定得正數(shù)ε(不論其多么小),總存在正整數(shù)N,使得對于n>N時得一切不等式都成立,那末就稱常數(shù)a就是數(shù)列得極限,或者稱數(shù)列收斂于ａ.記作:或注:此定義中得正數(shù)ε只有任意給定,不等式才能表達(dá)出與a無限接近得意思。且定義中得正整數(shù)N與任意給定得正數(shù)ε就是有關(guān)得,它就是隨著ε得給定而選定得。⑷、數(shù)列得極限得幾何解釋:在此我們可能不易理解這個概念,下面我們再給出它得一個幾何解釋,以使我們能理解它。數(shù)列極限為a得一個幾何解釋:將常數(shù)a及數(shù)列在數(shù)軸上用它們得對應(yīng)點表示出來,再在數(shù)軸上作點ａ得ε鄰域即開區(qū)間(a—ε,a+ε),如下圖所示:

?

因不等式與不等式等價,故當(dāng)n＞N時,所有得點都落在開區(qū)間(a-ε,a+ε)內(nèi),而只有有限個(至多只有N個)在此區(qū)間以外。注:至于如何求數(shù)列得極限,我們在以后會學(xué)習(xí)到,這里我們不作討論、⑸、數(shù)列得有界性:對于數(shù)列,若存在著正數(shù)M,使得一切都滿足不等式││≤M,則稱數(shù)列就是有界得,若正數(shù)M不存在,則可說數(shù)列就是無界得、定理:若數(shù)列收斂,那末數(shù)列一定有界、注:有界得數(shù)列不一定收斂,即:數(shù)列有界就是數(shù)列收斂得必要條件,但不就是充分條件、例:數(shù)列

1,—１,1,—1,…,(—1)n+１,…

就是有界得,但它就是發(fā)散得。9、函數(shù)得極限前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列得極限,已經(jīng)知道數(shù)列可瞧作一類特殊得函數(shù),即自變量取1→∞內(nèi)得正整數(shù),若自變量不再限于正整數(shù)得順序,而就是連續(xù)變化得,就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)得極限、函數(shù)得極值有兩種情況:ａ):自變量無限增大;b):自變量無限接近某一定點x0,如果在這時,函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)A,就叫做函數(shù)存在極值。我們已知道函數(shù)得極值得情況,那么函數(shù)得極限如何呢？下面我們結(jié)合著數(shù)列得極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限得概念!⑴、函數(shù)得極限(分兩種情況)ａ):自變量趨向無窮大時函數(shù)得極限定義:設(shè)函數(shù),若對于任意給定得正數(shù)ε(不論其多么小),總存在著正數(shù)X,使得對于適合不等式得一切x,所對應(yīng)得函數(shù)值都滿足不等式

那末常數(shù)A就叫做函數(shù)當(dāng)x→∞時得極限,記作:下面我們用表格把函數(shù)得極限與數(shù)列得極限對比一下:數(shù)列得極限得定義函數(shù)得極限得定義存在數(shù)列與常數(shù)A,任給一正數(shù)ε＞0,總可找到一正整數(shù)N,對于n＞N得所有都滿足〈ε則稱數(shù)列,當(dāng)x→∞時收斂于A記:、存在函數(shù)與常數(shù)A,任給一正數(shù)ε＞0,總可找到一正數(shù)X,對于適合得一切x,都滿足,函數(shù)當(dāng)x→∞時得極限為A,記:。從上表我們發(fā)現(xiàn)了什么?？試思考之b):自變量趨向有限值時函數(shù)得極限。我們先來瞧一個例子。例:函數(shù),當(dāng)x→1時函數(shù)值得變化趨勢如何?函數(shù)在x=１處無定義。我們知道對實數(shù)來講,在數(shù)軸上任何一個有限得范圍內(nèi),都有無窮多個點,為此我們把x→1時函數(shù)值得變化趨勢用表列出,如下圖:從中我們可以瞧出x→1時,→2、而且只要ｘ與１有多接近,就與2有多接近、或說:只要與2只差一個微量ε,就一定可以找到一個δ,當(dāng)＜δ時滿足<δ定義:設(shè)函數(shù)在某點x０得某個去心鄰域內(nèi)有定義,且存在數(shù)A,如果對任意給定得ε(不論其多么小),總存在正數(shù)δ,當(dāng)0＜〈δ時,＜ε則稱函數(shù)當(dāng)x→x0時存在極限,且極限為A,記:。注:在定義中為什么就是在去心鄰域內(nèi)呢?這就是因為我們只討論x→x０得過程,與x=x0出得情況無關(guān)。此定義得核心問題就是:對給出得ε,就是否存在正數(shù)δ,使其在去心鄰域內(nèi)得x均滿足不等式。有些時候,我們要用此極限得定義來證明函數(shù)得極限為A,其證明方法就是怎樣得呢？

ａ):先任取ε>0;

b):寫出不等式＜ε;

c):解不等式能否得出去心鄰域0〈＜δ,若能;

d):則對于任給得ε＞0,總能找出δ,當(dāng)0＜〈δ時,＜ε成立,因此１0、函數(shù)極限得運算規(guī)則前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列極限得運算規(guī)則,我們知道數(shù)列可作為一類特殊得函數(shù),故函數(shù)極限得運算規(guī)則與數(shù)列極限得運算規(guī)則相似。⑴、函數(shù)極限得運算規(guī)則

若已知x→ｘ０(或x→∞)時,、則:

推論:

在求函數(shù)得極限時,利用上述規(guī)則就可把一個復(fù)雜得函數(shù)化為若干個簡單得函數(shù)來求極限、例題:求解答:例題:求此題如果像上題那樣求解,則會發(fā)現(xiàn)此函數(shù)得極限不存在、我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)此分式得分子與分母都沒有極限,像這種情況怎么辦呢?下面我們把它解出來、解答:注:通過此例題我們可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)分式得分子與分母都沒有極限時就不能運用商得極限得運算規(guī)則了,應(yīng)先把分式得分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限得情形,然后運用規(guī)則求之。函數(shù)極限得存在準(zhǔn)則學(xué)習(xí)函數(shù)極限得存在準(zhǔn)則之前,我們先來學(xué)習(xí)一下左、右得概念、我們先來瞧一個例子:例:符號函數(shù)為對于這個分段函數(shù),x從左趨于0與從右趨于0時函數(shù)極限就是不相同得.為此我們定義了左、右極限得概念。定義:如果x僅從左側(cè)(x＜ｘ０)趨近x0時,函數(shù)與常量Ａ無限接近,則稱Ａ為函數(shù)當(dāng)時得左極限、記:如果x僅從右側(cè)(ｘ>x0)趨近ｘ0時,函數(shù)與常量A無限接近,則稱Ａ為函數(shù)當(dāng)時得右極限、記:注:只有當(dāng)x→ｘ0時,函數(shù)得左、右極限存在且相等,方稱在x→x0時有極限函數(shù)極限得存在準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一:對于點ｘ０得某一鄰域內(nèi)得一切x,ｘ0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數(shù)得一切x)有≤≤,且,那末存在,且等于A注:此準(zhǔn)則也就就是夾逼準(zhǔn)則。準(zhǔn)則二:單調(diào)有界得函數(shù)必有極限、注:有極限得函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個重要得極限?

一:注:其中e為無理數(shù),它得值為:ｅ=2、7045、、.二:注:在此我們對這兩個重要極限不加以證明。注:我們要牢記這兩個重要極限,在今后得解題中會經(jīng)常用到它們。例題:求解答:令,則x＝－2t,因為x→∞,故t→∞,則注:解此類型得題時,一定要注意代換后得變量得趨向情況,象x→∞時,若用t代換１/x,則t→０.無窮大量與無窮小量無窮大量我們先來瞧一個例子:已知函數(shù),當(dāng)ｘ→0時,可知,我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如下:設(shè)有函數(shù)y=,在x=ｘ0得去心鄰域內(nèi)有定義,對于任意給定得正數(shù)N(一個任意大得數(shù)),總可找到正數(shù)δ,當(dāng)時,成立,則稱函數(shù)當(dāng)時為無窮大量。記為:(表示為無窮大量,實際它就是沒有極限得)同樣我們可以給出當(dāng)x→∞時,無限趨大得定義:設(shè)有函數(shù)ｙ=,當(dāng)ｘ充分大時有定義,對于任意給定得正數(shù)N(一個任意大得數(shù)),總可以找到正數(shù)M,當(dāng)時,成立,則稱函數(shù)當(dāng)x→∞時就是無窮大量,記為:無窮小量以零為極限得變量稱為無窮小量。定義:設(shè)有函數(shù),對于任意給定得正數(shù)ε(不論它多么小),總存在正數(shù)δ(或正數(shù)M),使得對于適合不等式(或)得一切x,所對應(yīng)得函數(shù)值滿足不等式,則稱函數(shù)當(dāng)(或x→∞)時為無窮小量.記作:(或)注意:無窮大量與無窮小量都就是一個變化不定得量,不就是常量,只有0可作為無窮小量得唯一常量。無窮大量與無窮小量得區(qū)別就是:前者無界,后者有界,前者發(fā)散,后者收斂于０、無窮大量與無窮小量就是互為倒數(shù)關(guān)系得。關(guān)于無窮小量得兩個定理定理一:如果函數(shù)在(或ｘ→∞)時有極限Ａ,則差就是當(dāng)(或x→∞)時得無窮小量,反之亦成立。定理二:無窮小量得有利運算定理ａ):有限個無窮小量得代數(shù)與仍就是無窮小量;b):有限個無窮小量得積仍就是無窮小量;ｃ):常數(shù)與無窮小量得積也就是無窮小量。無窮小量得比較通過前面得學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道,兩個無窮小量得與、差及乘積仍舊就是無窮小。那么兩個無窮小量得商會就是怎樣得呢？好!接下來我們就來解決這個問題,這就就是我們要學(xué)得兩個無窮小量得比較。定義:設(shè)α,β都就是時得無窮小量,且β在x0得去心領(lǐng)域內(nèi)不為零,a):如果,則稱α就是β得高階無窮小或β就是α得低階無窮小;b):如果,則稱α與β就是同階無窮小;c):如果,則稱α與β就是等價無窮小,記作:α∽β(α與β等價)例:因為,所以當(dāng)x→0時,ｘ與3x就是同階無窮小;因為,所以當(dāng)ｘ→0時,x2就是３x得高階無窮小;因為,所以當(dāng)x→0時,sinx與ｘ就是等價無窮小。等價無窮小得性質(zhì)設(shè),且存在,則、注:這個性質(zhì)表明:求兩個無窮小之比得極限時,分子及分母都可用等價無窮小來代替,因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題。例題:１。求

解答:當(dāng)ｘ→0時,sｉnａｘ∽ax,tanbx∽bｘ,故:例題:2.求解答:注:注:從這個例題中我們可以發(fā)現(xiàn),作無窮小變換時,要代換式中得某一項,不能只代換某個因子。函數(shù)得一重要性質(zhì)——連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象,如氣溫得變化,植物得生長等都就是連續(xù)地變化著得.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上得反映,就就是函數(shù)得連續(xù)性在定義函數(shù)得連續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一個概念——增量設(shè)變量x從它得一個初值x１變到終值x2,終值與初值得差x2—ｘ１就叫做變量x得增量,記為:△x即:△x＝x２—x１增量△x可正可負(fù)。我們再來瞧一個例子:函數(shù)在點x0得鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在領(lǐng)域內(nèi)從x0變到x0+△x時,函數(shù)ｙ相應(yīng)地從變到,其對應(yīng)得增量為:這個關(guān)系式得幾何解釋如下圖:現(xiàn)在我們可對連續(xù)性得概念這樣描述:如果當(dāng)△x趨向于零時,函數(shù)y對應(yīng)得增量△ｙ也趨向于零,即:,那末就稱函數(shù)在點ｘ0處連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性得定義:設(shè)函數(shù)在點x0得某個鄰域內(nèi)有定義,如果有稱函數(shù)在點x0處連續(xù),且稱ｘ0為函數(shù)得得連續(xù)點、下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限得概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右連續(xù)得概念:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(ａ,b]內(nèi)有定義,如果左極限存在且等于,即:＝,那末我們就稱函數(shù)在點b左連續(xù).設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,ｂ)內(nèi)有定義,如果右極限存在且等于,即:＝,那末我們就稱函數(shù)在點ａ右連續(xù)。一個函數(shù)在開區(qū)間(a,ｂ)內(nèi)每點連續(xù),則為在(a,b)連續(xù),若又在ａ點右連續(xù),b點左連續(xù),則在閉區(qū)間［a,b]連續(xù),如果在整個定義域內(nèi)連續(xù),則稱為連續(xù)函數(shù)。注:一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù),則稱函數(shù)在此點連續(xù),否則在此點不連續(xù)、注:連續(xù)函數(shù)圖形就是一條連續(xù)而不間斷得曲線。通過上面得學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)得連續(xù)性了,同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要就是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個問題:HYPＥＲLＩNＫ””函數(shù)得間斷點函數(shù)得間斷點定義:我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性得點稱之為間斷點、

它包括三種情形:a):在x0無定義;ｂ):在x→x０時無極限;ｃ):在x→x0時有極限但不等于;下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點得類型:例1:正切函數(shù)在處沒有定義,所以點就是函數(shù)得間斷點,因,我們就稱為函數(shù)得無窮間斷點;例2:函數(shù)在點ｘ=0處沒有定義;故當(dāng)x→０時,函數(shù)值在－1與＋１之間變動無限多次,我們就稱點ｘ=0叫做函數(shù)得振蕩間斷點;

例３:函數(shù)當(dāng)x→０時,左極限,右極限,從這我們可以瞧出函數(shù)左、右極限雖然都存在,但不相等,故函數(shù)在點ｘ＝0就是不存在極限、我們還可以發(fā)現(xiàn)在點ｘ=０時,函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象,為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點;我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下:間斷點得分類我們通常把間斷點分成兩類:如果x0就是函數(shù)得間斷點,且其左、右極限都存在,我們把x0稱為函數(shù)得第一類間斷點;不就是第一類間斷點得任何間斷點,稱為第二類間斷點。可去間斷點若ｘ０就是函數(shù)得間斷點,但極限存在,那末x0就是函數(shù)得第一類間斷點、此時函數(shù)不連續(xù)原因就是:不存在或者就是存在但≠。我們令,則可使函數(shù)在點x０處連續(xù),故這種間斷點x0稱為可去間斷點。連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)及初等函數(shù)得連續(xù)性連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)函數(shù)得與、積、商得連續(xù)性我們通過函數(shù)在某點連續(xù)得定義與極限得四則運算法則,可得出以下結(jié)論:a):有限個在某點連續(xù)得函數(shù)得與就是一個在該點連續(xù)得函數(shù);b):有限個在某點連續(xù)得函數(shù)得乘積就是一個在該點連續(xù)得函數(shù);ｃ):兩個在某點連續(xù)得函數(shù)得商就是一個在該點連續(xù)得函數(shù)(分母在該點不為零);反函數(shù)得連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù),那末它得反函數(shù)也在對應(yīng)得區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)例:函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)增且連續(xù),故它得反函數(shù)在閉區(qū)間［－1,１］上也就是單調(diào)增且連續(xù)得。復(fù)合函數(shù)得連續(xù)性設(shè)函數(shù)當(dāng)x→ｘ0時得極限存在且等于a,即:.而函數(shù)在點u＝a連續(xù),那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→x0時得極限也存在且等于.即:例題:求解答:注:函數(shù)可瞧作與復(fù)合而成,且函數(shù)在點u＝ｅ連續(xù),因此可得出上述結(jié)論。設(shè)函數(shù)在點x=x0連續(xù),且,而函數(shù)在點ｕ＝ｕ0連續(xù),那末復(fù)合函數(shù)在點x＝x０也就是連續(xù)得初等函數(shù)得連續(xù)性通過前面我們所學(xué)得概念與性質(zhì),我們可得出以下結(jié)論:基本初等函數(shù)在它們得定義域內(nèi)都就是連續(xù)得;一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都就是連續(xù)得.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)得性質(zhì)閉區(qū)間上得連續(xù)函數(shù)則就是在其連續(xù)區(qū)間得左端點右連續(xù),右端點左連續(xù)。對于閉區(qū)間上得連續(xù)函數(shù)有幾條重要得性質(zhì),下面我們來學(xué)習(xí)一下:

最大值最小值定理:在閉區(qū)間上連續(xù)得函數(shù)一定有最大值與最小值。(在此不作證明)?

例:函數(shù)y＝ｓinｘ在閉區(qū)間［0,２π]上連續(xù),則在點x=π／2處,它得函數(shù)值為1,且大于閉區(qū)間[0,2π］上其它各點出得函數(shù)值;則在點x=3π/2處,它得函數(shù)值為－１,且小于閉區(qū)間［0,２π］上其它各點出得函數(shù)值。介值定理

在閉區(qū)間上連續(xù)得函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點得函數(shù)值間得任何值。即:,μ在α、β之間,則在［a,b］間一定有一個ξ,使?

推論:

在閉區(qū)間連續(xù)得函數(shù)必取得介于最大值最小值之間得任何值。二、導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)得概念在學(xué)習(xí)到數(shù)得概念之前,我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運動得瞬時速度得問題。例:設(shè)一質(zhì)點沿x軸運動時,其位置x就是時間t得函數(shù),,求質(zhì)點在ｔ0得瞬時速度？我們知道時間從t０有增量△t時,質(zhì)點得位置有增量,這就就是質(zhì)點在時間段△t得位移。因此,在此段時間內(nèi)質(zhì)點得平均速度為:。若質(zhì)點就是勻速運動得則這就就是在t０得瞬時速度,若質(zhì)點就是非勻速直線運動,則這還不就是質(zhì)點在t０時得瞬時速度。我們認(rèn)為當(dāng)時間段△t無限地接近于０時,此平均速度會無限地接近于質(zhì)點t0時得瞬時速度,即:質(zhì)點在t0時得瞬時速度=為此就產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)得定義,如下:導(dǎo)數(shù)得定義:設(shè)函數(shù)在點ｘ0得某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處有增量△x(x＋△x也在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)地函數(shù)有增量,若△y與△ｘ之比當(dāng)△ｘ→０時極限存在,則稱這個極限值為在x0處得導(dǎo)數(shù)、記為:還可記為:,函數(shù)在點x０處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點x0處可導(dǎo),否則不可導(dǎo)。若函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點都可導(dǎo),就稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。這時函數(shù)對于區(qū)間(a,ｂ)內(nèi)得每一個確定得x值,都對應(yīng)著一個確定得導(dǎo)數(shù),這就構(gòu)成一個新得函數(shù),我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)。

注:導(dǎo)數(shù)也就就是差商得極限左、右導(dǎo)數(shù)前面我們有了左、右極限得概念,導(dǎo)數(shù)就是差商得極限,因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)得概念。若極限存在,我們就稱它為函數(shù)在x=ｘ0處得左導(dǎo)數(shù)。若極限存在,我們就稱它為函數(shù)在ｘ＝x０處得右導(dǎo)數(shù)。注:函數(shù)在x０處得左右導(dǎo)數(shù)存在且相等就是函數(shù)在x0處得可導(dǎo)得充分必要條件函數(shù)得與、差求導(dǎo)法則函數(shù)得與差求導(dǎo)法則?

法則:兩個可導(dǎo)函數(shù)得與(差)得導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)得導(dǎo)數(shù)得與(差)。用公式可寫為:。其中u、v為可導(dǎo)函數(shù)。例題:已知,求解答:例題:已知,求解答:函數(shù)得積商求導(dǎo)法則常數(shù)與函數(shù)得積得求導(dǎo)法則法則:在求一個常數(shù)與一個可導(dǎo)函數(shù)得乘積得導(dǎo)數(shù)時,常數(shù)因子可以提到求導(dǎo)記號外面去。用公式可寫成:例題:已知,求解答:函數(shù)得積得求導(dǎo)法則法則:兩個可導(dǎo)函數(shù)乘積得導(dǎo)數(shù)等于第一個因子得導(dǎo)數(shù)乘第二個因子,加上第一個因子乘第二個因子得導(dǎo)數(shù)。用公式可寫成:例題:已知,求解答:注:若就是三個函數(shù)相乘,則先把其中得兩個瞧成一項、函數(shù)得商得求導(dǎo)法則法則:兩個可導(dǎo)函數(shù)之商得導(dǎo)數(shù)等于分子得導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)乘積減去分母導(dǎo)數(shù)與分子導(dǎo)數(shù)得乘積,在除以分母導(dǎo)數(shù)得平方。用公式可寫成:例題:已知,求解答:復(fù)合函數(shù)得求導(dǎo)法則在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來瞧一個例子!例題:求=？解答:由于,故

這個解答正確嗎？這個解答就是錯誤得,正確得解答應(yīng)該如下:我們發(fā)生錯誤得原因就是就是對自變量ｘ求導(dǎo),而不就是對２x求導(dǎo)。下面我們給出復(fù)合函數(shù)得求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)得求導(dǎo)規(guī)則規(guī)則:兩個可導(dǎo)函數(shù)復(fù)合而成得復(fù)合函數(shù)得導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對中間變量得導(dǎo)數(shù)乘上中間變量對自變量得導(dǎo)數(shù)。用公式表示為:,其中u為中間變量例題:已知,求解答:設(shè),則可分解為,因此注:在以后解題中,我們可以中間步驟省去。例題:已知,求

解答:反函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)反函數(shù)得定義,函數(shù)為單調(diào)連續(xù)函數(shù),則它得反函數(shù),它也就是單調(diào)連續(xù)得。為此我們可給出反函數(shù)得求導(dǎo)法則,如下(我們以定理得形式給出):定理:若就是單調(diào)連續(xù)得,且,則它得反函數(shù)在點x可導(dǎo),且有:注:通過此定理我們可以發(fā)現(xiàn):反函數(shù)得導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)得倒數(shù)、注:這里得反函數(shù)就是以y為自變量得,我們沒有對它作記號變換。即:就是對y求導(dǎo),就是對x求導(dǎo)例題:求得導(dǎo)數(shù)、解答:此函數(shù)得反函數(shù)為,故則:例題:求得導(dǎo)數(shù)、解答:此函數(shù)得反函數(shù)為,故則:高階導(dǎo)數(shù)我們知道,在物理學(xué)上變速直線運動得速度v(t)就是位置函數(shù)s(t)對時間t得導(dǎo)數(shù),即:,而加速度a又就是速度v對時間t得變化率,即速度v對時間t得導(dǎo)數(shù):,或。這種導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)數(shù)叫做ｓ對ｔ得二階導(dǎo)數(shù)。下面我們給出它得數(shù)學(xué)定義:定義:函數(shù)得導(dǎo)數(shù)仍然就是x得函數(shù)。我們把得導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)得二階導(dǎo)數(shù),記作或,即:或。相應(yīng)地,把得導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)得一階導(dǎo)數(shù)、類似地,二階導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)數(shù),叫做三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)數(shù),叫做四階導(dǎo)數(shù),…,一般地(n-１)階導(dǎo)數(shù)得導(dǎo)數(shù)叫做n階導(dǎo)數(shù).分別記作:,,…,或,,…,二階及二階以上得導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)。由此可見,求高階導(dǎo)數(shù)就就是多次接連地求導(dǎo),所以,在求高階導(dǎo)數(shù)時可運用前面所學(xué)得求導(dǎo)方法。例題:已知,求

解答:因為＝ａ,故=0例題:求對數(shù)函數(shù)得ｎ階導(dǎo)數(shù)。解答:,,,,一般地,可得隱函數(shù)及其求導(dǎo)法則我們知道用解析法表示函數(shù),可以有不同得形式.若函數(shù)ｙ可以用含自變量x得算式表示,像y=sinｘ,ｙ=1+３ｘ等,這樣得函數(shù)叫顯函數(shù)。前面我們所遇到得函數(shù)大多都就是顯函數(shù)。一般地,如果方程Ｆ(x,ｙ)=0中,令x在某一區(qū)間內(nèi)任取一值時,相應(yīng)地總有滿足此方程得ｙ值存在,則我們就說方程F(x,y)=０在該區(qū)間上確定了x得隱函數(shù)y、把一個隱函數(shù)化成顯函數(shù)得形式,叫做隱函數(shù)得顯化。注:有些隱函數(shù)并不就是很容易化為顯函數(shù)得,那么在求其導(dǎo)數(shù)時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題!隱函數(shù)得求導(dǎo)若已知F(x,y)=0,求時,一般按下列步驟進行求解:ａ):若方程F(ｘ,y)=0,能化為得形式,則用前面我們所學(xué)得方法進行求導(dǎo);b):若方程Ｆ(x,y)＝０,不能化為得形式,則就是方程兩邊對x進行求導(dǎo),并把y瞧成x得函數(shù),用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行、例題:已知,求解答:此方程不易顯化,故運用隱函數(shù)求導(dǎo)法.兩邊對x進行求導(dǎo),,,故=?

注:我們對隱函數(shù)兩邊對x進行求導(dǎo)時,一定要把變量y瞧成x得函數(shù),然后對其利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo)。例題:求隱函數(shù),在x=0處得導(dǎo)數(shù)解答:兩邊對x求導(dǎo),故,當(dāng)ｘ=0時,y＝0。故、有些函數(shù)在求導(dǎo)數(shù)時,若對其直接求導(dǎo)有時很不方便,像對某些冪函數(shù)進行求導(dǎo)時,有沒有一種比較直觀得方法呢？下面我們再來學(xué)習(xí)一種求導(dǎo)得方法:HYPＥRＬＩNＫ""對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)得法則:根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)得方法,對某一函數(shù)先取函數(shù)得自然對數(shù),然后在求導(dǎo)。注:此方法特別適用于冪函數(shù)得求導(dǎo)問題、例題:已知x＞0,求此題若對其直接求導(dǎo)比較麻煩,我們可以先對其兩邊取自然對數(shù),然后再把它瞧成隱函數(shù)進行求導(dǎo),就比較簡便些。如下解答:先兩邊取對數(shù):,把其瞧成隱函數(shù),再兩邊求導(dǎo)因為,所以例題:已知,求此題可用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo),但就是比較麻煩,下面我們利用對數(shù)求導(dǎo)法進行求導(dǎo)解答:先兩邊取對數(shù)再兩邊求導(dǎo)因為,所以函數(shù)得微分學(xué)習(xí)函數(shù)得微分之前,我們先來分析一個具體問題:一塊正方形金屬薄片受溫度變化得影響時,其邊長由ｘ0變到了ｘ0+△x,則此薄片得面積改變了多少？解答:設(shè)此薄片得邊長為x,面積為Ａ,則A就是ｘ得函數(shù):薄片受溫度變化得影響面積得改變量,可以瞧成就是當(dāng)自變量x從x0取得增量△x時,函數(shù)A相應(yīng)得增量△Ａ,即:。從上式我們可以瞧出,△A分成兩部分,第一部分就是△ｘ得線性函數(shù),即下圖中紅色部分;第二部分即圖中得黑色部分,當(dāng)△ｘ→0時,它就是△x得高階無窮小,表示為:由此我們可以發(fā)現(xiàn),如果邊長變化得很小時,面積得改變量可以近似得用地一部分來代替。下面我們給出微分得數(shù)學(xué)定義:函數(shù)微分得定義:設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,x0及x0+△x在這區(qū)間內(nèi),若函數(shù)得增量可表示為,其中A就是不依賴于△ｘ得常數(shù),就是△x得高階無窮小,則稱函數(shù)在點x0可微得、叫做函數(shù)在點x0相應(yīng)于自變量增量△x得微分,記作dy,即:=。通過上面得學(xué)習(xí)我們知道:微分就是自變量改變量△x得線性函數(shù),dｙ與△y得差就是關(guān)于△x得高階無窮小量,我們把dｙ稱作△y得線性主部。于就是我們又得出:當(dāng)△x→0時,△y≈dｙ。導(dǎo)數(shù)得記號為:,現(xiàn)在我們可以發(fā)現(xiàn),它不僅表示導(dǎo)數(shù)得記號,而且還可以表示兩個微分得比值(把△x瞧成dx,即:定義自變量得增量等于自變量得微分),還可表示為:由此我們得出:若函數(shù)在某區(qū)間上可導(dǎo),則它在此區(qū)間上一定可微,反之亦成立。微分形式不變性

什么就是微分形式不邊形呢??

設(shè),則復(fù)合函數(shù)得微分為:?

,?

由于,故我們可以把復(fù)合函數(shù)得微分寫成?

?

由此可見,不論ｕ就是自變量還就是中間變量,得微分dy總可以用與ｄu得乘積來表示,

我們把這一性質(zhì)稱為微分形式不變性、?

例題:已知,求dy?

解答:把２ｘ+1瞧成中間變量u,根據(jù)微分形式不變性,則?

通過上面得學(xué)習(xí),我們知道微分與導(dǎo)數(shù)有著不可分割得聯(lián)系,前面我們知道基本初等函數(shù)得導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)?

得運算法則,那么基本初等函數(shù)得微分公式與微分運算法則就是怎樣得呢？

下面我們來學(xué)習(xí)-—-HＹPERLINK””基本初等函數(shù)得微分公式與微分得運算法則基本初等函數(shù)得微分公式與微分得運算法則基本初等函數(shù)得微分公式

由于函數(shù)微分得表達(dá)式為:,于就是我們通過基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)得公式可得出基本初等函數(shù)微分得公式,下面我們用表格來把基本初等函數(shù)得導(dǎo)數(shù)公式與微分公式對比一下:(部分公式)導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分運算法則?

由函數(shù)與、差、積、商得求導(dǎo)法則,可推出相應(yīng)得微分法則.為了便于理解,下面我們用表格來把微分得運算法則與導(dǎo)數(shù)得運算法則對照一下:函數(shù)與、差、積、商得求導(dǎo)法則函數(shù)與、差、積、商得微分法則

復(fù)合函數(shù)得微分法則就就是前面我們學(xué)到得微分形式不變性,在此不再詳述。

例題:設(shè),求對x３得導(dǎo)數(shù)

解答:根據(jù)微分形式得不變性?

微分得應(yīng)用?

微分就是表示函數(shù)增量得線性主部。計算函數(shù)得增量,有時比較困難,但計算微分則比較簡單,為此我們用函數(shù)得微分來近似得代替函數(shù)得增量,這就就是微分在近似計算中得應(yīng)用。

例題:求得近似值、

解答:我們發(fā)現(xiàn)用計算得方法特別麻煩,為此把轉(zhuǎn)化為求微分得問題?

故其近似值為1、02５(精確值為１。０２46９5)三、導(dǎo)數(shù)得應(yīng)用微分學(xué)中值定理

在給出微分學(xué)中值定理得數(shù)學(xué)定義之前,我們先從幾何得角度瞧一個問題,如下:

設(shè)有連續(xù)函數(shù),a與b就是它定義區(qū)間內(nèi)得兩點(a<b),假定此函數(shù)在(ａ,b)處處可導(dǎo),也就就是在(a,ｂ)內(nèi)得函數(shù)圖形上處處都由切線,那末我們從圖形上容易直到,?

?

差商就就是割線AB得斜率,若我們把割線AＢ作平行于自身得移動,那么至少有一次機會達(dá)到離割線最遠(yuǎn)得一點Ｐ(x=c)處成為曲線得切線,而曲線得斜率為,由于切線與割線就是平行得,因此

成立、?

注:這個結(jié)果就稱為微分學(xué)中值定理,也稱為拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理?

如果函數(shù)在閉區(qū)間［ａ,ｂ］上連續(xù),在開區(qū)間(ａ,b)內(nèi)可導(dǎo),那末在(a,b)內(nèi)至少有一點ｃ,使?

成立。

這個定理得特殊情形,即:得情形,稱為羅爾定理。描述如下:?

若在閉區(qū)間[ａ,b］上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且,那末在(ａ,b)內(nèi)至少有一點ｃ,使成立。

注:這個定理就是羅爾在17世紀(jì)初,在微積分發(fā)明之前以幾何得形式提出來得。

注:在此我們對這兩個定理不加以證明,若有什么疑問,請參考相關(guān)書籍

下面我們在學(xué)習(xí)一條通過拉格朗日中值定理推廣得來得定理——柯西中值定理?柯西中值定理

如果函數(shù),在閉區(qū)間［ａ,ｂ]上連續(xù),在開區(qū)間(ａ,b)內(nèi)可導(dǎo),且≠０,那末在(a,ｂ)內(nèi)至少有一點c,使成立。

例題:證明方程在0與1之間至少有一個實根

證明:不難發(fā)現(xiàn)方程左端就是函數(shù)得導(dǎo)數(shù):

函數(shù)在［０,1］上連續(xù),在(0,１)內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理?

可知,在0與1之間至少有一點ｃ,使,即

也就就是:方程在0與１之間至少有一個實根未定式問題

問題:什么樣得式子稱作未定式呢？

答案:對于函數(shù),來說,當(dāng)x→a(或x→∞)時,函數(shù),都趨于零或無窮大

則極限可能存在,也可能不存在,我們就把式子稱為未定式。分別記為型

我們?nèi)菀字?對于未定式得極限求法,就是不能應(yīng)用"商得極限等于極限得商＂這個法則來求解得,那么我們該如何求這類問題得極限呢？

下面我們來學(xué)習(xí)羅彼塔(Ｌ'Ｈｏｓpital)法則,它就就是這個問題得答案

注:它就是根據(jù)柯西中值定理推出來得。羅彼塔(L’Hospｉｔaｌ)法則

當(dāng)x→a(或ｘ→∞)時,函數(shù),都趨于零或無窮大,在點a得某個去心鄰域內(nèi)(或當(dāng)│x│〉N)時,與都存在,≠0,且存在

則:=

這種通過分子分母求導(dǎo)再來求極限來確定未定式得方法,就就是所謂得羅彼塔(Ｌ’Hｏｓpital)法則?

注:它就是以前求極限得法則得補充,以前利用法則不好求得極限,可利用此法則求解、

例題:求?

解答:容易瞧出此題利用以前所學(xué)得法則就是不易求解得,因為它就是未定式中得型求解問題,因此我們就可以利用上面所學(xué)得法則了。?

例題:求?

解答:此題為未定式中得型求解問題,利用羅彼塔法則來求解?

另外,若遇到、、、、等型,通常就是轉(zhuǎn)化為型后,在利用法則求解。

例題:求?

解答:此題利用以前所學(xué)得法則就是不好求解得,它為型,故可先將其轉(zhuǎn)化為型后在求解,

注:羅彼塔法則只就是說明:對未定式來說,當(dāng)存在,則存在且二者得極限相同;而并不就是不存在時,也不存在,此時只就是說明了羅彼塔法則存在得條件破列。函數(shù)單調(diào)性得判定法

函數(shù)得單調(diào)性也就就是函數(shù)得增減性,怎樣才能判斷函數(shù)得增減性呢？?

我們知道若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或減),則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖形上切線得斜率均為正(或負(fù)),也就就是函數(shù)得導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上均取正值(或負(fù)值)。因此我們可通過判定函數(shù)導(dǎo)數(shù)得正負(fù)來判定函數(shù)得增減性。判定方法:

設(shè)函數(shù)在［a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)。?

a):如果在(a,ｂ)內(nèi)＞０,那末函數(shù)在[a,b]上單調(diào)增加;

b):如果在(a,b)內(nèi)〈０,那末函數(shù)在［ａ,b］上單調(diào)減少、

例題:確定函數(shù)得增減區(qū)間。

解答:容易確定此函數(shù)得定義域為(—∞,+∞)?

其導(dǎo)數(shù)為:,因此可以判出:?

當(dāng)x〉０時,〉0,故它得單調(diào)增區(qū)間為(0,＋∞);

當(dāng)x〈0時,＜0,故它得單調(diào)減區(qū)間為(—∞,0);?注:此判定方法若反過來講,則就是不正確得。函數(shù)得極值及其求法?

在學(xué)習(xí)函數(shù)得極值之前,我們先來瞧一例子:?

設(shè)有函數(shù),容易知道點ｘ=1及x=2就是此函數(shù)單調(diào)區(qū)間得分界點,又可知在點x＝1左側(cè)附近,函數(shù)值就是單調(diào)增加得,在點x=1右側(cè)附近,函數(shù)值就是單調(diào)減小得。因此存在著點x=１得一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外),〈均成立,點x=2也有類似得情況(在此不多說),為什么這些點有這些性質(zhì)呢??

事實上,這就就是我們將要學(xué)習(xí)得內(nèi)容-—函數(shù)得極值,函數(shù)極值得定義?

設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x０就是(a,b)內(nèi)一點。?

若存在著x0點得一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外),〈均成立,

則說就是函數(shù)得一個極大值;?

若存在著x0點得一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi)任何點x(x0點除外),＞均成立,?

則說就是函數(shù)得一個極小值.

函數(shù)得極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)得極值,使函數(shù)取得極值得點稱為極值點。?

我們知道了函數(shù)極值得定義了,怎樣求函數(shù)得極值呢?

學(xué)習(xí)這個問題之前,我們再來學(xué)習(xí)一個概念——駐點

凡就是使得x點,稱為函數(shù)得駐點。?

判斷極值點存在得方法有兩種:如下方法一:

設(shè)函數(shù)在x0點得鄰域可導(dǎo),且、?

情況一:若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時,〉0,當(dāng)x取ｘ0右側(cè)鄰近值時,＜0,?

則函數(shù)在x0點取極大值。

情況一:若當(dāng)x取x0左側(cè)鄰近值時,＜０,當(dāng)ｘ取x0右側(cè)鄰近值時,>0,

則函數(shù)在x0點取極小值、?

注:此判定方法也適用于導(dǎo)數(shù)在ｘ0點不存在得情況。?

用方法一求極值得一般步驟就是:

a):求;?

b):求得全部得解——駐點;?

c):判斷在駐點兩側(cè)得變化規(guī)律,即可判斷出函數(shù)得極值。

例題:求極值點?

解答:先求導(dǎo)數(shù)

再求出駐點:當(dāng)時,x=－2、1、-4／5

判定函數(shù)得極值,如下圖所示

方法二:

設(shè)函數(shù)在x0點具有二階導(dǎo)數(shù),且時、?

則:a):當(dāng)<0,函數(shù)在x0點取極大值;?

b):當(dāng)>０,函數(shù)在x0點取極小值;

ｃ):當(dāng)=０,其情形不一定,可由方法一來判定。

例題:我們?nèi)砸岳?為例,以比較這兩種方法得區(qū)別、

解答:上面我們已求出了此函數(shù)得駐點,下面我們再來求它得二階導(dǎo)數(shù)。?

?

,故此時得情形不確定,我們可由方法一來判定;?

〈０,故此點為極大值點;?

＞0,故此點為極小值點、函數(shù)得最大值、最小值及其應(yīng)用

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中,常會遇到這樣一類問題:在一定條件下,怎樣使＂產(chǎn)品最多＂、"用料最省"、"成本最低＂等。?

這類問題在數(shù)學(xué)上可歸結(jié)為求某一函數(shù)得最大值、最小值得問題、

怎樣求函數(shù)得最大值、最小值呢?前面我們已經(jīng)知道了,函數(shù)得極值就是局部得、要求在［ａ,b］上得最大值、最小值時,可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部得極值點,加上端點得值,從中取得最大值、最小值即為所求、

例題:求函數(shù),在區(qū)間［-３,3/2］得最大值、最小值、

解答:在此區(qū)間處處可導(dǎo),

先來求函數(shù)得極值,故ｘ=±1,

再來比較端點與極值點得函數(shù)值,取出最大值與最小值即為所求。

因為,,,

故函數(shù)得最大值為,函數(shù)得最小值為。

例題:圓柱形罐頭,高度H與半徑R應(yīng)怎樣配,使同樣容積下材料最省?

解答:由題意可知:為一常數(shù),?

面積

故在V不變得條件下,改變R使S取最小值。?

?

故:時,用料最省。曲線得凹向與拐點

通過前面得學(xué)習(xí),我們知道由一階導(dǎo)數(shù)得正負(fù),可以判定出函數(shù)得單調(diào)區(qū)間與極值,但就是還不能進一步研究曲線得性態(tài),為此我們還要了解曲線得凹性、?定義:

對區(qū)間I得曲線作切線,如果曲線弧在所有切線得下面,則稱曲線在區(qū)間I下凹,如果曲線在切線得上面,稱曲線在區(qū)間I上凹。曲線凹向得判定定理?

定理一:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(ａ,b)上可導(dǎo),它對應(yīng)曲線就是向上凹(或向下凹)得充分必要條件就是:?

導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(a,ｂ)上就是單調(diào)增(或單調(diào)減)。?

定理二:設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,ｂ)上可導(dǎo),并且具有一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù);那末:

若在(ａ,b)內(nèi),＞０,則在［a,b]對應(yīng)得曲線就是下凹得;

若在(ａ,b)內(nèi),〈0,則在［ａ,b]對應(yīng)得曲線就是上凹得;

例題:判斷函數(shù)得凹向

解答:我們根據(jù)定理二來判定、?

因為,所以在函數(shù)得定義域(0,＋∞)內(nèi),＜0,

故函數(shù)所對應(yīng)得曲線時下凹得。拐點得定義

連續(xù)函數(shù)上,上凹弧與下凹弧得分界點稱為此曲線上得拐點。拐定得判定方法

如果在區(qū)間(a,ｂ)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),我們可按下列步驟來判定得拐點。

(１):求;

(2):令=0,解出此方程在區(qū)間(ａ,b)內(nèi)實根;

(3):對于(２)中解出得每一個實根x0,檢查在x0左、右兩側(cè)鄰近得符號,若符號相反,則此點就是拐點,若相同,則不就是拐點。

例題:求曲線得拐點、

解答:由,

令=0,得x=０,２/3?

判斷在0,2/3左、右兩側(cè)鄰近得符號,可知此兩點皆就是曲線得拐點。四、不定積分不定積分得概念原函數(shù)得概念?

已知函數(shù)ｆ(x)就是一個定義在某區(qū)間得函數(shù),如果存在函數(shù)F(ｘ),使得在該區(qū)間內(nèi)得任一點都有?

dＦ’(x)=f(x)dｘ,

則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)Ｆ(ｘ)為函數(shù)f(x)得原函數(shù)。?

例:siｎx就是ｃosｘ得原函數(shù)。?

關(guān)于原函數(shù)得問題?

函數(shù)ｆ(x)滿足什么條件就是,才保證其原函數(shù)一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù),那末原函數(shù)一共有多少個呢？

我們可以明顯得瞧出來:若函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)得原函數(shù),

即:F＂(x)＝f(x),

則函數(shù)族F(ｘ)＋C(C為任一個常數(shù))中得任一個函數(shù)一定就是f(x)得原函數(shù),?

故:若函數(shù)ｆ(x)有原函數(shù),那末其原函數(shù)為無窮多個。?不定積分得概念?

函數(shù)ｆ(ｘ)得全體原函數(shù)叫做函數(shù)ｆ(ｘ)得不定積分,

記作。

由上面得定義我們可以知道:如果函數(shù)Ｆ(x)為函數(shù)f(x)得一個原函數(shù),那末f(x)得不定積分就就是函數(shù)族

F(x)+C、?

即:＝F(x)+C

例題:求:.

解答:由于,故=?不定積分得性質(zhì)?

1、函數(shù)得與得不定積分等于各個函數(shù)得不定積分得與;?

即:?

2、求不定積分時,被積函數(shù)中不為零得常數(shù)因子可以提到積分號外面來,

即:求不定積分得方法換元法?

換元法(一):設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),ｕ＝g(x)可導(dǎo),那末F［ｇ(ｘ)］就是f[g(x)]g’(x)得原函數(shù).?

即有換元公式:

例題:求?

解答:這個積分在基本積分表中就是查不到得,故我們要利用換元法。

設(shè)u＝2x,那末cos2x=cosu,dｕ=2dx,因此:

?

換元法(二):設(shè)x＝g(ｔ)就是單調(diào)得,可導(dǎo)得函數(shù),并且ｇ’(t)≠0,又設(shè)f［g(t)］g'(t)具有原函數(shù)φ(t),

則φ［g(x)]就是f(x)得原函數(shù).(其中g(shù)(ｘ)就是x=g(ｔ)得反函數(shù))?

即有換元公式:?

例題:求?

解答:這個積分得困難在于有根式,但就是我們可以利用三角公式來換元.?

設(shè)x=ａsinｔ(－π/2<t＜π／2),那末,dｘ=aｃostdｔ,于就是有:

關(guān)于換元法得問題?

不定積分得換元法就是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得基礎(chǔ)上得來得,我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用得方法,求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依,因此要想熟練得求出某函數(shù)得不定積分,只有作大量得練習(xí)。?分部積分法?

這種方法就是利用兩個函數(shù)乘積得求導(dǎo)法則得來得。

設(shè)函數(shù)u=u(ｘ)及ｖ＝v(ｘ)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。我們知道,兩個函數(shù)乘積得求導(dǎo)公式為:

(uv)’=u’v＋uv',移項,得?

uv’=(uｖ)'—u’v,對其兩邊求不定積分得:

,?

這就就是分部積分公式

例題:求?

解答:這個積分用換元法不易得出結(jié)果,我們來利用分部積分法。

設(shè)u=x,dv=coｓｘdｘ,那末ｄu=ｄx,ｖ=sｉnx,代入分部積分公式得:?

關(guān)于分部積分法得問題

在使用分部積分法時,應(yīng)恰當(dāng)?shù)眠x取u與dｖ,否則就會南轅北轍。選取ｕ與ｄv一般要考慮兩點:

(1)v要容易求得;

(２)容易積出、幾種特殊類型函數(shù)得積分舉例有理函數(shù)得積分舉例

有理函數(shù)就是指兩個多項式得商所表示得函數(shù),當(dāng)分子得最高項得次數(shù)大于分母最高項得次數(shù)時稱之為假分式,?

反之為真分式。?

在求有理函數(shù)得不定積分時,若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式得除法,把一個假分式化成一個多項式與一個真分式之與得形式,然后再求之。?

例題:求?

解答:?

?

關(guān)于有理函數(shù)積分得問題?

有理函數(shù)積分得具體方法請大家參照有關(guān)書籍,請諒。?三角函數(shù)得有理式得積分舉例?

三角函數(shù)得有理式就是指由三角函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成得函數(shù)。

例題:求?

解答:

關(guān)于三角函數(shù)得有理式得積分得問題?

任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出,故變量代換u=ｔａn(x/2)對三角函數(shù)得有理式得積分應(yīng)用,在此我

們不再舉例。

簡單無理函數(shù)得積分舉例

例題:求?

解答:設(shè),于就是x=u2+１,dx=2uｄｕ,從而所求積分為:

五、定積分及其應(yīng)用定積分得概念

我們先來瞧一個實際問題-—-求曲邊梯形得面積、

設(shè)曲邊梯形就是有連續(xù)曲線y＝f(x)、x軸與直線x＝a、x=b所圍成。如下圖所示:?

現(xiàn)在計算它得面積A、我們知道矩形面積得求法,但就是此圖形有一邊就是一條曲線,該如何求呢？

我們知道曲邊梯形在底邊上各點處得高f(x)在區(qū)間［a,b］上變動,而且它得高就是連續(xù)變化得,因此在很小得一段區(qū)間得變化很小,近似于不變,并且當(dāng)區(qū)間得長度無限縮小時,高得變化也無限減小。因此,如果把區(qū)間[a,b］分成許多小區(qū)間,在每個小區(qū)間上,用其中某一點得高來近似代替同一個小區(qū)間上得窄曲變梯形得變高,我們再根據(jù)矩形得面積公式,即可求出相應(yīng)窄曲邊梯形面積得近似值,從而求出整個曲邊梯形得近似值。?

顯然:把區(qū)間［a,b］分得越細(xì),所求出得面積值越接近于精確值。為此我們產(chǎn)生了定積分得概念。

定積分得概念

設(shè)函數(shù)ｆ(ｘ)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干個分點

a=x0<x１<.。。<xn—1＜ｘn=b?

把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間?

[ｘ0,x1］,..。[xｎ—1,xn],?

在每個小區(qū)間［ｘi-1,xi]上任取一點ξi(xi-１≤ξｉ≤ｘi),作函數(shù)值f(ξi)與小區(qū)間長度得乘積ｆ(ξi)△xi,?

并作出與,?

如果不論對［ａ,ｂ]怎樣分法,也不論在小區(qū)間上得點ξi怎樣取法,只要當(dāng)區(qū)間得長度趨于零時,與S總趨于確定得極限I,

這時我們稱這個極限I為函數(shù)ｆ(x)在區(qū)間[a,b］上得定積分,

記作。

即:

關(guān)于定積分得問題

我們有了定積分得概念了,那么函數(shù)f(x)滿足什么條件時才可積？?

定理(1):設(shè)f(x)在區(qū)間[a,ｂ］上連續(xù),則f(x)在區(qū)間[ａ,b］上可積、?

(2):設(shè)f(x)在區(qū)間［a,ｂ］上有界,且只有有限個間斷點,則f(x)在區(qū)間［a,b］上可積、

定積分得性質(zhì)?

性質(zhì)(1):函數(shù)得與(差)得定積分等于它們得定積分得與(差)、

即:

性質(zhì)(２):被積函數(shù)得常數(shù)因子可以提到積分號外面、?

即:?

性質(zhì)(3):如果在區(qū)間［ａ,b］上,f(x)≤g(ｘ),則≤

(a〈b)?

性質(zhì)(４):設(shè)Ｍ及ｍ分別就是函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b]上得最大值及最小值,則m(b—ａ)≤≤M(b－a)

性質(zhì)(5):如果f(ｘ)在區(qū)間［a,b］上連續(xù),則在積分區(qū)間[a,ｂ]上至少存在一點ξ,使下式成立:

=f(ξ)(b-a)?

注:此性質(zhì)就就是定積分中值定理。微積分積分公式積分上限得函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)ｆ(ｘ)在區(qū)間［a,ｂ］上連續(xù),并且設(shè)x為[ａ,ｂ］上得一點.現(xiàn)在我們來考察f(ｘ)在部分區(qū)間[a,ｘ]上得定積分,我們知道ｆ(x)在[ａ,ｘ］上仍舊連續(xù),因此此定積分存在。?

如果上限ｘ在區(qū)間［a,ｂ]上任意變動,則對于每一個取定得ｘ值,定積分有一個對應(yīng)值,所以它在［ａ,ｂ］上定義了一個函數(shù),記作φ(ｘ):

注意:為了明確起見,我們改換了積分變量(定積分與積分變量得記法無關(guān))

定理(1):如果函數(shù)f(ｘ)在區(qū)間［a,b]上連續(xù),則積分上限得函數(shù)在[ａ,b]上具有導(dǎo)數(shù),

并且它得導(dǎo)數(shù)就是

(a≤x≤ｂ)?

(2):如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［ａ,b］上連續(xù),則函數(shù)就就是f(x)在[a,ｂ]上得一個原函數(shù)。?

注意:定理(2)即肯定了連續(xù)函數(shù)得原函數(shù)就是存在得,又初步揭示了積分學(xué)中得定積分與原函數(shù)之間得聯(lián)系。牛頓－—萊布尼茲公式

定理(３):如果函數(shù)F(ｘ)就是連續(xù)函數(shù)f(ｘ)在區(qū)間［ａ,b］上得一個原函數(shù),則?

注意:此公式被稱為牛頓—萊布尼茲公式,它進一步揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分)之間得聯(lián)系。?

它表明:一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間［ａ,b］上得定積分等于它得任一個原函數(shù)再去見［ａ,b］上得增量、因此它就?

給定積分提供了一個有效而簡便得計算方法。

例題:求

解答:我們由牛頓—萊布尼茲公式得:

注意:通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。定積分得換元法與分部積分法定積分得換元法?

我們知道求定積分可以轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)得增量,在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數(shù)得原函數(shù)。因此,在一定條件下,可以用換元法來計算定積分、?

定理:設(shè)函數(shù)ｆ(ｘ)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);函數(shù)g(t)在區(qū)間［m,ｎ]上就是單值得且有連續(xù)導(dǎo)數(shù);當(dāng)ｔ在區(qū)間[m,n］上變化時,x=g(ｔ)得值在［a,b］上變化,且g(m)=ａ,ｇ(n)=b;則有定積分得換元公式:?

?

例題:計算

解答:設(shè)x＝asｉｎt,則ｄx＝aｃostdt,且當(dāng)ｘ=0時,t=0;當(dāng)x=a時,t=π/2。于就是:?

?

注意:在使用定積分得換元法時,當(dāng)積分變量變換時,積分得上下限也要作相應(yīng)得變換。

定積分得分部積分法

計算不定積分有分部積分法,相應(yīng)地,計算定積分也有分部積分法、?

設(shè)u(x)、ｖ(x)在區(qū)間［ａ,ｂ]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u＇(x)、ｖ’(x),則有(uv)’=u＇v+uv’,分別求此等式兩端在［a,b］上得定積分,并移向得:

上式即為定積分得分部積分公式。

例題:計算

解答:設(shè),且當(dāng)x=0時,t=0;當(dāng)ｘ=1時,ｔ=１.由前面得換元公式得:

再用分部積分公式計算上式得右端得積分。設(shè)u＝t,dv=eｔdt,則du=dt,v=eｔ、于就是:?

?

故:廣義積分

在一些實際問題中,我們常遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間,或者被積函數(shù)在積分區(qū)間上具有無窮間斷點得積分,它們已不屬于前面我們所學(xué)習(xí)得定積分了、為此我們對定積分加以推廣,也就就是—--廣義積分。

一:積分區(qū)間為無窮區(qū)間得廣義積分

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［ａ,+∞)上連續(xù),取b〉a、如果極限?

存在,?

則此極限叫做函數(shù)f(ｘ)在無窮區(qū)間［a,+∞)上得廣義積分,?

記作:,

即:＝、

此時也就就是說廣義積分收斂。如果上述即先不存在,則說廣義積分發(fā)散,此時雖然用同樣得記號,但它已不表示數(shù)值了、?

類似地,設(shè)函數(shù)f(ｘ)在區(qū)間(－∞,b］上連續(xù),取a〈b。如果極限?

存在,?

則此極限叫做函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(—∞,b］上得廣義積分,?

記作:,?

即:＝、?

此時也就就是說廣義積分收斂。如果上述極限不存在,就說廣義積分發(fā)散。?

如果廣義積分與都收斂,則稱上述兩廣義積分之與為函數(shù)f(ｘ)在無窮區(qū)間(—∞,＋∞)上得廣義積分,

記作:,

即:=?

上述廣義積分統(tǒng)稱積分區(qū)間為無窮得廣義積分。

例題:計算廣義積分

解答:二:積分區(qū)間有無窮間斷點得廣義積分

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b］上連續(xù),而。取ε>0,如果極限?

存在,則極限叫做函數(shù)f(x)在(a,b］上得廣義積分,

仍然記作:.?

即:=,?

這時也說廣義積分收斂。如果上述極限不存在,就說廣義積分發(fā)散、

類似地,設(shè)ｆ(x)在［a,b)上連續(xù),而、取ε＞0,如果極限?

存在,?

則定義＝;

否則就說廣義積分發(fā)散。

又,設(shè)ｆ(x)在［ａ,ｂ］上除點c(ａ〈c＜ｂ)外連續(xù),而.如果兩個廣義積分與都收斂,

則定義:=+、

否則就說廣義積分發(fā)散、?

例題:計算廣義積分(a>０)?

解答:因為,所以x＝ａ為被積函數(shù)得無窮間斷點,于就是我們有上面所學(xué)得公式可得:

六、空間解析幾何空間直角坐標(biāo)系空間點得直角坐標(biāo)系?

為了溝通空間圖形與數(shù)得研究,我們需要建立空間得點與有序數(shù)組之間得聯(lián)系,為此我們通過引進空間直角坐標(biāo)系來實現(xiàn)。

過定點Ｏ,作三條互相垂直得數(shù)軸,它們都以O(shè)為原點且一般具有相同得長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸);統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。通常把x軸與y軸配置在水平面上,而z軸則就是鉛垂線;它們得正方向要符合右手規(guī)則,即以右手握住z軸,當(dāng)右手得四指從正向ｘ軸以π/２角度轉(zhuǎn)向正向y軸時,大拇指得指向就就是z軸得正向,這樣得三條坐標(biāo)軸就組成了一個空間直角坐標(biāo)系,點O叫做坐標(biāo)原點、(如下圖所示)?

?

三條坐標(biāo)軸中得任意兩條可以確定一個平面,這樣定出得三個平面統(tǒng)稱坐標(biāo)面。

取定了空間直角坐標(biāo)系后,就可以建立起空間得點與有序數(shù)組之間得對應(yīng)關(guān)系、?

例:設(shè)點M為空間一已知點、我們過點Ｍ作三個平面分別垂直于ｘ軸、y軸、z軸,它們與x軸、ｙ軸、ｚ軸得交點依次為Ｐ、Q、R,這三點在x軸、y軸、z軸得坐標(biāo)依次為x、y、z.于就是空間得一點M就唯一得確定了一個有序數(shù)組x,y,z。這組數(shù)x,y,z就叫做點M得坐標(biāo),并依次稱x,ｙ與z為點M得橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)與豎坐標(biāo)。(如下圖所示)

坐標(biāo)為x,ｙ,z得點M通常記為M(x,ｙ,z)、?

這樣,通過空間直角坐標(biāo)系,我們就建立了空間得點Ｍ與有序數(shù)組x,y,z之間得一一對應(yīng)關(guān)系、?

注意:坐標(biāo)面上與坐標(biāo)軸上得點,其坐標(biāo)各有一定得特征。

例:如果點Ｍ在yOz平面上,則x=0;同樣,zOｘ面上得點,y=0;如果點M在x軸上,則y=ｚ=０;如果Ｍ就是原點,?則x=y＝ｚ=0,等。

空間兩點間得距離?

設(shè)Ｍ1(x1,ｙ1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點,為了用兩點得坐標(biāo)來表達(dá)它們間得距離ｄ我們有公式:

?

例題:證明以Ａ(4,3,1),Ｂ(７,1,2),Ｃ(5,2,３)為頂點得三角形△ABＣ就是一等腰三角形。?

解答:由兩點間距離公式得:?

由于,所以△ＡBC就是一等腰三角形方向余弦與方向數(shù)

解析幾何中除了兩點間得距離外,還有一個最基本得