2024年高中數(shù)學(xué)專題8-11重難點題型培優(yōu)精講空間直線平面的垂直一教師版新人教A版必修第二冊

專題8.11空間直線、平面的垂直（一）1．異面直線所成的角(1)兩條異面直線所成的角的定義

如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a'∥a，b'∥b，我們把直線a'，b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)異面直線所成的角的范圍

異面直線所成的角必需是銳角或直角，即的范圍是<.(3)兩條異面直線垂直的定義

假如兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線相互垂直.直線a與直線b垂直，記作a⊥b.2．直線與平面垂直(1)定義假如直線l與平面內(nèi)的隨意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面相互垂直，記作l⊥.直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足.(2)點到平面的距離過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.3．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：假如一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.4．直線與平面所成的角(1)定義①斜線和斜足：如圖，一條直線l與一個平面相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足.

②斜線在平面上的射影：如圖，過斜線上斜足以外的一點P向平面引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.

③斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.(2)直線與平面所成的角的范圍

①一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是.

②一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是.

③與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角的范圍是<.

④直線與平面所成的角的取值范圍是.5．直線與平面垂直的性質(zhì)定理(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理①自然語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．②圖形語言：如圖所示．③符號語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.

(2)性質(zhì)定理的作用

①由線面垂直證明線線平行.

②構(gòu)造平行線.6．點在平面內(nèi)射影位置的確定立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內(nèi)的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關(guān)鍵.一般來說，可以干脆過這個點作平面的垂線，然后通過證明或計算說明垂足的位置，也可以借助以下一些常見結(jié)論進行確定.

(1)假如一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上.

(2)經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，假如斜線與這個角的兩邊的夾角相等，那么該斜線在平面內(nèi)的射影是這個角的平分線所在直線.【題型1異面直線所成的角】【方法點撥】(1)構(gòu)造：依據(jù)異面直線的定義，用平移法(常利用三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角.(2)證明：證明作出的角就是要求的角.(3)計算：求角度(常利用三角形的有關(guān)學(xué)問).(4)結(jié)論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角.【例1】在三棱錐P-ABC中，PB⊥平面ABC，且AB=PB=23，AC=BC=2，E，F(xiàn)分別為A．38 B．58 C．3【解題思路】要求異面直線的夾角，利用線線平行進行轉(zhuǎn)化，如圖分別取AB，PB的中點M，G，連接FM，ME，GE，F(xiàn)G，則GE∥PC，所以∠FEG或其補角為異面直線EF【解答過程】如圖所示，分別取AB，PB的中點M，G，連接FM，ME，GE，F(xiàn)G，則GE∥PC，所以∠FEG（或其補角）為異面直線EF因為AB=PB=23，AC=因為PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴FM⊥平面ABC，PB⊥BC，所以FM⊥ME，且在Rt△FME中，在△FEG中，EG=1由余弦定理得cos∠所以異面直線EF與PC所成角的余弦值為58故選：B.【變式1-1】（2024春·安徽·高二開學(xué)考試）如圖，已知等腰直角三角形ABC的斜邊BC的中點為O，且BC=4，點P為平面ABC外一點，且PB=PC=22，PA=2，則異面直線A．38 B．34 C．2【解題思路】取AC中點D，連接OD，PD，則∠POD【解答過程】如圖取AC中點D，連接OD，PD，因為O是BC中點，全部OD∥BC，則因為BC=4，PB=PC又因為△ABC是等腰直角三角形，所以AB=AC在△PAC中由余弦定理可得cos所以在△PAD中由余弦定理可得PD所以cos∠故選：D.【變式1-2】（2024·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考一模）圖（1）是由正方形ABCD和正三角形PAD組合而成的平面圖形，將三角形PAD沿AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD，如圖（2），則異面直線PB與DC所成角的大小為（

A．15° B．30° C．45【解題思路】由平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，從而AB⊥PA．由AB∥【解答過程】∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB?∴AB⊥平面PAD，又PA?平面PAD，∴∵AB∥DC，∴∠PBA為異面直線PB∵PA=AB，∴故選：C．【變式1-3】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，PA．π2 B．π3 C．π【解題思路】平移直線B1C至A1D，將直線DP與B1【解答過程】如圖，連接A1P，A1D，所以∠PDA1或其補角為直線DP因為BB1⊥平面A1B1C1DBB1∩B1D1=B又PD?平面BDD1設(shè)正方體的棱長為2，則A1D=2在Rt△A1DP中，故選：D.【題型2線線垂直的判定】【方法點撥】通過異面直線所成的角為，來證明線線垂直；通過基本的平面圖形的幾何性質(zhì)來實現(xiàn)線線垂直的探究；通過線面垂直的關(guān)系來證明線線垂直.【例2】（2024·高一課時練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1A．AB B．CD C．A1B【解題思路】證明A1B⊥平面A【解答過程】連結(jié)A1C1,BC1在直角三角形AA1C1中，∠C∠C1AB為直線AB在直角三角形C1AB中，∠C1AB由AB//CD，所以AB,在正方體ABCD-AB1C1⊥平面ABB1由AB1∩B1AC1?平面故選:C.【變式2-1】（2024·高一課時練習(xí)）如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有（

）A．2條 B．4條C．6條 D．8條【解題思路】依據(jù)線線之間的垂直關(guān)系推斷即可.【解答過程】在長方體ABCD－A1B1C1D1的棱中，與棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8條．故選：D.【變式2-2】（2024·高一課時練習(xí)）如圖，P為△ABC所在平面α外一點，PB⊥α，PC⊥ACA．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【解題思路】依據(jù)垂直關(guān)系，先證明AC⊥平面PBC，即可證明BC【解答過程】由題PB⊥α，AC?α，所以PC,PB是平面PBC內(nèi)兩條相交直線，所以AC⊥平面PBC，BC所以BC⊥所以△ABC故選：B.【變式2-3】（2024·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）如圖所示，在正方體ABCD-A1B1A．BC1 B．A1D【解題思路】由平行關(guān)系可確定B1D1【解答過程】∵四邊形ABCD為正方形，∴AC∵B1D1故選：C.【題型3線面垂直判定定理的應(yīng)用】【方法點撥】利用直線與平面垂直的判定定理判定線面垂直的步驟：(1)在這個平面內(nèi)找兩條直線，使要證直線和這兩條直線垂直；(2)確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)依據(jù)判定定理得出結(jié)論.【例3】（2024·上海·高二專題練習(xí)）在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2及G2G3的中點，D是EF的中點．現(xiàn)在沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個空間四邊形，使A．SG⊥△EFG所在平面 B．C．GF⊥△SEF所在平面 D．【解題思路】留意翻折前后的角度的變與不變，依據(jù)線面垂直的判定定理得到SG⊥平面GEF假設(shè)SD⊥平面EFG，推出SD由SG⊥平面GEF得到SG⊥GF，結(jié)合GF⊥GE證明出GF⊥平面GES，假設(shè)GF⊥由SG⊥面EFG得到SG⊥GD，假設(shè)GD⊥平面SEF，則【解答過程】對于A，在正方形SG1G2G所以在四面體S-EFG中，SG⊥又GE,?GF?平面GEF，GE∩對于B，若SD⊥平面EFG，結(jié)合選項A，則SD對于C，因為SG⊥面EFG，GF?面EFG，所以又GF⊥GE，GE,?GS?平面GES，假設(shè)GF⊥平面SEF，則平面GES//平面對于D，因為SG⊥面EFG，GD?面EFG，所以若GD⊥平面SEF，SD?平面SEF，則SG,?GD,?故選：A.【變式3-1】（2024春·遼寧·高一期末）已知α,β,γ是三個不同的平面，l,m,A．n⊥lC．n⊥α【解題思路】由線面垂直的判定定理結(jié)合圖象推斷即可求解【解答過程】當(dāng)m//n時（如圖所示），由n⊥l,同理可知，B,若m⊥α,n⊥β，可知m與故選：D.【變式3-2】（2024秋·寧夏石嘴山·高二階段練習(xí)）如圖，PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的隨意一點（不與A，B重合），則下列說法錯誤的是（

）A．PA⊥平面ABC B．BC⊥C．AC⊥平面PBC D．三棱錐P【解題思路】依據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直的判定、性質(zhì)推理即可推斷作答.【解答過程】因PA是圓柱的母線，AB是圓柱的底面直徑，C是圓柱底面圓周上的隨意一點（不與A，B重合），則PA⊥平面ABC而BC?平面ABC，則PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC=A由選項A知，△PAB,△假定AC⊥平面PBC，PC?平面PBC，則AC⊥PC，即∠PCA所以AC⊥平面PBC故選：C.【變式3-3】（2024春·天津河西·高一期末）如圖，圓柱OO'中，AA'是側(cè)面的母線，AB是底面的直徑，A．BC⊥平面A'AC B．C．AC⊥平面A'BC D．【解題思路】依據(jù)線面垂直的判定定理及定義推斷即可；【解答過程】解：依題意AA'⊥平面ABC，BC?平面又AB是底面圓的直徑，所以BC⊥AA'∩AC=A，AA對于B：明顯BC與AB不垂直，則BC不行能垂直平面A'對于C：明顯AC與A'C不垂直，則AC不行能垂直平面對于D：明顯AC與AB不垂直，則AC不行能垂直平面A'故選：A.【題型4直線與平面所成的角】【方法點撥】求直線與平面所成的角的一般步驟：(1)作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c向平面引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵.(2)證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義.(3)求：一般借助三角形的相關(guān)學(xué)問求角.【例4】（2024春·四川達州·高二開學(xué)考試）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，ABA．13 B．36 C．3【解題思路】連接B1C交BC1于F，由題意可知D1C1與平面A1BC1所成角與A1B1與平面A1BC1所成角相等，由題意可證平面A1B1F⊥【解答過程】解：連接B1C交BC設(shè)D1C1與平面A1BC1所以A1B1與平面A如圖：因為在長方體ABCD-A1B1所以四邊形BB1C1C是正方形，F(xiàn)A1B=又A1F∩BC所以BC1⊥平面A1B所以平面A1B1過B1作B1E因為面A1B1F⊥面A1BC1，A1F所以B1E⊥所以∠B1A所以sinθ故選：A.【變式4-1】（2024春·山東聊城·高一階段練習(xí)）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，BC=2，PCA．433π B．43【解題思路】推斷出PC是外接球的直徑，求得PC，從而計算出外接球的體積.【解答過程】由于PA⊥平面ABCD，BC,CD?平面由于四邊形ABCD是矩形，所以BC⊥由于PA∩AB=A,PA,由于PB?平面PAB，所以BC⊥PB所以PC是外接球的直徑.由BC⊥平面PAB可知：∠CPB是PC與平面所以∠CPB=30°所以外接球的半徑為12所以外接球的體積為4π3故選：C.【變式4-2】（2024秋·廣西玉林·高二階段練習(xí)）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2A．1 B．2 C．23 D．【解題思路】由長方體性質(zhì)確定線面角∠DED1且tan∠DE【解答過程】依據(jù)長方體性質(zhì)知DD1⊥面ABCD，故∠DED所以∠DED1=π所以在Rt△AED中故選：B.【變式4-3】（2024春·廣西桂林·高二期中）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且PD=AB=a，G為△ABC的重心，則A．34 B．1717 C．3【解題思路】連接BD，推斷G在BD上，推斷∠PGD為PG與底面ABCD【解答過程】連接BD交AC于O，四邊形ABCD為正方形，則O為AC中點，∵G為△ABC的重心，則G在BD上，且OGGB∴DG=∵PD⊥底面ABCD，∴∠PGD為PG與底面ABCD所成的角，BD?面ABCD，則∴PG=∴sin∠故選：C.【題型5直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【方法點撥】(1)線面垂直的性質(zhì)定理、基本事實4及線面平行的性質(zhì)定理都是證明線線平行的依據(jù)，至于線面平行、面面平行，歸結(jié)到最終還是要先證明線線平行.(2)要證線線垂直，只需證線面垂直，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得到線線垂直.【例5】（2024春·甘肅天水·高三開學(xué)考試）如圖，四棱錐P—ABCD，底面ABCD是邊長為2的菱形，PA=PC，PD=2，∠DAC(1)證明：AC⊥PD；(2)若PB=23，求四棱錐P—【解題思路】（1）設(shè)AC∩BD=O，PO⊥AC，再由（2）由（1）AC⊥平面PBD，因此可由V【解答過程】（1）設(shè)AC∩BD=O，連接PO，因為又ABCD是菱形，所以AC⊥PO∩BD=O，所以AC⊥平面PBD，又PD?平面PBD，所以（2）ABCD是菱形，∠DAC=π6，則∠DABAC=2△PBD中，PD=BD=2，PB=2S△由（1）AC⊥平面PBDVP【變式5-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖（1），在梯形ABCD中，AD?//?BC且AD⊥CD，線段AD上有一點E，滿足CD=DE=1，AE=BC=2，現(xiàn)將△【解題思路】在△BEC中，求得BE=2，結(jié)合勾股定理證得BE⊥EC，AB⊥BE，從而證得AB⊥平面BDE，再在Rt△EDC和△BDC【解答過程】證明：在Rt△EDC中，所以EC=2，在△BEC中，EC=2，BC由余弦定理得BE=所以EC2+同理可得，在△ABE中，AB=2在△ABD中，AB2因為BD∩BE=B，BD，BE?平面BDE在Rt△EDC中，在△BDC中，BD2因為ED∩BD=D，ED,BD?所以AB?【變式5-2】（2024秋·山東濰坊·高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中點，M，N分別在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.證明：AE∥MN.【解題思路】依據(jù)線面垂直的判定定理可證AE⊥平面PCD，MN⊥平面PCD，則可得AE∥MN．【解答過程】因為AB⊥平面PAD，AE?平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因為AD＝AP，E是PD的中點，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD?平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因為MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因為MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD?平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.【變式5-3】（2024·湖北·模擬預(yù)料）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，點D(1)若AA1=(2)求三棱柱ABC-【解題思路】（1）取AB中點H，連接A1H,C1H,（2）計算S=32【解答過程】（1）取AB中點H，連接A1H,C1則AH⊥AA1⊥平面ABC，CH?平面CH⊥AB，AA1∩AB=A，B1D?平面A又A1H∩CH=H，A1而A1C?平面A（2）設(shè)AB=t>0體積V=VS=3【題型6平面內(nèi)的射影問題】【方法點撥】立體幾何中經(jīng)常遇到由一個點向一個平面作垂線的問題，垂線的位置由這個點在平面內(nèi)的射影位置來確定，因此確定這個點的射影位置是解題的關(guān)鍵.【例6】（2024秋·上海靜安·高二期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一個四面體，使B、C、D三點重合，重合后的點記為P，點P在△AEF內(nèi)的射影為O，則O為△AEF的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【解題思路】利用線面垂直的判定、性質(zhì)證明EF⊥AO、AF⊥【解答過程】由題意知：BE=EC=因為AP⊥PE,AP⊥PF，所以AP⊥面PEF，同理證：EP⊥面PAF，F(xiàn)P⊥由EF?面PEF，則AP⊥EF，同理證：EP由P在△AEF內(nèi)的射影O，故PO⊥面AEF，而EF,AF所以PO⊥由AP∩PO=P，AP,PO?面APO，則EF所以EF⊥AO，同理可證：AF⊥所以O(shè)為△AEF的垂心.故選：D.【變式6-1】（2024秋·山東濰坊·高二開學(xué)考試）若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的射影A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解題思路】依據(jù)且PA⊥BC，PB⊥AC，利用線面垂直的判定定理得到【解答過程】解：如圖所示：因為PA⊥BC,所以BC⊥平面PAO，則BC同理得OB⊥所以O(shè)是△ABC故選：D.【變式6-2】（2024春?瑤海區(qū)月考）已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，E