高中數(shù)學(xué)直線與方程

第三章直線與方程

§3.1直線的傾斜角與斜率

3.1.1傾斜角與斜率

【課時(shí)目標(biāo)】1.理解直線的傾斜角和斜率的概念.2.掌

握求直線斜率的兩種方法.3.了解在平面直角坐標(biāo)系中確定一

條直線的幾何要素.

知識梳理?

1.傾斜角與斜率的概念

表

示

或

定義

記

法

傾當(dāng)直線/與％軸時(shí)，我們?nèi)∽鳛榛鶞?zhǔn)，無軸與直線之間

斜所成的角叫做直線/的傾斜角.當(dāng)直線/與工軸平行或a

角重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為0。

斜k=

直線I/的傾斜角a（aW90。）的

率a

2.傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系

7

圖示

nO\X

傾斜角

a=G°0°<a<90°a=90°<ct<180°

（范圍）

斜率斜率不

0大于0小于0

（范圍）存在

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一、選擇題

1.對于下列命題

①若a是直線/的傾斜角，則0°Wa<180°；

②若女是直線的斜率，則

③任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率；

④任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

2.斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)4（3,5）、B（a,7）、C（—1,力三

點(diǎn)，則a、6的值為（）

A.<a=4,b=0B.a=-4,b=~3

C.a=4,6=-3D.a——4,6=3

3.設(shè)直線/過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為a,如果將/繞坐

標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到直線1”那么人的傾斜角

為（）

A.a+45°

B.。一135°

C.135°-a

D.當(dāng)0°Wa<135°時(shí)，傾斜角為。+45°；當(dāng)

135°Wa<180°時(shí)，傾斜角為a—135°

4.直線/過原點(diǎn)（0,0）,且不過第三象限，那么/的傾斜角

。的取值范圍是（）

A.[0°,90°]B.[90°,180°）

C.[90°,180°）或a=0°D.[90°,135°]

5.若圖中直線h、八4的斜率分別為左、左、左，則（）

A.左〈左〈左B.左〈左〈左

C.kKkzVkD.kSk'Kk?

6.直線+—1=0同時(shí)過第一、三、四象限的條件是（）

A.>0B.<0

C.力>0,水0D.加<0,/2<0

二、填空題

7.若直線與y軸的夾角為60°,則直線的傾斜角為，斜率

為.

8.如圖，已知△為等腰三角形，且底邊與x軸平行，則4

三邊所在直線的斜率之和為.

9.已知直線/的傾斜角為。一20°,則a的取值范圍是.

三、解答題

10.如圖所示，菱形中，Z=60°,求菱形各邊和兩條對角

線所在直線的傾斜角和斜率.

11.一條光線從點(diǎn)4(—1,3)射向x軸，經(jīng)過x軸上的點(diǎn)P

反射后通過點(diǎn)8(3,1),求夕點(diǎn)的坐標(biāo).

【能力提升】

12.已知實(shí)數(shù)x,'滿足y=—2x+8,當(dāng)2WxW3時(shí)，求的

最大值和最小值.

13.已知函數(shù)f（x）=2（x+l）,a>b>c>0,則，，的大小關(guān)系

是.

⑥反思感悟

1.利用直線上兩點(diǎn)確定直線的斜率，應(yīng)從斜率存在、不存

在兩方面入手分類討論，斜率不存在的情況在解題中容易忽視，

應(yīng)引起注意.

2.三點(diǎn)共線問題：（1）已知三點(diǎn)4B,C,若直線，的斜率

相同，則三點(diǎn)共線；（2）三點(diǎn)共線問題也可利用線段相等來求，

若+=,也可斷定4B,。三點(diǎn)共線.

3.斜率公式的幾何意義：在解題過程中，要注意開發(fā)“數(shù)

形”的轉(zhuǎn)化功能，直線的傾斜角與斜率反映了某一代數(shù)式的幾何

特征，利用這種特征來處理問題更直觀形象，會(huì)起到意想不到的

效果.

第三章直線與方程

§3.1直線的傾斜角與斜率

3.1.1傾斜角與斜率

答案

知識梳理

1.相交x軸正向向上方向正切值

2.90°

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.C[①②③正確.]

2.C[由題意，得錯(cuò)誤!即錯(cuò)誤！

解得a=4,b=-3.]

3.D[因?yàn)?°^a<180°,顯然4B,0未分類討論,

均不全面，不合題意.通過畫圖(如圖所示)可知:

當(dāng)0°<135°時(shí)，傾斜角為a+45°；

當(dāng)135°a<180°時(shí)，傾斜角為45°+a-180°=a-

135°.]

4.C[傾斜角的取值范圍為0°Wa<180。，直線過原點(diǎn)

且不過第三象限，切勿忽略x軸和y軸.]

5.D[由圖可知,k/0,k2>0,k3>0,

且一比L的傾斜角大.，kKk3<k2.]

6.C[由題意知，直線與x軸不垂直，故n/0.直線方程

化為y=—x+,則一>0,且<0,即m>0,n<0.]

7.30°或150°或-8.0

9.20°a<200°

解析因?yàn)橹本€的傾斜角的范圍是[0°,180。),

所以0°Wa—20°<180°,解之可得20°Wa<200°.

10.解a=a=60°,a=a=0°,a=30°,a=120°.

--fl

9V，9?

11.解設(shè)P(x,0),則==一,

==,依題意，

由光的反射定律得=—,

即=,解得x=2,即P(2,0).

12.解

=其意義表示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)連線的直線的斜率.

點(diǎn)(x,y)滿足y=—2x+8,且2WxW3,則點(diǎn)(x,y)在線段

上，并且A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(3,2),如圖所示.則

=2,二.

所以得的最大值為2,最小值為.

13.?

解析畫出函數(shù)的草圖如圖，可視為過原點(diǎn)直線的斜率.

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定

【課時(shí)目標(biāo)】1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定兩條直線是

否平行或垂直.2.能根據(jù)兩條直線平行或垂直的關(guān)系確定兩條

直線斜率的關(guān)系.

知識梳理?

1.兩條直線平行與斜率的關(guān)系

(1)對于兩條不重合的直線九其斜率分別為左、k2,有

(2)如果直線4、4的斜率都不存在，并且，與心不重合，

那么它們都與垂直,故人.

2.兩條直線垂直與斜率的關(guān)系

(1)如果直線九乙的斜率都存在，并且分別為左、自那么

(2)如果兩條直線K4中的一條斜率不存在，另一個(gè)斜率

是零，那么乙與&的位置關(guān)系是.

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一、選擇題

1.有以下幾種說法：(/、不重合)

①若直線，，4都有斜率且斜率相等，則/〃A；

②若直線4_L，2,則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；

③兩條直線的傾斜角相等，則這兩條直線平行；

④只有斜率相等的兩條直線才一定平行.

以上說法中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.0

2.以/(—1,1)、8(2,—1)、0(1,4)為頂點(diǎn)的三角形是()

A.銳角三角形

B.鈍角三角形

C.以4點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

D.以5點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形

3.已知力(1,2),B(m,1),直線與直線p=0垂直，則力的

值()

A.2B.1C.0D.-1

4.已知4(勿,3),6(2勿，勿+4),。(勿+1,2),22(1,0),且直

線與直線平行，則力的值為()

A.1B.0C.0或2I).0或1

5.若直線八4的傾斜角分別為%、%,且乙_L4,則有

()

A.a1一。2=90°B.。2—。尸90°

C.|a2-￡7,1=90°D.%+。2=180°

6.順次連接力(-4,3),爾2,5),0(6,3),〃(一3,0)所構(gòu)成

的圖形是()

A.平行四邊形B.直角梯形

C.等腰梯形D.以上都不對

二、填空題

7.如果直線/的斜率為a,H,則直線4的斜率為.

8.直線人人的斜率左，左是關(guān)于《的方程2必一34—6=0

的兩根，若/」4，貝i)b=;若1〃，2,則b=.

9.已知直線Z的傾斜角為60°,直線心經(jīng)過點(diǎn)/(I,),

庾一2,-2),則直線乙的位置關(guān)系是.

三、解答題

10.已知△三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(—2,-4),—6,6),。(0,

6),求此三角形三邊的高所在直線的斜率.

11.已知△的頂點(diǎn)坐標(biāo)為力(5,—1),夕(1,1),C(2,勿),

若△為直角三角形，試求為的值.

【能力提升】

12.已知△的頂點(diǎn)△(2,1),以一6,3),其垂心為//(—3,2),

則其頂點(diǎn)/的坐標(biāo)為.

13.已知四邊形的頂點(diǎn)4(力，力，以5,—1),。(4,2),〃(2,2),

求勿和刀的值，使四邊形為直角梯形.

?反思感悟

判定兩條直線是平行還是垂直要“三看”：一看斜率是否存

在，若兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行，若一條直線的斜

率為0,另一條直線的斜率不存在，則兩直線垂直；斜率都存在

時(shí)，二看斜率是否相等或斜率乘積是否為-1;兩直線斜率相等

時(shí)，三看兩直線是否重合，若不重合，則兩直線平行.

3.1.2兩條直線平行與垂直的判定答案

知識梳理

1.(l)k,=k2⑵x軸〃

2.(1”展=一1(2)垂直

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.B[①③正確，②④不正確，L或b可能斜率不存在.]

2.C[=—,=,?=—1,]

3.B[直線應(yīng)與x軸垂直，A、B橫坐標(biāo)相同.]

4.D[當(dāng)與斜率均不存在時(shí)，m=0,此時(shí)〃，當(dāng)=時(shí)，m

=1,此時(shí)〃.]

5.C

6.B[=,豐,?=—1,故構(gòu)成的圖形為直角梯形.]

7.一或不存在

8.2-

解析若則kik2————1>.*.b—2.

若L〃b,則ki=k2,A=9+8b=0,.*.b=—.

9.平行或重合

解析由題意可知直線L的斜率L=60°=,

直線的斜率卜2==,

因?yàn)閗l=k，2,所以或11，重合.

10.解

由斜率公式可得

==0,

==5.

由=0知直線〃x軸，

...邊上的高線與x軸垂直，其斜率不存在.

設(shè)、邊上高線的斜率分別為L、k2,

由ki?=-1,k2,=—1,

即ki?=-1,k2?5=-1,

解得ki=—,k2=—.

??.邊上的高所在直線斜率不存在；

邊上的高所在直線斜率為一；

邊上的高所在直線斜率為一.

11.解==—,==一,

==m—1.

若J_,則有一?=一1,

所以m=-7.

若_1_,則有一?(m—1)=-1,

所以m=3.

若_1,則有一?(m—1)=-1,

所以m=±2.

綜上可知，所求m的值為一7,±2,3.

12.(-19,-62)

解析設(shè)A(x,y),V±,±,

且=「

???錯(cuò)3!解得錯(cuò)誤!

13.解

???四邊形是直角梯形，.?.有2種情形：

⑴〃，±,

由圖可知：A(2,-1).

(2)/7,1,

錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤！

.??錯(cuò)誤！.綜上錯(cuò)誤!或錯(cuò)誤！.

§3.2直線的方程

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握坐標(biāo)平面內(nèi)確定一條直線的幾何要

素.2.會(huì)求直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程.3.了解斜截式與

一次函數(shù)的關(guān)系.

知識梳理?]

1.直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程

使用范

名稱已知條件示意圖方程

圍

點(diǎn)

y

斜

點(diǎn)P(x0,必)斜率

式和斜率k/oX存在

斜

斜率k和在y存在

截二

軸上的截距b丫斜率

式

2.對于直線7i：y=kxx-Vbx,72：y—k2x-\-b2,

⑴

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一、選擇題

1.方程y=A(x—2)表示()

A.通過點(diǎn)（一2,0）的所有直線

B.通過點(diǎn)⑵0）的所有直線

C.通過點(diǎn)⑵0）且不垂直于x軸的所有直線

D.通過點(diǎn)⑵0）且除去x軸的所有直線

2.已知直線的傾斜角為60。，在y軸上的截距為一2,則

此直線方程為（）

A.y=x-\-2B.y=—x+2

C.y=-x—2D.y=x-2

3.直線y=+b通過第一、三、四象限，則有（）

A.k>0,力0B.k>0,b<0

C.k<0,b>0D.k<0,伙0

4.直線y=+Z?和y=+a在同一坐標(biāo)系中的圖形可能是

5.集合/=｛直線的斜截式方程｝,B=｛一次函數(shù)的解析式｝,

則集合爾夕間的關(guān)系是（）

A./=施.BA

C.A施.以上都不對

6.直線一y+1—34=0當(dāng)A變化時(shí)，所有的直線恒過定點(diǎn)

（）

A.（1,3）B.（-1,-3）

C.（3,1）D.（-3,-1）

二、填空題

7.將直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,再向右平移1個(gè)

單位長度，所得到的直線為.

8.已知一條直線經(jīng)過點(diǎn)尸（1,2）且與直線p=2x+3平行，

則該直線的點(diǎn)斜式方程是.

9.下列四個(gè)結(jié)論：

①方程4=與方程y—2=A（x+l）可表示同一直線；

②直線/過點(diǎn)尸（不，力），傾斜角為90°,則其方程是x=

③直線，過點(diǎn)尸（吊，力），斜率為0,則其方程是y=w

④所有的直線都有點(diǎn)斜式和斜截式方程.

正確的為(填序號).

三、解答題

10.寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程.

(1)經(jīng)過點(diǎn)力(2,5),且與直線y=2x+7平行;

⑵經(jīng)過點(diǎn)C(—1,-1),且與x軸平行.

11.已知△的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(—5,0),B(3,—3),

C(0,2),求邊上的高所在的直線方程.

【能力提升】

12.已知直線/的斜率為，且和兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積

為3,求/的方程.

13.等腰△的頂點(diǎn)4（—1,2）,的斜率為，點(diǎn)方（一3,2）,求

直線、及//的平分線所在直線方程.

⑥反思感悟

1.已知直線,經(jīng)過的一個(gè)點(diǎn)和直線斜率就可用點(diǎn)斜式寫出

直線的方程.用點(diǎn)斜式求直線方程時(shí)，必須保證該直線斜率存

在.而過點(diǎn)尸（的，%）,斜率不存在的直線方程為X=X°.直線的

斜截式方程尸是點(diǎn)斜式的特例.

2.求直線方程時(shí)常常使用待定系數(shù)法，即根據(jù)直線滿足的

一個(gè)條件，設(shè)出其點(diǎn)斜式方程或斜截式方程，再根據(jù)另一條件確

定待定常數(shù)的值，從而達(dá)到求出直線方程的目的.但在求解時(shí)仍

然需要討論斜率不存在的情形.

§3.2直線的方程

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

答案

知識梳理

1?y-yo-k(x-Xo)y=+b

2.(1)L=kz且biWb2(2)kikz=-1

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.C[易驗(yàn)證直線通過點(diǎn)(2,0),又直線斜率存在，故直線

不垂直于x軸.]

2.D[直線的傾斜角為60°,則其斜率為，

利用斜截式直接寫方程.]

3.B4,D

5.B[一次函數(shù)y=+b(kWO)；

直線的斜截式方程y=+b中k可以是0,所以.]

6.C[直線-y+1—3k=0變形為y—l=k(x—3),

由直線的點(diǎn)斜式可得直線恒過定點(diǎn)⑶1).]

7.y=—x+

解析直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。所得到的直線方

程為y=-x,再將該直線向右平移1個(gè)單位得到的直線方程為y

——(x—1),即y=-x+.

8.y-2=2(x-l)

9.②③

10.解(1)由題意知，直線的斜率為2,

所以其點(diǎn)斜式方程為y—5=2(x—2).

(2)由題意知，直線的斜率k=0°=0,

所以直線的點(diǎn)斜式方程為y—(—1)=0,即y=-1.

11.解設(shè)邊上的高為，則

1.?二—1,,——1,解得=.

.??邊上的高所在的直線方程為y-0=(x+5),

即y=x+3.

12.解設(shè)直線1的方程為丫=*+卜

貝lJx=O時(shí)，y=b；y=0時(shí)，x=-6b.

由已知可得--|6=3,

即6?=6,.*.b=±1.

故所求直線方程為y=x+l或y=x—l.

13.解直線的方程：y=x+2+.

???〃x軸，的傾斜角為60°,

工的傾斜角為30?；?20。.

當(dāng)a=30°時(shí)，方程為y=x+2+,ZA平分線傾斜角為

120°,

.,.所在直線方程為y=-x+2—.

當(dāng)a=120。時(shí)，方程為y=—x+2—3,NA平分線傾斜角

為30°,

**?所在直線方程為y=x+2+.

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握直線方程的兩點(diǎn)式.2.掌握直線方

程的截距式.3.進(jìn)一步鞏固截距的概念.

知識梳理?

1.直線方程的兩點(diǎn)式和截距式

名

已知條件示意圖方程使用范圍

稱

兩Pi（%i，y）,

點(diǎn)?2（%2，>2），—斜率存在

式其中X1W%2，-氐且不為0

截在x,y軸上的一斜率存在且不

距截距分別為a,bU為0,

式且wo不過原點(diǎn)

2.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式

若點(diǎn)X、￡的坐標(biāo)分別為（k，yi）>（蒞，%），設(shè)尸（x,。是

線段產(chǎn)出的中點(diǎn)，則錯(cuò)誤！.

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一、選擇題

1.下列說法正確的是（）

A.方程=左表示過點(diǎn)以用，y）且斜率為左的直線方程

B.在x軸、y軸上的截距分別為a,力的直線方程為+=1

C.直線y=+6與p軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為b

D.不與坐標(biāo)軸平行或垂直的直線的方程一定可以寫成兩點(diǎn)

式或斜截式

2.一條直線不與坐標(biāo)軸平行或重合，則它的方程（）

A.可以寫成兩點(diǎn)式或截距式

B.可以寫成兩點(diǎn)式或斜截式或點(diǎn)斜式

C.可以寫成點(diǎn)斜式或截距式

D,可以寫成兩點(diǎn)式或截距式或斜截式或點(diǎn)斜式

3.直線一=1在p軸上的截距是（）

A.B.—be.ND.±b

4.在x、y軸上的截距分別是一3、4的直線方程是（）

A.+=1B.+=1

C.—=1D.+=1

5.直線一=1與一=1在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）

標(biāo)）是在y軸上的截距的2倍的直線方程是（）

A.2x+y~12=0

B.2x+y—12=0或2才一5尸0

C.A—2y—1=0

D.x+2y—9=0或2x—5p=0

二、填空題

7.已知點(diǎn)4（1,2）,8（3,1）,則線段的垂直平分線的點(diǎn)斜式

方式為.

8.過點(diǎn)P（6,-2）,且在x軸上的截距比在y軸上的截距

大1的直線方程是.

9.過點(diǎn)P(l,3)的直線/分別與兩坐標(biāo)軸交于48兩點(diǎn)，

若尸為的中點(diǎn)，則直線/的截距式是.

三、解答題

10.已知直線/的斜率為6,且被兩坐標(biāo)軸所截得的線段長

為，求直線/的方程.

11.三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為4(0,4),8(—2,6),61(-8,0).

(1)求邊和所在直線的方程；

⑵求邊上的中線所在直線的方程；

⑶求邊上的中垂線所在直線的方程.

【能力提升】

12.已知點(diǎn)4(2,5)與點(diǎn)庾4,—7),點(diǎn)尸在y軸上，若+的

值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

13.已知直線/經(jīng)過點(diǎn)(7,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為

零，求直線/的方程.

⑥反思感悟

1.直線方程的幾種形式，都可以用來求直線的方程，但各

有自己的限制條件，應(yīng)用時(shí)要全面考慮.（1）點(diǎn)斜式應(yīng)注意過

PU,%）且斜率不存在的情況.（2）斜截式，要注意斜率不存在

的情況.（3）兩點(diǎn)式要考慮直線平行于x軸和垂直于x軸的情

況.（4）截距式要注意截距都存在的條件.

2.直線方程的幾種特殊形式都有明顯的幾何意義，在求直

線方程時(shí)，應(yīng)抓住這些幾何特征，求直線方程.

3.強(qiáng)調(diào)兩個(gè)問題：

（1）截距并非距離，另外截距相等包括截距均為零的情況，

但此時(shí)不能用截距式方程表示，而應(yīng)用y=表示.不是每條直線

都有橫截距和縱截距，如直線尸1沒有橫截距，x=2沒有縱截

距.

（2）方程p—巾=（x—鶯）（為7生）與=（￡/用，必7%）以及（P

一力）（至一天）=（x—吊）（為一力）代表的直線范圍不同（想一想，為

什么？）.

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程答案

知識梳理

1.+=1

2.

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.A2.B

3.B[令x=0得，y=—b::.]

4.A

5.B[兩直線的方程分別化為斜截式：y=x-n,

y=x—m,易知兩直線的斜率的符號相同，四個(gè)選項(xiàng)中僅有

方選項(xiàng)的兩直線的斜率符號相同.]

6.D[當(dāng)y軸上截距b=0時(shí)，方程設(shè)為y=,

將⑸2)代入得，y=x,即2x—5y=0；

當(dāng)bWO時(shí)，方程設(shè)為+=1,求得b=,，選〃.]

7.y—=2(x—2)

解析=一，由k?=—1得

k=2,的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)斜式方程為y—=2(x—2).

8.+=1或+y=l

解析設(shè)直線方程的截距式為+=1,則+=1,解得a=2

或a=l,則直線的方程是+=1或+=1,即+=1或+y=l.

9.+=1

解析設(shè)A(m,0),B(0,n),由P(l,3)是的中點(diǎn)可得m=2,

n=6,

即A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,6).

則1的方程為+=1.

10.解方法一設(shè)所求直線1的方程為丫=+6

*.*k=6,，方程為y=6x+b.

令x=0,■y=b,與y軸的交點(diǎn)為(0,b)；

令y=0,/.x=—,與x軸的交點(diǎn)為.

根據(jù)勾股定理得2+b2=37,

，b=±6.因此直線1的方程為y=6x±6.

方法二設(shè)所求直線為+=1,則與x軸、y軸的交點(diǎn)分別

為(a,0)、(0,b).

由勾股定理知a?+b2=37.

又k=—=6,.,.錯(cuò)誤！

解此方程組可得錯(cuò)誤!或錯(cuò)誤！

因此所求直線1的方程為x+=l或-x+=l.

11.解(1)由截距式得+=1,

???所在直線方程為X—2y+8=0,

由兩點(diǎn)式得=,

**?所在直線方程為x+y—4=0.

(2)D點(diǎn)坐標(biāo)為(一4,2),由兩點(diǎn)式得=.

二.所在直線方程為2x—y+10=0.

(3)由=，，邊上的中垂線的斜率為一2,

又D(—4,2),由點(diǎn)斜式得y—2=-2(x+4),

???邊上的中垂線所在直線方程為2x+y+6=0.

12.(0,1)

解析要使+的值最小,先求點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)V(—

2,5),連接A，B,直線A，B與y軸的交點(diǎn)P即為所求點(diǎn).

13.解當(dāng)直線1經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線1在兩坐標(biāo)軸上截距均

等于0,故直線1的斜率為，

.??所求直線方程為y=x,

即x—7y=0.

當(dāng)直線1不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程+=1,

由題意可得a+b=0,①

又1經(jīng)過點(diǎn)(7,1),有+=1,②

由①②得a=6,b=—6,則1的方程為+=1,即x—y—6

=0.

故所求直線1的方程為X—7y=0或x—y—6=0.

3.2.3直線的一般式方程

【課時(shí)目標(biāo)】1.了解二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)

系.2.掌握直線方程的一般式.3.根據(jù)確定直線位置的幾何要

素，探索并掌握直線方程的幾種形式之間的關(guān)系.

知識梳理?

1.關(guān)于X,y的二元一次方程（其中?。┙凶鲋本€的一般式

方程，簡稱一般式.

2.比較直線方程的五種形式（填空）

各常數(shù)的

形式方程局限

幾何意義

點(diǎn)斜不恥表小k不存在的（孫泗）是直線上一7E點(diǎn)，k是

式直線斜率

斜截不能表小k不存在的

上是斜率，匕是y軸上的截距

式直線

兩點(diǎn)（%i，yD、（檢，”）是直線上兩

用力》2，y\^yi

式個(gè)定點(diǎn)

截距不能表示與坐標(biāo)軸平。是％軸上的非零截距，b是

式行及過原點(diǎn)的直線y軸上的非零截距

一般當(dāng)BW0時(shí)，一是斜率，一是

無

式y(tǒng)軸上的截距

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.若方程++。=0表示直線，則/、￡應(yīng)滿足的條件為（）

A.4WQB.爐0

C.A?D./+#W0

2.直線（2/2—5%+2）x—（加2—4）p+5%=0的傾斜角為45。，

則勿的值為（）

A.—2B.2C.-3D.3

3.直線x+2—1=0與（a—l）x++l=0平行，則a的值為

（）

A.B.或0

C.0D.-2或0

4.直線/過點(diǎn)（一1,2）且與直線2x—3p+4=0垂直，則/

的方程是（）

A.3x+2yT=0B.3x+2y+7=0

C.2x—3y+5=0D.2x—3y+8=0

5.直線7i：—y+Z?=0,72：—y+a=0（aW0,bNO,a手協(xié)

在同一坐標(biāo)系中的圖形大致是（）

6.直線++c=0(70)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則a,b,

。滿足()

A.a=Z?B.=且c/0

C.a=6且c#0D.a=6或c=0

二、填空題

7.直線x+2y+6=0化為斜截式為，化為截距式為.

8.已知方程(2zz?2+in—3)x-\~—in)y-4"+1=0表不直線,

則勿的取值范圍是.

9.已知4(0,1),點(diǎn)方在直線/：x+y=0上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段

最短時(shí)，直線的一般式方程為.

三、解答題

10.根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程:

(1)斜率為,且經(jīng)過點(diǎn)4(5,3)；

(2)過點(diǎn)夙—3,0),且垂直于x軸；

(3)斜率為4,在p軸上的截距為一2；

(4)在y軸上的截距為3,且平行于x軸；

(5)經(jīng)過以一1,5),〃(2,—1)兩點(diǎn)；

(6)在x軸，y軸上截距分別是一3,—1.

11.已知直線/i：("+3)x+y—3"+4=0,72：7x+(5—9)y

-8=0,問當(dāng)力為何值時(shí)，直線Z與心平行.

【能力提升】

12.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合,且

點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(勿，/?)重合，則勿+〃的值為()

A.8B.C.4D.11

13.已知直線7：5—5y—a+3=0.

(1)求證：不論a為何值，直線,總經(jīng)過第一象限；

(2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍.

⑥反思感悟

1.在求解直線的方程時(shí)，要由問題的條件、結(jié)論，靈活地

選用公式，使問題的解答變得簡捷.

2.直線方程的各種形式之間存在著內(nèi)在的聯(lián)系，它是直線

在不同條件下的不同的表現(xiàn)形式，要掌握好各種形式的適用范圍

和它們之間的互化，如把一般式++。=0化為截距式有兩種方

法：一是令x=0,y=0,求得直線在y軸上的截距8和在x軸

上的截距二是移常項(xiàng)，得+=一。，兩邊除以一C(今0),再

整理即可.

3.根據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線垂直的方法：

①若一個(gè)斜率為零，另一個(gè)不存在則垂直.若兩個(gè)都存在斜

率，化成斜截式后則左左2=-1.

②一般地，設(shè)/：4x+5y+G=0,

，2：4x+氏y+G=O,

，_L4=44+8心=0,第二種方法可避免討論，減小失誤.

3.2.3直線的一般式方程答案

知識梳理

1.++C=0不同時(shí)為0

2.y—y0=k(x—x0)y=+b=

+=1++C=0

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.D

2.D[由已知得而一4#0,且=1,

解得：m=3或m=2(舍去).]

3.A

4.A[由題意知，直線1的斜率為一，因此直線1的方程

為y—2=—(x+1),

即3x+2y—1—0.]

5.C[將L與k的方程化為斜截式得：

y=+b,y=+a,

根據(jù)斜率和截距的符號可得。.]

6.D[直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可分為兩種情形：

(1)截距等于0,此時(shí)只要c=0即可；

(2)截距不等于0,此時(shí)c/0,直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分

別為一、一.若相等，則有一=一，即a=b.

綜合(1)(2)可知，若++c=0(力0)表示的直線在兩坐標(biāo)軸

上的截距相等，則a=b或c=0.]

7.y=—x—3+=1

8.m￡R且m=1

解析由題意知，2石+/〃一3與后一/〃不能同時(shí)為0,

由2層+加一3#0得mWl且加W一；

由力2一勿W0,得力#0且勿故加W1.

9.X—y+1=0

解析1時(shí)，最短，所以斜率為4=1,

方程為p—l=x,即x—y+l=O.

10.解(1)由點(diǎn)斜式方程得y—3=(x—5),

即x—y+3—5=0.

(2)x=~3,即x+3=0.

(3)y=4x—2,即4x—'丁一2=0.

(4)y=3,即y—3=0.

(5)由兩點(diǎn)式方程得=,

即2x+y—3=0.

(6)由截距式方程得+=1,即x+3p+3=0.

11.解當(dāng)力=5時(shí)，71：8x+y—11=0,72：7x—8=0.

顯然上與心不平行，同理，當(dāng)加=—3時(shí)，/與心也不平行.

當(dāng)力W5且勿W—3時(shí)，/i〃/2=錯(cuò)誤！，

m=-2.

.??勿為一2時(shí)，直線人與人平行.

12.B[點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)關(guān)于直線p—l=2(x—2)對稱，

則點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(必,n)也關(guān)于直線y-l=2(x—2)對稱，

則錯(cuò)誤！，解得錯(cuò)誤！，

故"+〃=.]

13.

(1)證明將直線/的方程整理為y—=a(x—),..?/的斜率

為a,

且過定點(diǎn)力(，).

而點(diǎn)/(,)在第一象限，故/過第一象限.

???不論a為何值，直線/總經(jīng)過第一象限.

(2)解直線的斜率為A==3.

??Z不經(jīng)過第二象限，???a23.

§3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

【課時(shí)目標(biāo)】1.掌握求兩條直線交點(diǎn)的方法.2.掌握通

過求方程組解的個(gè)數(shù)，判定兩直線位置關(guān)系的方法.3.通過本

節(jié)的學(xué)習(xí)初步體會(huì)用代數(shù)方法研究幾何問題的解析思想.

知識梳理?

1.兩條直線的交點(diǎn)

已知兩直線7i：4x+8iy+G=0；72：4x+區(qū)y+G=O.

若兩直線方程組成的方程組錯(cuò)誤!有唯一解錯(cuò)誤！，則兩直

線，交點(diǎn)坐標(biāo)為.

2.”務(wù)程組的解的組數(shù)與兩直線的位置關(guān)系

兩直線

方程組方程系數(shù)

交占位置關(guān)

的解特征

系

A\B2=

AB1

無解兩直線交點(diǎn)平行2

51c2W%

G

兩條直線有A182WA2

有唯一解相交

個(gè)交點(diǎn)Bi

A\B2=

兩條直線有A2B1

有無數(shù)個(gè)解重合

個(gè)交點(diǎn)B2c尸

BIC2

作業(yè)設(shè)計(jì)?]

一、選擇題

1.直線九（一l）x+y=2與直線心：x+（+l）y=3的位置

關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.重合

2.經(jīng)過直線2x—y+4=0與x—y+5=0的交點(diǎn)，且垂直于

直線x—2y=0的直線的方程是（）

A.2x+y—8=0B.2x—y—8=0

C.2x+p+8=0D.2x—p+8=0

3.直線+2y+8=0,4x+3y=10和2x—y=10相交于一點(diǎn),

則a的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

4.兩條直線人2x+3p一/=0與4：x—+12=0的交點(diǎn)在

y軸上，那么勿的值為（）

A.-24B.6

C.±6D.以上答案均不對

5.已知直線7i：矛+/?+6=0,乙（加-2）x+3+2勿=0,

卜〃k,則力的值是（）

A.〃=3B.勿=0

C."=0或勿=3D."=0或/=—1

6.直線1與兩直線y=l和x—y—7=0分別交于A,夕兩點(diǎn),

若線段的中點(diǎn)為欣1,-1）,則直線，的斜率為（）

A.B.C.—D.一

二、填空題

7.若集合{（x,p）+p—2=0且x—2y+4=x,y）=

3x+6},則b=.

8.已知直線/過直線乙：3x-5y-10=0和A：x+y+l=

。的交點(diǎn)，且平行于4：x+2y—5=0,則直線/的方程是.

9.當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，直線（2+a）x+（a—l）y+3a=0恒

過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

三、解答題

10.求經(jīng)過兩直線2x+y—8=0與x—2y+l=0的交點(diǎn)，且

在y軸上的截距為x軸上截距的兩倍的直線1的方程.

11.已知△的三邊，，的中點(diǎn)分別是，（一2,-3）,夙3,1）,

廠（一1,2）.先畫出這個(gè)三角形，再求出三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

【能力提升】

12.在△中，邊上的高所在直線的方程為x—2p+l=0,Z

A的角平分線所在直線的方程為y=0,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,2）,

求點(diǎn)/和點(diǎn)。的坐標(biāo).

13.一束平行光線從原點(diǎn)。（0,0）出發(fā)，經(jīng)過直線上8x+6y

=25反射后通過點(diǎn)〃（一4,3）,求反射光線與直線1的交點(diǎn)坐標(biāo).

?反思感悟

1.過定點(diǎn)（荀，％）的直線系方程

y—八=?（工一荀）是過定點(diǎn)（荀，%）的直線系方程，但不含直

線x=xo；/（x—xo）+8（y—㈤=0是過定點(diǎn)（xo,㈤的一切直線

方程.

2.與直線++。=0平行的直線系方程為++〃=0(D=^0.與

y=+6平行的直線系方程為y=+/〃(力力力.

3.過兩條直線交點(diǎn)的直線系方程：過兩條直線，：

+G=0,72：4x+5y+G=0交點(diǎn)的直線系方程是

+幾(4x+民y+G)=0(4￡R),但此方程中不含72；一般形式

是力(4x+6y+G)+〃(4x+Ey+C)=0(序+///0),是過/與

心交點(diǎn)的所有直線方程.

§3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

答案

知識梳理

1.相交(荀，%)

2.無1無數(shù)

作業(yè)設(shè)計(jì)

1.A[化成斜截式方程，斜率相等，截距不等.]

2.A[首先解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6),再根據(jù)垂直關(guān)系得斜率

為一2,可得方程y—6=-2(x—1),即2x+y—8=0.]

3.B[首先聯(lián)立錯(cuò)誤！，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,—2),代入方

程+2y+8=0得<3=11.]

4.C[2x+3y—/=0在y軸上的截距為，直線x—+12=0

在P軸上的截距為，由=得〃=±6.]

5.D[71/772,則1?3〃=(勿一2),m,

解得zz?=0或m=—1或m=3.

又當(dāng)勿=3時(shí)，人與4重合，

故"=0或〃=-1.]

6.D[設(shè)直線/與直線y=l的交點(diǎn)為力(xj),直線/與

直線x—p—7=0的交點(diǎn)為以生，%)，因?yàn)?(1,—1)為的中點(diǎn),

所以一1=即用=—3,代入直線x—y—7=0得

至=4,因?yàn)辄c(diǎn)8,"都在直線/上，所以==—.故選D.]

7.2

解析首先解得方程組錯(cuò)誤！的解為錯(cuò)誤！，

代入直線y=3x+6得6=2.

8.8x+16y+21=0

9.(―1,—2)

解析直線方程可寫成a(x+y+3)+2x—y=0,則該直線

系必過直線x+y+3=0與直線2x—y=0的交點(diǎn)，即(一1,—2).

10.解(l)2x+y—8=0在x軸、y軸上的截距分別是4和

8,符合題意.

(2)當(dāng)1的方程不是2x+y—8=0時(shí)，

設(shè)/：(x—2y+l)+X(2x+y—8)=0,

即(1+24)x+(4——2)y+(1——84)=0.

據(jù)題意，1+2HW0,4一2W0.

令x=0,得尸一；令y=0,得矛=一.

—=2?解之得4=,此時(shí)y—x.

「?所求直線方程為2x+y—8=0或y=x.

11.解

yA

///力X

/

如圖，過〃，E,b分別作，，的平行線，作出這些平行線的

交點(diǎn)，就是△的三個(gè)頂點(diǎn)力，B,C.

由已知得，直線的斜率

——>所以=?

因?yàn)橹本€過點(diǎn)凡所以直線的方程為

y—2=(x+l),即4x—5y+14=0.①

由于直線經(jīng)過點(diǎn)￡(3,1),且平行于，

同理可得直線的方程

5x~y-14=0.②

聯(lián)立①，②，解得點(diǎn)/的坐標(biāo)是(4,6).

同樣，可以求得點(diǎn)反。的坐標(biāo)分別是(一6,-2),(2,-

4).

因此，△的三個(gè)頂點(diǎn)是4(4,6),因-6,-2),<7(2,—4).

12.解

如圖所示，由已知，4應(yīng)是邊上的高線所在直線與N4的角

平分線所在直線的交點(diǎn).

由錯(cuò)誤！，得錯(cuò)誤！，

故力(-1,0).

又//的角平分線為x軸，

故=—=—1,(也可得8關(guān)于y=0的對稱點(diǎn)(1,-2).

**?方程為y—~(x+1),

又二一2,

「?的方程為

y—2=—2(x—1),

由錯(cuò)誤！，得錯(cuò)誤！，

故。點(diǎn)坐標(biāo)為(5,-6).

13.解設(shè)原點(diǎn)關(guān)于/的對稱點(diǎn)力的坐標(biāo)為(a,⑸，由直線

與/垂直和線段的中點(diǎn)在/上得

錯(cuò)誤！，解得錯(cuò)誤！，

???/的坐標(biāo)為(4,3).

???反射光線的反向延長線過/(4,3),

又由反射光線過〃(一4,3),兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，故反射光線

所在直線方程為y=3.

由方程組錯(cuò)誤！，解得錯(cuò)誤！，

工反射光線與直線/的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

3.3.2兩點(diǎn)間的距離

【課時(shí)目標(biāo)】1.理解并掌握平面上兩點(diǎn)之間的距離公式

的推導(dǎo)方法.2.能熟練應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問題，

進(jìn)一步體會(huì)解析法的思想.

知識梳理?

1.若平面上兩點(diǎn)X、R的坐標(biāo)分別為EG,y),*2,%),

則X、B兩點(diǎn)間的距離公式為

1/2|=?

特別地，原點(diǎn)。(0,0)與任一點(diǎn)P(x,y)的距離為=.

2.用坐標(biāo)法(解析法)解題的基本步驟可以概括為：

第一步：.

第二步：.

第三步：.

作業(yè)設(shè)計(jì)?

一、選擇題

1.已知點(diǎn)4(—3,4)和以0,6),且=5,則b等于()

A.0或8B.0或一8

C.0或6D.0或一6

2.以4(1,5),6(5,1),0(—9,—9)為頂點(diǎn)的三角形是()

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形I).無法確定

3.設(shè)點(diǎn)力在x軸上，點(diǎn)方在y軸上，的中點(diǎn)是尸(2,-1),

則等于()

A.5B.4

C.2D.2

4.已知點(diǎn)2(1,2),8⑶1),則到48兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)

的坐標(biāo)滿足的條件是()

A.4x+2y=5B.4x—2y=5

C.x+2y=5D.x-2y=5

5.已知4(—3,8),8(2,2),在x軸上有一點(diǎn)弘使得+最

短，則點(diǎn)"的坐標(biāo)是()

A.(-1,0)B.(1,0)

C.D.

6.設(shè)48是x軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)〃的橫坐標(biāo)為2,且=,若直

線的方程為x—y+l=0,則直線的方程為()

A.x+y—5=0B.2x~y—1=0

C.2y—4=0D.2x+y—7=0

二、填空題

7.已知點(diǎn)力(x,5)關(guān)于點(diǎn)C(l,y)的對稱點(diǎn)是用一2,-3),

則點(diǎn)尸(x,力到原點(diǎn)的距離是.

8.點(diǎn)一到x軸和到點(diǎn)M—4,2)的距離都等于10,則點(diǎn)■的

坐標(biāo)為.

9.等腰△的頂點(diǎn)是4(3,0),底邊長=4,邊的中點(diǎn)是D?4),

則此三角形的腰長為.

三、解答題

10.已知直線/：尸一2x+6和點(diǎn)/(I,-1),過點(diǎn)力作直

線人與直線,相交于夕點(diǎn)，且=5,求直線人的方程.

11.求證：三角形的中位線長度等于底邊長度的一半.

【能力提升】

12.求函數(shù)y=+的最小值.

13.求證：+++22.

?反思感悟

1.坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，是解析幾何中的最基本

最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意兩個(gè)已知點(diǎn)間的距

離.反過來，已知兩點(diǎn)間的距離也可以根據(jù)條件求其中一個(gè)點(diǎn)的

坐標(biāo).

2.平面幾何中與線段長有關(guān)的定理和重要結(jié)論，可以用解

析法來證明.用解析法解題時(shí)，由于平面圖形的幾何性質(zhì)是不依

賴于平面直角坐標(biāo)系的建立而改變的，但不同的平面直角坐標(biāo)系

會(huì)使計(jì)算有繁簡之分，因此在建立直角坐標(biāo)系時(shí)必須“避繁就

簡”.

3.3.2兩點(diǎn)間的距離答案

知識梳理

1.

2.建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示