A.Mie米散射理論基礎(chǔ)

...wd......wd......wd...米散射〔Miescattering〕;又稱“粗粒散射〞。粒子尺度接近或大于入射光波長(zhǎng)的粒子散射現(xiàn)象。德國(guó)物理學(xué)家米(GustavMie,1868—1957)指出,其散射光強(qiáng)在各方向是不對(duì)稱的,順入射方向上的前向散射最強(qiáng)。粒子愈大,前向散射愈強(qiáng)。米散射當(dāng)球形粒子的尺度與波長(zhǎng)可比較時(shí)，必須考慮散射粒子體內(nèi)電荷的三維分布。此散射情況下，散射粒子應(yīng)考慮為由許多聚集在一起的復(fù)雜分子構(gòu)成，它們?cè)谌肷潆姶艌?chǎng)的作用下,形成振蕩的多極子,多極子輻射的電磁波相疊加，就構(gòu)成散射波。又因?yàn)榱Ｗ映叨瓤膳c波長(zhǎng)相比較，所以入射波的相位在粒子上是不均勻的，造成了各子波在空間和時(shí)間上的相位差。在子波組合產(chǎn)生散射波的地方，將出現(xiàn)相位差造成的干預(yù)。這些干預(yù)取決于入射光的波長(zhǎng)、粒子的大小、折射率及散射角。當(dāng)粒子增大時(shí)，造成散射強(qiáng)度變化的干預(yù)也增大。因此，散射光強(qiáng)與這些參數(shù)的關(guān)系,不象瑞利散射那樣簡(jiǎn)單,而用復(fù)雜的級(jí)數(shù)表達(dá)，該級(jí)數(shù)的收斂相當(dāng)緩慢。這個(gè)關(guān)系首先由德國(guó)科學(xué)家G.米得出，故稱這類散射為米散射。它具有如下特點(diǎn)：①散射強(qiáng)度比瑞利散射大得多，散射強(qiáng)度隨波長(zhǎng)的變化不如瑞利散射那樣劇烈。隨著尺度參數(shù)增大，散射的總能量很快增加，并最后以振動(dòng)的形式趨于一定值。②散射光強(qiáng)隨角度變化出現(xiàn)許多極大值和極小值，當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)，極值的個(gè)數(shù)也增加。③當(dāng)尺度參數(shù)增大時(shí)，前向散射與后向散射之比增大，使粒子前半球散射增大。當(dāng)尺度參數(shù)很小時(shí)，米散射結(jié)果可以簡(jiǎn)化為瑞利散射；當(dāng)尺度參數(shù)很大時(shí)，它的結(jié)果又與幾何光學(xué)結(jié)果一致；而在尺度參數(shù)比較適中的范圍內(nèi)，只有用米散射才能得到唯一正確的結(jié)果。所以米散射計(jì)算模式能廣泛地描述任何尺度參數(shù)均勻球狀粒子的散射特點(diǎn)。19世紀(jì)末，英國(guó)科學(xué)家瑞利首先解釋了天空的藍(lán)色：在清潔大氣中，起主要散射作用的是大氣氣體分子的密度漲落。分子散射的光強(qiáng)度和入射波長(zhǎng)四次方成反比，因此在發(fā)生大氣分子散射的日光中，紫、藍(lán)和青色彩光比綠、黃、橙和紅色彩光為強(qiáng)，最后綜合效果使天穹呈現(xiàn)藍(lán)色。從而建設(shè)了瑞利散射理論。20世紀(jì)初，德國(guó)科學(xué)家米從電磁理論出發(fā)，又稱粗進(jìn)一步解決了均勻球形粒子的散射問題，建設(shè)了米散射理論，粒散射理論。質(zhì)點(diǎn)半徑與波長(zhǎng)接近時(shí)的散射，特點(diǎn)：粗粒散射與波長(zhǎng)無關(guān)，對(duì)各波長(zhǎng)的散射能力一樣，大氣較混濁時(shí)，大氣中懸浮較多的的塵粒與水滴時(shí)，天空呈灰白色。米散射理論是由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出來的均質(zhì)球形粒子在電磁場(chǎng)中對(duì)平面波散射的準(zhǔn)確解。一般把粒子直徑與入射光波長(zhǎng)相當(dāng)?shù)奈⒘Ｗ铀斐傻纳⑸浞Q為米散射。米散射適合于任何粒子尺度,只是當(dāng)粒子直徑相對(duì)于波長(zhǎng)而言很小時(shí)利用瑞利散射、很大時(shí)利用夫瑯和費(fèi)衍射理論就可以很方便的近似解決問題。米散射理論最早是由G1Mie在研究膠體金屬粒子的散射時(shí)建設(shè)的。1908年,米氏通過電磁波的麥克斯韋方程,解出了一個(gè)關(guān)于光散射的嚴(yán)格解,得出了任意直徑、任意成分的均勻粒子的散射規(guī)律,這就是著名的米氏理論[4-6]。根據(jù)米散射理論,當(dāng)入射光強(qiáng)為I0,粒子周圍介質(zhì)中波長(zhǎng)為λ的自然光平行入射到直徑為D的各向同性真球形粒子上時(shí),在散射角為θ,距離粒子r處的散射光和散射系數(shù)分別為:從上式中可以看到,因?yàn)槭歉飨蛲缘牧Ｗ?散射光強(qiáng)的分布和φ角無關(guān)。同時(shí),上式中:i1、i2為散射光的強(qiáng)度函數(shù);s1、s2稱為散射光的振幅函數(shù);a為粒子的尺寸參數(shù)(a=πD/λ);m=m1+im2為粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率,當(dāng)虛部不為零時(shí),表示粒子有吸收。對(duì)于散射光的振幅函數(shù),有:式中an、bn為米散射系數(shù),其表達(dá)式為:其中:是半奇階的第一類貝塞爾函數(shù);是第二類漢克爾函數(shù);Pn(cosθ)是第一類勒讓德函數(shù);P(1)n(cosθ)是第一類締合勒讓德函數(shù)。Mie散射理論Mie散射理論是麥克斯韋方程對(duì)處在均勻介質(zhì)中的均勻顆粒在平面單色波照射下的嚴(yán)格數(shù)學(xué)解。由Mie散射知道,距離散射體r處p點(diǎn)的散射光強(qiáng)為式中:為光波波長(zhǎng);I0為入射光強(qiáng);Isca為散射光強(qiáng);為散射角;為偏振光的偏振角。式中:和是振幅函數(shù);an和bn是與貝塞爾函數(shù)和漢克爾函數(shù)有關(guān)的函數(shù);和是連帶勒讓得函數(shù)的函數(shù),僅與散射角有關(guān)。其中式中:和分別是貝塞爾函數(shù)和第一類漢克爾函數(shù);和是和的導(dǎo)數(shù);為無因次直徑,,D為顆粒的實(shí)際直徑;是入射光的波長(zhǎng);m是散射顆粒相對(duì)于周圍介質(zhì)的折射率,它是一個(gè)復(fù)數(shù),虛部是顆粒對(duì)光的吸收的量化。由以上公式可見,Mie散射計(jì)算的關(guān)鍵是振幅函數(shù)和,它們是一個(gè)無窮求和的過程,理論上無法計(jì)算。求解振幅函數(shù)的關(guān)鍵是計(jì)算an和bn,所以Mie散射的計(jì)算難點(diǎn)是求解an和bn。Mie散射理論的數(shù)值計(jì)算通過以上分析可知,Mie散射計(jì)算的核心是求解an和bn,我們編制程序也是圍繞它進(jìn)展編寫。在an和bn的表達(dá)式中,,和滿足以下遞推關(guān)系:這些函數(shù)的初始值為;與散射角有關(guān)的和滿足以下遞推公式:有了這些遞推公式可以很方便地通過計(jì)算機(jī)程序求解。但是對(duì)于n的大小,因?yàn)橛?jì)算機(jī)不可能計(jì)算無窮個(gè)數(shù)據(jù),所以n在計(jì)算之前就要被確定。散射理論根基與Matlab實(shí)現(xiàn)假設(shè)散射體為均勻球體,如圖1所示,照射光為線偏振平面波,振幅為E,光強(qiáng)I0,沿z軸傳播,其電場(chǎng)矢量沿x軸振動(dòng)。散射體位于坐標(biāo)原點(diǎn)O,P為觀測(cè)點(diǎn)。散射光方向(OP方向)與照射光方向(z軸)所組成的平面稱為散射面,照射光方向至散射光方向之間的夾角θ稱為散射角,而x軸至OP在xy平面上投影線(OP′)之間的夾角φ稱為極化角。觀測(cè)點(diǎn)與散射體相距r。根據(jù)經(jīng)典的Mie散射理論,散射粒子的尺度參數(shù)為α=2πa/λ,其中a為球形粒子的半徑,散射粒子相對(duì)周圍介質(zhì)的折射率為m=m1+i*m2。那么散射光垂直于散射面和平行于散射面的兩個(gè)分量的振幅函數(shù)為:以上式中：Jn+1/2(z)和Yn+1/2(z)分別為半整數(shù)階的第一類,第二類貝塞爾函數(shù)。P(1)n(cosθ)為一階n次第一類締合勒讓德函數(shù);Pn(cosθ)為第一類勒讓德函數(shù)。在數(shù)值模擬過程中選取初始下:微粒子對(duì)光的散射和吸收是電磁波與微粒子相互作用的重要特征,而微粒對(duì)電磁輻射的吸收與散射與粒子的線度有密切關(guān)系,對(duì)于不同線度的粒子必須應(yīng)用不同的散射理論。Mie散射理論主要用于從亞微米至微米的尺寸段;在微米以下至納米的光散射那么近似為形式更明晰簡(jiǎn)單的瑞利散射定律,散射光強(qiáng)烈依賴于光波長(zhǎng)λ(I～λ-4);而對(duì)大于微米至毫米的大粒子那么近似為意義明確的夫朗和費(fèi)衍射規(guī)律了。Mie散射理論給出了球型粒子在遠(yuǎn)場(chǎng)條件下的散射場(chǎng)振幅an、bn以及粒子內(nèi)部電磁場(chǎng)振幅cn、dn的計(jì)算表達(dá)式,通常稱為Mie散射系數(shù)式中m表示微粒子外部介質(zhì)的相對(duì)折射率,x=κa,a為球的半徑,κ=2π/λ稱為波數(shù),μ為相對(duì)磁導(dǎo)率,即球的磁導(dǎo)率與介質(zhì)磁導(dǎo)率的比值,jn(x)和h(1)n(x)分別為第一類虛宗量球Bessel函數(shù)和Hankell函數(shù)。散射系數(shù),消光系數(shù)及偏振狀態(tài)下散射相位函數(shù)：散射截面σsca(散射率Qsca)、吸收截面σabs(吸收率Qabs)、消光截面σext(消光率Qext)、后向散射截面σb(后向散射率Qb)以及輻射壓力σpr(輻射壓力效率Qpr)。其表達(dá)式如下:其中i為sca、abs、ext、pr分別表示散射、吸收、消光、輻射壓力。按照能量守恒定律有:Qpr〔輻射壓力效率的計(jì)算公式〕:Qb〔后向散射系數(shù)〕：這些都是無窮級(jí)數(shù)求和,在實(shí)際計(jì)算過程中必須取有限項(xiàng),Bohren和Huffman給出了級(jí)數(shù)項(xiàng)最大值取舍的標(biāo)準(zhǔn):對(duì)于單位振幅入射波經(jīng)微粒散射后,其散射場(chǎng)振幅的大小與散射角有關(guān),在球坐標(biāo)系下,遠(yuǎn)場(chǎng)散射振幅的大小為:其中S1和S2為散射輻射電場(chǎng)在垂直及平行于散射面的兩個(gè)偏振分量。微球內(nèi)部場(chǎng)振幅計(jì)算公式顆粒內(nèi)部電場(chǎng)強(qiáng)度為:其中M(1)o1n和N(1)e1n為矢量波球諧函數(shù),在球坐標(biāo)系中定義如下:吸收截面Qabs具有損耗介質(zhì)顆粒的吸收截面為：其中ε″是粒子相對(duì)介電常數(shù)的虛部,經(jīng)整理可得:式中mn、nn為:實(shí)際上由Mie散射理論可知,上式中的積分項(xiàng)為電場(chǎng)強(qiáng)度的平方對(duì)角度θ、φ全空間積分的平均值,即:于是吸收效率為:式中x′=rk=z/m。當(dāng)xn1時(shí)即瑞利散射情況,顆粒的內(nèi)部平均場(chǎng)強(qiáng)為常數(shù),其值為:ImprovedMiescatteringalgorithmsW.J.WiscombeMie計(jì)算存在的問題就是若何最有效地構(gòu)造Mie計(jì)算，同時(shí)保證準(zhǔn)確性和防止數(shù)值的不穩(wěn)定性和病態(tài)。Mie計(jì)算以耗時(shí)著稱，首先無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)N的求和，例如：100的水滴在0.5的可見光散射情況下，大約需1260項(xiàng)求和。其次，典型的計(jì)算都希望能對(duì)一系列半徑〔如對(duì)尺寸分布求積分〕、一系列波長(zhǎng)〔如對(duì)太陽光譜求積分〕及一系列折射率求和〔如通過散射參量反推折射率〕。當(dāng)折射率虛部mIm很大時(shí)，用向后循環(huán)法求An很不穩(wěn)定。而向前遞推總是穩(wěn)定的〔但向后遞推安全時(shí)，總是優(yōu)先選擇，因?yàn)槠溆?jì)算速度很快〕。得出允許向后遞推的經(jīng)歷標(biāo)準(zhǔn)：用正確的向前地推與相對(duì)應(yīng)的向后地推做比較，當(dāng)發(fā)現(xiàn)對(duì)和g的相對(duì)誤差超過10-6時(shí)，認(rèn)為計(jì)算失敗。對(duì)于一對(duì)確定的(x,mRe)，我們采用向后遞推尋找第一個(gè)循環(huán)失敗的研究說明：對(duì)于確定的，，的值隨著x的增加很快趨向于一個(gè)確定值。對(duì)如果在任意角度下、的實(shí)部和虛部的相對(duì)誤差超過時(shí)，認(rèn)為對(duì)和的向后遞推失敗。〔而此時(shí)，并不受影響，因?yàn)楫?dāng)，的相對(duì)誤差到達(dá)時(shí)，的相對(duì)誤差總維持在以下?！硨?duì)和對(duì)散射強(qiáng)度和偏正度連分式算法總結(jié)：Mie散射計(jì)算的核心是計(jì)算an和bn其中ψn(α)=αJn(α),ξn(α)=αJn(α)+iαYn(α),Jn和Yn分別是第一和二類貝塞耳函數(shù),α稱為當(dāng)量直徑,α=2πr/λ,r是球形顆粒的真實(shí)半徑,λ是入射光的波長(zhǎng),m為折射率式中ρ為函數(shù)任一自變量。貝塞耳函數(shù)遞推關(guān)系式：Mie散射計(jì)算中Jn、Yn、Dn的計(jì)算是關(guān)鍵和難點(diǎn)。對(duì)于Dn,我們采用的是Lentz的連分式的算法:Lentz證明有如下關(guān)系:其中，。我們注意到當(dāng)時(shí)，。所以可以利用上式累積相乘直到滿足精度要求。(可根據(jù)精度要求例如10-7來確定所要到達(dá)的k值)對(duì)于Jn、Yn的生成本文也采用連分式的算法。具體方案如下:令Cn=Jn-1(α)/Jn(α),根據(jù)貝塞耳差積公式：由以上二式整理得：上式中Cn的計(jì)算是采用類似于Dn的連分式的形式,計(jì)算中可調(diào)用同一函數(shù)計(jì)算。假設(shè)初值：這樣就可計(jì)算出各級(jí)Jn和Yn。WilliamJ.Lentz關(guān)于連分式的文章：其中。以為根基，采用貝塞爾函數(shù)比值的連分式表示法：，利用此法可產(chǎn)生所有的，盡管耗時(shí)，但能減少存儲(chǔ)需求。同時(shí)可通過計(jì)算高階值，使用下面的遞推公式，從后往前算出其他值。不像一般的函數(shù)，貝塞爾函數(shù)的比值一旦超過可控制的邊界，就不再增長(zhǎng)，初始的高階值決定了所有低階值的準(zhǔn)確性，因此，采用新方法計(jì)算準(zhǔn)確的初始比值是必要的。處于分母位置的+號(hào)表示分母上加上一個(gè)特殊的連分式。類似于上式中的表示形式。定義一種新的符號(hào)：Lentz給出了n階局部收斂值為：例如：實(shí)變量，虛數(shù)計(jì)算過程：米散射學(xué)習(xí)目前所遇到的困難：到底若何的計(jì)算結(jié)果才算正確，若何能找到一個(gè)米散射計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確又有效的數(shù)據(jù)庫(kù)，來驗(yàn)證自己算法及程序的正確性。倒退式算法的總結(jié)：Dn的計(jì)算采用Dave的倒推式:由于Dn函數(shù)有很強(qiáng)的收斂性,對(duì)于Dn的倒推計(jì)算的初值的選取有很強(qiáng)的隨意性。因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)Dn(mα)→0,所以可以取0作為初值。倒推起點(diǎn)選取大一些,可以保證Dn函數(shù)的收斂完全,但是同時(shí)卻增加了計(jì)算時(shí)間。所以必須選取一個(gè)最正確的選擇標(biāo)準(zhǔn)。通過試算,作者認(rèn)為最正確的上限為這里m1是復(fù)折射率的實(shí)部.同樣,對(duì)于貝塞耳函數(shù)Jn的計(jì)算也可以用倒推的方法計(jì)算產(chǎn)生:上式是一個(gè)普通的Jn的遞推式,知道了Jn和Jn-1,可以順利地計(jì)算出所有的Jn序列