高一數(shù)學(xué)教材同步知識(shí)點(diǎn)專題詳解(蘇教版必修第一冊(cè))1.1集合的概念與表示(原卷版+解析)

1.1集合的概念與表示TOC\o"1-4"\h\z\u1.1集合的概念與表示 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1元素與集合的概念 2知識(shí)點(diǎn)2常用數(shù)集及表示符號(hào) 3知識(shí)點(diǎn)3元素與集合 5知識(shí)點(diǎn)4集合的表示方法 6知識(shí)點(diǎn)5集合的分類 8二、典型題型 8題型1元素與集合的關(guān)系 10題型2集合中元素的特性及應(yīng)用 11三、難點(diǎn)題型 12題型1集合表示法的綜合應(yīng)用 13題型2集合相等 14四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 22一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1元素與集合的概念：(1)一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合．集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元．(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性．例1考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()①中國各地的美麗鄉(xiāng)村；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；③不小于3的自然數(shù)；④截止到2021年10月1日，參加一帶一路的國家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④例2下列說法中，正確的有________．(填序號(hào))①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個(gè)；②集合M中有3個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個(gè)集合．例3判斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合．(1)不超過20的非負(fù)數(shù)；(2)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某校2020年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；(4)eq\r(3)的近似值的全體．知識(shí)點(diǎn)2常用數(shù)集及表示符號(hào)：名稱非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR例1給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（多選題）下列關(guān)系式表示錯(cuò)誤的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④例3給出下列關(guān)系：①；②；③；④.其中正確的序號(hào)是______.知識(shí)點(diǎn)3元素與集合：1．元素與集合的表示(1)元素的表示：通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素與集合的關(guān)系(1)屬于(符號(hào)：∈)，a是集合A中的元素，記作a∈A，讀作“a屬于A”．(2)不屬于(符號(hào)：?或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，記作a?A或aeq\x\to(∈)A，讀作“a不屬于A”．例1下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是()①π∈R②eq\r(3)∈R③eq\r(6)?Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2B．3C．4 D．5例2已知集合A含有三個(gè)元素2,4,6，當(dāng)a∈A，有6－a∈A.則a的值為________．例3集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為________．知識(shí)點(diǎn)4集合的表示方法：表示方法定義一般形式列舉法將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號(hào)“{}”內(nèi){a1，a2，…，an，…}描述法將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來{x|p(x)}Venn圖法用一個(gè)封閉曲線圍成的平面區(qū)域的內(nèi)部表示一個(gè)集合例1用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A.(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的實(shí)根組成的集合C.例2用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合B；(3)一次函數(shù)y＝x＋2與y＝－2x＋5的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.例3用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合．知識(shí)點(diǎn)5集合的分類：(1)集合的分類有限集含有有限個(gè)元素的集合無限集含有無限個(gè)元素的集合空集不含任何元素的集合，記作?(2)集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個(gè)集合相等．例1下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．，B．，C．，D．，例2（多選題）下列說法正確的是（

）A．很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合B．集合{x|y=x2-1}與集合是同一個(gè)集合C．由這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素D．集合是指第二或第四象限內(nèi)的點(diǎn)集例3已知集合，若，求的值．二．典型題型題型1元素與集合的關(guān)系解題技巧：判斷元素與集合關(guān)系的2種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．(2)推理法：對(duì)于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．例1已知集合，則（

）A．B．C．D．例2（多選題）下列關(guān)系中，正確的是（

）A．B．C．D．例3已知集合，.(1)分別判斷元素，與集合A，B的關(guān)系；題型2集合中元素的特性及應(yīng)用解題技巧：由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟例1若，則的值為（

）A． B． C．或 D．例2（多選題）下列四個(gè)命題：其中不正確的命題為（

）A．是空集 B．若，則；C．集合有一個(gè)元素 D．集合是有限集.例3若，則中的元素應(yīng)滿足什么條件？三．難點(diǎn)題型題型1集合表示法的綜合應(yīng)用解題技巧：集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵例1集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)k的值組成的集合．題型2集合相等解題技巧：已知集合相等求參數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)集合相等的定義，建立關(guān)于參數(shù)的方程(組)，求解時(shí)還要注意集合中元素的互異性．例1若，則的值為（

）A．0B．1C．D．例2（多選題）下列各組集合中M與N表示同一集合的是（

）A．與B．與C．與D．與例3已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集滿足：如果，則，且時(shí)，時(shí)，我們稱就是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說法：①是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素，則；③集合是一個(gè)數(shù)域；④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域；⑤任何一個(gè)有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù)，其中正確的選項(xiàng)是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤2．非空集合A具有下列性質(zhì)：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（

）①﹣1?A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y?A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④3．已知關(guān)于x的方程的解集為P，則P中所有元素的和可能是（

）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，154．已知集合，且，則（

）A． B．C． D．不屬于中的任意一個(gè)二、多選題5．群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“·”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運(yùn)算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群6．設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意，都存在，使得成立，那么稱為集合的聚點(diǎn)，則下列集合中，1為該集合的聚點(diǎn)的有（

）A． B．C． D．整數(shù)集Z三、填空題7．若集合有且只有一個(gè)元素，則的取值集合為__________．8．已知集合，則______.四、解答題9．已知集合.(1)若A是空集，求a的取值范圍；(2)若A中只有一個(gè)元素，求a的值，并求集合A；10．已知．根據(jù)下列條件，求實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合．(1)當(dāng)；(2)當(dāng)M是單元素集（只含有一個(gè)元素的集合）；(3)當(dāng)M是兩個(gè)元素的集合.11．設(shè)集合．(1)若、，證明：．(2)如果集合整數(shù)互素，那么是否存在x，使得x和都屬于B？若存在，請(qǐng)寫出一個(gè)；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．已知集合，且．（1）判斷是否為中元素（2）設(shè)，求證：（3）證明：若，則是偶數(shù)；1.1集合的概念與表示TOC\o"1-4"\h\z\u1.1集合的概念與表示 1知識(shí)框架 1一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1知識(shí)點(diǎn)1元素與集合的概念 2知識(shí)點(diǎn)2常用數(shù)集及表示符號(hào) 3知識(shí)點(diǎn)3元素與集合 5知識(shí)點(diǎn)4集合的表示方法 6知識(shí)點(diǎn)5集合的分類 8二、典型題型 8題型1元素與集合的關(guān)系 10題型2集合中元素的特性及應(yīng)用 11三、難點(diǎn)題型 12題型1集合表示法的綜合應(yīng)用 13題型2集合相等 14四、活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練 22一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)1元素與集合的概念：(1)一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合．集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素，簡(jiǎn)稱元．(2)集合中元素的特征：確定性、互異性、無序性．例1考察下列每組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是()①中國各地的美麗鄉(xiāng)村；②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)；③不小于3的自然數(shù)；④截止到2021年10月1日，參加一帶一路的國家．A．③④ B．②③④C．②③ D．②④例2下列說法中，正確的有________．(填序號(hào))①單詞book的所有字母組成的集合的元素共有4個(gè)；②集合M中有3個(gè)元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，則△ABC不可能是等腰三角形；③將小于10的自然數(shù)按從小到大的順序排列和按從大到小的順序排列分別得到不同的兩個(gè)集合．例3判斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合．(1)不超過20的非負(fù)數(shù)；(2)方程x2－9＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解；(3)某校2020年在校的所有高個(gè)子同學(xué)；(4)eq\r(3)的近似值的全體．答案：例1B例2②[例1①中“美麗”標(biāo)準(zhǔn)不明確，不符合確定性，②③④中的元素標(biāo)準(zhǔn)明確，均可構(gòu)成集合，故選B.例2①不正確．book的字母o有重復(fù)，共有3個(gè)不同字母，元素個(gè)數(shù)是3.②正確．集合M中有3個(gè)元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它們構(gòu)成的三角形三邊不相等，故不可能是等腰三角形．③不正確．小于10的自然數(shù)不管按哪種順序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)，集合是相同的，和元素的排列順序無關(guān)．例3(1)對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成集合．(2)能構(gòu)成集合．(3)“高個(gè)子”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)人算不算高個(gè)子無法客觀地判斷，因此不能構(gòu)成一個(gè)集合．(4)“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)(如“2”)是不是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合．]知識(shí)點(diǎn)2常用數(shù)集及表示符號(hào)：名稱非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*或N＋ZQR例1給出下列關(guān)系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2（多選題）下列關(guān)系式表示錯(cuò)誤的是（

）①；②；③；④.A．① B．② C．③ D．④例3給出下列關(guān)系：①；②；③；④.其中正確的序號(hào)是______.答案：例1B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)集的定義，即可得答案；【詳解】是實(shí)數(shù)，①正確；是無理數(shù)，②錯(cuò)誤；－3是整數(shù)，③錯(cuò)誤；－是無理數(shù)，④正確.所以正確的個(gè)數(shù)為2.故選：B.例2．BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用各數(shù)集的定義并借助元素與集合的關(guān)系直接判斷即可作答.【詳解】對(duì)于①，是一個(gè)分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，是有理數(shù)集，則，①正確，A正確；對(duì)于②，是一個(gè)無理數(shù)，而無理數(shù)是實(shí)數(shù)，是實(shí)數(shù)集，則，②錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；對(duì)于③，0是一個(gè)自然數(shù)，不是正整數(shù)，是正整數(shù)集，則，③錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；對(duì)于④，元素的屬性不確定，而是整數(shù)集，則是錯(cuò)誤的，④錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故答案為：BCD例3．①③④【解析】【分析】根據(jù)數(shù)的分類直接判斷.【詳解】由題可得，，，，故①③④正確.故答案為：①③④.知識(shí)點(diǎn)3元素與集合：1．元素與集合的表示(1)元素的表示：通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素與集合的關(guān)系(1)屬于(符號(hào)：∈)，a是集合A中的元素，記作a∈A，讀作“a屬于A”．(2)不屬于(符號(hào)：?或eq\x\to(∈))，a不是集合A中的元素，記作a?A或aeq\x\to(∈)A，讀作“a不屬于A”．例1下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是()①π∈R②eq\r(3)∈R③eq\r(6)?Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2B．3C．4 D．5例2已知集合A含有三個(gè)元素2,4,6，當(dāng)a∈A，有6－a∈A.則a的值為________．例3集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素個(gè)數(shù)為________．答案：例1C例22或4例33[例1①π是無理數(shù)∴π∈R故①正確，eq\r(3)是無理數(shù)∴eq\r(3)∈R，②正確.eq\r(6)是無理數(shù)∴eq\r(6)?Q，④0是自然數(shù)是非負(fù)整數(shù)，0∈N，故④錯(cuò)誤．|－2|＝2∈Z正確．例2集合A含有三個(gè)元素2,4,6且當(dāng)a∈A，有6－a∈A.a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4.綜上所述，a＝2或4.例3∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或3－x＝2或3－x＝3或3－x＝6.即x＝2或1或0或－3.又x∈N.故x＝0或1或2.即集合A中的元素個(gè)數(shù)為3.]知識(shí)點(diǎn)4集合的表示方法：表示方法定義一般形式列舉法將集合的元素一一列舉出來，并置于花括號(hào)“{}”內(nèi){a1，a2，…，an，…}描述法將集合的所有元素都具有的性質(zhì)(滿足的條件)表示出來{x|p(x)}Venn圖法用一個(gè)封閉曲線圍成的平面區(qū)域的內(nèi)部表示一個(gè)集合例1用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A.(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的實(shí)根組成的集合C.答案：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10.所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－x－2＝0的實(shí)根為2，－1，所以C＝{2，－1}．例2用列舉法表示下列給定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A；(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根組成的集合B；(3)一次函數(shù)y＝x＋2與y＝－2x＋5的圖象的交點(diǎn)組成的集合D.答案：(1)因?yàn)榇笥?且小于6的整數(shù)包括2,3,4,5，所以A＝{2,3,4,5}．(2)方程x2－9＝0的實(shí)數(shù)根為－3,3，所以B＝{－3,3}．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,y＝－2x＋5，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以一次函數(shù)y＝x＋2與y＝－2x＋5的交點(diǎn)為(1,3)，所以D＝{(1,3)}．例3用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合．答案：(1)偶數(shù)可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定n∈N*，所以正偶數(shù)集可表示為{x|x＝2n，n∈N*}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x＝3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x，y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0，即xy＝0，故平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x，y)|xy＝0}．知識(shí)點(diǎn)5集合的分類：(1)集合的分類有限集含有有限個(gè)元素的集合無限集含有無限個(gè)元素的集合空集不含任何元素的集合，記作?(2)集合相等如果兩個(gè)集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么稱這兩個(gè)集合相等．例1下列四組集合中表示同一集合的為（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)可判斷.【詳解】對(duì)A，兩個(gè)集合中元素對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不同，則A不正確；對(duì)B，集合中的元素具有無序性，兩個(gè)集合是同一集合，故B正確；對(duì)C，兩個(gè)集合研究的對(duì)象不同，一個(gè)是點(diǎn)集，一個(gè)是數(shù)集，則C不正確；對(duì)D，是以為元素的集合，是空集，則D不正確．故選：B．例2（多選題）下列說法正確的是（

）A．很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合B．集合{x|y=x2-1}與集合是同一個(gè)集合C．由這些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素D．集合是指第二或第四象限內(nèi)的點(diǎn)集【答案】CD【解析】【分析】A選項(xiàng)：集合中元素需要具備確定性，而很小的數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定；B選項(xiàng)：點(diǎn)集和數(shù)集無法相等；C選項(xiàng)：集合中相同的元素算做1個(gè)；D選項(xiàng)：可以判斷出x和y異號(hào);【詳解】A選項(xiàng)：很小的實(shí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)不確定，故不能構(gòu)成集合；B選項(xiàng)：其中第一個(gè)集合是數(shù)集，第二個(gè)集合是點(diǎn)集，故不是同一集合．C選項(xiàng)：因?yàn)椋蔬@些數(shù)組成的集合有4個(gè)元素．D選項(xiàng)：因?yàn)閤y<0，故點(diǎn)（x，y）是第二或第四象限內(nèi)的點(diǎn)．綜上，CD正確．故選：CD例3已知集合，若，求的值．【答案】-1.【解析】【分析】由集合相等，分析兩集合中元素，列出方程組，解得后可求值．【詳解】∵集合，∴解得，則．故答案為：－1．【點(diǎn)睛】本題考查集合的相等，解題時(shí)注意集合中元素的性質(zhì)，特別是互異性．二．典型題型題型1元素與集合的關(guān)系解題技巧：判斷元素與集合關(guān)系的2種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．(2)推理法：對(duì)于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．例1已知集合，則（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】利用元素與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】由集合，即集合是所有的偶數(shù)構(gòu)成的集合.所以，，，故選：D例2（多選題）下列關(guān)系中，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù)集，故，所以A正確；因?yàn)槭菍?shí)數(shù)集，故，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)槭怯欣頂?shù)集，故，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)槭亲匀粩?shù)集，故，所以D正確，故選：AD.例3已知集合，.(1)分別判斷元素，與集合A，B的關(guān)系；【答案】(1)，，，；【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的描述，判斷是否存在使，屬于集合A，B即可.（2）法一：由（1）結(jié)論，并判斷是否有，即知A與B的關(guān)系；法二：={x|x是的整數(shù)倍}，={x|x是的奇數(shù)倍}，即知A與B的關(guān)系；(1)法一：令，得，故；令，得，故.同理，令，得，故；令，得，故.法二：由題意得：，又，故，；，.題型2集合中元素的特性及應(yīng)用解題技巧：由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟例1若，則的值為（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】【分析】分別令和，根據(jù)集合中元素的互異性可確定結(jié)果.【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性；若，則或（舍），此時(shí)，符合題意；綜上所述：.故選：A.例2（多選題）下列四個(gè)命題：其中不正確的命題為（

）A．是空集 B．若，則；C．集合有一個(gè)元素 D．集合是有限集.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)空集的定義可判斷A；根據(jù)元素與集合的關(guān)系可判斷B；解方程求出集合中的元素可判斷C；為正整數(shù)的倒數(shù)時(shí)，都有可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：含有一個(gè)元素，所以不是空集，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，則，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：只有一個(gè)元素，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：表示有理數(shù)，包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，比如為正整數(shù)的倒數(shù)時(shí)，都有，所以集合是無限集，故選項(xiàng)D不正確；故選：ABD.例3若，則中的元素應(yīng)滿足什么條件？【答案】且且【解析】【分析】根據(jù)集合中元素的互異性即可求解.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性可得：，解得且且，所以應(yīng)滿足且且.三．難點(diǎn)題型題型1集合表示法的綜合應(yīng)用解題技巧：集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵例1集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)k的值組成的集合．[解](1)當(dāng)k＝0時(shí)，方程kx2－8x＋16＝0變?yōu)椋?x＋16＝0，解得x＝2，滿足題意；(2)當(dāng)k≠0時(shí)，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一個(gè)元素，則方程kx2－8x＋16＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此時(shí)集合A＝{4}，滿足題意．綜上所述，k＝0或k＝1，故實(shí)數(shù)k的值組成的集合為{0,1}．例2已知集合A＝{x|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．若集合A中有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]集合A中有兩個(gè)元素，即關(guān)于x的方程ax2－3x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<eq\f(9,4)且a≠0.題型1集合相等解題技巧：已知集合相等求參數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)集合相等的定義，建立關(guān)于參數(shù)的方程(組)，求解時(shí)還要注意集合中元素的互異性．例1若，則的值為（

）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得出或，求解即可.【詳解】因?yàn)椋曰?，由可解得（不符合，舍去）或，由可解得，綜上，，則.故選：C.例2（多選題）下列各組集合中M與N表示同一集合的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)集合相等的定義，結(jié)合函數(shù)定義域和值域的求解方法，即可對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)A：因?yàn)榧现械脑貙?duì)應(yīng)不同的兩個(gè)點(diǎn)，故集合不相等；對(duì)B：因?yàn)?，故集合；，其定義域?yàn)?，即，故；?duì)C：，解得或，又當(dāng)時(shí)，不滿足題意，舍去；即；，即，，解得，故，則；對(duì)D：集合均表示奇數(shù)構(gòu)成的集合，故.故選：BCD.例3已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，解方程組即可得出答案；（2）易得，再根據(jù)，列出方程組，解之即可得解.(1)解：若，則有，解得；(2)解：，因?yàn)?，所以，解?四．活學(xué)活用培優(yōu)訓(xùn)練一、單選題1．當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集滿足：如果，則，且時(shí)，時(shí)，我們稱就是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說法：①是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素，則；③集合是一個(gè)數(shù)域；④有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域；⑤任何一個(gè)有限數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù)，其中正確的選項(xiàng)是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)數(shù)域的定義，采用賦值法依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)且時(shí)，由數(shù)域定義知：，是任何數(shù)域的元素，①正確；對(duì)于②，當(dāng)且時(shí)，由數(shù)域定義知：，，，，…，，②正確；對(duì)于③，當(dāng)，時(shí)，，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若，則，且當(dāng)時(shí)，，則有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域，④正確；對(duì)于⑤，，若且，則，則這個(gè)數(shù)不為則必成對(duì)出現(xiàn)，數(shù)域的元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù)，⑤正確.故選：D.2．非空集合A具有下列性質(zhì)：（1）若x、y∈A，則∈A；（2）若x、y∈A，則x+y∈A，下列判斷一定成立的是（

）①﹣1?A；②∈A；③若x、y∈A，則xy∈A；④若x、y∈A，則x﹣y?A．A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】C【解析】【分析】對(duì)于①：假設(shè)，令，由已知推出矛盾，可判斷①；對(duì)于②：由題意知，，再得，，從而判斷②；對(duì)于③：由，得，，結(jié)合性質(zhì)可判斷③；對(duì)于④：，由，，可判斷④.【詳解】解：對(duì)于①：假設(shè)，則令，則，，令，則，令，不存在，即，矛盾，所以，故①對(duì)；對(duì)于②：由題意知，，則，，故②正確；對(duì)于③：，，故③正確；對(duì)于④：，若，則，故④錯(cuò)誤，所以一定成立的是①②③，故選：C.3．已知關(guān)于x的方程的解集為P，則P中所有元素的和可能是（

）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15【答案】B【解析】【分析】先去掉絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程，針對(duì)方程根的情況進(jìn)行討論．【詳解】解：關(guān)于x的方程等價(jià)于①，或者②．由題意知，P中元素的和應(yīng)是方程①和方程②中所有根的和．，對(duì)于方程①，．方程①必有兩不等實(shí)根，由根與系數(shù)關(guān)系，得兩根之和為6．而對(duì)于方程②，，當(dāng)時(shí)，可知方程②有兩相等的實(shí)根為3，在集合中應(yīng)按一個(gè)元素來記，故P中元素的和為9；當(dāng)時(shí)，方程②無實(shí)根，故P中元素和為6；當(dāng)時(shí)，方程②中，有兩不等實(shí)根，由根與系數(shù)關(guān)系，兩根之和為6，故P中元素的和為12.故選：B．4．已知集合，且，則（

）A． B．C． D．不屬于中的任意一個(gè)【答案】B【解析】【分析】設(shè)出的值，相加再判斷得解.【詳解】.故選：B二、多選題5．群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“·”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，即對(duì)所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運(yùn)算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)群的定義需滿足的三個(gè)條件逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A：若，對(duì)所有的a、，有，滿足乘法結(jié)合律，即①成立，滿足②的為1，但當(dāng)時(shí)，不存在，使得，即③不成立，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，且，但，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，對(duì)所有的a、，有，滿足加法結(jié)合律，即①成立，滿足②的為0，，，使，即③成立；即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：若，所有的、，有，成立，即①成立；當(dāng)時(shí)，，滿足的，即②成立；，，使，即③成立；即選項(xiàng)D正確.故選：CD.6．設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意，都存在，使得成立，那么稱為集合的聚點(diǎn)，則下列集合中，1為該集合的聚點(diǎn)的有（

）A． B．C． D．整數(shù)集Z【答案】ABC【解析】【分析】利用集合聚點(diǎn)的新定義，集合的表示及元素的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)榧现械脑厥菢O限為的數(shù)列，所以對(duì)于任意，都存在，使得成立，所以為集合的聚點(diǎn)，故正確；對(duì)于B，因?yàn)榧现械脑厥菢O限為1的數(shù)列，除第一項(xiàng)外，其余項(xiàng)與之間的距離均小于，所以對(duì)任意，都存在，使得的x，所以為集合的聚點(diǎn)，故正確；對(duì)于C，對(duì)