高中數(shù)學《平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角》導學案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

卜課前自主預習

1.兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標表示

設(shè)向量。=(為,y\),b=(xi,").

兩個向量的數(shù)量積等于口［對應(yīng)坐標的乘積的和,即

數(shù)量

積回_步％2+丫1丫2

兩個

向量a_L5臺叵］_茍％2+y1丫2=0

垂直

2.三個重要公式

向量的模公式：設(shè)4=(%|,%),則⑷=圖％；+『；］

三

個

重兩點間距離公式：若4(%1,力18(%2,y2),

要則罰=墾叵三叵五口

公

式

向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量

a=(41,y?),b=(久2,與力的夾角為仇

的%夕

則c°s'=齒鋁⑹2+%2

自診小測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)向量的模等于向量坐標的平方和.()

(2)若“=(%”y\),方=(%2,”)，則臺xi%2+yi>2=0.()

(3)若兩個非零向量的夾角0滿足cos^<0,則兩向量的夾角6一

定是鈍角.()

答案(1)X(2)J(3)X

2.做一做

(1)已知。，方為平面向量,a=(4,3),2a+r=(3,18),則。，?的

夾角e的余弦值等于()

88

A-65B.-65

-1616

C-65D.~65

答案c

解析a=(4,3),2a+b=(3』8),

,工人?ab4X(-5)+3X12

則b=(-5,12),夾角0的余弦值。。$6=區(qū)面=5*I

16

(2)(教材改編P107T1)若向量a=(3,m),Z>=(2』)，ab=O,則實

數(shù)m的值為.

答案一6

解析由題意可得6+機=0,解得機=-6.

(3)已知a=(l,回?=(一2,0),則|“+"=.

答案2

解析a+b=(-l,小)，|a+b|=^/(―1)2+(^3)2=2.

卜課堂互動探究

探究1平面向量數(shù)量積的坐標表示

例1已知向量。與早同向,5=(1,2),0b=10,求:

(1)向量”的坐標；

(2)若c=(2,—1),求(a,c)也

解⑴與方同向，且，=(1,2),

，4=肪=(2,2A)(A>0).

又二。力=10,.?.2+4410,

.二2=2,.=a=(2,4)?

(2)Va-c=2X2+(-l)X4=0,

(acyb=Ob=O.

［條件探究］若將例1改為。與方反向，6=(1,2),ab=-W,

求：

(1)向量。的坐標；

(2)若c=(2,—1),求(a,c)A.

解⑴?.［與方反向,且，=(1,2),

...設(shè)“=%仇2<0),22),

又。小=一10,.?.2+4%=—10,

「.2=-2,.*.</=(—2,-4).

(2)Va-c=2X(-2)+(-l)X(-4)=-4+4=0,

；.(a,c>b=0,b=0.

拓展提升

數(shù)量積坐標運算的兩條途徑

進行向量的數(shù)量積運算，前提是牢記有關(guān)的運算法則和運算性

質(zhì).解題時通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標表示，直接進行

數(shù)量積運算；二是先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計

算.

【跟蹤訓練1】向量a=(l,-1),b=(-l,2),則(2。+6)崎=

()

A.-1B.0

C.1D.2

答案C

解析a=(l,-1),b=(~l,2),；.(2a+ft)-a=(l,0)-(1,-1)=1.

探究2向量的模的問題

例2(1)若向量a=(2x—1,31%),b=(l~x,2x~1),則|“一臼的

最小值為;

(2)若向量。的始點為A(—2,4),終點為3(2,1),求:

①向量G的模；

②與a平行的單位向量的坐標；

③與。垂直的單位向量的坐標.

解析(1):4=(2%—1,3—％),6=(1—%,21—1),

=

：?a—b(2x—1,3—x)—(1—xf2x-1)=(3%-2,4—3%),

/.\a-b\=N(31一2)2+(4-3x)2

=:18。-36%+20

=.18(Liy+2,

二.當％=1時，|a—加取最小值為啦.

-A

(2)@a=AB=(2,1)-(-2,4)=(4,—3),

?**|?|=A/42+(-3)2=5.

②與a平行的單位向量是嚙=±|(4,—3),

即坐標為傳-D或V，1)

③設(shè)與a垂直的單位向量為e=(相，n),則a-e=4機—3〃=0,二.

m_3

n4'

又,.,|e|=l,m2+n2=l.

(3f3

解得r4或r4

n=5〔"=一彳

答案（1）也（2）見解析

拓展提升

求向量的模的兩種基本策略

（1）字母表示下的運算：

利用⑷2=層，將向量模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題.

(2)坐標表示下的運算：

若G=(%,y),則04=/=同2=/+產(chǎn)，于是有⑷=N12+y2.

【跟蹤訓練2】設(shè)x￡R,向量“=(%/)，6=(1,-2),且a_L

b,則|a+臼=()

A.y[5B.回

C.2小D.10

答案B

解析由“_1_瓦可得。力=0,即x-2=0,解得％=2,所以。+

8=(3,-1),故|4+團=[32+(—1)2=也.故選B.

探究3向量垂直的坐標表示

例3已知三個點4(2,1),8(3,2),。(一1,4).

—?-?

⑴求證：AB1AD；

(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標，并求矩形ABCD

兩對角線所夾銳角的余弦值.

解⑴證明：[42,1),8(3,2),￡)(-1,4),

-A-?

"3=(1,1),AD=(-3,3).

-?—>-A-A

又二■AO=1X(—3)+1X3=0,ABLAD.

—>―?

(2)VAB±AD,四邊形A3C。為矩形，

―?-?

：.AB=DC,設(shè)C點坐標為(%,y),

則(l,l)=(x+l,y—4).

二.C點坐標為(0,5).

由于AC=(—2,4),3。=(一4,2).

—?—?—?-?

.,.ACBD=8+8=16,\AC\=2y[5,\BD\=2y[5.

―?-?

設(shè)AC與的夾角為e,

—?―?

則coseA=CgB^D=^16W4>0,可得AfC與f&)夾角的余弦值為青4

ff2U3□

\AC\\BD\

4

二.矩形兩條對角線所夾銳角的余弦值為亍

拓展提升

用向量數(shù)量積的坐標表示解決垂直問題

利用坐標表示是把垂直條件代數(shù)化.因此判定方法更簡捷、運算

更直接，體現(xiàn)了向量問題代數(shù)化的思想.

【跟蹤訓練3】已知在△45C中，A(2,-1),3(3,2),。(一3,

—>

-1),4。為邊上的高，求|AQ|與點。的坐標.

—?—?

解設(shè)。點坐標為(%,y),則49=(%—2,y+1),BC=(-6,一

3),BD=(x—3,y~2).

在直線3c上，

―?—?—?-?

即3。與3c共線，.?.存在實數(shù)2,使

即(%—3,y—2)=2(—6,—3).

x—3=-62,

?V

y-2=-32,

：.x-3=2(y-2-),即％—2y+l=0.①

又；ADLBC,：.ADBC=O,

即(%—2,y+l>(—6,-3)=0.

-6(%—2)—3(y+1)=0.

即2x+y-3=0.②

]%=1,

由①②可得,=]/.D(l,l).

—?

/.|A。尸d(1—2)2+(1+1)2=小,

―?

即以。|=小，點。的坐標為(1,1).

探究4平面向量的夾角問題

例4已知△4BC頂點的坐標分別為A(3,4),5(0,0),C(c,0),

⑴若c=5,求sinA的值;

(2)若NA是鈍角，求c的取值范圍.

解AB=(-3,-4),AC=(c-3,-4).

(1)若c=5,則AC=(2,-4).

.,/二二\ACA3也

..cosA=cos(AC,AB)-----------=%.

ff5

\AC\\AB\

'：ZA是△ABC的內(nèi)角，

故sinA=^/l—cos2A-?

(2)若NA為鈍角，

則ACAB<0且AC,AB不反向共線.

25

由ACA3<0,得一3匕-3)+16<0,即c>于

顯然此時AC,A8不共線，故當NA為鈍角時，c>y.

拓展提升

求平面向量夾角的步驟

若u=(x1,yi),b=(xi,>2),

(1)求出a-b=x\X2+y\y2；

(2)求出⑷=山彳+,,\b\=W彳+貨;

(3)代入公式：cosO=j^j(。是a與，的夾角).

【跟蹤訓練4】已知平面向量。=(3,4),Z>=(9,x),c=(4,y),

且a〃b,a_Lc.

(1)求b與c；

(2)若機=2a—b,n=a+c,求向量機，〃的夾角的大小.

角星(l)'：a//b,：.3x=4X9,：.x=12.

'：a±c,.\3X4+4^=0,

「.y=-3,.\b=(9,12),c=(4,一3).

(2)機=2“一方=(6,8)—(9,12)=(—3,-4),

n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).

設(shè)機，〃的夾角為0,

畫A_mri__3X7+(_4){]__25__啦

\m\\n\-^(-3)2+(-4)^^72+12-25^2-2-

V^G[0,兀],竽，即機，〃的夾角為竽

I海齦升I

1.平面向量數(shù)量積的坐標表示主要解決的問題

向量的坐標表示和向量的坐標運算實現(xiàn)了向量運算的完全代數(shù)

化，并將數(shù)與形緊密結(jié)合起來.本節(jié)主要應(yīng)用有：

(1)求兩點間的距離(求向量的模).

(2)求兩向量的夾角.

(3)證明兩向量垂直.

2.解決向量夾角問題的方法及注意事項

(1)先利用平面向量的坐標表示求出這兩個向量的數(shù)量積ab以

b

及同步|,再由cos0=j^j而求出COS0,也可由坐標表示COS0=

x\xz+y\y2

'君+W?、城+義直接求出cos。.由三角函數(shù)值cos。求角6時，應(yīng)注意

角。的取值范圍是OWOWTT.

(2)由于OWeWir,利用cosO=Lj而來判斷角。時一，要注意cos6<0

有兩種情況：一是。是鈍角，二是。=兀；cos6>0也有兩種情況：一

是夕是銳角，二是夕=0.

卜課堂達標自測

1.若。=（2,—3）,b=（x,2x）,且3a/=4,貝I]%等于（）

A.3B.7

C.—gD.13

答案C

解析3a-b—3（2x—6x）=—12x=4,.,.%=一；.故選C.

2.已知向量。=（0,一2?。?，b=（l,?。?，則向量a在b方向上

的投影為（）

A.小B.3

C.—y[3D.13

答案D

解析向量a在b方向上的投影為需=。=一3.故選D.

1例2

3.已知Q=(1,2),8=(犬,4),且Q力=10,則|〃一臼=.

答案于

解析由題意，得a?辦=X+8=10,...％=2,...a—，=(—1,—2),

\a-b\=y[5.

4.設(shè)向量。與?的夾角為/且。=(3,3),28一“=(—1,1),則

COS0—.

宏安女叵

口木10

解析25—。=25—(3,3)=(—1,1),

A2^=(-1,1)+(3,3)=(2,4),.,.&=(1,2).

abg,?(1:2)__9___3^10

cos〃一麗-732+gS+22-可丁10-

5.已知平面向量a=(l,x),b=(2%+3,-x),%￡R.

(1)若。_1力，求％的值；

(2)若a〃辦,求|。一Z>|.

解(1)若a±b,

則a-A=(l,%>(2%+3,—%)=1X(2%+3)+%(—%)=0,即JC2—2%

—3=0,解得％=—1或%=3.

(2)若a〃仇則1義(一%)—%(2%+3)=0,

即x(2%+4)=0,解得％=0或%=—2.

當％=0時，a=(l,0),b=(3,0),

a—^=(—2,0),\a~b\=2.

當％=—2時，a=(l,—2),方=(-1,2),

a—b—(2,—4),\a—b\—^/4+16—2y/5.

綜上，』一例=2或2小.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.已知⑷=1,8=(0,2),且。0=1,則向量。與b夾角的大小

為()

71-兀

A-6B-4

C.鼻D.

答案C

解析V|a|=l,方=(0,2),且?！?1,

./小ab11

..cos〈a，b)一同向一］義疝才

二.向量a與方夾角的大小為全故選C.

2.已知平面向量a=(2,4),：=(一1,2),若c=a—(a?l,則|c|

等于()

A.4啦B.2^5

C.8D.8也

答案D

解析易得。力=2*(—1)+4*2=6,所以。=(2,4)—6(—1,2)

=(8,-8),所以同=寸82+(—8)2=隊/1

3.已知向量a=(小，1),b是不平行于％軸的單位向量，且a0

二5,則6=()

答案B

解析設(shè)b=(x,y),其中yWO,則a-A=小%+>=小.由

N+9=i,x=i

即"=&室|.故選B.

y/3x+y=y/3,解得＜小

,yWO,、尸2,

4.已知向量a=(l,2),4=(2,—3),若向量c滿足(c+a)〃方，c

_L(a+b),則c等于()

答案D

解析設(shè)c=(x,y),則c+a=(l+x,2+y),a+b=(3,-1),由

2(2+y)+3(x+l)=0,

已知可得＜

3%—y=O,

f7

%=一§,

解得j7即c=?，—?

5.已知4-2,1),3(6,-3),5(0,5),則△A3C的形狀是()

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

答案A

解析根據(jù)已知，有A3=(8,-4),AC=(2,4),BC=(—6,8),

因為A?AC=8X2+(-4)X4=0,

—?-?

所以4BJ_AC,即N84C=90°.

故△ABC為直角三角形.

二、填空題

6.已知向量。=(1,2),8=(—2,—4),\c\=y[5,若(a+8)?c=|,

則。與C的夾角為.

答案號

解析設(shè)c=(x,y),*/?+/>=(-1,—2),

且［0=巾，匕|=小，(a+5>c=|,

/.(—1,—2)-(x,j)=|..\—x—2y=y

.".x~\-2y——2，

設(shè)a與c的夾角為0,

.z.acx+2yj_

??cos?！蓉啊赣?后一一亍

2兀

???0We<7t,A0=y.

7.已知悶=3,步|=4,且(a+26)1)24,則a與。夾角6的

范圍是.

答案［o,I

解析V(a+2ft)-(2a-b)=2a2-ab+4ab-2b2=2X9+

31al網(wǎng)cos(a,b)—2X16

=-14+3X3X4cos{a,b)24,

Acos(a,b)

又..冶=(a,b)G［0,兀］

.\c兀

：.8=〈a,b〉e0,.

8.已知a=(l,3),方=(2+九1),且a與辦的夾角為銳角，則實

數(shù)2的取值范圍是.

答案4>一5且2力一上

解析因a與方的夾角為銳角，則cos(a,b)>0,且cos〈a,

b)Wl,即。?方=2+2+3>0,且bWZra,則力>—5且2W—七.

三'解答題

9.已知A(l,2),8(4,0),C(8,6),D(5,8),判斷由此四點構(gòu)成的四

邊形的形狀.

-?-?

解因為48=(4,0)—(1,2)=(3,-2),DC=(8,6)-(5,8)=(3,一

2),

—?—?

所以4B=QC,所以四邊形ABC。是平行四邊形.

-?

因為4。=(5,8)—(1,2)=(4,6),

—?—?

所以ABAQ=3X4+(—2)X6=0,

—?—■?

所以A8LAQ,所以四邊形A3CO是矩形.

-?—A—?—?

因為|45|=回，|AQ|=2，H,\AB\^\AD\,

所以四邊形A3CZ)不是正方形.

綜上，四邊形48CQ是矩形.

10.設(shè)平面向量a=(cosa,sina)(0Wa<2兀)，b——坐)，且。

與力不共線.

(1)求證：向量a+)與。一8垂直；

(2)若兩個向量小a+5與a~\13b的模相等，求角a.

解(1)證明：由題意，知a+》=，osa—sina+空a-b=

(,1,血

|cosa十sina—N

13

V(a+Z>)-(a—Z>)=cos2a—4+sin2?—4=0,

(a+A)J_(a—b).

(2)|a|=l,\b\=l,

由題意知(小a+A)?=(a—事b￥，

1、區(qū)

化簡得a?方=0,—2cosa+sinct_0,

..tana—3.

JI7兀

0Wav2ji,??儀=5或?==6.

B級：能力提升練

1.如圖，在矩形ABC