新人教版八年級上冊初二數(shù)學全冊表格式教案

第十一章三角形

一、課標要求

(1)理解三角形及三角形有關的線段(邊、高、中線、角平分線)的概念，證明三角形兩邊的

和大于第三邊，了解三角形的重心的概念，了解三角形的穩(wěn)定性。

(2)理解三角形的內角、外角的概念，探索并證明三角形內角和定理，探索并掌握直角三角

形的兩個銳角互余，掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一個外角等于

與它不相鄰的兩個內角的和。

(3)了解多邊形的有關概念(邊、內角、外角、對角線、正多邊形)，探索并掌握多邊形的內

角和公式與外角和?

二、教材分析

第1節(jié)研究與三角形有關的線段。首先結合引言中的實際例子給出三角形的概念，進而研究

三角形的分類。對于三角形的邊，證明了三角形兩邊的和大于第三邊。然后給出三角形的高、

中線與角平分線的概念。結合三角形的中線介紹三角形的重心的概念。最后結合實際例子介

紹三角形的穩(wěn)定性。

第2節(jié)研究與三角形有關的角，對于三角形的內角，證明了三角形內角和定理。然后由這個

定理推出直角三角形的性質：直角三角形的兩個銳角互余。最后給出三角形的外角的概念，

并由三角形內角和定理推出：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

第3節(jié)介紹多邊形的有關概念與多邊形的內角和公式、外角和。三角形是多邊形的一種，因

而可以借助三角形給出多邊形的有關概念，如多邊形的邊、內角、外角、內角和都可由三角

形的有關概念推廣而來。三角形是最簡單的多邊形，因而常常將多邊形分為若干個三角形，

利用三角形的性質研究多邊形。多邊形的內角和公式就是利用上述方法得到的。將多邊形的

有關內容與三角形的有關內容緊接安排，可以加強它們之間的聯(lián)系，便于學生學習。

三、教學建議

1.把握好教學要求

與三角形有關的一些概念在本章中只要求達到理解的程度就可以了，進一步的要求可通過后

續(xù)學習達到。如對于三角形的角平分線，在本章中只要知道它的定義，能夠從定義得出角相

等就可以了，學生在畫角平分線時發(fā)現(xiàn)三條角平分線交于一點，可直接肯定這個結論，在下

一章“全等三角形”中再證明這個結論，同樣，三角形的三條中線交于一點的結論也可直接

點明。

在本章中，三角形的穩(wěn)定性是通過實驗得出的，待以后學過“三邊分別相等的兩個三角形全

等“，可進一步明白其中的道理，證明三角形的內角和等于180°有一定的難度，只要學生

了解得出結論的過程，不要在輔助線上花太多的精力，以免影響對內容本身的理解與掌握，

對推理的要求應循序漸進。

2.開展好數(shù)學活動

鑲嵌作為數(shù)學活動的內容安排在本章的最后，學習這個內容要用到多邊形的內角和公式，通

過這個數(shù)學活動，學生經歷從實際問題抽象出數(shù)學問題，建立數(shù)學模型，綜合應用已有知識

解決問題的過程，從而加深對相關知識的理解，提高思維能力。

這個數(shù)學活動可以如下展開：

首先引入用地磚鋪地，用瓷磚貼墻等問題情境，并把這些實際問題轉化為數(shù)學問題：用一些

不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，然后讓學生通過實驗探究一些多邊形能否鑲

嵌成平面圖案，并記下實驗結果：

（D用正三角形、正方形或正六邊形可以鑲嵌成一個平面圖案。用正五邊形不能鑲嵌成一個

平面圖案。（2）用正三角形與正方形可以鑲嵌成一個平面圖案。用正三角形與正六邊形也可

以鑲嵌成一個平面圖案。（3）用任意三角形可以鑲嵌成一個平面圖案，用任意四邊形可以鑲

嵌成一個平面圖案。

觀察上述實驗結果，得出如下結論：如果拼接在同一個點的各個角的和恰好等于360°（周

角），相鄰的多邊形有公共邊，那么多邊形能鑲嵌成一個平面圖案。

最后，讓學生進行簡單的鑲嵌設計，使所學內容得到鞏固與運用。

11.1與三角形有關的線段

第1課時三角形的邊

教學目標

1.認識三角形，了解三角形的意義，認識三角形的邊、內角、頂點，能用符號語言表示三

角形.

2.會判斷三條線段能否構成一個三角形，并能運用它解決有關問題.

教學重點

三角形的有關概念，能用符號語言表示三角形，三角形的三邊關系.

教學難點

三邊關系的推導及應用.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

投影：金字塔，斜拉大橋，塔吊，自行車等，讓學生感受生活中處處有三角形的身影，我們

研究的“三角形”這個課題來源于實際生活之中.

請說一說你已經學習了三角形的哪些知識？

二、自主學習，指向目標

1.自學教材第1至3頁.

2.學習至此：請完成學生用書相應部分.

三、合作探究，達成目標

探究點一三角形的概念、表示方法及分類

活動一：閱讀教材第1至2頁內容，并思考以下問題：

(1)具有什么特征的圖形叫作三角形？(不在同一直線上的三條線段，首尾順次相接所組成的

圖形)

(2)三角形有幾條邊？有幾個內角？有幾個頂點？(3,3,3)

(3)三角形ABC用符號如何表示？三角形ABC的邊AB、AC和BC怎樣用小寫字母分別表示？

(a,b,c)

(4)三角形按邊分可以分成幾類？按角分呢？

展示點評：學生結合圖形分別回答，師生共同點評.

小組討論：三角形的概念，如何用符號表示及分類？

反思小結：三角形的圖形特征，有三條邊，三個內角，三個頂點，邊可以用兩個大寫字母表

示，也可以用一個小寫字母表示.

針對訓練：見《學生用書》相應部分。

探究點二三角形的三邊關系

活動二：畫出一個aABC,假設有一只小蟲要從B出發(fā)，沿三角形的邊爬到C,它有幾種路

線可以選擇？各條路線的長有什么數(shù)量關系？請說明你結論的正確性.

展示點評：(1)小蟲從B出發(fā)沿三角形的邊爬到C如下幾條線段.

a.從人-*?C：

b.從人f4fC.

(2)從B沿邊BC到C的路線長為約.

從B沿邊BA到A,從A沿C到C的路線長為四+47.

經過測量可以說＞覽,可以說這兩條路線的長是不相等的.

小組討論：在同一個三角形中，任意兩邊之和與第三邊有什么關系？任意兩邊之差與第三邊

有什么關系？三角形的三邊有怎么樣的不等關系？

反思小結：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點三三角形有關知識的運用

活動三：見教材P3例題

小組討論：等腰三角形的邊長的關系？第(2)問中的長4cm沒有明確是腰還是底時應怎么處

理？

展示點評：等腰三角形的底和腰的長度，不確定時，應分情況予以討論.

反思小結：當題目中的條件不明確時要分類討論.所有的三角形必須要滿足三邊關系定理.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

1.概念：三角形，內角，邊，頂點

2.符號語言.

3.二邊關系.

4.三角形的分類.

五、達標檢測，反思目標

1.現(xiàn)有兩根木棒，它們的長度分別為20cm和30cm,若不改變木棒的長度，要釘成一個

三角形木架，應在下列四根木棒中選取(B)

A.10cm的木棒B.20cm的木棒

C.50cm的木棒D.60cm的木棒

2.已知等腰三角形的兩邊長分別為3和6,則它的周長為(C)

A.9B.12C.15D.12或15

3.已知三角形的三邊長為連續(xù)整數(shù)，且周長為12cm,則它的最短邊長為(B)

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

4.若五條線段的長分別是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,則以其中三條線段為邊可構成

3個三角形.若等腰三角形的兩邊長分別為3和7,則它的周長為17:若等腰三角

形的兩邊長分別是3和4,則它的周長為10或11.

5.如果以5cm長為等腰三角形的一邊，另一邊長為10cm,則它的周長為25cm.

6.工人師傅用35cm長的鐵絲圍成一個等腰三角形鐵架.

(1)若腰長是底邊長的3倍，那么各邊的長分別是多少？

(2)能圍成有一邊長為7cm的等腰三角形嗎？為什么？

解：(1)設底邊長xcm,則3x+3x+x=35,x=5,3x=15.，三邊長為：15cm,15cm,

5cm.

(2)①若腰長為7cm,則底邊長為35—7—7=21(cm),2D7+7,故7cm,7cm,21cm不能組

成三角形.

35—7

②若底邊長為7cm,則腰長為p—=14(cm),.?.可以圍成一邊長為7cm的等腰三角形,

該三角形的三邊長為14cm,14cm,7cm.

第2課時三角形的高、中線與角平分線

教學目標

會用工具準確畫出三角形的高、中線與角平分線，通過畫圖了解三角形的三條高(及所在的

直線)交于一點，三角形的三條中線，三條角平分線等都交于一點.

教學重點

了解三角形的高、中線與角平分線的概念，會畫出三角形的高、中線與角平分線.

教學難點

三角形的角平分線與角的平分線的區(qū)別，三角形的高與垂線的區(qū)別.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

你還記得“過一點畫已知直線的垂線”嗎？讓學生動手操作，畫一畫.在此基礎上再提問:

過三角形的一個頂點，你能畫出它的對邊的垂線嗎？從而引入課題.

二、自主學習，指向目標

1.自學教材第4至5頁.

2.學習至此：請完成《學生用書》

三、合作探究，達成目標

探究點一三角形的高

活動一：畫出下面三角形的高AD.

A

C

B

(3)

展示點評:三角形的高是什么線？三個圖形中的高有什么區(qū)別？同一個三角形有幾條高？它

們在位置上有什么關系？請分別畫出各個三角形的高.

小組討論：三角形的高的交點位置有何特征？

反思小結：銳角三角形的高在三角形內部，直角三角形有兩條高在邊上，鈍角三角形有兩條

高在三角形外部.任意三角形都有三條高，并且三條高所在的直線相交于一點.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點二三角形的中線

活動二：有一塊三角形的草地，要把它平均分給四個牧民，且每個牧民所分得的草地都是三

角形，請你探究出幾種不同的分法.

展示點評：如何將一個三角形分成兩個面積相等的三角形？三角形的中線是什么線？一個三

角形有幾條中線？在位置上有什么關系？

小組討論：三角形的中線所分成的兩個三角形的面積有什么關系？

反思小結：三角形的中線可以把三角形分成面積相等的兩個三角形.三角形的三條中線相交

于一點，這一點在三角形的內部，這個點是三角形的重心.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點三三角形的角平分線

活動三：動手畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三個角的平分線.

展示點評：學生分組合作畫圖，師生共同點評.

小組討論:三角形的角平分線是什么線？與角平分線有什么區(qū)別？一個三角形有幾條角平分

線？它們在位置上有什么關系？

反思小結：任何三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部交于一點，我們把這個交點

叫做三角形的內心.三角形的角平分線是一條線段，而角平分線是一條射線.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

1.本節(jié)學習的數(shù)學知識是三角形的中線、角平分線、高的概念.

2.本節(jié)學習的數(shù)學方法是三角形中線、角平分線、高的畫法.

五、達標檢測，反思目標

1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是aABC的高（D）

2.如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，那么這個三角形是（B）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形

3.如圖，在AABC中，Z1=Z2,G為AD的中點，延長BG交AC于E,F為AB上一點，CF

LAD于H,判斷下列說法哪些是正確的，哪些是錯誤的.

①AD是4ABE的角平分線（X）

②BE是4ABD的邊AD上的中線（X）

③BE是AABC的邊AC上的中線（X）

@CH是4ACD的邊AD上的高（J）

4.如圖，點D、E、F分別是BC、AD、BE的中點，且S△儂=2,求%的

解：YD、E、F分別是BC、AD、BE的中點，

；.AD是AABC的中線，BE是aABD的中線，AF是aABE的中線.

又2,

??SAABE=2SA*BF=4,SAAB0:z=2SaABE_8,..SAABC~2SAAB0~16.

第3課時三角形的穩(wěn)定性

教學目標

1.了解三角形的穩(wěn)定性，四邊形不具有穩(wěn)定性.

2.能夠用三角形的穩(wěn)定性解釋生活中的現(xiàn)象.

教學重點

了解三角形的穩(wěn)定性在生產、生活中的實際應用.

教學難點

準確使用三角形的穩(wěn)定性于生產生活之中.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

多媒體展示：將四邊形木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后再扭動它，這

時木架的形狀還會改變嗎？蓋房子時，在窗框未安裝好之前，木工師傅常常先在窗框上斜釘

一根木條.為什么要這樣做呢？

二、自主學習，指向目標

1.自學教材第6至7頁.

2.學習至此：請完成《學生用書》相應部分.

三、合作探究，達成目標

探究點一三角形的穩(wěn)定性

活動一：見教材P6“探究”部分.

展示點評：1.用三根木條用釘子釘成一個三角形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？（不

會）

2.用四根木條用釘子釘成一個四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？（會）

3.在四邊形的木架上再釘一根木條，將它的一對頂點連接起來，然后扭動它，它的形狀會

改變嗎？（不會）

小組討論：從以上活動中，可以發(fā)現(xiàn)三角形和四邊形各具有什么特點？

反思小結：三角形是具有穩(wěn)定性的圖形，而四邊形等其他多邊形不具有穩(wěn)定性.

針對訓練：

1.見《學生用書》相應部分

2.舉例說明生活中應用三角形的穩(wěn)定性的例子.

解：如自行車的三角架，鐵索橋等.

探究點二三角形的穩(wěn)定性的應用

活動二：如圖是四根木條釘成的四邊形，為了使它不變形，小明加了一根木條AE,小明的

做法正確嗎？為什么？若不正確應怎樣做？

展示點評：小明可以有幾種正確的做法？

小組討論：各種做法的依據(jù)是什么？

反思小結：三角形具有穩(wěn)定性.四邊形不具有穩(wěn)定性，生活中各有用途.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

1.本節(jié)課學習的數(shù)學知識：三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性.

2.本節(jié)課學習的數(shù)學方法是觀察與操作.

五、達標檢測，反思目標

1.下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（C）

A.正方形B.長方形C.直角三角形D.平行四邊形

2.如圖，工人師傅砌門時，常用木條EF固定門框ABCD,使其不變形，這種做法的根據(jù)是（D）

A.兩點之間線段最短B.矩形的對稱性

C.矩形的四個角都是直角D.三角形的穩(wěn)定性

3.下列設備，沒有利用三角形的穩(wěn)定性的是（A）

A.活動的四邊形衣架B.起重機

C.屋頂三角形鋼架D.索道支架

4.要使下列木架穩(wěn)定至少需要多少根木棍？

四邊形木架五邊形木架六邊形木架

（1根）（2根）（3根）

11.2與三角形有關的角

第1課時三角形的內角（一）

教學目標

1.理解三角形內角和定理及其推論.

2.能靈活運用三角形內角和定理解決有關問題.

教學重點

探索并證明三角形內角和定理.

教學難點

如何添加輔助線證明三角形內角和定理.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

多媒體展示：內角三兄弟之爭

在一個直角三角形里住著三個內角，平時，它們三兄弟非常團結.可是有一天，老二突然不

高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”

老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了……”“為什么？”老二很納

悶.同學們，你們知道其中的道理嗎？

二、自主學習，指向目標

學習至此：請完成《學生用書》相應部分.

三、合作探究，達成目標

探究點一三角形的內角和

活動一：見教材P11“探究”.

展示點評：從探究的操作中，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？圖中的直線/與aABC的邊BC有什

么關系？你能想出證明"三角形內角和的方法”嗎？證明命題的步驟是什么？證明三角形的

內角和定理.

小組討論：有沒有不同的證明方法？

反思小結：證明是由題設出發(fā)，經過一步步的推理，最后推出結論正確的過程.三角形三個

內角的和等于180°.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點二三角形內角和定理的應用

活動二：見教材P12例1

展示點評：題中所求的角是哪個三角形的一個內角？你能想出幾種解法？

小組討論：三角形的內角和在解題時，如何靈活應用？

反思小結：當三角形中已知兩角的度數(shù)時，可直接用三角形內角和定理求第三個內角；當三

角形中未直接給出兩內角的度數(shù)時，可根據(jù)它們之間的關系列方程解決.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

1.本節(jié)學習的數(shù)學知識是：三角形的內角和是180°.

2.三角形內角和定理的證明思路是什么？

3.數(shù)學思想是轉化、數(shù)形結合.

五、達標檢測，反思目標

1.在直角△ABC中，NBAC=90°,AD是高，找出圖中相等的角.

A

解：N1與NC,N2與NB相等.

2.在△ABC中，NA=80°,NABC和NACB的平分線相交于點0.

(1)求NB0C的度數(shù).

(2)將NA換個度數(shù)，那(1)求出是多少？你能體會/A和/B0C有什么關系嗎？

解：(1)因為NA=80°,所以NACB+NABC=180°-ZA=100°.

因為/ABC和/ACB的平分線相交于點0,所以/1+/2=50°,

所以NB0C=180°-50°=130°.

(2)由題意知(180。-ZA)=90°-g/A,則NB0C=180。-(90°-1zA)=90°

+；NA.

3.如圖，在aABC中，AD,AE分別是高和角平分線，若NB=40°,/C=60°,求

ZEAD的度數(shù).

解：在aABC中，NBAC=180°—NB-NC=180°-40°-60°=80°.

因為AE是NBAC的平分線，

所以NEAC=NBAE=40°.

因為AD是邊BC上的高，所以NADC=90°,所以NCAD=90°-ZC=30°.

所以NEAD=NEAC—NCAD=40°-30°=10°.

第2課時三角形的內角(二)

教學目標

1.掌握直角三角形的表示方法，并理解直角三角形的性質和判定.

2.能運用直角三角形的性質和判定解決實際問題.

教學重點

理解直角三角形的性質和判定.

教學難點

運用直角三角形的性質和判定.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

1.三角形的內角和是多少度？（180°）

2.直角三角形的內角和是多少度？（180。）它的兩個銳角有什么特殊關系嗎？一一引入新課

?自主學習指向目標

1.自學教材P材-14.

2.學習至此：請完成《學生用書》相應部分.

三、合作探究，達成目標

探究點一直角三角形的內角

活動一：已知，在aABC中，ZB=90°,那么/A+NC是多少？

展示點評：：在AABC中，ZA+ZB+ZC=180°,且NB=90°,

.,.ZA+ZC=90°.

由此得出：直角三角形的兩銳角互余.

2.直角三角形的表示方法：

為了書寫方便，直角三角形可以用符號來表示.

活動二：見教材P14例3

展示點評：如圖，/CAE與NDBE分別在哪兩個三角形中？（Rt^CAE和

m△DBE）與這兩個角互余的分別是哪兩個角？（/AEC和/BED）因此能得出

NCAE與NDBE有什么關系？（相等）依據(jù)是什么？（等角的余角相等）解題過程見教材P14.

變式：如上圖，若AD平分/CAB,BC平分/ABD,請求出/CAD的度數(shù).

解：；AD平分NCAB,BC平分NABD,

NCAD=ZBAD=jzCAB,

ZABC=ZDBC=|ZDBA.

又?.?NCAD=NDBC,

.../CAD=NDAB=/ABC.

在RtZ\ABC中，ZCAB+ZABC=90°,

，/CAD=30°.

小組討論1：在直角三角形中兩銳角互余在解題方面有哪些運用？

反思小結：在直角三角形中，已知一個銳角的度數(shù)，可以根據(jù)直角三角形的兩銳角互余求出

另一個銳角的度數(shù)，若已知兩銳角的關系，也可以借助方程求出它們的度數(shù).

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點二判定直角三角形的方法

活動三：我們知道，直角三角形的兩銳角互余；反之，有兩個角互余的三角形是直角三角形

嗎？請說明理由.

展示點評：是.因為在AABC中，ZA+ZC=90°,所以NB=180°-（ZA+ZC）=90°.

所以AABC是直角三角形.

小組討論：請用文字語言表述直角三角形新的判定方法？

【反思歸納】有兩個角互余的三角形是直角三角形.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

1.直角三角形的內角有什么關系？

答：直角三角形的兩個銳角互余.

2.目前已學的直角三角形的判定方法.

答：（1）有一個角是直角的三角形是直角三角形；（2）兩邊互相垂直的三角形是直角三角形；

（3）有兩個角互余的三角形是直角三角形.

五、達標檢測，反思目標

1.如圖，DF1AB,NA=40°,ND=43°,則/ACD的度數(shù)是87°.

2.如圖，ZA=32°,ZADC=110°,NB=52°,則△BEC是直角三角形.

3.在4ABC中，三個內角NA,ZB,ZC滿足/B-/A=/C—/B,NA=30。，則NB=

600,AABC是—直魚—三角形.

4.如圖，一副直角三角板，拼成如圖所示的圖形，其中/C=90°,ZB=45°,ZE=30°,

則/BFD的度數(shù)是（A）

A.15°B.25°C.30°D.10°

5.如圖，在4ABC中，ZACB=90°,沿CD折疊aCBD,使點B恰好落在AC邊上的點E處.若

ZA=22°,貝UNBDC等于(C)

A.44°B.60°C.67°D.77°

6.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZA=a,將AABC繞點C按順時針方向旋轉后得

到aEDC,此時點D在AB邊上，ZCDB=ZB,求旋轉角/BCD的大小.

N4=a,

???NB=90°-a,

1/CDB=NB=9G-a,

???/BCD=18(T-NB-NCDB=2a,

即旋轉角的大小為2a.

第3課時三角形的外角

教學目標

掌握三角形的外角的兩個性質，能利用三角形的外角的性質解決實際問題.

教學重點

三角形外角的性質，外角和定理.

教學難點

三角形外角的定義及定理的推理過程.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

1.三角形三個內角的和等于多少度？

2.在△ABC中,

(l)NC=90°,NA=30°,則/B=60°；

(2)ZA=50°,ZB=ZC,則NB=_^2__.

3.如圖，在AABC中，CD是BC邊的延長線，/A=60°,/B=55°.

(1)求NACD的度數(shù).(115°)

(2)/ACD與/A,/B有什么大小關系？

(ZACD=ZA+ZB)

二、自主學習，指向目標

學習至此：請完成《學生用書》相應部分.

三、合作探究，達成目標

探究點一三角形的外角及相關結論

活動一：閱讀教材P14—15.

思考：三角形的外角是如何定義的？一個三角形有幾個外角？

展示點評：學生獨立寫出證明過程，并說明證明的依據(jù)是：三角形內角和定理.

小組討論:三角形的一個外角與它相鄰的內角有什么關系？與它不相鄰的兩個內角有什么關

系？

反思小結：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.三角形的一個外角大于與它

不相鄰的任何一個內角.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點二三角形外角結論的運用

活動二：見教材P15例4

展示點評：一個三角形有幾個外角，每個頂點處的外角是什么關系？三角形的外角和是多

少？如何證明你的結論.

小組討論：你有幾種不同的證法？

反思小結：三角形每個頂點處有兩個外角，是對頂角.我們只研究其中的一個，三個外角的

和是360°.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

三角形外角的定義，三角形外角的性質.

五、達標檢測，反思目標

1.判斷題：

(1)三角形的外角和是指三角形所有外角的和.(X)

(2)三角形的外角和等于它內角和的2倍.3

(3)三角形的一個外角等于兩個內角的和.(X)

(4)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.(J)

(5)三角形的一個外角大于任何一個內角.(X)

(6)三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角.(J)

2.填空:

⑴如圖.

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+/F=360°.

(2)五角星的五個角的和是180°.

4.如圖，AD是AABC中/BAC的平分線，AE是aABC的外角的平分線，交BC的延長線于點

E,且NBAD=20°，ZE=50°,求NACD的度數(shù).

解：；AD平分NBAC,ZBAD=20°,AZBAC=2ZBAD=40°,

.".ZCAF=180°-ZBAC=140".

：AE平分NCAF,

.?.NCAE=：NCAF=70°,AZACD=ZE+ZCAE=120°.

11.3多邊形及其內角和

第1課時多邊形

教學目標

1.了解多邊形及有關概念，理解正多邊形及其有關概念.

2.了解凸(凹)多邊形的區(qū)別.

教學重點

了解多邊形及其有關概念，理解正多邊形及其有關概念.

教學難點

多邊形的對角線的條數(shù)及其規(guī)律的探索.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

多媒體投影一組圖片，讓同學們從中抽象出平面圖形，從而引出課題.

二、自主學習，指向目標

學習至此：請完成《學生用書》相應部分.

三、合作探究，達成目標

探究點一多邊形的定義及有關概念

活動一：閱讀教材P19.

展示點評：多邊形是怎么組成的？常見的多邊形有哪些？邊數(shù)最少的多邊形是幾邊形？什么

是多邊形的邊、內角、外角？

小組討論：結合具體圖形說出多邊形的邊、內角、外角？

反思小結：多邊形的定義及相關概念.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點二多邊形的對角線

活動二：(1)十邊形的對角線有一—條.

(2)如果經過多邊形的一個頂點有36條對角線，這個多邊形是39邊形.

展示點評：結合圖形說明什么是多邊形的對角線？三角形是否有對角線？從五邊形的一個頂

點出發(fā)可以引幾條對角線？五邊形有幾條對角線？從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引幾條對

角線？n邊形有多少條對角線？表達式中的(n—3)是什么意思？為什么要除以2?

反思小結：當n已知時，可以直接代入公式求得對角線的條數(shù)，當對角線條數(shù)已知時，可以

化為方程來求多邊形的邊數(shù).

小組討論：如何靈活運用多邊形對角線條數(shù)的規(guī)律解題？

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點三正多邊形的有關概念

活動二：閱讀教材P20.

展示點評：畫圖說明什么是凸多邊形和凹多邊形？正多邊形有哪些特點？邊數(shù)最少的正多邊

形是什么？

小組討論：判斷一個多邊形是否是正多邊形的條件？

反思小結：由正多邊形的概念知：滿足各邊、各角分別相等的多邊形是正多邊形.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

本節(jié)學習的數(shù)學知識是：

1.多邊形、多邊形的外角，多邊形的對角線.

2.凸（凹）多邊形的概念.

五、達標檢測，反思目標

1.下列敘述正確的是（D）

A.每條邊都相等的多邊形是正多邊形

B.如果畫出多邊形某一條邊所在的直線，這個多邊形都在這條直線的同一側，那么它一定

是凸多邊形

C.每個角都相等的多邊形叫正多邊形

D.每條邊、每個角都相等的多邊形叫正多邊形

2.小學學過的下列圖形不可能是正多邊形的是（D）

A.三角形B.正方形C.四邊形D.梯形

3.多邊形的內角是指多邊形相鄰兩邊組成的角；

多邊形的外角是指多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角；

多邊形的內角和它相鄰的外角是鄰補角關系.

4.已知一個四邊形的四個內角的比為1：2：3：4,求這個四邊形的各個內角的度數(shù).

解：設各內角分別為x°、2x°、3x°、4x°,則x+2x+3x+4x=360,

.??x=36,...這個四邊形的各個內角的度數(shù)分別是36°,72°,108°,144°.

5.一個十二邊形共有多少條對角線？

（n3）

解：設這個十邊形有n條對角線.當n=12時，°7-54,

一個十二邊形共有54條對角線.

6.有一個家庭聯(lián)誼會，參加的家庭全部是三口之家，在聯(lián)誼會期間，每個人都要和別的家

庭的每個成員握一次手.若參加會議的人數(shù)為15,則一共要握手多少次？

15X(15—3)

解:~2=90.

一共需要握手90次.

第2課時多邊形的內角和

教學目標

1.掌握多邊形內角和公式及外角和.

2.能把多邊形問題轉化為三角形問題，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，讓學生體會從特殊到一般

的認識問題的方法.

教學重點

探索并證明多邊形內角和公式與外角和.

教學難點

探索多邊形內角和時，將多邊形問題轉化為三角形問題來解決.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

問題：1.三角形的內角和是18和；正方形的內角和是36go；一般四邊形的內角和是多少

呢？{360')

2.五邊形的內角和呢？(546)

3.n邊形的內角和是多少呢？[180°(n—2)]

二、自主學習，指向目標

學習至此：請完成《學生用書》相應部分.

三、合作探窕，達成目標

探究點一多邊形的內角和

活動一：探究教材P21“思考”.

展示點評：

分成三

從一個頂點出發(fā)

邊數(shù)角形的內角和外角和

對角線的條數(shù)

個數(shù)

412360°360°

523540°360°

634720°360°

745900°360°

Dn—3n-2180°(n-2)360°

小組討論：把一個多邊形分成幾個三角形，還有其他的分法嗎？都可以推導出多邊形的內角

和公式嗎？

反思小結：n邊形的內角和等于(n-2)?180°.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點二多邊形的外角和

活動二：見教材P22例1(答案見教材)

展示點評:任何一個外角同與它相鄰的內角有什么關系？六邊形的6個外角加上與它們相鄰

的內角，所得總和是多少？上述總和與六邊形的內角和、外角和有什么關系？你能歸納出多

邊形外角和的求法嗎？

小組討論：多邊形的外角和與這個多邊形的邊數(shù)之間有數(shù)量關系嗎？

反思小結：多邊形的外角和等于360°.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

1.本節(jié)課學習的數(shù)學知識是：多邊形的內角和公式及外角和.

2.數(shù)學思想：轉化、數(shù)形結合.

五、達標檢測，反思目標

1.填空：

⑴十二邊形的內角和是1800°-

(2)一個多邊形當邊數(shù)增加1時，它的內角和增加18&,它的外角和增加0°

(3)一個多邊形的內角和是720°,則此多邊形有——個內角.

(4)如果一個多邊形的內角和是1440°,那么這是十邊形.

2.如圖：ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=36(T.

3.下列角度不是多邊形的內角和的是(A)

A.600°B.720°C.900°D.1080°

4.科技館為某機器人編制了一段程序，如果機器人在平地上按照圖中所示的步驟行走，那

么該機器人所走的總路程為(A)

機器人必■點處|

|向前走In：向左轉30。|

A.12mB.13mC.14mD.不能確定

5.看圖答題:

’這個多邊形的內角'

和等于11250嗎？

不對，你少學

了一個角.

問題：（D他們在求幾邊形的內角和？

（2）少加的那個角為多少度？

解：（1）1125+180=6....45,

所求多邊形的邊數(shù)為6+2+1=9.

⑵少加的那個角是180°-45°=135°.

第十二章全等三角形

一、課標要求

(1)理解全等三角形的概念，能識別全等三角形中的對應邊、對應角，掌握并能運用全等三

角形的性質。

(2)經歷探索三角形全等條件的過程，掌握判定三角形全等的基本事實(“邊邊邊”“邊角邊”

和“角邊角”)和定理(“角角邊”)，能判定兩個三角形全等。

(3)能利用三角形全等證明一些結論。

(4)探索并證明角平分線的性質定理，能運用角平分線的性質。

二、教材分析

中學階段重點研究的兩個平面圖形間的關系是全等和相似，本章以三角形為例研究全等。對

全等三角形研究的問題和研究方法將為后面相似的學習提供思路，而且全等是一種特殊的相

似，全等三角形的內容是學生學習相似三角形的重要基礎。本章還借助全等三角形進一步培

養(yǎng)學生的推理論證能力，主要包括用分析法分析條件與結論的關系，用綜合法書寫證明格式

以及掌握證明幾何命題的一般過程。由于利用全等三角形可以證明線段、角等基本幾何元素

相等，所以本章的內容也是后面將學習的等腰三角形、四邊形、圓等內容的基礎。

全等形在幾何中處處可見，為了避免學生將全等的概念局限于全等三角形，本章從現(xiàn)實世界

中各種各樣的全等圖形談起。接著，教科書從“重合”的角度定義了全等形和全等三角形的

概念，這種定義方式有利于學生借助生活經驗直觀地認識所定義的對象，也便于引出全等形

的對應部分。

性質與判定是研究全等三角形的兩個重要方面。教科書由全等三角形的定義直接導出全等三

角形的性質。在研究全等三角形的判定方法時，由圖形的性質與判定在命題陳述上的互逆關

系出發(fā)，引出由三條邊分別相等、三個角分別相等判定兩個三角形全等的方法。接下來，教

科書構建了一個完整的探索三角形全等條件的活動一一首先提出探究的問題：由全等三角形

的定義可知，滿足三條邊分別相等、三個角分別相等的兩個三角形全等，那么能否減少條件，

簡捷地判定兩個三角形全等呢？然后從“一個條件”開始，逐漸增加條件的數(shù)量，分別探究

“一個條件”“兩個條件"''三個條件”……能否保證兩個三角形全等。對于“三個條件”的

情形，分為三條邊、兩條邊和一個角、兩個角和一條邊以及三個角分別相等的情況依次進行

了探究。同時，根據(jù)對各判定方法學習要求的差別設置了不同的學習方式，有的讓學生通過

作圖實驗，猜想結論，再以基本事實的形式給出判定方法，有的讓學生通過舉反例說明判定

方法不成立，有的則由已獲得的判定方法證明新的判定方法。最后，探究了判定直角三角形

全等的特殊方法。

由于角的平分線的性質可以用全等三角形的知識證明，本章的最后一節(jié)安排了角的平分線的

性質的內容。首先，由平分角的儀器的工作原理引出了一個角的平分線的尺規(guī)作圖，然后探

究并證明了角的平分線的性質，同時總結了證明一個幾何命題的一般步驟，最后給出了角的

平分線的性質定理的逆定理。

本章重點研究了三角形全等的判定方法，并在其中滲透了研究幾何圖形的基本問題和方法。

在推理論證方面，本章既有直接利用三角形全等的判定方法證明兩個三角形全等的問題，又

有通過證明兩個三角形全等推出線段相等或角相等的問題，在問題的設計中還融入了平行線

的性質與判定、三角形中邊或角的等量關系、距離的概念、折紙情境等內容，推理論證的難

度比《三角形》一章提高了。為了降低學生利用全等三角形的知識進行推理論證的難度，本

章設置了多道例題做出示范，包括怎樣分析條件與結論的關系，怎樣書寫證明格式，還總結

了證明幾何命題的一般步驟。

三、教學建議

1.用研究幾何圖形的基本思想和方法貫穿本章的教學

學生在前面的幾何學習中研究了相交線與平行線、三角形等幾何圖形，對于研究幾何圖形的

基本問題、思路和方法形成了一定的認識，本章在教學中要充分利用學生已有的研究幾何圖

形的思想方法，用幾何思想貫穿全章的教學。例如，在教授本章之前，可以先讓學生根據(jù)研

究幾何圖形的經驗，思考全等三角形的主要研究內容是什么。學生明確了性質和判定也是研

究全等三角形的兩個重要方面，不僅可以對將學習的內容做到心中有數(shù)，而且可以幫助他們

從數(shù)學內部認識研究全等的目的。又如，在學全等三角形的性質之前，可以提示學生：三角

形的性質描述的是三角形的邊和角所具有的共同特征，那么全等三角形的性質研究的是什么

內容。而在學生學習三角形全等的判定方法之前，可以先讓他們回憶圖形的判定討論的是確

定某種圖形的條件，從而明確研究全等三角形的判定就是要確定能保證兩個三角形全等的條

件，再讓他們利用性質和判定在命題陳述上的互逆關系，得到用邊、角的相等關系判定兩個

三角形全等的方法。再如，活動2中學生獨立研究箏形的性質時，要先讓他們回顧研究幾何

圖形的基本思路和方法。

2.讓學生充分經歷探究過程

本章在編排判定三角形全等的內容時構建了一個完整的探究活動，包括探究的目標、探究的

思路和分階段的探究活動。教學中可以讓學生充分經歷這個探究過程，在明確探究目標、形

成探究思路的前提下，按計劃逐步探索兩個三角形全等的條件。特別是判定三角形全等的‘'邊

邊邊”“邊角邊”“角邊角”方法是以基本事實的方式給出來的，不需要證明來確認其正確性,

判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”方法在本章中，也暫時沒給出證明，教學中要讓學

生通過畫圖、測量、實驗、分析、歸納等操作來感知三角形的邊、角條件與兩個三角形全等

之間的關系，在充分探索的基礎上感受結論的合理性。

本章在編排中將畫圖與探究三角形的全等條件結合起來，既有用尺規(guī)畫一個三角形與已知三

角形全等，又有用技術手段根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫三角形。教學中要充分利用探索畫圖方法的過程

對形成結論的價值，讓學生自主探索畫圖的步驟、創(chuàng)設多種畫法、解釋作圖依據(jù)等，在活動

中發(fā)現(xiàn)結論。

3.重視對學生推理論證能力的培養(yǎng)

本章是初中階段培養(yǎng)邏輯推理能力的重要內容，主要包括證明兩個三角形全等，和通過證明

三角形全等，證明兩條線段或兩個角相等。教學中要在學生已有推理論證經驗的基礎上，利

用三角形全等的證明，進一步培養(yǎng)學生推理論證的能力。按照整套教科書對推理能力培養(yǎng)的

循序漸進的目標，本章的教學重點是引導學生分析條件與結論的關系，書寫嚴謹?shù)淖C明格式,

對于以文字形式給出的兒何命題，從具體問題的證明中總結出證明的一般步驟。教學中可以

以具體的問題為載體，先引導學生分析由已知推出結論的思路，由教師示范證明的格式，再

逐步要求學生獨立分析、寫出完整的證明過程。同時要注意根據(jù)內容及時地安排相應的訓練,

讓學生切實提高推理論證能力。

12.1全等三角形

教學目標

1.了解全等三角形的概念及表示方法.

2.掌握全等三角形對應邊、對應角相等的性質.

教學重點

全等三角形的概念及性質.

教學難點

全等三角形對應元素的確定.

一、創(chuàng)設情景，明確目標

多媒體展示一組圖片，讓學生觀察每組圖片的形狀、大小是否相同？從而引入新課.

二、自主學習，指向目標

學習至此：請完成《學生用書》相應部分.

三、合作探究，達成目標

探究點一全等形及全等三角形的概念和表示方法

活動一：什么是全等形？什么是全等三角形？判斷兩個圖形是否是全等形，可以通過什么方

法？如何尋找對應邊和對應角？如何表示全等三角形？

展示點評：(DaABC絲4DEF其中：互相重合的頂點叫對應點;互相重合的邊叫對應邊;互

相重合的角叫對應角.

(2)兩個三角形的關系：AAOB絲△COD

對應頂點：/和C,8和〃。和0；

對應邊：AB與CD,OAWOC,OB與OD；

對應角：4和/C,/夕和/〃NAOB和NDOC。

(3)兩個三角形的關系：^ABD絲4ABC

D

AD的對應邊是AC；

AB的對應邊是AB-,

ZDAB的對應角是445；

NCBA的對應角是上幽.

小組討論：尋找全等三角形的對應邊，對應角有什么規(guī)律？

反思小結：全等三角形是一種特殊的全等形.全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩對對

應角所夾的邊是對應邊；反之亦然.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點二全等三角形的性質

活動二：完成教材P32“思考”.

展示點評：說說你是如何找到它們之間的關系的？

小組討論：舉例說明全等三角形的對應邊、對應角之間各有什么數(shù)量關系？

反思小結：全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

探究點三全等三角形的性質的運用

活動三：己知△ABCgZXDEF,ADEF的周長為32cm,DE=9cm,EF=12cm,求△ABC各邊

的長.

展示點評：引導學生畫圖說明.

小組討論：根據(jù)已知條件知4DEF的各邊長，那么如何轉化為△ABC各邊的長呢？解答此題

的關鍵是什么？

反思小結：運用三角形全等的性質可以解決求線段長度，角度大小及面積問題.

針對訓練：見《學生用書》相應部分

四、總結梳理，內化目標

1.本節(jié)課學習的數(shù)學知識是全等三角形的概念及性質；

2.本節(jié)課學習的數(shù)學方法是全等變換即平移、旋轉、翻折.

五、達標檢測，反思目標

1.如圖，若△OADgaOBC,且/0=65°,ZC=2O0,則/OAD=95.

E

BA

E

DC

第1題圖第2題圖

2.如圖，若^ABC絲ZXAEF,AB=AE,ZB=ZE,

①AC=AF,②NFAB=/EAB,③EF=BC,④/FAC=/EAB.

其中正確結論的個數(shù)是(C)

A.1B.2C.3D.4

3.如圖，已知AABE嶺aACD,且Nl=/2,NB=NC.請指出其余的對應邊和對應角.

解：對應角：/BAE與NCAD.

對應邊：AD與AB,AB馬AC,BE甘CD.

4.如圖，已知aABC絲4FED,求證：AB/7EF.

證明：:△ABC04FED,

???/4=NtF(全等三角形的對應角相等)，

：.AB//EF.

5.如圖，若aABC會△A3G,且NA=110°,ZB=40°,則NQ的度數(shù)是30°.

6.如圖，Z\ABC名△DEF,且B,E,C,F四點在一條直線上.

(1)寫出它們的對應邊和對應角.

(2)求證：AB〃DE.

(I)解：對應邊：AB與DE,AC與DF,BC與EF；對應角：NA與ND,NB與NDEF,

N4CS與NE

(2證明：:△ABMADEF,:.NB=NDEF,：.AB//DE.

12.2三角形全等的判定（第1課時）

教學內容

本節(jié)課主要內容是探索三角形全等的條件（SSS）-及利用全等三角形的判定進行

證明.

教學目標

1.知識與技能

了解三角形的穩(wěn)定性，會應用“邊邊邊”判定兩個三角形全等.

2.過程與方法

經歷探索“邊邊邊”判定全等三角形的過程，解決簡單的問題.

3.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)有條理的思考和表達能力，形成良好的合作意識.

重點與難點

重點：掌握“邊邊邊”判定兩個三角形全等的方法.

難點：理解證明的基本過程，學會綜合分析法.

教具準備

一塊形狀如圖1所示的硬紙片，直尺，圓規(guī).

圖1圖2

教學方法

采用“操作一實驗”的教學方法，讓學生親自動手，形成直觀形象.

教學過程

一、設疑求解，操作感知

【教師活動】（出示教具）

問題提出：一塊三角形的玻璃損壞后，只剩下如圖2所示的殘片，?你對圖中的殘

片作哪些測量，就可以割取符合規(guī)格的三角形玻璃，與同伴交流.

【學生活動】觀察，思考，回答教師的問題.方法如下：可以將圖V的玻璃碎片放

在一塊紙板上，然后用直尺和鉛筆或水筆畫出一塊完整的三角形.如圖2,?剪下模板

就可去割玻璃了.

【理論認知】

如果AABC2ABe',那么它們的對應邊相等，對應角相等.?反之，如果AABC

與AABC滿足三條邊對應相等，三個角對應相等，即AB=A,B,,BC=B,C,,CA=C'A',

NA=NA',NB=NB',NC=/C'.這六個條件,就能保證AABCXA'B'C',從剛才的實踐我

們可以發(fā)現(xiàn)：?只要兩個三角形三條邊對應相等，就可以保證這兩個三角形全等.

【作圖驗證】（用直尺和圓規(guī)）

先任意畫出一個AABC,再畫一個AA'B'C',使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.把

畫出的AABC，剪下來，放在&ABC上，它們能完全重合嗎？（即全等嗎）

【學生活動】拿出直尺和圓規(guī)按上面的要求作圖，并驗證.（如教材圖12.2-2所示）

畫一個AA'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC.

1.畫線段取BV=BC;

2.分別以B；C'為圓心，線段AB、AC長為半徑畫弧，兩弧交于點A'；

3.連接線段A'B，、A'C'.

【教師活動】巡視、指導，引入課題r上述的生活實例和尺規(guī)作圖的結果反映了什

么規(guī)律？”

【學生活動】在思考、實踐的基礎上可以歸納出下面判定兩個三角形全等的定理.

（1）判定方法：三邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

（2）判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等.

【評析】通過學生全過程的畫圖、觀察、比較、交流等，逐步探索出最后的結論一

邊邊邊，在這個過程中，學生不僅得到了兩個三角形全等的條件，同時增強了數(shù)學體驗.

二、范例點擊，應用所學

【例1】如教材圖12.2-3所示，&ABC是一個鋼架，AB=AC,AD是連接點A與

BC的中點D的支架，求證AABDMAACD.（教師板書）

【教師活動】分析例1,要證明AABD*ACD,可看這兩個三角形的三條邊是否對

應相等.

證明：；D是BC的中點，

BD

..BD=CD.

在AABD和AACD中，

「AB=AC,

<AD=AD,

，BD=CD,

.“ABD?ACD（SSS）.

【評析】符號…'表示"因為表示“所以"；從例1可以看出,?證明是由題設（已

知）出發(fā)，經過一步步的推理，最后推出結論（求證）正確的過程.書寫中注意對應頂

點要寫在對應位置上，哪個三角形先寫，哪個三角形的邊就先寫.

三、實踐應用，合作學習

【問題思考】

已知AC=FE,BC=DE,點A、D、B