高考數(shù)學一輪復習：集合及其運算

集合及其運算高考數(shù)學一輪復習1.元素與集合2.集合間的基本關系3.集合的基本運算教材研讀考點一集合的基本概念考點二集合間的基本關系考點三集合的基本運算考點突破1.元素與集合(1)集合中元素的特性:①

確定性

、互異性、無序性.(2)集合與元素的關系:若a屬于集合A,記作②

a∈A

;若b不屬于集合

A,記作③

b?A

.(3)集合的表示方法:④

列舉法

、描述法、圖示法.教材研讀(4)常見數(shù)集及其符號表示2.集合間的基本關系(2)?,{0}和{?}的區(qū)別,?是集合,不含有任何元素,{0}含有一個元素0;

{?}含有一個元素?,且?∈{?}和??{?}都正確.(3)在涉及集合之間的關系時,若未指明集合非空,則要考慮空集的可能

性,如:若A?B,則要考慮A=?和A≠?兩種情況.?提醒(1)“?”與“?”的區(qū)別:A?B?A=B或A?B,若A?B和A?

B同時成立,則A?B更準確.3.集合的基本運算知識拓展1.非常規(guī)性表示常用數(shù)集:如{x|x=2(n-1),n∈Z}為偶數(shù)集,{x|x=4n±1,n

∈Z}為奇數(shù)集等.2.(1)一個集合的真子集必是其子集,一個集合的子集不一定是其真子集.(2)任何一個集合是它本身的子集;(3)對于集合A,B,C,若A?B,B?C,則A?C(真子集也滿足).3.子集的個數(shù):集合A中有n個元素,則集合A有2n個子集、(2n-1)個真子

集、(2n-1)個非空子集、(2n-2)個非空真子集.4.(1)并集的性質(zhì):A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A;(2)交集的性質(zhì):A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B;(3)補集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A;?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB);?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB).1.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“?”).(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.

(?)(2)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.

(?)(3){x|x≤1}={t|t≤1}.

(√)(4)對于任意兩個集合A,B,(A∩B)?(A∪B)恒成立.

(√)(5)若A∩B=A∩C,則B=C.

(?)

答案(1)?(2)?(3)√(4)√(5)?2.若集合A={x∈N|x≤

},a=2

,則下面結(jié)論中正確的是

(D)A.{a}?A

B.a?A

C.{a}∈A

D.a?A答案

D因為a=2

?N,A={x∈N|x≤

},所以a?A.

3.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},則A∩B=(A)A.{0,2}

B.{1,2}C.{0}

D.{-2,-1,0,1,2}答案

A本題主要考查集合的基本運算.∵A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},∴A∩B={0,2},故選A.

4.(教材習題改編)滿足{0,1}?A?{0,1,2,3}的集合A的個數(shù)為(D)A.1

B.2

C.3

D.4答案

D由題意得A可為{0,1},{0,1,2},{0,1,3},{0,1,2,3}.5.若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,3,4},則?U(A∩B)=

.答案{1,4,5}

6.(教材習題改編)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},則A∩B中元素的個

數(shù)為

.答案2解析因為集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中

元素的個數(shù)為2.典例1(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈

Z},則A中元素的個數(shù)為

(A)A.9

B.8

C.5

D.4(2)已知a,b∈R,若

={a2,a+b,0},則a2018+b2018=(A)A.1

B.0

C.-1

D.±1集合的基本概念考點突破

答案(1)A(2)A解析(1)本題主要考查集合的含義與表示.由題意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故

集合A中共有9個元素,故選A.(2)由已知得a≠0,則

=0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應舍去,因此a=-1,故a2018+b2018=(-1)2018+02018=1.方法技巧與集合中的元素有關的問題的求解策略(1)確定集合中的元素是什么,即集合是數(shù)集還是點集;(2)看這些元素滿足什么限制條件;(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù).易錯警示要注意檢驗集合中元素的互異性,如本例(2).1-1設集合A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x?A},則集合B中元素的個數(shù)為

(A)A.1

B.2

C.3

D.4答案

A若x∈B,則-x∈A,故x只可能是0,-1,-2,-3,當0∈B時,1-0=1∈A;

當-1∈B時,1-(-1)=2∈A;當-2∈B時,1-(-2)=3∈A;當-3∈B時,1-(-3)=4?A,

所以B={-3},故集合B中元素的個數(shù)為1.

1-2已知集合A={x∈N|1<x<log2k},集合A中至少有3個元素,則

(C)A.k>8

B.k≥8

C.k>16

D.k≥16答案

C因為集合A中至少有3個元素,所以log2k>4,所以k>24=16,故選C.

1-3已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為

.答案-

解析因為3∈A,所以m+2=3或2m2+m=3.當m+2=3,即m=1時,2m2+m=3,此時集合A中有重復元素3,所以m=1不符合題意,舍去;當2m2+m=3時,解得m=-

或m=1(舍去),此時m+2=

≠3符合題意.所以m=-

.典例2(1)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈N},則集合A的真子集的個數(shù)為

(C)A.7

B.8

C.15

D.16(2)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},則

(

B

)A.A?B

B.B?A

C.A=B

D.A∩B=?(3)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,則實數(shù)m的

取值范圍是

.集合間的基本關系

答案(1)C(2)B(3)(-∞,3]解析(1)由題意得A={0,1,2,3},則集合A的真子集的個數(shù)為24-1=15.(2)因為A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1},所以B?A,故選B.(3)當B=?時,有2m-1<m+1,此時m<2;當B≠?時,有

解得2≤m≤3.綜上可得,實數(shù)m的取值范圍是(-∞,3].◆探究

(變條件)若將本例(3)中的“A={x|-2≤x≤5}”改為“A={x|x<-

2或x>5}”,求實數(shù)m的取值范圍.解析當B=?時,有2m-1<m+1,∴m<2,符合題意;當B≠?時,有

或

解得

或

即m>4.綜上可知,實數(shù)m的取值范圍是(-∞,2)∪(4,+∞).方法技巧1.判斷兩集合間的關系的方法(1)對描述法表示的集合,把集合化簡后,從表達式中尋找兩集合間的關系.(2)對于用列舉法表示的集合,從元素中尋找關系.2.根據(jù)兩集合間的關系求參數(shù)的方法已知兩個集合間的關系求參數(shù)時,關鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點的關系,進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的條件,常用數(shù)軸、Venn圖等來解決這類問題.2-1已知集合A={x|y=

,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},則

(B)A.A?B

B.B?A

C.A?B

D.A=B答案

B由題意知A={x|-1≤x≤1},∴B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},∴B?A,故選B.

2-2已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},則滿足條件A

?C?B的集合C的個數(shù)為

(D)A.1

B.2

C.3

D.4答案

D由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由題意知B={1,2,3,4},∴滿足條件的C為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

2-3若集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},且B?A,則實數(shù)m的取值范

圍是

.答案[-2,2)解析若B=?,則Δ=m2-4<0,解得-2<m<2;若1∈B,則12+m+1=0,解得m=-2,此時B={1},符合題意;若2∈B,則22+2m+1=0,解得m=-

,此時B=

,不合題意.綜上所述,實數(shù)m的取值范圍是[-2,2).典例3(1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},則

A∩B=

(C)A.{0}

B.{1}

C.{1,2}

D.{0,1,2}(2)(2018天津,1,5分)設集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},

則(A∪B)∩C=

(C)A.{-1,1}

B.{0,1}

C.{-1,0,1}

D.{2,3,4}集合的基本運算命題方向一集合的運算

(3)已知集合A={x|x2-x-2>0},則?RA=

(B)A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案(1)C(2)C(3)B解析(1)∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2},故選C.(2)由題意得A∪B={1,2,3,4,-1,0},∴(A∪B)∩C={1,2,3,4,-1,0}∩{x∈R|-1

≤x<2}={-1,0,1}.故選C.(3)化簡A={x|x<-1或x>2},∴?RA={x|-1≤x≤2}.故選B.

命題方向二利用集合的運算求參數(shù)典例4(1)已知x∈R,集合A={0,1,2,4,5},集合B={x-2,x,x

+2},若A∩B={0,2},則x=

(

B

)A.-2

B.0

C.1

D.2(2)已知集合A={x|x2-x-12>0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>4},則實數(shù)m的取

值范圍是

(

B

)A.(-4,3)

B.[-3,4]C.(-3,4)

D.(-∞,4]

解析(1)因為A={0,1,2,4,5},B={x-2,x,x+2},且A∩B={0,2},所以

或

當x=2時,B={0,2,4},A∩B={0,2,4}(舍);當x=0時,B={-2,0,2},A∩B={0,2},符合題意.綜上,x=0.故選B.(2)集合A={x|x<-3或x>4},∵A∩B={x|x>4},∴-3≤m≤4,故選B.答案(1)B(2)B規(guī)律總結(jié)1.集合運算的常用方法(1)若集合中的元素是離散的,則常用Venn圖求解.(2)若集合中的元素是連續(xù)的實數(shù),則用數(shù)軸表示,此時要注意端點的情況.2.利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)與不等式有關的集合,一般利用數(shù)軸解決,要注意端點值的取舍.(2)若集合能一一列舉,則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關系,

再列方程(組)求解.在求出參數(shù)后,注意結(jié)果的驗證(滿足集