高考數學一輪復習(提升版)(新高考地區(qū)專用)7.5外接球(精練)(提升版)(原卷版+解析)

7.5外接球（精練）（提升版）題組一題組一漢堡模型1．(2023·全國·高三專題練習）在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，，，則四棱錐的外接球O的表面積是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π2．(2023·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，若，則該直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·高三專題練習）據《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．5．(2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，底面BCD是邊長為的正三角形，底面BCD，且，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習）已知S，A，B，C是球O表面上的點，平面ABC，AB⊥BC，，，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．7．(2023·河北衡水·高三階段練習）在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．題組二題組二墻角模型1．(2023·廣西·貴港市高級中學三模（理））《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵中，，，，則在塹堵中截掉陽馬后的幾何體的外接球的體積與陽馬的體積比為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點．若四棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．3(2023·四川雅安·三模（文））在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是___________.4．(2023·河北保定·二模）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.已知在鱉臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，則鱉臑P-ABC外接球的體積是___________.題組三題組三斗笠模型1．(2023·黑龍江）某圓錐的側面展開后，是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（）A． B． C． D．2．(2023廣西）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長為3，側面展開圖的面積為，則球O的表面積等于（）A． B． C． D．3．(2023·寧夏銀川市）已知一個圓錐的底面圓面積為，側面展開圖是半圓，則其外接球的表面積等于（）A． B． C． D．4．(2023·河南）一圓臺的兩底面半徑分別為，高為，則該圓臺外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．(2023·浙江）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球面上，圓錐的側面展開圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（）A． B． C． D．6．(2023·天津南開區(qū)）已知一個圓錐的底面半徑為，高為，其體積大小等于某球的表面積大小，則此球的體積是（）A． B． C． D．題組四題組四L模型1．(2023·安徽·巢湖市第一中學）已知三棱錐中，平面平面，且，，若，則三棱錐外接球的表面積為（

）A．64π B．128π C．40π D．80π2．(2023·吉林·洮南市第一中學高三階段練習（理））已知三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球的表面積為______．3．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.4．(2023·新疆烏魯木齊·模擬預測（文））在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．(2023·重慶八中高三階段練習）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（

）A． B． C． D．6．(2023·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））已知四棱錐中，平面平面ABCD，其中為正方形，是邊長為2的等邊三角形，則四棱錐外接球的表面積為（

）A．4 B． C． D．題組五題組五懷表模型1．(2023·全國·高三專題練習）四邊形ABDC是菱形，，，沿對角線BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值為，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為_____.2．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習）兩個邊長為2的正三角形與，沿公共邊折疊成的二面角，若點在同一球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．4．(2023·全國·模擬預測）已知四邊形為菱形，且，現將沿折起至，并使得與平面所成角的余弦值為，此時三棱錐外接球的體積為，則該三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．5．(2023·全國·高三專題練習）已知菱形中，，將其沿對角線折成四面體，使得二面角的大小為，若該四面體的所有頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．6（2023·安徽高三月考（文））已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．題組六矩形模型題組六矩形模型1．(2023·安徽合肥市）在三棱錐中，，，.若三棱錐的體積為1，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．2．(2023·甘肅酒泉市）已知三棱錐，當三棱錐的體積最大時，則外接球的表面積為___________.3．（2023·江西南昌市）四面體中，，，，則該四面體的外接球表面積為__________．4．（2023·全國·高三專題練習）在矩形中，，點，分別是，的中點，沿將四邊形折起，使，若折起后點，，，，，都在球的表面上，則球的表面積為題組七內切球題組七內切球1．（2023·全國·高三專題練習）已知正四棱錐的側棱長為，底面邊長為2，則該四棱錐的內切球的體積為（

）A． B． C． D．2．(2023·湖北·模擬預測）已知中，，，，以為軸旋轉一周得到一個旋轉體，則該旋轉體的內切球的表面積為（

）A． B． C． D．3．(2023·河南）六氟化硫是一種無機化合物，化學式為，常溫常壓下為無色無臭無毒不燃的穩(wěn)定氣體，密度約為空氣密度的5倍，是強電負性氣體，廣泛用于超高壓和特高壓電力系統．六氟化硫分子結構呈正八面體排布（8個面都是正三角形）．若此正八面體的表面積為，則該正八面體的內切球的體積為______．4．(2023·安徽）連接正方體的每個面的中心構成一個正八面體（如圖所示），該正八面體內切球與原正方體內切球的表面積之比為__________.5．(2023·河南）正四棱錐的各條棱長均為2，則該四棱錐的內切球的表面積為______．6．（2023·山東高三）已知正三棱錐的底面邊長為側棱長為，其內切球與兩側面分別切于點，則的長度為___________.7.5外接球（精練）（提升版）題組一題組一漢堡模型1．(2023·全國·高三專題練習）在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，，，則四棱錐的外接球O的表面積是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π答案：D【解析】由題意底面矩形的外接圓半徑，則原四棱錐外接球半徑，故選：D2．(2023·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，若，則該直三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意可得三棱柱的上下底面為直角三角形，取直角三角形斜邊的中點，直三棱柱的外接球的球心O為上下底面的外接圓圓心的連線的中點，連接AO，,設外接球的半徑為R，下底面外接圓的半徑為r，r=，則，該直三棱柱外接球的表面積為,故選：C3．(2023·全國·高三專題練習）已知正三棱柱所有棱長都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖，為棱的中點，為正△的中心，為外接球的球心根據直棱柱外接球的性質可知∥，，外接球半徑，∵正△的邊長為6，則∴外接球的表面積故選：C．4．(2023·全國·高三專題練習）據《九章算術》記載，“鱉臑”為四個面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現有一個“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如圖，將三棱錐補形為正方體，則外接球半徑.所以三棱錐外接球表面積.故選：B.5．(2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，底面BCD是邊長為的正三角形，底面BCD，且，則該幾何體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，將三棱錐補成如圖所示正三棱柱，取上下底面的外心，易得球心即為中點，連接，易得，，設外接球半徑為，則，則.故選：C．6．（2023·全國·高三專題練習）已知S，A，B，C是球O表面上的點，平面ABC，AB⊥BC，，，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為、、、是球表面上的點，所以又平面，平面，所以，，，因為，平面，，所以平面，而平面，所以，所以可得為的中點，，，所以，所以球的半徑徑為，所以球表面積為．故選：A．7．(2023·河北衡水·高三階段練習）在三棱錐中，，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，所以.又，，所以平面SAC.在中，，，所以.又，則外接圓的半徑為，取BC，AC的中點D，E，的外心為F，過D作平面ABC的垂線l，過F作平面SAC的垂線交l于點O，即為球心，連接DE，EF，FA，OA，則四邊形DEFO為矩形，則，，所以，即三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的體積為.故選：D題組二題組二墻角模型1．(2023·廣西·貴港市高級中學三模（理））《九章算術》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，將底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”，在如圖所示的塹堵中，，，，則在塹堵中截掉陽馬后的幾何體的外接球的體積與陽馬的體積比為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由題知：剩余的幾何體為三棱錐，平面，．將三棱錐放入長方體，長方體的外接球為三棱錐的外接球，如圖所示：外接球半徑，所以外接球體積，陽馬—的體積為．．故選：B．2．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點．若四棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______．答案：【解析】由題意知：四邊形的面積，設點到平面的距離為，則，解得：，又為中點，平面，；，兩兩互相垂直，三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球表面積.故答案為：.3(2023·四川雅安·三模（文））在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的表面積是___________.答案：【解析】因為，，則，，同理可證，，所以，、、兩兩垂直，將三棱錐補成正方體，如下圖所示：正方體的體對角線即為三棱錐的外接球直徑，設三棱錐的外接球半徑為，則，所以，，因此，三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.4．(2023·河北保定·二模）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑.已知在鱉臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，則鱉臑P-ABC外接球的體積是___________.答案：【解析】由題意可得三角形ABC外接圓的半徑，因為PA⊥平面ABC，所以鱉臑P-ABC外接球的半徑，故鱉臑P-ABC外接球的體積是.故答案為：題組三題組三斗笠模型1．(2023·黑龍江）某圓錐的側面展開后，是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為（）A． B． C． D．答案：C【解析】設圓錐的母線長為，則展開后扇形的弧長為，再設圓錐的底面圓半徑為，可得，即，圓錐的高為，設圓錐外接球的半徑為，則，解得．圓錐的體積為，圓錐外接球的體積，∴該圓錐的體積與它的外接球的體積之比為．故選：C．2．(2023廣西）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，圓錐的母線長為3，側面展開圖的面積為，則球O的表面積等于（）A． B． C． D．答案：A【解析】設底面半徑為，圓錐母線為，所以，所以，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，是圓錐底面的圓心，設球半徑為，則，，所以，如圖1，，即，解得，不符合題意，當為如圖2時，即，解得，所以球表面積為．故選：A．3．(2023·寧夏銀川市）已知一個圓錐的底面圓面積為，側面展開圖是半圓，則其外接球的表面積等于（）A． B． C． D．答案：B【解析】設圓錐的底面圓半徑為，高為，母線長為，圓錐的外接球半徑為，則，可得，由于圓錐的側面展開圖是半圓，則，可得，，由圓錐的幾何特征可知，圓錐的外接球心在圓錐的軸上，所以，，解得,因此，該圓錐的外接球的表面積為.故選：B.4．(2023·河南）一圓臺的兩底面半徑分別為，高為，則該圓臺外接球的表面積為（）A． B． C． D．答案：C【解析】設該圓臺的外接球的球心為，半徑為，則或，解得，所以該圓臺的外接球的表面積為.故選：C.5．(2023·浙江）已知圓錐的頂點和底面圓周都在球面上，圓錐的側面展開圖的圓心角為，面積為，則球的表面積等于（）A． B． C． D．答案：A【解析】設圓錐母線為，底面半徑為，則，解得，如圖，是圓錐軸截面，外接圓是球的大圓，設球半徑為，，，，，所以球表面積為．故選：A．6．(2023·天津南開區(qū)）已知一個圓錐的底面半徑為，高為，其體積大小等于某球的表面積大小，則此球的體積是（）A． B． C． D．答案：D【】解析設球的半徑為，圓錐的體積為，由于球的體積大小等于某球的表面積大小，則，，因此，該球的體積為.故選：D.題組四題組四L模型1．(2023·安徽·巢湖市第一中學）已知三棱錐中，平面平面，且，，若，則三棱錐外接球的表面積為（

）A．64π B．128π C．40π D．80π答案：D【解析】由題意得，平面，將三棱錐補成三棱柱，如圖，則三棱柱的外接球即為所求.設外接球的球心為，則的外心為，則，又，則外接球的半徑，表面積，故選：D2．(2023·吉林·洮南市第一中學高三階段練習（理））已知三棱錐中，，，平面平面ABC，則三棱錐的外接球的表面積為______．答案：【解析】取的中點，連接，，如圖所示：因為，所以為的外接圓圓心，又因為，為的中點，所以.因為平面平面，所以平面，所以三棱錐的外接球球心在直線上.在上取一點，使得，即為三棱錐的外接球球心，設，，所以，.在中，，所以，解得，所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：3．（2023·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是___________.答案：【解析】如圖所示：設點D為AB的中點，O為外接圓的圓心，∵，∴O在CD上，且，，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，又AB，平面PAB，∴，，在中，，D為AB的中點，∴，∴，∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積.故答案為：.4．(2023·新疆烏魯木齊·模擬預測（文））在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意得，如圖，取BC的中點E，連接AE，DE，則外接圓圓心在DE上，且，解得，設三棱錐外接球球心為O，連接，，過作，垂足為，由平面平面，得，故四邊形為矩形，因為，所以，且，所以，設三棱錐外接球半徑為R，有，又，所以，解得，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：D.5．(2023·重慶八中高三階段練習）在三棱錐中、平面平面，，且，則三棱維的外接球表面積是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題意，為直角三角形，故在三棱維的外接球的一個切面圓上，為該圓直徑；又平面平面，故外接球的球心在所在的平面內，又，故為等腰三角形，球心O在BD邊中線所在直線上，點到線段的距離為，設外接球的半徑為，則，解得，則外接球的表面積為.故選：C.6．(2023·內蒙古·滿洲里市教研培訓中心模擬預測（理））已知四棱錐中，平面平面ABCD，其中為正方形，是邊長為2的等邊三角形，則四棱錐外接球的表面積為（

）A．4 B． C． D．答案：B【解析】連接交于，球心在底面的射影必為點，取的中點，在截面中，連接，如圖，在等邊中，的中點為，所以，又平面平面，是交線，所以平面，且，設，外接球半徑為，則在正方形中，，，在中，，而在截面中，，由可得：解得，所以，所以．故選：B．題組五題組五懷表模型1．(2023·全國·高三專題練習）四邊形ABDC是菱形，，，沿對角線BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值為，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為_____.答案：【解析】如圖，取的中點為，連接AM,DM,則,則二面角的平面角為，，由四邊形ABDC是菱形，可知為正三角形，設球心在平面內的射影為，在平面內的射影為，則為的中心，所以，，，由于二面角A-BD-C的余弦值為，故設，則，，故，則，，球的半徑，所求外接球的體積為，故答案為：．2．(2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖1，過作垂足為，取的中點，連接過作∥,且=，連接，則∵△為等邊三角形，則∴，，根據題意可得∵，則由題意可得，則，則如圖2，∵，則頂點在平面的投影為△的外接圓圓心，則三棱錐的外接球的球心在直線上，連接，則∴△的外接圓半徑，則設棱錐的外接球的半徑為，則即，解得三棱錐的外接球的表面積為故選：D．3．（2023·全國·高三專題練習）兩個邊長為2的正三角形與，沿公共邊折疊成的二面角，若點在同一球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】由題，設正三角形與的中心分別為，根據外接球的性質有平面，平面，又二面角的大小為，故，又正三角形與的邊長均為2，故，故.易得，故，故，又，故球的半徑，故球的表面積為故選：B4．(2023·全國·模擬預測）已知四邊形為菱形，且，現將沿折起至，并使得與平面所成角的余弦值為，此時三棱錐外接球的體積為，則該三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】在菱形中，，設，則和均為邊長為的正三角形．將折起后，，取的中點，連接、，如圖．因為，則，，又因為，平面，過點在平面內作，垂足為點，連接，平面，則，又因為，，平面，平面，，所以，直線與平面所成角為，在中，，所以，．在中，，，所以，則，因此點為正的中心，所以三棱錐是棱長為的正四面體．將正四面體補成正方體，則正方體的棱長為，所以，三棱錐外接球半徑為，三棱錐外接球的體積為，解得，因此，正四面體的表面積為.故選：B.5．(2023·全國·高三專題練習）已知菱形中，，將其沿對角線折成四面體，使得二面角的大小為，若該四面體的所有頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在菱形中，，則為等邊三角形，設線段的中點為，連接、，則，因為，則，同理可知，所以，二面角的平面角為，即，因為，則為等邊三角形，所以，，延長至點，使得為的中點，連接、，易知，，則為等邊三角形，可得，同理，所以，為的外心，延長至點，使得為的中點，同理可知點為的外心，過點在平面內作，過點在平面內作，設，因為，，，平面，平面，，，，平面，同理可證平面，所以，為三棱錐的外接球球心，如下圖所示：因為，，，所以，，所以，，則，因為，由勾股定理可得，因此，三棱錐的外接球半徑為，因此，三棱錐的表面積為.故選：A.6（2023·安徽高三月考（文））已知三棱錐的每個頂點都在球的球面上，平面平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖所示：取的中點，連接，則.因為為直角三角形，所以其外接圓圓心為的中點，設四面體的外接球球心為，則平面，易知點，點位于平面同側，又因為平面，所以，連接，，故四邊形為直角梯形，過作于點，則四邊形為矩形，連接，設四面體的外接球的半徑為，.在中，，，所以，.在中，，所以，①在中，，在直角梯形中，，，.在中，，即.②解①②組成的方程組，得，所以，解得(負值舍去).所以四面體的外接球的表面積.故選：C題組六矩形模型題組六矩形模型1．(2023·安徽合肥市）在三棱錐中，，，.若三棱錐的體積為1，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，所以和為以為斜邊的直角三角形，則的中點到各個頂點的距離都相等，則為外接球的球心.即為直徑.過做平面，垂足為，連結，，則，解得：.，，，，則分別為在平面內的射影，所以有，又，為公共邊，所以，則，所以在的角平分線上，，，，，所以有平面，平面，則有，因為，，所以，則，則故外接球的表面積為.故選：D.2．(2023·甘肅酒泉市）已知三棱錐，當三棱錐的體積最大時，則外接球的表面積為___________.答案：【解析】如圖，在中，由，可得：，所以為直角三角形，由，若要三棱錐的體積最大，則平面時三棱錐的體積最大，由為直角三角形，所以外接圓直徑為，所以外接球直徑，，所以外接球的表面積，故答案為：3．（2023·江西南昌市）四面體中，，，，則該四面體的外接球表面積為__________．答案：【解析】由題意，，，則，所以，，同理，取中點，則到四點的距離相等，即為外接球的球心，所以球半徑為，球表面積為．故答案為：．4．（2023·全國·高三專題練習）在矩形中，，點，分別是，的中點，沿將四邊形折起，使，若折起后點，，，，，都在球的表面上，則球的表面積為答案：【解析】因為矩形中，，點，分別是，的中點，所以四邊形和四邊形是正方形，又沿將四邊形折起，使，所以幾何體是正三棱柱，，設球的球心在底面的射影為，因此，顯然是等邊三角形的中心，，在直角三角形中，，所以球的表面積為，題組七內切球題組七內切球1．（2023·全國·高三專題練習）已知正四棱錐的側棱長為，底面邊長為2，則該四棱錐的內切球的體積為（