2024年高中數(shù)學(xué)同步高分突破講義(人教A版2019)1.3建立空間直角坐標(biāo)系和確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法-(選擇性必修第一冊)(學(xué)生版+解析)

建立空間直角坐標(biāo)系和確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法1空間向量的直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量(2)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律①若a=(a1則a+b=λaa?aa⊥②若Ax1,③模長公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中⑤兩點(diǎn)間的距離公式若A(則|或d2建立直角坐標(biāo)系的方法(1)利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系(2)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系(3)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系3確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法求點(diǎn)的坐標(biāo)和設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法是一致的，常見方法具體如下(1)射影法看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對應(yīng)的數(shù)值.如求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x，過點(diǎn)P作PP1⊥平面xoy，再過點(diǎn)P1作P1或直接構(gòu)造長方體OP，即求出線段P1P3一般地，點(diǎn)在平面xOy、xOz、yOz或易得點(diǎn)在x、y、z軸的投影均適合射影法；(2)公式法對中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；若點(diǎn)Ax則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(x1+x2點(diǎn)P在線段AB上且AP=λPB，則P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直關(guān)系求某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(ii)利用三角形法則或平行四邊形法則，求出某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(iii)三點(diǎn)共線問題：如若點(diǎn)Ax1,y1,z1,Bx2(4)幾何法：把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，常見于利用相似三角形的性質(zhì).(5)待定系數(shù)法：設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)，利用已知條件求出x,y,z.(6)函數(shù)法：常用于設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)；動點(diǎn)P(a,b,c)在定直線AB上，把AB投影到空間坐標(biāo)系中某個平面，如投影平面xoy，得到投影直線A'B'方程，從而達(dá)到動點(diǎn)P投影P'(a,b)中a,b的關(guān)系.以上的方法其實(shí)也是相通的，也還存在其他一些靈活的處理方法(比如平移法等)，都需要理解再靈活運(yùn)用.

【題型一】建立直角坐標(biāo)系的方法利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題1】如圖，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD，AB=4利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題3】如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．鞏固練習(xí)1(★)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，2(★★)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？3(★★)如圖，三棱錐V－ABC的側(cè)棱長都相等，底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？【題型二】確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法情況1求點(diǎn)的坐標(biāo)【典題1】在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面體高為23，頂點(diǎn)D(1)A1、B1、A、D1；(2)G；(3)B；(4)若【典題2】如圖，矩形ABCD中，2BC=CD，E為CD的中點(diǎn)，以BE為折痕把四邊形ABED折起，使A達(dá)到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F(xiàn)分別為PB，BC，EC的中點(diǎn)．建系求點(diǎn)P的坐標(biāo).情況2設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)【典題3】長方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中點(diǎn)(圖1)，將?ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(圖2)在圖2中(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在線段BD上是否存點(diǎn)E，使得二面角E?AM?D的余弦值為55鞏固練習(xí)1(★★)一張平行四邊形的硬紙ABC0D中，AD=BD=1，AB=2.沿它的對角線BD折起，使點(diǎn)C02(★★)四棱錐S?ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.建系求點(diǎn)S的坐標(biāo).3(★★)在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)在PB上，若EF⊥PB于點(diǎn)F，試求點(diǎn)F的坐標(biāo).建立空間直角坐標(biāo)系和確定點(diǎn)坐標(biāo)的方法1空間向量的直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使OA=xi+yj+zk，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量(2)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律①若a=(a1則a+b=λaa?aa⊥②若Ax1,③模長公式若a=(a1④夾角公式cos<?ABC中⑤兩點(diǎn)間的距離公式若A(則|或d2建立直角坐標(biāo)系的方法(1)利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系(2)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系(3)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系3確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法求點(diǎn)的坐標(biāo)和設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法是一致的，常見方法具體如下(1)射影法看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對應(yīng)的數(shù)值.如求點(diǎn)P橫坐標(biāo)x，過點(diǎn)P作PP1⊥平面xoy，再過點(diǎn)P1作P1或直接構(gòu)造長方體OP，即求出線段P1P3一般地，點(diǎn)在平面xOy、xOz、yOz或易得點(diǎn)在x、y、z軸的投影均適合射影法；(2)公式法對中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；若點(diǎn)Ax則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(x1+x2點(diǎn)P在線段AB上且AP=λPB，則P(x(3)向量法(i)利用平行、垂直關(guān)系求某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(ii)利用三角形法則或平行四邊形法則，求出某向量的坐標(biāo)，再求點(diǎn)坐標(biāo)；(iii)三點(diǎn)共線問題：如若點(diǎn)Ax1,y1,z1,Bx2(4)幾何法：把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，常見于利用相似三角形的性質(zhì).(5)待定系數(shù)法：設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)，利用已知條件求出x,y,z.(6)函數(shù)法：常用于設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)；動點(diǎn)P(a,b,c)在定直線AB上，把AB投影到空間坐標(biāo)系中某個平面，如投影平面xoy，得到投影直線A'B'方程，從而達(dá)到動點(diǎn)P投影P'(a,b)中a,b的關(guān)系.以上的方法其實(shí)也是相通的，也還存在其他一些靈活的處理方法(比如平移法等)，都需要理解再靈活運(yùn)用.

【題型一】建立直角坐標(biāo)系的方法利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題1】如圖，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，底面ABCD是直角梯形，∠A為直角，AB∥CD【解析】易得DA、DC、DD1三線兩兩垂直，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為(后面解析省略)利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題2】如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1【解析】AB⊥側(cè)面BB1C1C而BC與BB1不垂直，原圖沒三條兩兩垂直直線，此時在平面B如圖，以B為原點(diǎn)，分別以BD、BB1、BA(后面解析省略)利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【典題3】如圖，在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．【解析】取AD的中點(diǎn)O，連接VO，∵?VAD是正三角形，∴VO⊥AD又∵平面VAD⊥底面ABCD∴VO⊥平面ABCD則以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以O(shè)A、OV所在直線為x、z軸，以過點(diǎn)O作AD的垂線所在直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．【點(diǎn)撥】①同一道題目中建系的方法不是唯一，是優(yōu)是劣取決于關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是否好求；②建系最根本的想法是找到兩兩垂直的三線，多關(guān)注題中有垂直關(guān)系的量，(1)垂直關(guān)系：長方體模型、等腰三角形的三線合一、菱形對角線相互垂直等；(2)若有線面垂直，則可考慮該面為平面xOy、xOz、yOz之一；(3)若有面面垂直，則可考慮兩面為平面xOy、xOz、yOz其中兩個.③若是分別以O(shè)A、OB、OC所所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則要先證明OA、OB、OC三線兩兩垂直，需要嚴(yán)謹(jǐn)些，不能想當(dāng)然.鞏固練習(xí)1(★)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1=A1C1，【答案】以D為原點(diǎn)，分別以BD、DA、DF所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.2(★★)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)，如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？【答案】以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OA、OP所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.3(★★)如圖，三棱錐V－ABC的側(cè)棱長都相等，底面ABC與側(cè)面VAC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？【答案】取AC中點(diǎn)E，以E為原點(diǎn)，分別以EB、EC、EV所在的直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.【題型二】確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)坐標(biāo)的方法情況1求點(diǎn)的坐標(biāo)【典題1】在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，平行六面體高為23，頂點(diǎn)D(1)A(2)G；(3)B；(4)若N為DD1上點(diǎn)，且ON⊥DD【解析】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C1、OD所在直線為y,z軸，以過點(diǎn)O作B(1)射影法求點(diǎn)A1(x,y,z)，在平面xoy上則由圖可知它到y(tǒng)軸投影D1對應(yīng)數(shù)值?2，則y=?2，到x軸投影對應(yīng)數(shù)值為2，則x=2，即A1同理得B1(2)公式法∵G是△AB∴G=(由三角形重心公式(x(3)向量法設(shè)B(x,y,z)，則B1B=又∵B1比較得x=2,y=4,z=23∴點(diǎn)B坐標(biāo)為2,4,23(4)∵D1、N、D即D1∴ON∴N0,2λ?2,2∵ON∴0+4λ?1+12λ=0解得故N0,?【點(diǎn)撥】(1)射影法：看所求點(diǎn)分別在x,y,z軸的投影對應(yīng)的數(shù)值；一般地，點(diǎn)在平面xOy、xOz、yOz或易得點(diǎn)在x、y、z軸的投影均適合射影法；②公式法：對中點(diǎn)、n等分點(diǎn)、重心等點(diǎn)可用公式求解；③向量法：常用于涉及到平行、垂直、共線等向量關(guān)系中的點(diǎn).各方法之間也是相通的，需要理解再靈活運(yùn)用.【典題2】如圖，矩形ABCD中，2BC=CD，E為CD的中點(diǎn)，以BE為折痕把四邊形ABED折起，使A達(dá)到P的位置，且PC⊥BC,M，N，F(xiàn)分別為PB，BC，EC的中點(diǎn)．建系求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】設(shè)BC=2，則BN=CN=1，CF=EF=1，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CE為y軸，過C作平面BCE的垂直CQ為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，E(0,2,0)，F(xiàn)(0,1,0)，設(shè)P(x,y,z)，PB=CD=2BC=4，則PE=PD2∴(x?2)2+y2+∴P(0,2,22【點(diǎn)撥】利用待定系數(shù)法，設(shè)P(x,y,z)，再利用兩點(diǎn)距離公式求得點(diǎn)的坐標(biāo).情況2設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)【典題3】長方形ABCD中，AB=2AD，M是CD中點(diǎn)(圖1)，將?ADM沿AM折起，使得AD⊥BM(圖2)在圖2中(1)求證：平面ADM⊥平面ABCM；(2)在線段BD上是否存點(diǎn)E，使得二面角E?AM?D的余弦值為55【解析】(1)證明：在長方形ABCD中，由AB=2AD=22，M是DC得AM=BM=2，而AB=22，∴AM2又AD⊥BM，且AD∩AM=A，∴BM⊥平面ADM，而BM?平面ABCD，∴平面ADM⊥平面ABCM；(2)思路：先根據(jù)“點(diǎn)E(a,b,c)在線段BD上”，得到其坐標(biāo)形式(即找到a,b,c的關(guān)系)，再利用二面角余弦值求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；那怎么引入?yún)?shù)設(shè)出點(diǎn)E坐標(biāo)呢？解：取AB中點(diǎn)N，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以MN，MC所在直線為x，y軸，在平面ADM內(nèi)，過M作底面垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則M(0,0,0)，A(2,?1,0)，D(MA=(2方法1向量法設(shè)E為線段BD上的點(diǎn)，則DE=λME=DE?(以上是由共線關(guān)系利用向量法引入?yún)?shù)λ設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo))(PS以下求λ的過程學(xué)完求二面角的向量法方能理解)設(shè)平面AMD的一個法向量為m=(x1,y由m?MA=2x由n?取y2=2由cos<m解得λ=3+6(舍)或∴在線段BD上存點(diǎn)E，使得二面角E?AM?D的余弦值為55方法2函數(shù)法設(shè)E(a,b,c)，∵D(22,?∴點(diǎn)B、D、E在平面xoy上投影為B'2,1、D'((相當(dāng)于把直線BD投影到平面xoy上，空間問題化為平面問題，降維處理)求得直線B'D'的方程為y=322點(diǎn)B、D、E在平面yoz上投影為B''1,0求得直線B''D''的方程為z=?23y+所以E的坐標(biāo)可設(shè)為(a,3以下求解類似方法1！【點(diǎn)撥】①本題在處理“點(diǎn)E在線段BD上”這一條件時，想設(shè)點(diǎn)Ea,b,c找到a,b,c的關(guān)系，介紹了向量法和函數(shù)法，而向量法引入變量λ表示a,b,c，而函數(shù)法變量是a，用其表示b,c②有時也可用幾何法相似求解，比如在方法2中求E(a,b,c)中b、c的關(guān)系，如下圖，過點(diǎn)D''、E分別作D''H⊥x軸，由?D''H