重慶市2024-2025高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)學(xué)術(shù)水平考試試題

第1頁/共1頁重慶市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（全卷共四個大題，滿分150分，考試時間120分鐘）留意事項：1.試題的答案書寫在答題卡上，不得在試卷上干脆作答.2.作答前細(xì)致閱讀答題卡上的留意事項.3.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題和答題卡一并收回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】求出集合，然后依據(jù)交集、并集的定義求解即可．【詳解】，所以，所以．故選：B．2.已知函數(shù)的定義域為，且對隨意兩個不相等的實數(shù)都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】由條件得到函數(shù)是單增的，然后把函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小比較，即可解得解集.【詳解】隨意兩個不相等的實數(shù)因為，所以與異號，故是上的減函數(shù)，原不等式等價于，解得，故選：B.3.已知隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，，則（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】C【分析】由求出，進(jìn)而，由此求出.【詳解】因為，，，所以，解得或（舍），由，則，所以.故選：C.4.如圖，“天宮空間站”是我國自主建設(shè)的大型空間站，其基本結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天試驗艙和夢天試驗艙三個部分.假設(shè)有6名航天員(4男2女)在天宮空間站開展試驗，其中天和核心艙支配4人，問天試驗艙與夢天試驗艙各支配1人，且兩名女航天員不在一個艙內(nèi)，則不同的支配方案種數(shù)為（）A.14 B.18 C.30 D.36【答案】B【分析】先求出總的支配方案數(shù)，再求出兩名女航天員在一個艙內(nèi)的方案數(shù)，兩者相減即可.【詳解】將6名航天員支配在3個試驗艙的方案數(shù)為其中兩名女航天員在一個艙內(nèi)的方案數(shù)為所以滿意條件的方案數(shù)為種.故選:B.5.函數(shù)在上的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】B【分析】利用特別點即可通過計算數(shù)值的正負(fù)，結(jié)合圖象即可解除.【詳解】,此時可解除A,,此時可解除C,由于，所以，故解除D，故選：B6.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則必有（）A. B.C. D.【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，比較函數(shù)值的大小.【詳解】由，得．設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，即，即．故選：D7.若，，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求得的最小值，即可得到的最大值.【詳解】因為，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立；所以，即的最大值為，故選：C.8.已知函數(shù)的定義域為，若函數(shù)為奇函數(shù)，且，，則（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】A【分析】依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，由條件結(jié)合函數(shù)的對稱性和周期性的定義得到函數(shù)的周期為，且，，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且函數(shù)為奇函數(shù)，則，即函數(shù)關(guān)于點對稱，所以有①，又②，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，則由②得：，，所以，則又由①和②得：，得，所以，即，所以函數(shù)的周期為，則，所以，故選：A.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義域為，對，（1）存在常數(shù)，使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.（2）存在常數(shù)使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中，真命題是（）A.，使得B.C.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則m的值為D.，是的充分不必要條件【答案】CD【分析】由指數(shù)函數(shù)值域可知A是假命題；利用賦值法可知B是假命題，由冪函數(shù)性質(zhì)可得滿意題意，C為真命題；取特別值驗證可知D是真命題.【詳解】對于A，由指數(shù)函數(shù)值域可知，對于恒成立，所以A是假命題；對于B，取特別值，則，所以B是假命題；對于C，由冪函數(shù)性質(zhì)可得，解得或；又在上為減函數(shù)，所以，即可得，即C為真命題；對于D，明顯，能推出；而時，可使，此時推不出，，所以，是的充分不必要條件，即D是真命題；故選：CD10.甲、乙兩盒中各放有除顏色外其余均相同的若干個球，其中甲盒中有4個紅球和2個白球，乙盒中有2個紅球和3個白球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出1球放入乙盒，再從乙盒中隨機(jī)取出1球.記“從甲盒中取出的球是紅球”為事務(wù)A，“從甲盒中取出的球是白球”為事務(wù)B，“從乙盒中取出的球是紅球”為事務(wù)C，則（）A.A與B互斥 B.A與C獨立 C. D.【答案】ACD【分析】A與B是互斥事務(wù)，A正確，，B錯誤，利用公式計算CD正確，得到答案.【詳解】對選項A：A與B是互斥事務(wù)，正確；對選項B：，，，，錯誤；對選項C：，正確；對選項D：，正確.故選：ACD11.已知，則（）A.綻開式中二項式系數(shù)最大項為第1012項B.綻開式中全部項的系數(shù)和為1C.D.【答案】BCD【分析】依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大項為第1013項，A錯誤；利用賦值法可知綻開式中全部項的系數(shù)和為1，B正確；求出之后再利用賦值令可得，C正確；對等式兩邊求導(dǎo)再進(jìn)行賦值計算可得D正確.【詳解】對于A，由二項綻開式中的二項式系數(shù)性質(zhì)可知二項式系數(shù)最大為，易知應(yīng)為第1013項，即A錯誤；對于B，令，可得，即綻開式中全部項的系數(shù)和為1，可得B正確；對于C，令，可得，令，可得，所以，即C正確；對于D，將等式兩邊同時求導(dǎo)可得，，再令，可得，即D正確.故選：BCD12.德國聞名數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定義了一個“驚異的函數(shù)”其中為實數(shù)集，為有理數(shù)集．則關(guān)于函數(shù)有如下四個命題，正確的為（）A.對隨意，都有B.對隨意，都存在，C.若，，則有D.存在三個點，，，使為等腰直角三角形【答案】BC【分析】依據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項推斷即可．【詳解】解：對于A選項，當(dāng)，則，此時，故A選項錯誤；對于B選項，當(dāng)隨意時，存在，則，故；當(dāng)隨意時，存在，則，故，故對隨意，都存在，成立，故B選項正確；對于C選項，依據(jù)題意得函數(shù)的值域為，當(dāng)，時，，故C選項正確；對于D選項，要等腰直角三角形，只可能為如下四種狀況：①直角頂點在上，斜邊在軸上，此時點，點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則中點的橫坐標(biāo)照舊為無理數(shù)，那么點的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為1沖突，故不成立；②直角頂點在上，斜邊不在軸上，此時點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為1沖突，故不成立；③直角頂點在軸上，斜邊在上，此時點，點的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則中點的橫坐標(biāo)照舊為有理數(shù)，那么點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為0沖突，故不成立；④直角頂點在軸上，斜邊不在上，此時點的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點的橫坐標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點的縱坐標(biāo)為1沖突，故不成立．綜上，不存在三個點，，，使得為等腰直角三角形，故選項D錯誤．故選：BC.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，考查數(shù)學(xué)推理與運算等核心素養(yǎng)，是難題.本題D選項解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意分直角頂點在上，斜邊在軸上；直角頂點在上，斜邊不在軸上；直角頂點在軸上，斜邊在上；直角頂點在軸上，斜邊不在上四種狀況探討求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則__________.【答案】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式循環(huán)代入即可計算出結(jié)果.【詳解】由函數(shù)解析式可得，易知，所以.故答案為：14.計算：__________.【答案】【分析】依據(jù)分式指數(shù)冪運算法則及換底公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】易知原式故答案為：15.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則a的取值范圍__________.【答案】【分析】依據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)即可求得.【詳解】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以可得對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，即，得；由對數(shù)函數(shù)定義域可得，即所以，即a的取值范圍是.故答案為：16.已知函數(shù)有兩個極值點，，且，則的取值范圍為___________．【答案】【分析】將極值點問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點問題，再將零點問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題，構(gòu)造函數(shù)求解即可.【詳解】∵，∴，∵函數(shù)有兩個極值點，，∴，又∵，∴，，∴，是，即的兩個不相等的實數(shù)根.令，則．①當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，②當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，且，③當(dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增，且，∴在處取得微小值，的圖象大致如下，∴若有兩個不相等的實數(shù)根，，則，即，且，，令，則，且∵，∴，又∵，∴，∴，兩邊同時取對數(shù)，得，∴，下面求的取值范圍，設(shè)，則，令，則，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，∴，即.又∵在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，∴，即.∴實數(shù)的取值范圍為．【點睛】易錯點睛：本題簡潔僅當(dāng)作有兩個極值點求得的取值范圍，而造成錯解，須要再依據(jù)，結(jié)合所構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)換成的范圍，利用的范圍再次求解.四、解答題（本題共6個小題，共70分）17.2024年6月5日神舟十四號搭載陳冬、劉洋、蔡旭哲3名航天員在酒泉衛(wèi)星放射中心放射勝利，表明中國航天技術(shù)進(jìn)一步走向成熟，中國空間站即將完成“T”字基本結(jié)構(gòu)的搭建，為了解民眾對我國航天事業(yè)的關(guān)注度，隨機(jī)抽取1000人，其中高校及以上學(xué)歷480人，中學(xué)及以下學(xué)歷520人，得到如下2×2列聯(lián)表：不了解了解總計高校及以上38442480中學(xué)及以下6514520總計449561000（1）若中學(xué)及以下學(xué)歷不了解的6人中，中學(xué)學(xué)歷2人，中學(xué)以下學(xué)歷4人，從中隨意抽取2人，求2人都不是中學(xué)以下學(xué)歷的概率；（2）若認(rèn)為不了解與否與學(xué)歷有關(guān)，則出錯的概率是多少?附表：0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001K0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83參考公式：，.【答案】（1）（2）低于【分析】（1）設(shè)出基本領(lǐng)件，依據(jù)古典概型的求解方法即可得出答案；（2）計算的值，與參考值進(jìn)行比較即可得出結(jié)論.【小問1詳解】記“2人都不是中學(xué)以下學(xué)歷”為事務(wù)；則，故2人都不是中學(xué)以下學(xué)歷的概率為【小問2詳解】由表中數(shù)據(jù)可得，明顯，參考附表中的數(shù)據(jù)可知出錯的概率是低于.18.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）若關(guān)于的方程只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）微小值為，無極大值（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，由極值定義可確定極值點并求得極值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有一個交點，作出的圖象，接受數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【小問1詳解】的定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的微小值為，無極大值.【小問2詳解】當(dāng)時，恒成立，，由（1）可得圖象如下圖所示，只有一個實數(shù)解等價于與有且僅有一個交點，由圖象可知：當(dāng)或時，與有且僅有一個交點，實數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)．（1）若的解集為，求a，b的值.（2）若，求解不等式.【答案】（1）（2）當(dāng)時，的解集為；

當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為.【分析】（1）由已知得方程的兩個實根分別為，2，且，干脆將根代入即可得出答案；（2）分類探討結(jié)合判別式即可求解.【小問1詳解】的解集為，方程的兩個實根分別為，2，且，則，解得：.【小問2詳解】中，當(dāng)時，則，

化為，若時，即，解得，若時，即，無解，若時，即，解得；綜上，當(dāng)時，的解集為；

當(dāng)時，的解集為；當(dāng)時，的解集為.20.我國承諾2030年前達(dá)到“碳達(dá)峰”，2060年實現(xiàn)“碳中和”，“碳達(dá)峰”就是我們國家承諾在2030年前，二氧化碳的排放不再增長，達(dá)到峰值之后再漸漸減下去；而到2060年，針對排放的二氧化碳要實行植樹、節(jié)能減排等各種方式全部抵消掉，這就是“碳中和”，做好垃圾分類和回收工作可以有效地削減處理廢物造成的二氧化碳的排放，助力“碳中和”.某校為加強(qiáng)學(xué)生對垃圾分類意義的相識以及養(yǎng)成良好的垃圾分類的習(xí)慣，團(tuán)委組織了垃圾分類學(xué)問競賽活動，競賽分為初賽、復(fù)賽和決賽，只有通過初賽和復(fù)賽，才能進(jìn)入決賽，甲、乙、丙三隊參與競賽，已知甲隊通過初賽、復(fù)賽的概率均為，乙隊通過初賽、復(fù)賽的概率均為，丙隊通過初賽、復(fù)賽的概率分別為p，，其中，三支隊伍是否通過初賽和復(fù)賽互不影響.（1）求p取何值時，丙隊進(jìn)入決賽的概率最大；（2）在（1）的條件下，求進(jìn)入決賽的隊伍數(shù)X的分布列及均值.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【分析】（1）由概率的乘法公式可得，再由二次函數(shù)學(xué)問可求解；（2）由二項分布可求解.【小問1詳解】由題知：丙隊通過初賽和復(fù)賽的概率，又因為，所以.所以，當(dāng)時，丙隊進(jìn)入決賽的概率最大為.【小問2詳解】由（1）知：甲?乙?丙三隊進(jìn)入決賽的概率均為，因為進(jìn)入決賽的隊伍數(shù)，所以；；；.所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P所以，.21.某公司為了解年研發(fā)資金投入量x（單位:億元）對年銷售額y（單位:億元）的影響.對公司近12年的年研發(fā)資金投入量xi和年銷售額yi的數(shù)據(jù)，進(jìn)行了對比分析，建立了兩個模型:①，②，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，并得到一些統(tǒng)計量的值.令，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù):20667724604.20312502153.0814（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好?（2）（?。┮罁?jù)分析及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程;（ⅱ）若下一年銷售額y需達(dá)到90億元，預(yù)料下一年的研發(fā)資金投入量x是多少億元?附:①相關(guān)系數(shù)，回來直中公式分別為;②參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）模