2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試專題31解三角形的應(yīng)用學(xué)生版

專題31解三角形的應(yīng)用一、【學(xué)問梳理】【考綱要求】1.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題．【考點(diǎn)預(yù)料】1.仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖1).2.方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角.如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2).3.方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面與水平面所成的二面角的正切值.【常用結(jié)論】1.不要搞錯(cuò)各種角的含義，不要把這些角和三角形內(nèi)角之間的關(guān)系弄混.2.解決與平面幾何有關(guān)的計(jì)算問題關(guān)鍵是找清各量之間的關(guān)系，從而應(yīng)用正、余弦定理求解.【方法技巧】1.在測(cè)量高度時(shí)，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)，視線與水平線的夾角.2.精確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖.3.運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解問題的答案，留意方程思想的運(yùn)用.4.距離問題的類型及解法(1)類型：兩點(diǎn)間既不行達(dá)也不行視，兩點(diǎn)間可視但不行達(dá)，兩點(diǎn)都不行達(dá).(2)解法：選擇合適的幫助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問題，從而利用正、余弦定理求解.5.測(cè)量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最終將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.6.方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必需先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.7.平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所供應(yīng)的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)找尋各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉運(yùn)用公共條件，求出結(jié)果.8.解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形；(2)解三角形與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.二、【題型歸類】【題型一】解三角形應(yīng)用舉例（距離、高度、角度）【典例1】如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長(zhǎng)安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范高校以南.天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處.某數(shù)學(xué)愛好小組為了測(cè)得天壇的直徑，在天壇外圍測(cè)得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計(jì)天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結(jié)果精確到1米)()(參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732，eq\r(5)≈2.236，eq\r(7)≈2.646)A.39米 B.43米 C.49米 D.53米【典例2】2024年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位：m).三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一，如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′滿足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為15°，BB′與CC′的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45°，則A，C兩點(diǎn)到水平面A′B′C′的高度差A(yù)A′－CC′約為(eq\r(3)≈1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473【典例3】海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被譽(yù)為“地球給人類保留宇宙隱私的最終遺產(chǎn)”，我國擁有世界上已知最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為________.【題型二】求解平面幾何問題【典例1】如圖，在平面四邊形ABCD中，0<∠DAB<eq\f(π,2)，AD＝2，AB＝3，△ABD的面積為eq\f(3\r(3),2)，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求BC的長(zhǎng)．【典例2】如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC為銳角，AD⊥BD，AC平分∠BAD，BC＝2eq\r(3)，BD＝3＋eq\r(6)，△BCD的面積S＝eq\f(3（\r(2)＋\r(3)）,2).(1)求CD；(2)求∠ABC．【典例3】如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ACB與∠D互補(bǔ)，cos∠ACB＝eq\f(1,3)，AC＝BC＝2eq\r(3)，AB＝4AD.(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求sin∠ACD.【題型三】三角函數(shù)與解三角形的交匯問題【典例1】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，________，若b＝eq\r(13)，________．請(qǐng)從下面的三個(gè)條件中任選一個(gè)，兩個(gè)結(jié)論中任選一個(gè)，組成一個(gè)完整的問題，并給出解答．條件：①asineq\f(A＋C,2)＝bsinA，②bsinA＝acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6)))，③a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB.結(jié)論：①求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍；②求△ABC面積的最大值．【典例2】在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且eq\f(b,cosAsinC)＝eq\f(c,sinC)＋eq\f(a,cosA).(1)求角C的大?。?2)若b＝1，求c的取值范圍．【典例3】△ABC中的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b＝2a－2ccosB．(1)求角C的大??；(2)求eq\r(3)cosA＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))的最大值，并求出取得最大值時(shí)角A，B的值．三、【培優(yōu)訓(xùn)練】【訓(xùn)練一】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若ccosA＋acosC＝2，AC邊上的高為eq\r(3)，則∠ABC的最大值為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)【訓(xùn)練二】已知△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(6)，△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，若線段BA的延長(zhǎng)線上存在點(diǎn)D，使∠BDC＝eq\f(π,4)，則CD＝________．【訓(xùn)練三】國慶閱兵式上實(shí)行升國旗儀式，在坡度為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最終一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，第一排和最終一排的距離為24.5米，則旗桿的高度約為()A．17米B．22米C．30米D．35米【訓(xùn)練四】如圖，已知扇形的圓心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，半徑為4eq\r(2)，若點(diǎn)C是eq\o(AB,\s\up8(︵))上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，B重合).(1)若弦BC＝4(eq\r(3)－1)，求eq\o(BC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)；(2)求四邊形OACB面積的最大值.【訓(xùn)練五】如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，依據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對(duì)居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?【訓(xùn)練六】如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min.在甲動(dòng)身2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130m/min，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量得cosA＝eq\f(12,13)，sinB＝eq\f(63,65).(1)問乙動(dòng)身多少min后，乙在纜車上與甲的距離最短？(2)為使兩位游客在C處相互等待的時(shí)間不超過3min，乙步行的速度應(yīng)限制在什么范圍內(nèi)？四、【強(qiáng)化測(cè)試】【單選題】1.在相距2km的A，B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為()A.eq\r(6)km B.eq\r(2)km C.eq\r(3)km D.2km2.如圖，在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為()A.eq\f(400,3)m B.eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D.eq\f(200,3)m3.如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，在A所在河岸邊選確定點(diǎn)C，測(cè)量AC的距離為50m，∠ACB＝30°，∠CAB＝105°，則可以計(jì)算A，B兩點(diǎn)間的距離是()A.25eq\r(2)m B.50eq\r(2)mC.25eq\r(3)m D.50eq\r(3)m4.如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角∠CAD等于()A.30° B.45° C.60° D.75°5.如圖，一架飛機(jī)從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的雷雨云層，從A點(diǎn)起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成12°角的方向飛行，飛行到中途C點(diǎn)，再沿與原來的飛行方向AB成18°角的方向接著飛行到終點(diǎn)B點(diǎn)．這樣飛機(jī)的飛行路程比原來的路程500km大約多飛了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()A．10km B．20kmC．30km D．40km6.岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”．其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于東漢建安二十年(215年)，歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年(1880年)重建時(shí)的形制與格局．因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世．自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽(yù)．小李為測(cè)量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，則岳陽樓的高度CD約為(eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)()A．18米 B．19米C．20米 D．21米7.第6號(hào)臺(tái)風(fēng)“煙花”于2024年7月25日12時(shí)30分前后登陸舟山普陀區(qū)．如圖，A點(diǎn)，正北方向的C市受到臺(tái)風(fēng)侵襲，一艘船從A點(diǎn)動(dòng)身前去實(shí)施救援，以24nmile/h的速度向正北航行，在A處看到S島在船的北偏東15°方向，船航行eq\f(3,4)h后到達(dá)B處，在B處看到S島在船的北偏東45°方向．此船從A點(diǎn)到C市航行過程中距離S島的最近距離為()A．9eq\r(2)nmile B．9(eq\r(2)－1)nmileC．9(eq\r(3)－1)nmile D．9(eq\r(3)－eq\r(2))nmile8.△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝2，B＝2A，則b的取值范圍為()A．(0,4) B．(2,2eq\r(3))C．(2,4) D．(2eq\r(2)，4)【多選題】9.某人向正東走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走了3km，結(jié)果離動(dòng)身點(diǎn)恰好eq\r(3)km，那么x的值是()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3 D．610.在銳角△ABC中，邊長(zhǎng)a＝1，b＝2，則邊長(zhǎng)c可能的取值是()A.eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D.eq\f(\r(13),2)11.如圖，△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三條邊長(zhǎng)分別是a，b，c，∠ABC為鈍角，BD⊥BA，cos2∠ABC＝－eq\f(7,25)，c＝2，b＝eq\f(8\r(5),5)，則下列結(jié)論正確的有()A.sinA＝eq\f(\r(5),5)B.BD＝2C.5eq\o(CD,\s\up6(→))＝3eq\o(DA,\s\up6(→))D.△CBD的面積為eq\f(4,5)12.在△ABC中，D在線段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－eq\f(\r(5),5)，則()A．sin∠BCD＝eq\f(3,10) B．△ABC的面積為8C．△ABC的周長(zhǎng)為8＋4eq\r(5) D．△ABC為鈍角三角形【填空題】13.海上有A，B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，那么B島和C島間的距離是________nmile.14.一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則此船航行的速度為________海里/小時(shí)．15.如圖，在△ABC中，已知M為邊BC上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BM,\s\up6(→))，∠AMC＝eq\f(π,3)，AM＝2，△AMC的面積為3eq\r(3)，則CM＝________；cos∠BAC＝________．16.在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD為邊BC上的高，點(diǎn)E滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))，若AB＝m，則BE的長(zhǎng)為________．【解答題】17.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，(2a－c)·cosB－bcosC＝0.(1)求角B的大小；(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2sinxcosxcosB－eq\f(\r(3),2)cos2x，求函數(shù)f(x)的最大值及當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)x的值．18.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里