高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第三冊 離散型隨機(jī)變量的均值

離散型隨機(jī)變量的均值同步練習(xí)

1.(多選題)下列說法不正確的是()

A.隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個變量,其隨X的變化而變化

B.隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平

C.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2,則E(2X)=4

D.隨機(jī)變量X的均值E(X)=X1+X2+'"+Xn

n

2.設(shè)隨機(jī)變量X,Y的分布列分別為

X123

2

PP1-PP-P2

Y123

PP31-P2P2-P3

當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最大值時,Y的數(shù)學(xué)期望為()

335565

A.2B.—C.—D.—

162732

3.某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6,

且此人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響,設(shè)€表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的

景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值.則E(g)等于()

A.1.48B.0.76C.0.24D.1

4.甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，&表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，n表示

乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)一段時間考察，n的分布列分別是:

c0123

p0.70.10.10.1

n0123

p0.50.30.20

據(jù)此判定()

A.甲比乙質(zhì)量好B.乙比甲質(zhì)量好

C.甲與乙質(zhì)量相同D.無法判定

5.已知隨機(jī)變量X的分布列為

X123

111

rn———

236

7.節(jié)日期間，某種鮮花的進(jìn)價是每束2.5元,售價是每束5元,節(jié)后對沒有賣出的鮮花以每束

1.6元處理.根據(jù)前5年節(jié)日期間對這種鮮花需求量&(束)的統(tǒng)計(如表)，若進(jìn)這種鮮花500

束在今年節(jié)日期間銷售,則利潤的均值是.元

€200300400500

P0.200.350.300.15

8.某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻

1

發(fā)生故障的概率分別為石和P.

49

(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為一,求P的值；

50

(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的概率分布列及

數(shù)學(xué)期望E(X).

9.某研究機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備舉行一次數(shù)學(xué)新課程研討會,共邀請50名一線教師參加，使用不同版本教

材的教師人數(shù)如表所示:

版本人教A版人教B版蘇教版北師大版

人數(shù)2015510

(1)從這50名教師中隨機(jī)選出2名，求2人所使用版本相同的概率;

(2)若隨機(jī)選出2名使用人教版的教師發(fā)言,設(shè)使用人教A版的教師人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

擴(kuò)展練習(xí)

1.今有兩臺獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá),每臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85,設(shè)發(fā)現(xiàn)

目標(biāo)的雷達(dá)臺數(shù)為&，則E(&)=()

A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22

2.（多選題）受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次

出現(xiàn)故障的時間有關(guān).某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售

出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

品牌甲乙

首次出現(xiàn)故障的時間x（年）0<x<ll〈xW2x>20〈x<2x>2

轎車數(shù)量（輛）2345545

每輛利潤（萬元）1231.82.9

將頻率視為概率,則（）

A.從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為三

5

B.若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X,,則E（X.）=2.86（萬元）

C.若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2,則E（X2）=2.99（萬元）

D.該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車的銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車.

若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,應(yīng)生產(chǎn)甲品牌的轎車

3.馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量€的概率分布列如表：

t123

P(C=t)?I?

請小牛同學(xué)計算8的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處完全無法看清,且兩個“？”處字跡模糊,但能肯

定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此，小牛給出了正確答案E（&）=.

4.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多

2分或打滿6局時停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為W乙在每局中獲勝的概率為之且各局勝負(fù)

33

相互獨(dú)立,則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)W的期望E（W）為.

23

5.某企業(yè)甲，乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為一和二,現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)

品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲，乙兩組的研發(fā)是相互獨(dú)立的.

（1）求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；

（2）若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得利潤120萬元,若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲

得利潤100萬元,求該企業(yè)可獲得利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望.

6.某屆牡丹花會期間,我班有5名學(xué)生參加志愿者服務(wù),服務(wù)場所是王城公園和牡丹公園.

(1)若學(xué)生甲和乙必須在同一個公園,且甲和丙不能在同一個公園，則共有多少種不同的分配

方案？

(2)每名學(xué)生都被隨機(jī)分配到其中的一個公園,設(shè)X,丫分別表示5名學(xué)生分配到王城公園和牡

丹公園的人數(shù),記，=|X-Y|,求隨機(jī)變量€的分布列和數(shù)學(xué)期望E?.

參考答案

1.(多選題)下列說法不正確的是()

A.隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)是個變量,其隨X的變化而變化

B.隨機(jī)變量的均值反映樣本的平均水平

C.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望量X)的,則E(2X)=4

D.隨機(jī)變量X的均值E(X)=X1+X2+'"+Xn

n

分析：選ABD.A錯誤,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E(X)是個常量,是隨機(jī)變量X本身固有的一個數(shù)字

特征.B錯誤,隨機(jī)變量的均值反映隨機(jī)變量取值的平均水平.C正確，由均值的性質(zhì)可知.D錯

誤,因為E(X)=xlpl+x2p2+-+x?p?.

2.設(shè)隨機(jī)變量X,Y的分布列分別為

X123

2

PP1-pp-p2

Y123

323

PP1-P」P-P

當(dāng)X的數(shù)學(xué)期望取得最大值時,Y的數(shù)學(xué)期望為（）

「33、65

A.2B.—C.—D.—

162732

2171

分析：選D.因為E（X）=p2+2（-p）+3+臺所以當(dāng)丐時，E（X）取

得最大值.此時E（Y）=-2p3+p2+2=J.

32

3.某城市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6,

且此人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響,設(shè)€表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的

景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值.則E（己）等于（）

A.1.48B.0.76C.0.24D.1

分析：選A.隨機(jī)變量;的取值有1,3兩種情況，&=3表示三個景點(diǎn)都游覽了或都沒有游覽,

所以P(&=3)=0.4X0.5X0.6+0.6X0.5X0.4=0.24,P(&=1)=1-0.24=0.76,

所以隨機(jī)變量&的分布列為

13

p0.760.24

E(g)=1X0.76+3X0.24=1.48.

4.甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，&表示甲車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，n表示

乙車床生產(chǎn)1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)一段時間考察，n的分布列分別是:

€0123

P0.70.10.10.1

n0123

p0.50.30.20

據(jù)此判定（）

A.甲比乙質(zhì)量好B.乙比甲質(zhì)量好

C.甲與乙質(zhì)量相同D.無法判定

分析：選A.

E(€)=OXO.7+1X0.1+2X0.1+3X0.1=0.6,

E(n)=0X0.5+1X0.3+2X0.2+3X0=0.7.

因為E(n)>E(g),故甲比乙質(zhì)量好.

5.已知隨機(jī)變量X的分布列為

2

X13

1

11

P_3-

26

且Y=aX+3,若E(Y)=-2,則E(X)=,a=,

1I15

分析：E(X)=1X-+2X-+3X--.

2363

因為Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=-a+3=-2.

3

解得a=-3.

答案；-3

3

7

6.已知某離散型隨機(jī)變量a的數(shù)學(xué)期望E(g)=-,C的分布列如表:

6

€0123

11

Pab

36

則a=.

7111

分析:E(€)="=0Xa+lX-+2XT3b=b=一,又P(&=0)+P(&=1)+P(€=2)+P(€=3)=1=

6366

1111

a+-+-+-=l^>a=-

3663

1

答案:一

3

7.節(jié)日期間,某種鮮花的進(jìn)價是每束2.5元,售價是每束5元,節(jié)后對沒有賣出的鮮花以每束

1.6元處理.根據(jù)前5年節(jié)日期間對這種鮮花需求量g(束)的統(tǒng)計(如表),若進(jìn)這種鮮花500

束在今年節(jié)日期間銷售,則利潤的均值是元.

€200300400500

P0.200.350.300.15

分析：節(jié)日期間這種鮮花需求量的均值為E(自)

=200X0.20+300X0.35+400X0.30+500X0.15=340(束).設(shè)利潤為n,則n=5&+1.6X(500-

€)-500X2.5=3.4€-450,所以E(n)=3.4E(g)-450=3.4X340-450=706(元).

答案：706

8.某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B,系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻

1

發(fā)生故障的概率分別為一和P.

10

49

(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為一,求P的值；

50

⑵設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的概率分布列及

數(shù)學(xué)期望E(X).

分析：(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C,

―1491

那么P(C)=I-P(C)=I—,p=—.解得p=-

10505

(2)由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.

故P(X=O)=COp(X=1)=C|

3\10710003V107I1071000

P(X=2)=C|rnx(1--)2=—,P(X=3)=C|(1--)3=—.

3\107k10/1000sI1071000

所以隨機(jī)變量X的概率分布列為

X0123

127243729

P

1000100010001000

12724372927

故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望:E(X)=0X——+1X----F2X--+3X——=-.

100010001000100010

9.某研究機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備舉行一次數(shù)學(xué)新課程研討會,共邀請50名一線教師參加，使用不同版本教

材的教師人數(shù)如表所示：

版本人教A版人教B版蘇教版北師大版

人數(shù)2015510

⑴從這50名教師中隨機(jī)選出2名，求2人所使用版本相同的概率;

(2)若隨機(jī)選出2名使用人教版的教師發(fā)言,設(shè)使用人教A版的教師人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的

分布列和數(shù)學(xué)期望.

分析：(1)從50名教師中隨機(jī)選出2名的方法數(shù)為(：獲=1225,選出2人使用版本相同的方法

數(shù)為C/o+C備+C+C*=350,故2人使用版本相同的概率為P=-

clo

(2)X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0)=登一，

匾「

11

2138

，COC5P/X2

、-6-0\(-

P(X=1)=-119

51119

所以X的分布列為

X012

P36038

17119119

…、c360c381368

所以E(X)=0X-MX—+2X—=—=-.

171191191197

擴(kuò)展練習(xí)

1.今有兩臺獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá),每臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85,設(shè)發(fā)現(xiàn)

目標(biāo)的雷達(dá)臺數(shù)為，則E(C=()

A.0.765B.1.75C.1.765D.0.22

分析：選B.設(shè)A、B分別為每臺雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的事件，

&的可能取值為0、1、2.

P(C=0)=P(A?B)=P(A)-P(B)

=(1-0.9)X(1-0.85)=0.015.

P(€=1)=P(A?B+A-B)=P(A)?P(B)+P(A)-P(B)

=0.9X0.15+0.1X0.85=0.22.

P(&=2)=P(AB)=P(A)?P(B)=0.9X0.85=0.765.

所以E(€)=0X0.015+1X0.22+2X0.765=1.75.

2.(多選題)受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次

出現(xiàn)故障的時間有關(guān).某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售

出的兩種品牌轎車中各隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

品牌甲乙

首次出現(xiàn)故障的時間x(年)0<x<ll〈xW2x>20〈xW2x>2

轎車數(shù)量(輛)2345545

每輛利潤(萬元)1231.82.9

將頻率視為概率，則()

1

A.從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為g

B.若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X,.則E(X)=2.86(萬元)

C.若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2,則E(X2)=2.99(萬元)

D.該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車的銷量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車

若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,應(yīng)生產(chǎn)甲品牌的轎車

2+31

分析：選BD.設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,則P(A)=——.

5010

依題意得,Xi的分布列為

Xt123

139

P

255010

3Q143

E(Xi)=1X—^2X—^3X—=---2.86(萬兀)，

25501050

X2的分布列為

1.82.9

x2

19

p

Toio

E(X2)=1.8X—+2.9X2=2.79(萬元).

1010

因為E(X,)>E(X2)，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車.

3.馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量€的概率分布列如表:

t123

P(c=t)?I?

請小牛同學(xué)計算€的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處完全無法看清,且兩個“？”處字跡模糊,但能肯

定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此，小牛給出了正確答案E(g)=.

分析：設(shè)“？”處為X,“！”處為y,則由分布列的性質(zhì)得2x+y=l,所以期望E(列=lXP(g=D+2

XP(&=2)+3*P(&=3)=4x+2y=2.

答案：2

4.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多

21

2分或打滿6局時停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為一,乙在每局中獲勝的概率為一,且各局勝負(fù)

33

相互獨(dú)立,則比賽停止時已打局?jǐn)?shù)€的期望E(g)為.

分析：依題意,知€的所有可能值為2,4,6,設(shè)每兩局比賽為一輪,則該輪結(jié)束時比賽停止的概

率為02+(3)若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時,該輪

比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響.從而有P(g=2)^Pa=4)手需,P(g

故E(&)=2X-+4X—+6X—.

9818181

田山266

答案:一

81

23

5.某企業(yè)甲，乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為-和現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)

35

品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲，乙兩組的研發(fā)是相互獨(dú)立的.

(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；

(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計企業(yè)可獲得利潤120萬元,若新產(chǎn)品B