初二奧數(shù)教材集合與簡易邏輯

第十七講*集合與簡易邏輯

§17.1集合

1.集合的描述方法

(1)列舉法

當一個集合所含元素個數(shù)較少時，一個最簡單的描述方法就是把它所

含的每個元素都列舉出來，這叫列舉法.用列舉法表示集合，通常是將這

個集合的每個元素一一填寫在{}中，每個元素之間用逗點隔開.填寫集

合的元素時，與元素的排列次序無關.例如：

(i)由a,b,c,d,e五個小寫字母組成的集合A,記作

A={a,b,c,d,e),

也可記作

A={b,a,c,d,e).

(ii)由小于40的質數(shù)組成的集合B,記作

B=(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37).

(iii)平方等于1的有理數(shù)集合C,記作

C={1,-1}.

(iv)三條直線L,I,L組成的集合D,記作

D={11,12,13).

(2)特征性質描述法

當一個集合所含元素較多時，用列舉法描述很麻煩，這就要用到特征

性質描述法.

所謂特征性質是指集合中元素的特征性質，即：(i)這個集合中每個

元素都具有這些性質；(ii)具有這些性質的事物都是這個集合的元素.

例如，集合={1,-1)用特征性質描述法表示就是

A={x|x2=l),

或者

A={x||x|=1).

全體偶數(shù)組成的集合B,用特征性質描述法表示就是

B={xIx是能被2整除的整數(shù)},

或者

B={2n|n是整數(shù)}.

全體奇數(shù)組成的集合C,用特征性質描述法表示就是

C={x|X是不能被2整除的整數(shù)},

或者

C={2n+l|n是整數(shù)},

C={2n-l|n是整數(shù)}.

一般地，用特征性質a表示集合A的形式是：

A={x|x具有性質a}.

2.集合之間的關系和運算

(1)包含與子集

設有集合與口B,若任何屬于A的元素也必定屬于B,則稱A為B

的一個子集或B包含A,我們用符號AuB或BnA表達上述關系(也

可用AuB或BnA表示).如果集合A,B分別用兩個圓表示，那

么AuB可表示成圖2-87,這種圖稱為文氏圖.例如，

(i)你班上的同學的集合和你學校的同學的集合之間的關系是：前者

是后者的子集，后者包含前者.

(ii)設集合

(ii)設集合

A={1,2,3,4,5},B={4,5,1},C={1,5},

則CuB,BeA,CcA.

一般說來，若AuB,BeC,則肯定有AuC,也即C的子集

的子集還是C的一個子集.

設N是自然數(shù)集，Z是整數(shù)集，Q是有理數(shù)集，則這三個

數(shù)集之間具有關系NcZcQ.

如果一個集合不含任何元素，我們稱這種特殊的集合為空集，用符

號0表示.我們規(guī)定空集。是任何集合A的子集，即0uA.

另外集合A也是它自身的子集.如果兩個集合的所有元素都相同，就說這兩

個集合相等.

例1設人={1,2,3,4)，試寫出A的所有子集.

{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3),

{1,2,4},{2,3,4},{1,3,4},{1,2,3,4).

(2)交集運算

對于給定的集合A,B,由它們的公共元素所構成的集合叫作集合A

與B的交集.我們用AAB表示A,B的交集(圖2-88).例如

⑴如圖2-89,設

A={x|x是12的正因數(shù)},

B={x|5<x<13,x是整數(shù)},

則

A={1,2,3,4,6,12),B={6,7,8,9,10,11,12).

所以AAB={6,12).

(ii)設L,b是平面上兩條不同的直線，則Lni就是由它們的交點

組成的集合.

如果L與L相交于一點P,則LAL={P}(圖2-90)；

如果11與U平行,則1仆2=。(圖2-91).

圖2-90圖2-91

(3)并集運算

對于給定的兩個集合A,B,把它們所含的元素合并起來所構成的集

合，叫作集合A,B的并集，我們用符號AUB表示A,B的并集(圖2-92).例

如

圖2-92

(i)設M,N分別表示你班上男生、女生的集合，那么MUN就是你班

上同學的集合.

(ii)設

A={1,3,5,7,9),B={2,3,4,5,6),

則AUB={1,2,3,4,5,6,7,9).

注意在求上述集合A,B的并集時，雖然在A,B中都有3和5,但

在AUB中，3,5只取一次.

(山)設￡={x|x是實數(shù),且x24},

F={x|x是實數(shù),且xW-4},G={x|x2>16}.

則EUF=G.

一般地說，如果a,B分別是集合A,B的特征性質，即

A={x|x具有性質a},B={x|x具有性質B},則AUB就是那些

具有性質a或性質B的元素組成的集合，也就是

AUB={x|x具有性質a或B},

或者

AUB={x|xGA或xGB}.

例2設

A={x|x是12的正因數(shù)},B={x|x是18的正因數(shù)},

C={x|0WxW5,且x@Z}.

求：(l)AnBnC；(2)AUBUC.

解根據(jù)已知條件，用填文氏圖各區(qū)域的元素的方法來解決(如圖

2-93(a),(b)).

(i)AnBnc={1,2,3)；

(2)AUBUC={0,1,2,3,4,5,6,9,12,18).

圖2-93

例3設4={1,a,a2},B={1,a,b),假定A,B中的元素都是整數(shù),

并且AAB={1,3},AUB={1,a,2a,3a},求a,b的值.

解因為A={1,a,a2),B={1,a,b),所以

APlB={1,a}.

已知AAB={1,3}.所以a=3.又由于

AUB={1,a,b,a2}={1,a,2a,3a}={1,3,6,9),所以b=6.

(3)補集

如果我們所考慮的集合都是某一個給定集合的子集，我們可稱這個給定的集

合為全集.例如，如果集合A是集合B的子集，我們把B看作全集，那么B中所有

不屬于集合A的元素所組成的集合，叫作A在B中

的補集，用符號碑表示，讀作“A的補集”(圖2-94).

例如，如圖2-95,全集B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

那么五={1,3,5,7,9}

一般地，如果￡=C,則。=人.

例4設集1=U,2,3,4,5,6,7,81,

A=&|溪6的正因數(shù)},B={x|疣8的正因數(shù)},

求集合A,B,AIB.AYB.AIB.AIB.

解因為6的約數(shù)有1,2,3,6,所以A={1,2,3,6).因

8的約數(shù)有1,2,4,8,所以B={1,2,4,8}.顯然，

4uLBel(圖2-96).

如果把I看作全集，則

A={5,7,4,8},

B={5,7,3,6},

AIB={5,7},

AYB={5,7,3,4,6,8),

XTB={3,4,6,8,5,7},

AYB={5,7}.

§17.2簡易邏輯

邏輯一詞是LOGIC的音譯，它是研究思維法則的一門學科.數(shù)學和邏

輯的關系非常密切，在此，對邏輯知識做一些初步介紹.

1.推出關系

如果設A={x|x是4的倍數(shù)},B={x|x是2的倍數(shù)},則A中元素具

有性質a——4的倍數(shù)；B中元素具有性質B——2的倍數(shù).我們知道：

如果某元素x是4的倍數(shù)，那么x一定是2的倍數(shù)，即具有性質

a的元素，一定具有性質B.

一般地說，如果具有性質a的元素也具有性質B,我們便說由a推

下面再舉一個例子.

設A={n|n<6,n€NJ,B=(n|n<8,n€N),顯然A

cB,即“比6小的自然數(shù)”一定是“比8小的自然數(shù)”,也即“n是比6

小的自然數(shù)”=>“n是比8小的自然數(shù)”.

由于集合的包含關系具有傳遞性，即若AcB,BcC,則AcC

(圖2-97),那么對應于集合的特征性質間也必具有傳遞性，即由a

n8,B=>7則a=>T.例如，

A=[x|x*:點寫鶻},

B={yk別點罅繳

p

C={z|z?%序等鶻}.

因為，由因〉3,和3〉1”，可得“x>l”,再由因〉1和1

〉0"可得“x〉0”,所以，由an"Bny,有an丁；相應地

由AuB,BcC,有AuC

如果anB,反過來Bna也成立，那么我們就說a,B間具有互

推關系，用符號aoB表示.例如，

a：2=0,B：x=l或x=2.

①顯然，由三-BX+ZHO,即(XT)(X-2)=0,所以X=1,

或x=2.所以an3.

(ii)反之，如果x=l,或x=2,那么代入好-3行2其值必為0,即

x2-3x+2=0,所以Bna.

所以ao8.

2.命題和證明

(1)命題和逆命題

人們在思維活動中，經(jīng)常要對客觀事物做出判斷.例如：

(i)雪是白的；

(ii)如果N1和N2是對頂角，那么N1=N2；

(iii)3+4=6；

Gv)若x〉y,則了〉受等等.

上述所列都是對客觀事物做出判斷的語句.人們對客觀事物的情況做

出判斷可能是正確的(真)，也可能是錯誤的(假).我們把肯定或否定的判

斷語句叫作命題.上述語句(i),(ii),(iii),(iv)都是命題.

關于命題的真假性，有些容易判斷，如(i),(ii)是真命題，(iii)

是假命題.但對(iv)的真假性就不是顯然可判斷的.可通過設x=l,y=O(x

>y),那么

1+2x001+0

因此，命題(iv)為假命題(注意：證明一個命題為真命題，必須通過

邏輯推演，但要證明一個命題為假命題只須舉出一個反例即可).

數(shù)學命題具有多種形式，經(jīng)常采用的命題形式是“若a,則B"，“如

果a,那么B.

命題“若a,則B”或是真命題，或是假命題，二者必居其一.“若

當由a不可能推出B時，“若a,則B"便是假命題.

在命題“若a,則B”中，a叫作這個命題的條件，B叫作這個命題

的結論.如果將命題“若a,則B”的條件和結論互換，就得到一個新命

題“若B,則a"，這兩個命題之間具有互連關系，其中一個叫作原命題

時，則另一個命題就叫作這個原命題的逆命題.

當“如果a,則B”為真命題時，它的逆命題“如果B,則a"不一

定是真命題.例如：

(i)“如果2X3=6,那么6+3=2”是真命題.它的逆命題“如果6?

3=2,那么2X3=6”也是真命題.

(ii)“若a=0并且b=0,則ab=0”是真命題，但它的逆命題“若ab=0,

則a=0并且b=0”就不是真命題.

(iii)“如果Nl,N2是對頂角，那么N1=N2”是真命題，但它的

逆命題"N1=N2,那么Nl,N2是對頂角”就是假命題.

由這些例子可以說明，由anB成立，不一定能肯定Bna也成立.

(2)證明

我們要說明“若a,則B”是真命題時，以什么方式來推證呢？最常

用的基本格式就是推出關系的傳遞性，即：

如果

a=B,①

Bui,②

那么

a=>Y.③

例如，（i）若

N1和N2是對頂角，①

對頂角相等，②

則Z1=Z2.③

（ii）張三是人，①

凡人必有死，②

所以張三必有死.③

上述推理格式叫作三段論式，推理中的①，②是兩個前提條件，①叫

小前提，②叫大前提，③是由①，②推出的結論.

實際上，三段論式和推出關系的傳遞性是一致的.例如“對頂角相等”

的證明過程，可以像下面這樣來理解.

已知：N1是N2的對頂角（圖2-98）,求證:Z1=Z2.

圖2-98

證

INI是N2K的兩邊分別是乙2

|而對頂角|f|兩邊的反向延長線

n閡.、n"加80:

zl+N3

|互站一［匕2+N3-Q”bN2+N3

a2a3%

=Z1=Z2

P

從上述證明過程可知，要證明“若a,則B"，我們先設法找出一

連串適當?shù)囊阎_命題，如anet],a2,a2=>a3,

仇再由推出關系的傳遞性，就可斷定“若a,則8”是正確

的了.這種推導過程就叫作證明.經(jīng)過證明的重要命題就叫作定理.如果一個定

E里的逆命題也正確，就把它叫作這個定理的逆定理.

應用已經(jīng)被確認的正確命題和已知條件作根據(jù)，經(jīng)過推演，導出某一

命題成立，這種方法就叫作演繹推理法(簡稱演繹法).演繹法是證明數(shù)學

問題的重要方法.

例1己知：-+^-=—>求證：

abc

a2+b2+c2=(a+b-c)2.

證

abccab

=ab=c(a+b)

=2ab-2ac-abc=0

=(a2+b2+c2)+2ab-2ac-2bc

=a2+b2+c2

(a+b-c)2=a2+b2+c2.

例2某校數(shù)學競賽，A,B,C,D,E,F,G,H八位同學獲得了前八

名，老師叫他們猜一下誰是第一名.A說："或者F,或者H是第一名.”

B說：“我是第一名."C說：“G是第一名.”D說：“B不是第一名.”

E說：“A說的不對."F說：“我不是第一名.”G說：“C不是第一名.”

H說：“我同意A的意見.”老師說八個人中有三人猜對了，那么試問第

一名是誰？

分解與解由已知條件可知：A與H同真假，E與F同真假，B與D必

定一真一假.

(i)如果A與H猜對了，那么D與G也都猜對了.這樣就有四人猜對，

不合題意，因此，A與H必定都猜錯了.

(ii)如果E與F猜對了，即F與H都不是第一名，這時若B猜對了，

那么D就猜錯了，C也猜錯了，G猜對了，這樣