高中數(shù)學(xué)《向量減法運算及其幾何意義》導(dǎo)學(xué)案

2.2.2向量減法運算及其幾何意義

I課前自主預(yù)習(xí)飛

1.相反向量

田與。長度相等，方向相反的向量，叫做Q的相

定義反向量，記作：一Q.規(guī)定：零向量的相反向量是

囪零向量

—(—a)=fl,?+(—?)=(—a)+a=O

結(jié)論若a,力互為相反向量，則a=—b,b=—aja-\-b

=0

2.向量的減法

。一b=a+(-b),即減去一個向量相當(dāng)于加上

定義

這個向量的因相反向量

在平面內(nèi)任取一點O,作少不=

作法a.OB=。.則向量a~b=BA,如

圖所示

如果把兩個向量a.b的起點放在一起，則a-b

幾何

可以表示為⑷從向量b的終點指向向量a的終

意義

點的向量

H自診小測

1.判一判(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)兩個向量的差仍是一個向量.()

(2)向量的減法實質(zhì)上是向量的加法的逆運算.()

(3)向量a與向量b的差與向量b與向量a的差互為相反向

量.()

(4)相反向量是共線向量.()

答案(1)J(2)7(3”(4)7

2.做一做

(1)非零向量機與〃是相反向量，下列不正確的是()

A.m=nB.m=-n

C.\m\=\n\D.方向相反

答案A

解析相反向量是模相等、方向相反的向量，故B,C,D都正

確.

—?—?-?

(2)(教材改編P87T2)OB-Q4+BA=.

答案0

—?—?—?—?-?

解析OB-OA+BA=AB+BA=0.

—?-?

(3)四邊形ABCQ是邊長為1的正方形，則|AB—4D|=.

答案也

—?―?—?

解析AB-AD=DB,

-?―?-?

'：\AB\=\AD\=1,：.\BD\=y/2,

—?—?-?

A\AB-AD\=\DB\=yf2.

卜課堂互動探究

探究1向量的減法運算

例1化簡：mAB-CD)-(AC-BD)；

(2)(AC+80+0A)一(。。一。0—OB).

解(1)解法一(變?yōu)榧臃?：

—?—?—?—?―?—?—?—?—?-?

原式=A3—O)—AC+3￡>=4B+QC+CA+3D=(A8+BQ)+

―?―?—?—?

(DC+CA)=AD+DA=O.

—?—?-?

解法二(利用公式AB—AC=C3)：

—>—>—?-?—>—?—>—>—?-?

原式=48—CD—4C+8O=(A8—AC)—CQ+BZ)=C8—CQ+

—?―?—?

BD=DB+BD=O.

解法三(利用公式A3=0B—0A,其中0是平面內(nèi)任一點)：

—?—?—?―?—?—?—?—?—?-?

原式=AB-CD—AC+30=(03—OA)-(O￡>—OC)—(OC-O71)

—>—?—>—?—>—?-?—>—?-?

+(0。一08)=03—OA—OO+OC-OC+OA+O0—OB=O.

—?—?—?—?—?-?

(2)(AC+80+0A)一(。。一。。一0B)

=(AC-\-BA)-(OC-OB)^BC~BC=0.

拓展提升

(1)向量減法運算的常用方法

可以通過相反向量，把向量減法的運算轉(zhuǎn)化為加法運算

常

用運用向量減法的三角形法則，此時要注意兩個向量要有

方

共同的起點

法

引入點，逆用向量減法的三角形法則，將各向量起點統(tǒng)一

(2)向量加減法化簡的兩種形式

①首尾相連且為和；

②起點相同且為差.

做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應(yīng)用.

【跟蹤訓(xùn)練1】化簡下列各式：

―?—?-?

―?―?―?

(2)AB+BC-AD；

—?―?—?

(3)AB—CD—DB.

—?―?—?—?—?-?

解⑴AB—AC—DB=CB+BD=CD.

―?―?—?―?—?-?

(2)AB+BC-AD^AC~AD=DC.

—?—?—?—?—?—?—?—?—?-?

(3)AB-CD-DB=AB+DC+BD=AB+BD+DC=AC.

探究2向量減法的幾何意義

例2如圖，在五邊形A3CQE中，若四邊形ACQE是平行四邊

—?—?—?—?—?-?

形，且AB=a,AC=b,AE=c,試用a,6c表示向量8Q,BC,BE,

—?—?

CD及CE.

解四邊形ACDE為平行四邊形,

CD=AE=c.BC—AC—AB=b—a.

BE=AE—AB=c—a,CE=AE—AC=c—b,

：.BD=BC+CD=b~a+c.

［結(jié)論探究］若例2條件不變，試用a,b,c表示向量DA.

解解法一（應(yīng)用三角形法則）：

—>—>—?—>—>

DA=EA-ED^-AE-AC^~c-b.

解法二（應(yīng)用平行四邊形法則）：

―?—?-A-?

DA=-AD=-（AC+AE）=-c-b.

拓展提升

求作兩個向量的差向量的兩種思路

（1）可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a—b,可以先作一仇然后

作”+（—。）即可.

（2）也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重

合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量.

【跟蹤訓(xùn)練2】已知一點0到平行四邊形ABCD的三個頂點

—?

A,B,C的向量分別是a,b,c,則向量。。等于（）

A.a+力+cB.a——b+c

C.——cD.a——b——c

答案B

解析如圖，點。到平行四邊形的三個頂點A,。的向量分

別為a,b,c,結(jié)合圖形有：

AD

w

0

-?―A—?—?—A—?―?―?

OD^OA+AD^OA+BC=OA+OC-OB=a+c-b.

探究3向量加法、減法的綜合應(yīng)用

—?—?

例3如圖，0為△ABC的外心，”為垂心.求證：OH=OA+

OB+OC.

證明作直徑BQ,

連ZM、DC,有OB=-OD,

DA-LAB,DC-LBC,AH-LBC,CH工AB,

CH//DA,AH//DC.

得是平行四邊形，進而A〃=QC

又DC=OC-OD=OC+OB,

-?—>—?-?—>—>—>—?

得0H=OA+AH=OA+DC=OA+OB+OC.

拓展提升

用幾個基本向量表示其他向量的一般步驟

(1)觀察待表示的向量位置；

(2)尋找相應(yīng)的平行四邊形或三角形；

(3)運用法則找關(guān)系，化簡得結(jié)果.

【跟蹤訓(xùn)練3】如圖，已知。，E,尸分別為△ABC的邊8C,

—?—?-?

AC,AB的中點.求證：A0+8E+C/=0.

證明連接EF,由題意知：AD=AC-\-CD,BE=BC+CE,CF

=CB+BF.

—?

由。，E,廠分別為△43C的邊3C,AC,A3的中點可知：EF=

—?—?-?

CD,BF=FA.

—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?-?

AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB+BF)^(AC+CD

—?—?—?—?—?―?—?—?—?—?-?

+CE+BF)+(BC+CB)=(AE+EC+CD+CE+BF)+0=AE+CD+

BF=AE-\-EF-\-FA=O.

f---------------------------------------1速黜2-----------------------

1.向量減法的運算法則

(1)向量的減法運算與向量的加法運算是互逆運算，可以靈活轉(zhuǎn)

化，減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.

(2)兩個向量的差也可用平行四邊形法則及三角形法則求得：用

平行四邊形法則時，

如圖，兩個向量也是共起點，和向量是起點與它們的起點重合的那

條對角線(AC),而差向量是另一條對角線(08),方向是從減向量指

向被減向量；用三角形法則時，把減向量與被減向量的起點相重

合，則差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點.

2.非零向量°,方的差向量的三角不等式

(1)當(dāng)a,b不共線時，

B

0bBa-h1

______bT，卜

0aAa-bB

③

a-b

.I.

Bb()q4

④

~?-?

如圖①，作OA=a,OB=b,

—?—?-?

貝I」a-b=OA-OB=BA.

(2)當(dāng)a,方共線且同向時，

若⑷習(xí)例,則a—辦與a,?同向(如圖②),

于是|a—Z>|=|a|一網(wǎng).

若則a—6與a,一反向(如圖③),

于是|a一例=|例一|a|.

(3)當(dāng)a,分共線且反向時，a一方與a同向，與b反向.于是|。一

。=悶+|冰如圖④).

可見，對任意兩個向量，總有向量不等式成立：

|⑷一|加一心一例W|a|+N

卜課堂達標(biāo)自測

1.在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()

KAC-AB=BCB.AD-BD=AB

C.BD-AC=BCD.BD-CD=BC

答案C

解析由向量減法法則知c錯誤.

2.如圖所示，D,E,尸分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點,

―A―?

則4尸一。8等于（）

A.FDB.FC

—?—?

C.FED.DF

答案D

—>—>

解析由圖易知

—?—?—?—?-?

：.AF-DB=DE-DB=BE,

-?—>—>―?—>

又BE=DF,：.AF~DB=DF.

3.若O,E,F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是（）

-?—>—>

A.EF=OF+OE

B.EF=OF~OE

C.EF=-OF+OE

D.EF=-OF~OE

答案B

解析由向量減法的三角形法則可知族=0/一OE故選B.

4.若a,b為相反向量，且⑷=1,網(wǎng)=1,則|“+例=,

\a-b\=.

答案02

解析若a,b為相反向量，則。+6=0,4=0,

又a=-b,\a\=\—b\=\,:a與一b共線,

：.\a-b\=2.

—?—?-?

5.已知0為平行四邊形4BCD內(nèi)一點，0A=mOB=b,0C=

—?

c,用a,b,c表示OD

解解法一：如圖所示，OQ=OA+AD=a+BC=a+(0C—08)

—a~\~c—b.

—?—?—?—?—?—?—?—?—?-?

解法二：0D=OA+AB+BC+CD=OX+BC+(AB+CD)=OA+

—?—?—?—?

3c+0=QA+(3O+OC)=G+(一方+c)=a一方+c.

卜課后課時精練

A級：基礎(chǔ)鞏固練

一'選擇題

1.下列運算中正確的是（）

A.OA~OB=ABB.AB-CD^DB

C.OA-OB=BAD.AB-AB=Q

答案C

解析根據(jù)向量減法的幾何意義，知04—08=84,所以C正確,

A錯誤；B顯然錯誤；對于D,AB—AB應(yīng)該等于0,而不是0.

2.下列說法錯誤的是（）

A.若0D+0E=0M,則0M—0E=0。

B.若OO+OE=OM,則OM+OO=OE

—?—?—?―?―?—?

C.若0D+0E=0M,則。。一EO=OM

—>—?-?—>―?-?

D.若OO+OE=OM,則。0+E0=0M

答案D

解析由向量的減法就是向量加法的逆運算可知，A,B,C都正

確.由相反向量定量知，共OO+OE=OM,則QO+EO=—O0—OE

—?—?-?

=-（OD+OE）=-OM,故D錯誤.

3.有下列不等式或等式：

①同一步|<|a+旬V|a|十網(wǎng);

②⑷一步|=|a+川=|a|+網(wǎng);

③⑷一步|=|a+例<⑷+臥

?\a\-\b\<\aA-b\=\a\+\b\.

其中，一定不成立的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案A

解析①當(dāng)a與〃不共線時成立；②當(dāng)a=Z>=0,或，=0,aWO

時成立；③當(dāng)a與b共線，方向相反，且⑷三網(wǎng)時成立；④當(dāng)。與b

共線，且方向相同時成立.

—?—?—?—?―?―?—?-?

4.AC可以寫成：①AO+OC；②AO—OC；③04—0。；@OC-

0A,其中正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

答案D

解析由向量的加法及減法定義可知①④符合.

—?-?

5.邊長為1的正三角形ABC中，|A8—8C|的值為（）

A.1B.2C.坐D.小

答案D

—?

解析如圖所示，延長CB到點。，使80=1,連接AO,則A8

―?—?—?—?—?-?

—BC=AB+CB=AB+BD=AD.在AABD中，AB=BD=1,ZABD=

—?—?

120°,易求AQ=小，A\AB-BC\=\l3.

二'填空題

6.對于非零向量a,b,當(dāng)且僅當(dāng)________時，有|a一加=問一|如

答案a與》同向

解析當(dāng)。，）不同向時，根據(jù)向量減法的幾何意義，知一定有

\a-b\>\\a\~\b\\,所以只有兩向量共線且同向時,才有|。一例=阿一|訓(xùn).

7.如圖所示，在梯形ABCO中，AQ〃8C,AC與8D交于。點，

則BA-BC-0A+0。+DA=.

答案CA

—?—?―?―?—?―?—?―?—?

解析BA-BC-OA+OD+DA=CA+AD-\-DA=CA.

―?

8.如圖，已知ABCQE/是一正六邊形，。是它的中心，其中。8

—?-?

—b,OC=c,則E/7等于.

答案b-c

-?—>—>—?—>

解析EF=0A=CB=0B-0C=b-c.

三、解答題

9.如圖，已知a,?不共線，求作向量a—），—a—b.

解如圖(1),在平面內(nèi)任取一點0,作0A=a,0B=b,貝|]8A=

0A—0B=a—b.

如圖(2),在平面內(nèi)任取一點0,作OA=-a,OB=b,則8A=0A

—?

—OB——a—b.

—?―?-?

10.設(shè)。是△ABC內(nèi)一點，且OA=a,OB=b,OC=c,若以線

段OA,03為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為。，再以0C,