備考2024高考一輪總復習數(shù)學人教a版第二章§2.2　函數(shù)的單調性與最值

§2.2函數(shù)的單調性與最值考試要求1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學符號語言表達函數(shù)的單調性、最值，理解實際意義.2.掌握函數(shù)單調性的簡單應用．知識梳理1．函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞增當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調遞減圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調遞增或單調遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調區(qū)間．2．函數(shù)的最值前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M結論M為最大值M為最小值常用結論1．?x1，x2∈D且x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間D上單調遞增(減)．2．在公共定義域內，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù)．3．函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調性相反．4．復合函數(shù)的單調性：函數(shù)y＝f(u)，u＝φ(x)在函數(shù)y＝f(φ(x))的定義域上，如果y＝f(u)與u＝φ(x)的單調性相同，那么y＝f(φ(x))單調遞增；如果y＝f(u)與u＝φ(x)的單調性相反，那么y＝f(φ(x))單調遞減．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若f(x)的定義域為R，且f(－3)<f(2)，則f(x)為R上的增函數(shù)．(×)(2)函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調遞增，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(－2,3)．(×)(3)因為y＝x與y＝ex都是增函數(shù)，所以y＝xex在定義域內為增函數(shù)．(×)(4)函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)教材改編題1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上單調遞增的是()A．y＝|x＋1| B．y＝2－xC．y＝eq\f(1,x) D．y＝x2－x＋1答案A2．函數(shù)y＝eq\f(x,x－1)在區(qū)間[2,3]上的最大值是________．答案2解析函數(shù)y＝eq\f(x,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)在[2,3]上單調遞減，當x＝2時，y＝eq\f(x,x－1)取得最大值eq\f(2,2－1)＝2.3．函數(shù)y＝eq\f(a,x－1)在(－∞，1)上為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，0)題型一確定函數(shù)的單調性命題點1求具體函數(shù)的單調區(qū)間例1(多選)下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調遞增的是()A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|C．y＝x＋cosx D．y＝eq\r(x2＋x－2)答案AC解析∵y＝ex與y＝－e－x為R上的增函數(shù)，∴y＝ex－e－x為R上的增函數(shù)，故A正確；由y＝|x2－2x|的圖象知，故B不正確；對于選項C，y′＝1－sinx≥0，∴y＝x＋cosx在R上為增函數(shù)，故C正確；y＝eq\r(x2＋x－2)的定義域為(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D不正確．命題點2判斷或證明函數(shù)的單調性例2試討論函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的單調性．解方法一設－1<x1<x2<1，f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1＋1,x－1)))＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))，f(x1)－f(x2)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x1－1)))－aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2－1)))＝eq\f(ax2－x1,x1－1x2－1)，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調遞增．方法二f′(x)＝eq\f(ax′x－1－axx－1′,x－12)＝eq\f(ax－1－ax,x－12)＝－eq\f(a,x－12).當a>0時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調遞增．教師備選1．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，則函數(shù)g(x)的單調遞減區(qū)間是__________．答案[0,1)解析由題意知g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1，))該函數(shù)的圖象如圖所示，其單調遞減區(qū)間是[0,1)．2．已知a>0，函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(x>0)，證明：函數(shù)f(x)在(0，eq\r(a)]上單調遞減，在[eq\r(a)，＋∞)上單調遞增．證明方法一(定義法)設x1>x2>0，f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(a,x1)－x2－eq\f(a,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(ax2－x1,x1x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－a,x1x2)，∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，當x1，x2∈(0，eq\r(a)]時，0<x1x2<a，∴x1x2－a<0，∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(0，eq\r(a)]上單調遞減，當x1，x2∈[eq\r(a)，＋∞)時，x1x2>a，∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[eq\r(a)，＋∞)上單調遞增．方法二(導數(shù)法)f′(x)＝1－eq\f(a,x2)＝eq\f(x2－a,x2)(x>0)，令f′(x)>0?x2－a>0?x>eq\r(a)，令f′(x)<0?x2－a<0?0<x<eq\r(a)，∴f(x)在(0，eq\r(a)]上單調遞減，在[eq\r(a)，＋∞)上單調遞增．思維升華確定函數(shù)單調性的四種方法(1)定義法；(2)導數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質法．跟蹤訓練1(1)函數(shù)f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))答案D解析f(x)＝ln(4＋3x－x2)的定義域為(－1,4)．令t＝4＋3x－x2，對稱軸為x＝eq\f(3,2)，故單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4))，因為y＝lnt為增函數(shù)，所以f(x)＝ln(4＋3x－x2)的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)).(2)函數(shù)f(x)＝|x－2|x的單調遞減區(qū)間是________．答案[1,2]解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥2，,－x2＋2x，x<2.))畫出f(x)的大致圖象(如圖所示)，由圖知f(x)的單調遞減區(qū)間是[1,2]．題型二函數(shù)單調性的應用命題點1比較函數(shù)值的大小例3(2022·成都模擬)已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln

eq\r(2))，b＝f()，c＝f()，則a，b，c的大小關系是()A．c<b<a B．a<c<bC．a<b<c D．c<a<b答案B解析∵對任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，∴此時函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上單調遞減，∵f(x)是偶函數(shù)，∴當x∈(0，＋∞)時，f(x)單調遞增，又f(x)＝在x∈(0，＋∞)上單調遞增，∴1<<，又0<ln

eq\r(2)<1，∴l(xiāng)n

eq\r(2)<<，∴>>f(ln

eq\r(2))，即a<c<b.命題點2求函數(shù)的最值例4(2022·深圳模擬)函數(shù)y＝eq\f(\r(x2＋4),x2＋5)的最大值為________．答案eq\f(2,5)解析令eq\r(x2＋4)＝t，則t≥2，∴x2＝t2－4，∴y＝eq\f(t,t2＋1)＝eq\f(1,t＋\f(1,t))，設h(t)＝t＋eq\f(1,t)，則h(t)在[2，＋∞)上為增函數(shù)，∴h(t)min＝h(2)＝eq\f(5,2)，∴y≤eq\f(1,\f(5,2))＝eq\f(2,5)(x＝0時取等號)．即y的最大值為eq\f(2,5).命題點3解不等式例5已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是________．答案(0,1)解析由f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)知，f(x)在定義域(－2，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<－1，,a－2>－2，))解得0<a<1.命題點4求參數(shù)的取值范圍例6函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1，))且滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[4,8) B．(4,8)C．(1,8] D．(1,8)答案A解析函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1))滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，所以函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x≥1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(a,2)))x＋2，x<1))是R上的增函數(shù)，則由指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的單調性可知應滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,4－\f(a,2)>0，,a≥4－\f(a,2)＋2，))解得4≤a<8，所以實數(shù)a的取值范圍為[4,8)．教師備選1．(2022·嘉峪關模擬)函數(shù)f(x)＝ln(x2－ax－3)在(1，＋∞)上單調遞增，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2] B．(－∞，－2)C．(－∞，2] D．(－∞，2)答案A解析函數(shù)f(x)＝ln(x2－ax－3)為復合函數(shù)，令u(x)＝x2－ax－3，y＝lnu為增函數(shù)，故只要u(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上單調遞增即可，只要eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≤1，,u1≥0，))解得a≤－2.2．對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))設函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______．答案1解析方法一在同一坐標系中，作函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象為如圖所示的實線部分．易知點A(2,1)為圖象的最高點，因此h(x)的最大值為h(2)＝1.方法二依題意，h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，0<x≤2，,－x＋3，x>2.))當0<x≤2時，h(x)＝log2x單調遞增，當x>2時，h(x)＝3－x單調遞減，因此h(x)在x＝2時取得最大值h(2)＝1.思維升華(1)比較函數(shù)值的大小時，轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決．(2)求解函數(shù)不等式，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調性求參數(shù)的取值(范圍)．根據其單調性直接構建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解．對于分段函數(shù)，要注意銜接點的取值．跟蹤訓練2(1)(2022·天津靜海區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝e|x|，記a＝f(log23)，b＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))，c＝f(2.11.2)，則a，b，c的大小關系為()A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a答案C解析函數(shù)f(x)＝e|x|，其定義域為R，且f(－x)＝e|－x|＝e|x|＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，當x>0時，f(x)＝ex，即函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，∵2＝log24>log23>log22＝1，0<log32<log33＝1,2.11.2>2.11＝2.1>2，∴2.11.2>log23>log32>0，∴f(2.11.2)>f(log23)>f(log32)，即f(2.11.2)>f(log23)>f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,2)))，則b<a<c.(2)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4，))若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，a＋1)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1] B．[1,4]C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)答案D解析畫出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4))的圖象，如圖，由圖可知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4))的單調遞增區(qū)間為(－∞，2)，(4，＋∞)，∵函數(shù)在(a，a＋1)上單調遞增，∴a＋1≤2或a≥4，∴a≤1或a≥4.(3)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞減，則不等式f(2x－1)>f(x＋1)的解集為________．答案(0,2)解析依題意f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞減，所以f(2x－1)>f(x＋1)?(2x－1)2<(x＋1)2，即4x2－4x＋1<x2＋2x＋1，即x2－2x＝x(x－2)<0?x∈(0,2)．課時精練1．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)內單調遞減的是()A．y＝eq\f(1,x)－x B．y＝x2－xC．y＝lnx－x D．y＝ex答案A解析當x∈(0，＋∞)時，y＝eq\f(1,x)與y＝－x單調遞減，∴y＝eq\f(1,x)－x在(0，＋∞)上單調遞減．2．若函數(shù)f(x)＝eq\f(2x2＋3,1＋x2)，則f(x)的值域為()A．(－∞，3] B．(2,3)C．(2,3] D．[3，＋∞)答案C解析f(x)＝eq\f(2x2＋3,1＋x2)＝2＋eq\f(1,x2＋1)，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<eq\f(1,x2＋1)≤1，∴f(x)∈(2,3]．3．(2022·貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，且為奇函數(shù)，若f(1)＝－2，則滿足－2≤f(x－2)≤2的x的取值范圍是()A．[－2,2] B．[－1,1]C．[1,3] D．[0,4]答案C解析因為f(x)為奇函數(shù)，若f(1)＝－2，則f(－1)＝2，所以不等式－2≤f(x－2)≤2可化為f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，又f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞減，所以－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.4．(2022·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－e－x，x>0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，則有()A．f(a)>f(b)>f(c)B．f(b)>f(a)>f(c)C．f(a)>f(c)>f(b)D．f(c)>f(a)>f(b)答案A解析y＝ex是增函數(shù)，y＝e－x是減函數(shù)，因此在(0，＋∞)上y＝ex－e－x單調遞增，且此時f(x)>0.f(x)＝－x2在x≤0時單調遞增，所以f(x)在R上單調遞增．c＝log20.9<0，b＝log32，所以0<b<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c)．5．(多選)已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(a,x)(a≠0)，下列說法正確的是()A．當a>0時，f(x)在定義域上單調遞增B．當a＝－4時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)C．當a＝－4時，f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．當a>0時，f(x)的值域為R答案BCD解析當a>0時，f(x)＝x－eq\f(a,x)，定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞增，故A錯誤；又x→－∞時，f(x)→－∞，x→0－時，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域為R，故D正確；當a＝－4時，f(x)＝x＋eq\f(4,x)，由其圖象(圖略)可知，B，C正確．6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lnx＋2x，x>0，,\f(2,1－x)，x≤0，))則下列結論正確的是()A．f(x)在R上為增函數(shù)B．f(e)>f(2)C．若f(x)在(a，a＋1)上單調遞增，則a≤－1或a≥0D．當x∈[－1,1]時，f(x)的值域為[1,2]答案BC解析易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上單調遞增，A錯誤，B正確；若f(x)在(a，a＋1)上單調遞增，則a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故C正確；當x∈[－1,0]時，f(x)∈[1,2]，當x∈(0,1]時，f(x)∈(－∞，2]，故x∈[－1,1]時，f(x)∈(－∞，2]，故D不正確．7．函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋1的單調遞增區(qū)間為__________，單調遞減區(qū)間為________．答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0.))畫出函數(shù)的圖象如圖所示，單調遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[0,1]，單調遞減區(qū)間為(－1,0)和(1，＋∞)．8．(2022·山東師大附中質檢)已知函數(shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案(－∞，1]解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≥a，,ea－x，x<a，))當x≥a時，f(x)單調遞增，當x<a時，f(x)單調遞減，又f(x)在[1，＋∞)上單調遞增，所以a≤1.9．已知函數(shù)f(x)＝ax－eq\f(1,ax)＋eq\f(2,a)(a>0)，且f(x)在(0,1]上的最大值為g(a)，求g(a)的最小值．解f(x)＝ax－eq\f(1,ax)＋eq\f(2,a)(a>0)，∴f(x)在(0,1]上單調遞增，∴f(x)max＝f(1)＝a＋eq\f(1,a)，∴g(a)＝a＋eq\f(1,a)≥2，當且僅當a＝eq\f(1,a)即a＝1時取等號，∴g(a)的最小值為2.10．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)；(2)探究f(x)的單調性，并證明你的結論；(3)若f(x)為奇函數(shù)，求滿足f(ax)<f(2)的x的取值范圍．解(1)f(0)＝a－eq\f(2,20＋1)＝a－1.(2)f(x)在R上單調遞增．證明如下：∵f(x)的定義域為R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝，∵y＝2x在R上單調遞增且x1<x2，∴0<<，∴－<0,＋1>0,＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在R上單調遞增．(3)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即a－eq\f(2,2－x＋1)＝－a＋eq\f(2,2x＋1)，解得a＝1.∴f(ax)<f(2)即為f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上單調遞增，∴x<2.∴x的取值范圍是(－∞，2)．11．定義max{a，b，c}為a，b，c中的最大值，設M＝max{2x,2x－3,6－x}，則M的最小值是()A．2B．3C．4D．6答案C解析畫出函數(shù)M＝max{2x,2x－3,6－x}的圖象(如圖)，由圖可知，函數(shù)M在A(2,4)處取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值為4.12．如果幾個函數(shù)的定義域相同、值域也相同，但解析式不同，稱這幾個函數(shù)為“同域函數(shù)”.函數(shù)y＝eq\r(x－1)－eq\r(2－x)的值域為________，則與y是“同域函數(shù)”的一個解析式為________．答案[－1,1]y＝2x－3，x∈[1,2]或y＝sin(2πx)，x∈[1,2]或y＝3x－1－2，x∈[1,2](答案不唯一)解析因為y＝eq\r(x－1)－eq\r(2－x)，所以x≥1且x≤2，所以函數(shù)的定義域為[1,2]．顯然，函數(shù)y＝f(x)＝eq\r(x－1)－eq\r(2－x)在[1,2]上單調遞增，所以f(x)∈[－1,1]，所以函數(shù)的值域為[－1,1]．只要滿足定義域為[1,2]，且值域為[－1,1]的函數(shù)均符合題意，例如y＝sin(2πx)，x∈[1,2]或y＝2x－3，x∈[1,2]或y＝3x－1－2，x∈[1,2]．13．設函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2a)在區(qū)間(－2，＋∞)上單調遞增，那么a的取值范圍是________．答案[1，＋∞)解析f(x)＝eq\f(ax＋2a2－2a2＋1,x＋2a)＝a－eq\f(2a2－1,x＋2a)，定義域為{x|x≠－2a}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2－1>0，,－2a≤－2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2－1>0，,a≥1，))所以a≥1.14．(2022·滄州模擬)設函數(shù)f(x)＝x3－sinx＋x，則滿足