講與練高中數(shù)學(xué)1·②·必修第一冊·BS版第四章綜合檢測

第四章綜合檢測

時間：120分鐘分值：150分

第I卷(選擇題，共6。分)

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的)

1.若/(x)=k)ga(x—序一〃+6)是對數(shù)函數(shù)，則。的值為(B)

A.一3B.2C.-2D.3

解析：若/(幻=10故仆一蘇一。+6)是對數(shù)函數(shù)，則一4一。+6=0,所以a=—3或〃=2,又所以。=2,故

選B.

⑵，94,

2.已知函數(shù)")=L,ix,則/(2+log23)的值為(A)

g+l),x<4,

A.24B.16C.12D.8

93*fc?23_R乂盧?

解析：因為3<2+k)g23<4,所以共2+log23)=/(3+log23)=4~0z=24.

3.已知a=log],〃=(；,，c=log|I，則a,b,c的大小關(guān)系為(D)

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>h>aD.c>a>h

i7

解析：log！5=log3[5，=log35,因為函數(shù)y=log?A?在(0,+8)上為增函數(shù)，所以Iog35>log3，>log33=1,因為函

數(shù)產(chǎn)田'在(—8'+8)上為減函數(shù),所以即<(1)U=1.故c>a>b.

4.在同?直角坐標(biāo)系中，函數(shù),/(x)=2—av,g(x)=log?(x+2)(a>0,且a#l)的圖象大致為(A)

ABCD

解析：由題意，知函數(shù)/(x)=2—av(a>0,且aWl)為減函數(shù)，排除C;當(dāng)0<aVl時，函數(shù)/(x)=2—以的零點x

=|>2,且函數(shù)g(x)=loga(x+2)在(-2,+8)上為減函數(shù)，排除D；當(dāng)時，函數(shù)外)=2—av的零點K=}<2,且

2

A=->0,又雙.1)=10&,(無+2)在(一2,+8)上是增函數(shù)，排除B,綜上只有A滿足.

5.已知|x)=lg(10+x)+lg(10—x),則(D)

A.?幻是奇函數(shù)，且在(0/0)上是增函數(shù)

B.犬x)是偶函數(shù)，且在(0,10)上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在(0,10)上是減函數(shù)

D.是偶函數(shù)，且在(0J0)上是減函數(shù)

f!0+x>0,

解析：由,八人得工￡(一1010),且危)=lg(1001F),二危)是偶函數(shù)，又，=100一好在(0,10)上單調(diào)遞減，

[10—,v>0,

y=lg/在(0,+8)上單調(diào)遞增，故函數(shù)J(x)在(0,10)上單調(diào)遞減.

22

6.已知函數(shù)貝x)=|lnx|,若大巾)=貝〃)(/〃>〃>0),則在y+筋?[=(C)

A]B.1C.2D.4

解析：由&〃)=<〃)，nt>n>0,可知

Ain/?=-In/?,則mn=1.

所以一！_+，_=且吐也_=駟土出②=2

“勺〃+1十〃+1〃皿+/〃+〃+1m+n+2乙

7.已知a>0且函數(shù)7.0=lo&(x+,+b)在區(qū)間(一8,+8)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)=loga||x|

一切的圖象是(A)

解析：函數(shù)/x)=logz,(x+M?T^)在區(qū)間(-8,+8)上是奇函虬.?.膽)=0,.?.〃=1,又函數(shù)=lo&(.t+y/x2+垃

在區(qū)間(-8,+8)上是增函數(shù)，所以a>[.所以g(x)=]ogjm—1],當(dāng)人>1時，g(x)=[og4L1)為增函數(shù)，排除B,D:

當(dāng)0〃<1時，g(x)=log?(l-x)為減函數(shù)，排除C;故選A.

8.設(shè)x,y,z為正數(shù)，且2*=3，=5：,貝女D)

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3><5z<ZvD.3)y2x<5z

解析：令1=2'=3，=5；,Vx,y,z為正數(shù)，

則x=logk爵同理，尸翳z=翳.

....2lgI31gtIg?(2lg3-31g2)

3>

lg2Ig3-lg2Xlg3-

1g/Qg9-lg8)

lg2Xlg3>0,/.2x>3y.

父..6T-=也_理二環(huán)35—5至2)=

又?2A5,一愴2lg5-ig2X|g5一

lg/(1g25~lg32)

lg2Xlg5'

/.2x<5z,3V<2A<5Z.

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)

9.已知〃>0,b>0Ha^\,b于3若log加>1,則下列不等式可能正確的是(AD)

A.(b-\)(b~a)>0B.(a~\)(a~b)>0

C.(?-l)(b-l)<0D.(a—1)仍一4)>0

解析：Vloga/?>l=logz,fl,???若a>l,則力>a,即。>a>l..\(。一l)(Z>—a)>0,故A正確；(a—l)(b—a)>0,故D正

確：若0<avl,則0<Xa<l,??.(。一1)(。一份<0,(0—1)仍-l)X),故B、C錯誤，故選AD.

爐+1

10.關(guān)于函數(shù)&r)=lgn(xW0),有卜列結(jié)論，其中正確的是(ABD)

A.其圖象關(guān)于)，軸對稱

B._/(入)的最小值是ig2

當(dāng)心>0時，人工)是增函數(shù)；當(dāng)F0時，K0是減函數(shù)

D.的增區(qū)間是［1,+8)

解析：,A—x)=lg'1」月=貝幻，JU)是偶函數(shù),選項A正確；令，=一百一=兇+俁jN2,y=lgr在(0,+8)上是單

/+11

調(diào)遞增，y=lg/21g2,所以/(x)的最小值為lg2,選項B正確：當(dāng)Q0時，/=二^一="十丁根據(jù)對勾函數(shù)可得，/=*

+：單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1］,單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8),),=lgf在(0,+8)上是單調(diào)遞增，所以./U)在(0,1］單調(diào)遞減，在

［1,+8)上單調(diào)遞增，選項C錯誤：根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，火X)在(-8,—1］上單調(diào)遞減，在［-1,0)上單調(diào)遞增，*工)

的增區(qū)間是［一［,0),［1,+8),選項D正確.故選ABD.

11.已知函數(shù)_Ax)=lg，+ax—a—1),給出下述論述，其中正確的是(AC)

A.當(dāng)a=0時，兀r)的定義域為(-8,-1)U(1,4-?>)

B.小)一定有最小值

C.當(dāng)a=0時，7(x)的值域為R

D.若JU)在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)”的取值范圍是｛a|a2-4)

解析：對A,當(dāng)4=0時，解/-］>()有*￡(-8,-1)U(1,+8),故A正確；對B、C,當(dāng)a=0時，.人幻=館儼

-1),此時/W(—8,-1)U(1,+8),^-ie(0,4-oo),此時<x)=lg(『一|)值域為R,故B錯誤，C正確；對D,

若4x)在區(qū)間［2,+8)上單調(diào)遞增，此時a—1對稱軸x=—/W2.解得aN—4.但當(dāng)a=-4時,"0二電。2

一抵+3)在x=2處無定義，故D錯誤.故選AC.

1-r

12.某學(xué)校為了加強學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，鍛煉學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的能力，他們以函數(shù)凡6=1即4為基本

素材，研究該函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，取得部分研究成果如下：其中研究成果正確的是(BC)

A.同學(xué)甲發(fā)現(xiàn)：函數(shù)的定義域為且大幻是偶函數(shù)

B.同學(xué)乙發(fā)現(xiàn)：對于任意的xW(-lJ),都有《聾力=2人*

C.同學(xué)丙發(fā)現(xiàn)：對于任意的”，〃丘(一1.1),都有八。)+4》=彳(篝)

D.同學(xué)丁發(fā)現(xiàn)：對于函數(shù)定義域內(nèi)任意兩個不同的實數(shù)M,X2,總滿足曲匕酗X)

X\~X2

|x1x1+x1~~X

解析：對A,1x)=lgj^定義域為yqj>0=(l—x)(l+x)>0,解得x￡(—l,l).又川一刈二電廠又二一愴^^二二一貝外，

\—(2xyf+lj2—2r+l

故?￥)=lgR；x為奇函敷?故A錯誤；對B,4百1=18----于=lg：F+2v+]=

1+7+7

《：+:%=2lg^^=2肛)，x€(-lJ)一故B正確；對C，〃a)+,R，)=Ig|q^+lg1：p|，

,_?±1

(1—a)(l—/?)(a+b\_1+ab_

植(1+〃)(1+妨，\\+ab)lg.a+b=

1+T+^

%1+a〃b-+((a“++〃〃))=愴(1(—1a+)(0l-(1/?)+4,故4。)+,?他)乜(a不/^成工-.故bC正確]：對,D，<0)=1訴1—0=0,

/Ij-AO)

I所以V----<0,故D錯誤.故選BC.

廠0

第II卷(非選擇題，共90分)

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.g+21g2-即=二1.

解析：lg|+21g2-百i=lg|+lg22-2=

2=1—2=—1.

14.設(shè)兀0=愴(高+。)是奇函數(shù)，則使而)<0的x的取值范圍是(一L0).

解析：由_/(x)是奇函數(shù)可得。=-1,

I+x

??JU)=lg；二X，定義域為(一1,1).

由/(x)vO,可得0<：v1,—1<r<0.

15.設(shè)凡r)是定義在R上的函數(shù)，它的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，當(dāng)xWl時，次x)=2xei(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則

42+3坨2)的值為跑②

解析：由題設(shè)得逃2—x)+/U)=0=危)=-/(2—.0,令第>1=>2—K1,則“v)=~A2—刈=-2(2—此k2=2(入―2把，

P,所以42+31n2)=2X3In2Xe3,n2=6in2X(e,n2)3=481n2.

16.J(x)=^—c*+ln1^+1,若<a)+/(l+a)>2,則a的取值范圍是(一0).

I+,t

解析：由題得J(x)的定義域為(-1,1),設(shè)g(x)=/(x)—1e-*+h】y=,則g(—x)+g(x)=0,所以g(x)是守函數(shù),

因為火。)+川+。)>2,則川+a)—1>—/(a)+1,所以<1+a)-1>—[/(a)—1],即g(l+a)>—g(a)=g(—a),因為〉=e，

一e0單調(diào)遞增，y=

I+x

InQ單調(diào)遞增，所以g(x)單調(diào)遞增，則

—\<a<1,

?—1<14-?<1,即一；<a<0.

、1+a>-a,

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)設(shè)段)=10即(l+x)+lo/(3—x)(a>0,且aWl),且-1)=2.

(1)求a的值及Ar)的定義域；

(2)求人處在區(qū)間[。，1上的最大值.

解:(1)—川)=2,AloM=2(?>0,—

，a=2.

11+x>0,

由[rX),得一1VXV3,

J函數(shù)/U)的定義域為(一1,3).

(2次"=log2(1+x)+log2(3—x)=log2((l4-A-)(3-A)]=log2(—(X—1)2+4],

???當(dāng)x￡[O,l]時，/x)是增函數(shù)：

當(dāng)jG,/U)是減函數(shù),

故函數(shù)兀0在[o,上的最大值是川)=log24=2.

18.(12分)已知函數(shù)火x)是定義在R上的偶函數(shù)，且1Ao)=0,當(dāng)Q0時，<x)=logj,尤

2

(1)求函數(shù),/(x)的解析式；

(2)解不等式式/—1)>一2.

解：(1)當(dāng)x<0時，一x>0,則?-x)=log](一勸.

2

因為函數(shù)人工)是偶函數(shù)，所以—X)=log!(―X),

2

log±x,x>0,

所以函數(shù)/(第)的解析式為/(%)=kv=0

Jog±(-x),x<0.

(2)因為/(4)=logi4=-2,J(x)是偶函數(shù)，

2

所以不等式/(x2—1)>-2轉(zhuǎn)化為1|)》(4).

又因為函數(shù)人外在(0,+8)上是減函數(shù)，

所以當(dāng)x2—1關(guān)0時，M-1|<4,解得一小《V小且x#±l,而當(dāng)/一1=0時，犬0)=0>-2成立，所以一書<E巾,

即不等式的解集為(一書，幣).

19.(12分)已知〃>0且滿足不等式2小|>2”工

⑴求不等式k>g“(3x+l)<log〃(7—5x)；

⑵若函數(shù)y=log”(2r—1)在區(qū)間[3,6]上有最小值為一2,求實數(shù)。的值.

解：(1)因為22。+|>2"",所以2a+l>5a—2,即3a<3,所以avl.又因為aX),所以(ka<l.

則不等式loga(3x+l)<logu(7—5^),

3x4-1>0,

等價為{7—51>0,7

于

.3x+l>7-5x,

3

不

所以(<若，即不等式10&(31+1)<lo&(7-5%)的解集為《，

⑵由⑴得Ovavl,

所以函數(shù)y=lo&(2x-1)在區(qū)間[3,6]上為減函數(shù)，

所以當(dāng)工=6時，y有最小值為一2,即log“l(fā)l=-2,

所以。2=5=]],解得。=*￥

20.(12分)已知函數(shù)AM)=ln二p

(1)求函數(shù)人的的定義域，并判斷函數(shù);(x)的奇偶性；

,十x+1m

⑵對于1引2,6],幾0=仄曰>1[1*_])(7—?

恒成立，求實數(shù)小的取值范圍.

JV+1

解：⑴由:---7>0,解得XV—1,或X>1,

X-I

，函數(shù)4.0的定義域為(-8,-1)U(1,4-00),

—x+1r—1(x+\}x+1

:1In=

當(dāng)"(-8,-1)U(1,+00)8t,/(-x)=ln_v_|=ln^rj-==~7^7

x+1

=In;Y是奇函數(shù).

⑵由于x￡[2,6]時，

Kx)=ln』>ln"—x)恒成工，

,?+1「〃

1)(7-X)>0,

VxG[2,6],??.Ovw<(x+1)(7—x)在xG[2,6]上恒成立.

令g(%)=(x+l)(7—?=一(X—3)2+16,xe[2,6],

由一元二次函數(shù)的性質(zhì)可知,x￡[2,3]時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x￡[3,6]時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，即x￡[2,6]時,

g(X)min=g⑹=7,：.0<m<7.

故實數(shù)w的取值皰圍為。7).

1-(IX

21.(12分)已分函數(shù)幾t)=log1〃_；，a為常數(shù).

(1)若〃=-2,求證兒0為奇函數(shù)：并指出應(yīng)?的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對于工可|,",不等式log[(2x+l)—〃介做一log2(Zr—1)恒成立，求實數(shù)，〃的取值范圍.

2x+1

解：(1)證明：當(dāng)。=—2時，氏r)=log[玄二p

貝X)的定義域為(一8,一；)U(；,+8).

當(dāng)xW1—8,一；)U(；,+8)時，

—2x+l2x+1

貢-*+/)=嗎r^ry+iogi目

r-2A-H

=1。電=log|1=0.

2y—2x—12

?M—x)+/(x)=O,??JU)是奇函數(shù).

y(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,一0和(今+8).

⑵由log1(2x+l)——log2(2x—l),

人〃+1⑴一工

令g(x)=1og：五二7一㈤,只需要g(X)min>%

由⑴知g(x)在自，|]上是增函數(shù),

3

-9

所以（）2

gA-min=,8-

9

則m的取值范,圍是m<—Q.

O

22.(12分)已知函數(shù)4x)=log4(4'+l)+質(zhì)優(yōu)WR)是偶函數(shù).

⑴求攵的值：

⑵設(shè)g(x)=log(s2，一封，若函數(shù)外)與g(x)的圖象有且只有一■個公共點，求實數(shù)。的取值范圍;

(3)若函數(shù)〃(工)=471'1+m"2"-1,xe[0,log,3]，是

否存在實數(shù)m使得/>(x)最小值為0,若存在，求出m的值；

若不存在,請說明理由.

解：（1）；函數(shù)/（x）=log?4*+1）+心跳€R）是偶函數(shù),

（1+4R

?**/（-x）=log4（4x+l）—^x=logj-JT-1—Ax

=log4（4v+1）—（/：4-lXr=log4（4x+1）+履恒成立，

（A+l）=4,則4=-g.

（2）g（x）=logja2，_，，，函數(shù)人v）與

g(x)的圖象有且只有一個公共點，即方程|x)=g(x)只有一個解