高中數(shù)學(xué)《排列組合的綜合運(yùn)用》考點(diǎn)講解與訓(xùn)練

《6.2.3排列組合的綜合運(yùn)用》考點(diǎn)講解

【思維導(dǎo)圖】

優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置

相鄰元素看作一整體與其他元素一起排列，注意捆綁元素的內(nèi)部排列

V先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排

不相鄰插空法尺列的空當(dāng)中

卜全部排列后除以有順序要求的排列

定序除法

定序排他法1有順序要求部分只有一種排法，只要把剩下部分排列即可

間接法\正面分類太多從反面入手

排直排法工分排問題直排處理

列

組r可以重復(fù)的排列問題實(shí)際已元素為研究對(duì)象，元素不受位置限制,

重排求惠法

\可以逐一安排各個(gè)元素

合

常

多排問題直排法、元素分為多排的排列問題，可以看成一排問題，再分段研究

用

方

解題思路先分組后分配，分組是組合問題，分配是排列問題

法

①完全均勻分組，分組后除以組數(shù)的階乘

分組方法②部分均勻分組，有m組元素個(gè)數(shù)相同，則分組后除以m!

分組分配③完全非均勻分組，只要分組即可

①相同元素的分配問題，常用“擋板法”

②不同元素的分配問題，分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組后分配

③有限制條件的分配問題，采用分類求解.

將n個(gè)相同的元素分成m份，每份至少一個(gè)元素，可以用塊隔板,

元素相同隔板法

插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為C二

查字典法應(yīng)從高位向低位查，依次求出其符合要求的個(gè)數(shù)，根據(jù)分

數(shù)字排序查字典法

\類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)

小集團(tuán)問題先整體后局部

【常見考點(diǎn)】

考法一全排列

［例1］某記者要去武漢4個(gè)學(xué)校采訪，則不同的采訪順序有（）

A.4種B.12種C.18種D.24種

【一隅三反】

1.2020年初，我國向相關(guān)國家派出了由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組.現(xiàn)有四個(gè)醫(yī)療小組和

4個(gè)需要援助的國家，每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國家，且4個(gè)醫(yī)療小組去的國家各不相同，

則不同的分配方法有（）

A.64種B.48種C.24種D.12種

2.將5本不同的數(shù)學(xué)用書放在同一層書架上，則不同的放法有（）

A.50B.60C.120D.90

3.3本不同的課外讀物分給3位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有（）

A.3種B.6種C.12利?D.5種

考法二相鄰問題

【例2】某班優(yōu)秀學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他們排成一排照相，則甲、乙二人相

鄰的排法種數(shù)為（）

A.24B.36C.48D.60

【一隅三反】

1.在某場新冠肺炎疫情視頻會(huì)議中，甲、乙、丙、丁、戊五位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲

必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則這五位專家的不同發(fā)言順序共有（）

A.8種B.12種C.20種D.24種

2.5個(gè)人排成一排照相，甲乙要相鄰，則有多少種排列的方法（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

3.6月，也稱畢業(yè)月，高三的同學(xué)們都要與相處了三年的同窗進(jìn)行合影留念.現(xiàn)有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有（）種排法.

A.24B.120C.240D.140

4.把座位號(hào)為1、2、3、4、5、6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人

至少一張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為（）

A.96B.240C.280D.480

考法三不相鄰問題

【例3】省實(shí)驗(yàn)中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計(jì)劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個(gè)

檢查項(xiàng)目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)校現(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但

是為了避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項(xiàng)目的教室不能相鄰，則共有（）種安排方式.

A.12B.24C.36D.48

【一隅三反】

1.3位老師和4名學(xué)生站成一排，要求任意兩位老師都不相鄰，則不同的排法種數(shù)為

（）

A.A；B.A：+A；C.A：禺D.耳

2.若5個(gè)人排成一列縱隊(duì)，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有（）

A.12種B.14種C.5種D.4種

3.五名學(xué)生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（）

A.B.￡6C.2反反D.反反

4.某平臺(tái)設(shè)有“閱讀文章”、“視聽學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目.在某時(shí)段時(shí)，更新了2篇文章和4

個(gè)視頻，一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備學(xué)習(xí)這2篇文章和其中2個(gè)視頻，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰

的學(xué)法有（）種.

A.24B.36C.72D.144

考法四分組分配

【例4】疫情期間，上海某醫(yī)院安排5名專家到3個(gè)不同的區(qū)級(jí)醫(yī)院支援，每名專家只去

一個(gè)區(qū)級(jí)醫(yī)院，每個(gè)區(qū)級(jí)醫(yī)院至少安排一名專家，則不同的安排方法共有（）

A.60種B.90種C.150種D.240種

【一隅三反】

1.有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)（G77只會(huì)在長沙、廣州、深圳停），

分別在每個(gè)停的站點(diǎn)至少下一個(gè)人，則不同的下車方案有（）

A.24種B.36種C.81種D.256種

2.特崗教師是中央實(shí)施的一項(xiàng)對(duì)中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政策.某教育行政部門為

本地兩所農(nóng)村小學(xué)招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數(shù)學(xué)教師4名.按每所學(xué)校1

名體育教師，2名數(shù)學(xué)教師進(jìn)行分配，則不同的分配方案有（）

A.24B.14C.12D.8

3.江西省旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會(huì)于2020年6月11日?13日在贛州舉行，某旅游公司為推出

新的旅游項(xiàng)目，特派出五名工作人員前往贛州三個(gè)景點(diǎn)進(jìn)行團(tuán)隊(duì)游的可行性調(diào)研.若每名工

作人員只去一個(gè)景點(diǎn)且每個(gè)景點(diǎn)至少有一名工作人員前往，則不同的人員分配方案種數(shù)為

（）

A.60B.90C.150D.240

4.達(dá)州市決定派出6個(gè)醫(yī)療小組馳援武漢市甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)分配2個(gè)醫(yī)療

小組，其中A醫(yī)療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數(shù)為（）

A.30B.60C.90D.180

5.據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級(jí)從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共

五級(jí)，若給獲得巨大貢獻(xiàn)的7人進(jìn)行封爵，要求每個(gè)等級(jí)至少有一人，至多有兩人，則伯

爵恰有兩人的概率為（)

83

C.—D.-

255

考向五幾何問題

【例5】如圖，NMON的邊上有四點(diǎn)4、&、A3、4，ON上有三點(diǎn)用、為、

員，則以。、A、4、A3、用、層、員中三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為

C.54D.56

【一隅三反】

1.以長方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐共有（）個(gè)

A.70B.64C.60D.58

2.在圓上有6個(gè)不同的點(diǎn)，將這6個(gè)點(diǎn)兩兩連接成弦，這些弦將圓分割成的區(qū)域數(shù)最多為

（）

A.32B.15C.16D.31

3.平面內(nèi)有8個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)為（）

A.21B.28C.42D.56

4.以長方體A6CO-A4G2的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出2個(gè)三角

形，則這2個(gè)三角形不共面的情兄有（）種

n

A.1480B.1468C.1516D.1492

考向六方程不等式問題

【例6】方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)

【一隅三反】

1.三元一次方程x+y+z=13的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)有.

2.方程為+%2+*3+%=12的正整數(shù)解共有（）組

A.165B.120C.38D.35

考向七數(shù)字問題

【例7】從1,2,3,4,5,6中任取三個(gè)不同的數(shù)相加，則不同的結(jié)果共有（）

A.6種B.9種C.1（）種D.15種

【一隅三反】

1.在1,2,3,4,5,6,7這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出五個(gè)不同的數(shù)，則數(shù)字5是取出的五個(gè)

不同數(shù)的中位數(shù)的所有取法種數(shù)為（）

A.6B.12C.18D.24

2.從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)宇，與0,2,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中偶數(shù)

共有（）

A.312個(gè)B.1560個(gè)C.2160個(gè)D.3120個(gè)

3.從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)中取三個(gè)，所取三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)且能被3整除，則不

同的選取方法有（）

A.55種B.61種C.64種D.70種

答案解析

考法一全排列

［例1］某記者要去武漢4個(gè)學(xué)校采訪，則不同的采訪順序有（）

A.4種B.12種C.18種D.24種

【答案】D

【解析】由題意可得不同的采訪順序有8=24種，故選：D.

【一隅三反】

1.2020年初，我國向相關(guān)國家派出了由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組.現(xiàn)有四個(gè)醫(yī)療小組和

4個(gè)需要援助的國家，每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國家，且4個(gè)醫(yī)療小組去的國家各不相同，

則不同的分配方法有（）

A.64種B.48種C.24種D.12種

【答案】C

【解析】4個(gè)醫(yī)療小組全排列后按順序到四個(gè)國家即可，共有用=24種方法.故選：C.

2.將5本不同的數(shù)學(xué)用書放在同一層書架上，則不同的放法有（）

A.50B.60C.120D.90

【答案】C

【解析】由題意，將5本不同的數(shù)學(xué)用書放在同一層書架上，即將5本不同數(shù)學(xué)書全排

列，故有45=120種，故選：C.

3.3本不同的課外讀物分給3位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有（）

A.3種B.6種C.12種D.5種

【答案】B

【解析】3本不同的課外讀物分給3位同學(xué)，每人一本，全排列：A；=3x2xl=6.故

選：B

考法二相鄰問題

【例2】某班優(yōu)秀學(xué)習(xí)小組有甲、乙、丙、丁、戊共5人，他們排成一排照相，則甲、乙二人相

鄰的排法種數(shù)為（）

A.24B.36C.48D.60

【答案】C

【解析】先安排甲、乙相鄰，有否種排法，再把甲、乙看作一個(gè)元素，與其余三個(gè)人全排

列，

故有排法種數(shù)為禺x4=48.故選：C

【一隅三反】

1.在某場新冠肺炎疫情視頻會(huì)議中，甲、乙、丙、丁、戊五位疫情防控專家輪流發(fā)言，其中甲

必須排在前兩位，丙、丁必須排在一起，則這五位專家的不同發(fā)言順序共有（）

A.8種B.12種C.20種D.24種

【答案】C

【解析】當(dāng)甲排在第一位時(shí)，共有用用=12種發(fā)言順序，當(dāng)甲排在第二位時(shí)，共有

或度度=8種發(fā)言順序，所以一共有12+8=20種不同的發(fā)言順序.故選：C.

2.5個(gè)人排成一排照相，甲乙要相鄰，則有多少種排列的方法（）

A.24種B.36種C.48種D.72種

【答案】C

【解析】5個(gè)人排成一排照相，甲乙要相鄰，則有用8=48種排列的方法.故選：C.

3.6月，也稱畢業(yè)月，高三的同學(xué)們都要與相處了三年的同窗進(jìn)行合影留念.現(xiàn)有4名男

生、2名女生照相合影，若女生必須相鄰，則有（）種排法.

A.24B.120C.240D.140

【答案】C

【解析】將2名女生捆綁在一起，當(dāng)作1個(gè)元素，與另4名男生一起作全排列，有

用=120種排法，而2個(gè)女生可以交換位置，所以共有&=120x2=240排法，故

選：C.

4.把座位號(hào)為1、2、3、4、5、6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人

至少一張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為（）

A.96B.240C.280D.480

【答案】B

【解析】因?yàn)槊咳酥辽僖粡?，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，又分給甲、乙、丙、丁四

個(gè)人，

則在座位號(hào)1、2、3、4、5、6的五個(gè)空位插3個(gè)板子，有種，

然后再分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，有A：=24種，所以不同的分法種數(shù)為10x24=240,

故選：B

考法三不相鄰問題

【例3】省實(shí)驗(yàn)中學(xué)為預(yù)防秋季流感爆發(fā)，計(jì)劃安排學(xué)生在校內(nèi)進(jìn)行常規(guī)體檢，共有3個(gè)

檢查項(xiàng)目，需要安排在3間空教室進(jìn)行檢查，學(xué)?，F(xiàn)有一排6間的空教室供選擇使用，但

是為了避免學(xué)生擁擠，要求作為檢查項(xiàng)目的教室不能相鄰，則共有（）種安排方式.

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

【解析】6間空教室，有3個(gè)空教室不使用，故可把作為檢查項(xiàng)目的教室插入3個(gè)不使用

的教室之間，故所有不同的安排方式的總數(shù)為&=24.故選：B.

【一隅三反】

1.3位老師和4名學(xué)生站成一排，要求任意兩位老師都不相鄰，則不同的排法種數(shù)為

（）

A.A；B.+用

C.D.

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行：①將4名學(xué)生站成一排，有4：種排法；

②4人排好后，有5個(gè)空位可選，在其中任選3個(gè)，安排三名教師，有6種情況；則有

國用種排法；

故選：D.

2.若5個(gè)人排成一列縱隊(duì)，則其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有（）

A.12種B.14種C.5種D.4種

【答案】A

【解析】分兩步完成：第一步，5個(gè)人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有8種排法；第

二步，從3個(gè)可插空檔給甲、乙、丙3人排隊(duì)有種插法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一

共有用用種排法.故答案選A

3.五名學(xué)生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（）

A.2耳6B.C.2尺《D.

【答案】B

【解析】由題意五名老師不能相鄰用插空法，排法數(shù)為￡耳.故選：B.

4.某平臺(tái)設(shè)有“閱讀文章”、“視聽學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目.在某時(shí)段時(shí)，更新了2篇文章和4

個(gè)視頻，一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備學(xué)習(xí)這2篇文章和其中2個(gè)視頻，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰

的學(xué)法有（）種.

A.24B.36C.72D.144

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①，在4個(gè)視頻中任選2個(gè)進(jìn)行學(xué)習(xí)，有C：=6種情況,

②，將選出的2個(gè)視頻與2篇文章依次進(jìn)行學(xué)習(xí)，共有8=24種情況，其中2篇文章學(xué)

習(xí)順序相鄰的情況有用6=12種情況，故2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的情況有12種,

則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有6x12=72種；故選：C

考法四分組分配

【例4】疫情期間，上海某醫(yī)院安排5名專家到3個(gè)不同的區(qū)級(jí)醫(yī)院支援，每名專家只去

一個(gè)區(qū)級(jí)醫(yī)院，每個(gè)區(qū)級(jí)醫(yī)院至少安排一名專家，則不同的安排方法共有（）

A.60種B.90種C.150種D.240種

【答案】C

【解析】5名專家到3個(gè)不同的區(qū)級(jí)醫(yī)院，分為1,2,2和1,1,3兩種情況；

c\c\c]

分為1,2,2時(shí)安排有;分為1,1,3時(shí)安排有

6丁

所以一共有W+^3=150故選:C

【一隅三反】

1.有四位朋友于七夕那天乘坐高鐵G77從武漢出發(fā)（G77只會(huì)在長沙、廣州、深圳停）,

分別在每個(gè)停的站點(diǎn)至少下一個(gè)人，則不同的下車方案有（）

A.24種B.36種C.81種D.256種

【答案】B

【解析】依據(jù)題意每個(gè)停的站點(diǎn)至少下一個(gè)人，先按2+1+1分成三組，有C：種分法，再分

配到三個(gè)站點(diǎn)，有用種分法，所以一共有C：A；=36種不同的下車方案.故選：B.

2.特崗教師是中央實(shí)施的一項(xiàng)對(duì)中西部地區(qū)農(nóng)村義務(wù)教育的特殊政策.某教育行政部門為

本地兩所農(nóng)村小學(xué)招聘了6名特崗教師，其中體育教師2名，數(shù)學(xué)教師4名.按每所學(xué)校1

名體育教師，2名數(shù)學(xué)教師進(jìn)行分配，則不同的分配方案有（）

A.24B.14C.12D.8

【答案】C

c2c2

【解析】先把4名數(shù)學(xué)教師平分為2組，有=3種方法,

A,

再把2名體育教師分別放入這兩組，有g(shù)=2種方法,

最后把這兩組教師分配到兩所農(nóng)村小學(xué)，共有3x2x4；=12種方法.故選：C.

3.江西省旅游產(chǎn)業(yè)發(fā)展大會(huì)于2020年6月11日?13日在贛州舉行，某旅游公司為推出

新的旅游項(xiàng)目，特派出五名工作人員前往贛州三個(gè)景點(diǎn)進(jìn)行團(tuán)隊(duì)游的可行性調(diào)研.若每名工

作人員只去一個(gè)景點(diǎn)且每個(gè)景點(diǎn)至少有一名工作人員前往，則不同的人員分配方案種數(shù)為

()

A.60B.90C.150D.240

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將五名工作人員分成3組，

若分為3、1、1的三組，有C；=1O種分法，

c；c；c：

若分為2、2、1的三組,種分法,

則有10+15=25種分組分法；

②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)三個(gè)景點(diǎn)，有闋=6種情況,

則有25x6=150種分配方法；故選：C.

4.達(dá)州市決定派出6個(gè)醫(yī)療小組馳援武漢市甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)，每個(gè)地區(qū)分配2個(gè)醫(yī)療

小組，其中A醫(yī)療小組必須去甲地，則不同的安排方法種數(shù)為()

A.30B.60C.90D.180

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行:

①將6個(gè)醫(yī)療小組平均分成3組，每組2支醫(yī)療隊(duì)，有=15種分組方法;

②將甲所在的小組安排到甲地，其他兩個(gè)小組安排到乙、丙兩地，有&=2種情況,

則有15x2=30種不同的安排方法.

故選：A.

5.據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級(jí)從低到高分為：男、子、伯、侯、公，共

五級(jí)，若給獲得巨大貢獻(xiàn)的7人進(jìn)行封爵，要求每個(gè)等級(jí)至少有一人，至多有兩人，則伯

爵恰有兩人的概率為()

3283

A.—B.—C.—D.一

105255

【答案】B

【解析】7人進(jìn)行封爵，每個(gè)等級(jí)至少一人，至多兩人，則共有

5y55.發(fā)二5yA種分法.

其中伯爵恰有兩人的分法有A：種分法,

?母恰有兩人的概率

考向五幾何問題

【例5】如圖，NMON的邊上有四點(diǎn)A、4、A3、A&,ON上有三點(diǎn)四、斗、

與，則以。、4、4、A3、用、層、層中三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)為

()

B3N

A.30B.42

C.54D.56

【答案】B

【解析】利用間接法，先在8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，再減去三點(diǎn)共線的情況,

因此，符合條件的三角形的個(gè)數(shù)為-容-仁=42.故選：B.

【一隅三反】

1.以長方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐共有（）個(gè)

A.70B.64C.60D.58

【答案】D

8x7x6x5

【解析】三棱錐有4個(gè)頂點(diǎn)，從長方體8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)共有C；=yU=70

種取法，排除其中四點(diǎn)共面的有：長方體的面6個(gè)，對(duì)角面6個(gè)，可得不同的三棱錐有

70—12=58個(gè).故選：D.

2.在圓上有6個(gè)不同的點(diǎn)，將這6個(gè)點(diǎn)兩兩連接成弦，這些弦將圓分割成的區(qū)域數(shù)最多為

（）

A.32B.15C.16D.31

【答案】D

【解析】兩個(gè)點(diǎn)可以連一條弦，將圓分為兩部分，加一個(gè)點(diǎn)，多兩條弦，將圓多分出來兩

部分，所以每加一條弦可以按這種方式多出一個(gè)區(qū)域，再加一個(gè)點(diǎn)，變成了一對(duì)相交弦和

四條其他的弦，共分為8個(gè)區(qū)域，所以除去前一種方式增加的區(qū)域數(shù)，一對(duì)相交弦還會(huì)多

產(chǎn)生一個(gè)區(qū)域，故當(dāng)點(diǎn)數(shù)多于4個(gè)時(shí)，最多可分得總的區(qū)域數(shù)為1+C；+C：,此題〃=6,

所以最多可分為31個(gè)區(qū)域.故選：D.

3.平面內(nèi)有8個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)為（）

A.21B.28C.42D.56

【答案】B

【解析】線段由2個(gè)端點(diǎn)組成，因此只需要從8個(gè)點(diǎn)中選取2個(gè)即可構(gòu)成一條線段，

所以線段條數(shù)為。；=28,故選：B.

4.以長方體A5CO-44G。的任意三個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出2個(gè)三角

形，則這2個(gè)三角形不共面的情兄有（）種

A.1480B.1468C.1516D.1492

【答案】B

【解析】因?yàn)槠叫辛骟wABC。-A4G。的8個(gè)頂點(diǎn)任意三個(gè)均不共線,

故從8個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)均可構(gòu)成一個(gè)三角形共有C；=56個(gè)三角形，

從中任選兩個(gè)，共有C；6=154()種情況，

因?yàn)槠叫辛骟w有六個(gè)面,六個(gè)對(duì)角面，

從8個(gè)頂點(diǎn)中4點(diǎn)共面共有12種情況，

每個(gè)面的四個(gè)頂點(diǎn)共確定6個(gè)不同的三角形，

故任取出2個(gè)三角形，則這2個(gè)三角形不共面共有1540-12X6=1468種，故選：B.

考向六方程不等式問題

【例6】方程x+y+z=10的正整數(shù)解的個(gè)數(shù).

【答案】36

【解析】問題中的x、y、z看作是三個(gè)盒子，問題則轉(zhuǎn)化為把10個(gè)球放在三個(gè)不同的盒子

里，有多少種方法.

將1()個(gè)球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個(gè)球.

隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的9個(gè)空內(nèi).，共有C；=36種.故答案

為:36

【一隅三反】

1.三元一次方程x+y+z=13的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)有____.

【答案】105

【解析】由x,y,zeN,則x+y+z=13,x,y,zeN

設(shè)a=x+l,b=y+l,c=z+1,則a,0,ceN+且a+Z?+c=16,

則三元一次方程x+y+z=13的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)等價(jià)于a+b+c=16,a*,ceN+的解的

個(gè)數(shù),等價(jià)于將16個(gè)相同的小球分成3組，每組至少1個(gè)小球的不同分法，

又將16個(gè)相同的小球分成3組，每組至少1個(gè)的不同分法，只需在16個(gè)球之間的15個(gè)空

[5x]4

中選2個(gè)空用隔板隔開即可，則共有=二一=105種分法，即三元一次方程

x+y+z=13的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)有105個(gè)，

故答案為：105.

2.方程為+Z+鼻+%=12的正整數(shù)解共有（）組

A.165B.120C.38D.35

【答案】A

【解析】如圖，將12個(gè)完全相同的球排成一列，

X|X2x3xA

在它們之間形成的11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球

的數(shù)目依次是再、々、%3、%，顯然滿足％+X2+X3+X4=12,故（4/，入3，%4）是方

程玉+々+七+“4=12的一組解，

反之，方程玉+9+占+/=12的每一組解都對(duì)應(yīng)著一種在12個(gè)球中插入隔板的方式，

11x10x9

故方程西+々+$+%=12的正整數(shù)解的數(shù)目為：C,3,=———=165,故選：A.

3x2x1

考向七數(shù)字問題

【例7】從1,2,3,4,5,6中任取三個(gè)不同的數(shù)相加，則不同的結(jié)果共有（）

A.6種B.9種C.10種D.15種

【答案】C

【解析】在這六個(gè)數(shù)字中任取三個(gè)求和，則和的最小值為1+2+3=6,和的最大值為

4+5+6=15,

所以當(dāng)從1,2,3,4,5,6中任取三個(gè)數(shù)相加時(shí)，則不同結(jié)果有10種.故選：C.

【一隅三反】

1.在1,2,3,4,5,6,7這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出五個(gè)不同的數(shù)，則數(shù)字5是取出的五個(gè)

不同數(shù)的中位數(shù)的所有取法種數(shù)為（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，數(shù)字5是取出的五個(gè)不同數(shù)的中位數(shù)，則取出的數(shù)字中必須有5、6、

7,

在1,2,3,4中有2個(gè)數(shù)字，則不同的取法有C：=6種，故選：A.

2.從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)宇，與0,2,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中偶數(shù)

共有（）

A.312個(gè)B.1560個(gè)C.2160個(gè)D.3120個(gè)

【答案】D

【解析】從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)宇，與0,2,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位偶數(shù)，

可分為以下兩種情況：

①、。放在末位，從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字，再與2,4全排列即可，共有

.8=1200個(gè)；

②、0不放在末位，從1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)宇，再從2,4中選擇一個(gè)作為末位

數(shù)，從剩下的非首位中選擇一個(gè)放置0,再將余下的數(shù)字全排列即可，共有

C；C；C；.A：=192O個(gè)；

則滿足要求的偶數(shù)共有1200+1920=3120個(gè).

故選:D.

3.從1,2,3,4,5,6,7,8,9這9個(gè)數(shù)中取三個(gè)，所取三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)且能被3整除，則不

同的選取方法有（）

A.55種B.61種C.64種D.70種

【答案】A

【解析】對(duì)三個(gè)數(shù)中有沒有6進(jìn)行分類：

①含有6時(shí)，只需從剩下的8個(gè)數(shù)中任意選兩個(gè)即可，即C；=28種；

②不含6時(shí)，則需要3與9.

當(dāng)3與9同時(shí)存在時(shí)，需要從剩余的3個(gè)偶數(shù)中選一個(gè)，即C；=3種；

當(dāng)3與9有1個(gè)存在時(shí)，偶數(shù)可以選1個(gè)或2個(gè)，即C；（C；C+C；）=2"W.

綜上所述，不同的選取方法有55種，

故選：A.

《6.2.3排列組合的綜合運(yùn)用》考點(diǎn)訓(xùn)練

【題組一全排列】

1.一個(gè)市禁毒宣傳講座要到4個(gè)學(xué)校開講，一個(gè)學(xué)校講一次，不同的次序種數(shù)為（）

A.4B.44C.24D.48

2.3名學(xué)生報(bào)名參加籃球、足球、排球、計(jì)算機(jī)課外興趣小組，每人選報(bào)一門，則不同

的報(bào)名方案有種.

3.若把英文單詞“hello”的字母的順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有種.

4.將9個(gè)相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且每個(gè)盒子中球的個(gè)

數(shù)互不相同，則不同的分配方法共有種.

5.學(xué)校要安排一場文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序，除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確

定外，4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置，3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3,6,9的

位置，2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4,8的位置，則不同的排法有—一種.（用數(shù)字作答）

6.我國決定派遣具有豐富抗擊疫情經(jīng)驗(yàn)的四支不同的醫(yī)療隊(duì)A、3、C、D,前往四個(gè)

國家E、F、G、〃進(jìn)行抗疫技術(shù)指導(dǎo)，每支醫(yī)療隊(duì)到一個(gè)國家，那么總共有—

（請用數(shù)字作答）種的不同的派遣方法.如果已知A醫(yī)療隊(duì)被派遣到，國家，那么此時(shí)8

醫(yī)療隊(duì)被派遣到E國的概率是

【題組二相鄰問題】

1.小濤、小江、小玉與本校的另外2名同學(xué)一同參加《中國詩詞大會(huì)》的決賽，5人坐成

一排，若小濤與小江、小玉都相鄰，則不同坐法的總數(shù)為（）

A.6B.12C.18D.24

2.將A,B,C,D,E,F這6個(gè)字母隨機(jī)排成一排組成一個(gè)信息碼，則所得信息碼恰好滿

足A,B,C三個(gè)字母連在一起，且B在A與C之間的概率為（）

3.5個(gè)男生，2個(gè)女生排成一排，若女生不能排在兩端，但又必須相鄰，則不同的排法

種數(shù)為

A.480B.720C.960D.1440

4.各地醫(yī)護(hù)人員分別乘坐6架我國自主生產(chǎn)的“運(yùn)20”大型運(yùn)輸機(jī)，編號(hào)為1,2,3,

4,5,6號(hào)，要求到達(dá)武漢天河飛機(jī)場時(shí)，每五分鐘降落一架，其中1號(hào)與6號(hào)相鄰降

落，則不同的安排方法有（）

A.60B.120C.144D.240

5.3名男生、3名女生排成一排，男生必須相鄰，女生也必須相鄰的排法種數(shù)為（）

A.2B.9C.72D.36

6.三位女歌手和她們各自的指導(dǎo)老師合影，要求每位歌手與她們的老師站一起，這六人排

成一排，則不同的排法數(shù)為（）

A.24B.48C.60D.96

【題組三不相鄰問題】

1.六個(gè)人排隊(duì)，甲乙不能排一起，丙必須排在前兩位的概率為（）

71131

A.—B.-C.—D.一

606604

2.將編號(hào)為1、2、3、4、5的5個(gè)小球全部放入A、B、C三個(gè)盒子內(nèi)，若每個(gè)盒子

不空，且放在同一個(gè)盒子內(nèi)的小球編號(hào)不相連，則不同的方法總數(shù)有（）

A.42B.36C.48D.60

3.某節(jié)目組決定把《將進(jìn)酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩

首詩詞排在后六場做節(jié)目開場詩詞，并要求《將進(jìn)酒》與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排

在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰，且均不排在最后，則后

六場開場詩詞的排法有（）

A.72種B.48種C.36種D.24種

4.5個(gè)人排成一排，其中甲與乙不相鄰，而丙與丁必須相鄰，則不同的排法種數(shù)為

)

A.72B.48C.24D.60

5.某活動(dòng)中需要甲、乙、丙、丁4名同學(xué)排成一排.若甲、乙兩名同學(xué)不相鄰，則不同的

排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

6.2位女生3位男生排成一排，則2位女生不相鄰的排法共有種.

7.將A，B,C,D,E五個(gè)字母排成一排，若A與5相鄰，且A與。不相鄰，則不

同的排法共有一種.

8.某班上午有五節(jié)課，分別安排語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)各一節(jié)課.要求語文與化

學(xué)相鄰，數(shù)學(xué)與物理不相鄰，則不同排課法的種數(shù)是

【題組四分組分配】

1.將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3

本，則有一種不同的分法.

2.將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人至少1本的不同分法共有一

種.（用數(shù)字作答）

3.五一勞動(dòng)節(jié)期間，5名游客到三個(gè)不同景點(diǎn)游覽，每個(gè)景點(diǎn)至少有一人，至多兩人，則

不同的游覽方法共有種.（用數(shù)字填寫答案）

4.把5張不同的電影票分給4個(gè)人，每人至少一張，則不同的分法種數(shù)為.

5.從6個(gè)人中選4個(gè)人值班，第一天1個(gè)人，第二天1個(gè)人，第三天2個(gè)人，共有多少種

排法.

6.某學(xué)校安排5名高三教師去3個(gè)學(xué)校進(jìn)行交流學(xué)習(xí)，且每位教師只去一個(gè)學(xué)校，要求每

個(gè)學(xué)校至少有一名教師進(jìn)行交流學(xué)習(xí)，則不同的安排方式共有種.

7.某市決定派5名領(lǐng)導(dǎo)和3名醫(yī)護(hù)人員到三個(gè)不同的扶貧村進(jìn)行調(diào)研，要求每個(gè)扶貧村至

少派領(lǐng)導(dǎo)和醫(yī)護(hù)人員各1名，則所有不同的分派方案種數(shù)為.（用數(shù)字作答）.

【題組五幾何問題】

1.直線X=〃2,>=》將圓面/+3；2<4分成若干塊，現(xiàn)有5種顏色給這若干塊涂色，

且任意兩塊不同色，則所有可能的涂色種數(shù)是（）

A.20B.60C.120D.240

2.V+y244表示的平面區(qū)域內(nèi)，以橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以構(gòu)成的

三角形個(gè)數(shù)為（）

A.286B.281C.256D.176

3.以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體的個(gè)數(shù)為（）

A.70B.64C.58D.52

【題組六方程不等式問題】

1.不定方程x+〉+z=12的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）

A.55B.60C.91D.540

2.若方程玉+工2+七+/=8,其中々=2,則方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為

A.10B.15C.20D.30

【題組七數(shù)字問題】

1.已知集合4=5，b,c,d],從集合A中任取2個(gè)元素組成集合3,則集合3中含有

元素。的概率為（）

111

A.—B.—C.—D.1

632

2.如果一個(gè)四位數(shù)的各位數(shù)字互不相同，且各位數(shù)字之和等于10,則稱此四位數(shù)為“完

美四位數(shù)（如1036）,則由數(shù)字0,1,2,3,4,5,6,7構(gòu)成的“完美四位數(shù)”中，奇數(shù)

的個(gè)數(shù)為（）

A.12B.44C.58D.76

3.從數(shù)字0,1,2,3,4,5,6中任取3個(gè)，這3個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)時(shí)的不同取法共有

種（用數(shù)字作答）.

4.已知=則方程二+義-=1表示焦點(diǎn)在x軸上的

mn

橢圓的概率是.

5.有寫好數(shù)字2,2,3,3,5,5,7,7的8張卡片，任取4張，則可以組成不同的四位

數(shù)的個(gè)數(shù)為.

6.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為

答案解析

【題組一全排列】

1.一個(gè)市禁毒宣傳講座要到4個(gè)學(xué)校開講，一個(gè)學(xué)校講一次，不同的次序種數(shù)為()

A.4B.44C.24D.48

【答案】C

【解析】一個(gè)市禁毒宣傳講座要到4個(gè)學(xué)校開講，一個(gè)學(xué)校講一次，不同的次序種數(shù)為

A：=4x3x2xl=24.

故選：C

2.3名學(xué)生報(bào)名參加籃球、足球、排球、計(jì)算機(jī)課外興趣小組，每人選報(bào)一門，則不同

的報(bào)名方案有種.

【答案】64

【解析】由題意參加籃球、足球、排球、計(jì)算機(jī)課外興趣小組，每個(gè)學(xué)生有4種選擇，則

3名同學(xué)共有43=64種報(bào)名方案.故答案為：64.

3.若把英文單詞“hello”的字母的順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有種.

【答案】59

【解析】由題意知本題是一個(gè)排列組合及簡單的計(jì)數(shù)問題

???五個(gè)字母進(jìn)行全排列共有耳=120種結(jié)果，

字母中包含2個(gè)/,

五個(gè)字母進(jìn)行全排列的結(jié)果要除以2,共有60種結(jié)果，

在這60種結(jié)果里有一個(gè)是正確的，

???可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是60-1=59,

故答案為：59.

4.將9個(gè)相同的球放到3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且每個(gè)盒子中球的個(gè)

數(shù)互不相同，則不同的分配方法共有種.

【答案】18

【解析】將9個(gè)相同的球分成個(gè)數(shù)不同的3份，有(1,2,6),(1,3,5),(2,3,4)三種情

況，再將這3份個(gè)數(shù)不同的球放到3個(gè)不同的盒子中，有聞=6種情況，所以不同的分配

方法共有3x6=18種.

故答案為：18

5.學(xué)校要安排一場文藝晚會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序，除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確

定外，4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置，3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3,6,9的

位置，2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4,8的位置，則不同的排法有種.（用數(shù)字作答）

【答案】288

【解析】4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置，有A：=24種排法；3個(gè)舞蹈節(jié)目

要求排在第3,6,9的位置，有用=6種排法；2個(gè)曲藝節(jié)目要求排在第4,8的位置，有

隹=2種排法.故共有24X6X2=288種排法.故答案為：288.

6.我國決定派遣具有豐富抗擊疫情經(jīng)驗(yàn)的四支不同的醫(yī)療隊(duì)A、B、C、D,前往四個(gè)

國家E、F、G、H進(jìn)行抗疫技術(shù)指導(dǎo)，每支醫(yī)療隊(duì)到一個(gè)國家，那么總共有

（請用數(shù)字作答）種的不同的派遣方法.如果已知A醫(yī)療隊(duì)被派遣到“國家，那么此時(shí)3

醫(yī)療隊(duì)被派遣到E國的概率是_____.

【答案】241

【解析】

由題意可知，每支醫(yī)療隊(duì)到一個(gè)國家的派遣方法數(shù)為=24,

由于A醫(yī)療隊(duì)被派遣到H國家，則8醫(yī)療隊(duì)可派遣到其它3個(gè)國家，因此，8醫(yī)療隊(duì)被

派遣到E國的概率是二.故答案為：24；

33

【題組二相鄰問題】

1.小濤、小江、小玉與本校的另外2名同學(xué)一同參加《中國詩詞大會(huì)》的決賽，5人坐成

一排，若小濤與小江、小玉都相鄰，則不同坐法的總數(shù)為（）

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】解：將小濤與小江、小玉捆綁在一起，與其他兩個(gè)人全排列，其中小濤位于小

江、小玉之間，按照分步乘法計(jì)算原理可得&?&=12故選：B

2.將A,B,C,D,E,F這6個(gè)字母隨機(jī)排成一排組成一個(gè)信息碼，則所得信息碼恰好滿

足A,B,C三個(gè)字母連在一起，且B在A與C之間的