2025高考備考數(shù)學(xué)知識點第2講　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

第2講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)測借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解4個基本事實和定理.平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用2020新高考卷ⅠT16；2020全國卷ⅡT16；2020全國卷ⅢT19該講是立體幾何的基礎(chǔ)，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，考查平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用（如作截面），線線位置關(guān)系的判定等，難度中等.在2025年高考備考中要側(cè)重對基本性質(zhì)的理解和應(yīng)用.空間直線、平面間的位置關(guān)系2023上海春季T15；2021新高考卷ⅡT10；2019全國卷ⅢT8學(xué)生用書P1421.平面的基本性質(zhì)（1）三個基本事實基本事實1過①不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).基本事實3如果兩個不重合的平面②有一個公共點，那么它們有且只有③一條過該點的公共直線.（2）三個推論利用基本事實1和基本事實2，結(jié)合“兩點確定一條直線”可得到以下推論.推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.推論2經(jīng)過兩條④相交直線，有且只有一個平面.推論3經(jīng)過兩條⑤平行直線，有且只有一個平面.2.空間中直線間的位置關(guān)系共面直線（1）過平面外一點A和平面內(nèi)一點B的直線，與平面內(nèi)不過點B的直線是異面直線；（2）異面直線既不平行，也不相交；（3）異面直線不具有傳遞性，即若直線a與b是異面直線，b與c是異面直線，則a與c不一定是異面直線.3.空間中直線、平面間的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α＝A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)a?α⑥無數(shù)個平面與平面平行α∥β⑦0個相交α∩β＝l無數(shù)個說明分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面.1.如圖，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過（D）A.點A B.點BC.點C但不過點M D.點C和點M2.[多選]以下說法正確的是（CD）A.若一條直線上有兩個點到一個平面距離相等，則這條直線與該平面平行B.若一個平面上有三個點到另一個平面距離相等，則這兩個平面平行C.若三條直線a，b，c兩兩平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面D.不共面的四點中，任意三點都不共線解析對于A，直線也可能在平面內(nèi)或與平面相交；對于B，兩平面也可能相交；易知C，D正確.3.[多選]如圖是一個正方體的展開圖，則在這個正方體中，下列命題正確的是（CD）A.AF與CN平行 B.BM與AN是異面直線C.AF與BM是異面直線 D.BN與DE是異面直線解析把正方體的平面展開圖還原，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AF與CN是異面直線，故A錯誤；BM與AN平行，故B錯誤；BM?平面BCMF，F(xiàn)∈平面BCMF，A?平面BCMF，F(xiàn)?BM，故AF與BM是異面直線，故C正確；DE?平面ADNE，N∈平面ADNE，B?平面ADNE，N?DE，故BN與DE是異面直線，故D正確.學(xué)生用書P143命題點1平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用例1已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：（1）D，B，F(xiàn)，E四點共面.（2）若A1C交平面DBFE于點R，則P，Q，R三點共線.（3）DE，BF，CC1三線交于一點.解析（1）如圖所示，連接B1D1.由題意知EF是△D1B1C1的中位線，所以EF∥B1D1.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面.（2）記A1，C，C1三點確定的平面為平面α，平面BDEF為平面β.因為Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α與β的公共點.同理，P是α與β的公共點，所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P，Q，R三點共線.（3）因為EF∥BD且EF＜BD，所以DE與BF相交，設(shè)交點為M，則由M∈DE，DE?平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三線交于一點.方法技巧1.證明點共線問題的常用方法基本事實法先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再根據(jù)基本事實3證明這些點都在交線上.納入直線法選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上.2.證明線共點問題的常用方法先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點.3.證明點、直線共面問題的常用方法納入平面法先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).輔助平面法先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合.訓(xùn)練1如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱CC1，AA1的中點.（1）畫出平面BED1F與平面ABCD的交線，并說明理由.（2）設(shè)H為直線B1D與平面BED1F的交點，求證：B，H，D1三點共線.解析（1）如圖1所示，直線PB為平面BED1F與平面ABCD的交線，理由如下：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為DA?平面AA1D1D，D1F?平面AA1D1D，且DA與D1F不平行， 圖1所以在平面AA1D1D內(nèi)分別延長D1F，DA，則D1F與DA必相交于一點，不妨設(shè)為點P，所以P∈AD，P∈D1F.因為DA?平面ABCD，D1F?平面BED1F，所以P∈平面ABCD，P∈平面BED1F，即P為平面ABCD和平面BED1F的公共點.連接PB，又B為平面ABCD和平面BED1F的公共點，所以直線PB為平面BED1F與平面ABCD的交線.（2）如圖2所示，連接BD1，BD，B1D1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形.因為H為直線B1D與平面BED1F的交點，所以H∈B1D， 圖2又B1D?平面BB1D1D，所以H∈平面BB1D1D，又H∈平面BED1F，平面BED1F∩平面BB1D1D＝BD1，所以H∈BD1，所以B，H，D1三點共線.命題點2空間直線、平面間的位置關(guān)系例2（1）[2023上海春季高考]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是A1C1上的動點，則下列直線中，始終與直線BP異面的是 （B）A.DD1 B.AC C.AD1 D.B1C解析對于A，如圖1，當(dāng)點P為A1C1的中點時，連接B1D1，BD，則P在B1D1上，BP?平面BDD1B1，又DD1?平面BDD1B1，所以BP與DD1共面，故A錯誤；圖1 圖2對于B，如圖2，連接AC，易知AC?平面ACC1A1，BP?平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP與AC為異面直線，故B正確；當(dāng)點P與點C1重合時，連接AD1，B1C（圖略），由正方體的性質(zhì)，易知BP∥AD1，BP與B1C相交，故C，D錯誤.故選B.（2）[2023高三名校聯(lián)考（一）]設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則下列說法正確的是（B）A.若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB.若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥αC.若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l⊥nD.若m?α，n⊥α，l⊥n，則l∥m解析A選項，若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l與α相交、平行或l?α，如圖1，m∥n，且滿足m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，但此時l與α斜交，故A錯誤；B選項，因為l∥m，m∥n，所以l∥n，因為l⊥α，所以n⊥α，故B正確；C選項，因為m⊥α，n⊥α，所以m∥n，因為l∥m，所以l∥n，故C錯誤；D選項，若m?α，n⊥α，l⊥n，則l與m相交、平行或異面，如圖2，滿足m?α，n⊥α，l⊥n，但此時l與m異面，故D錯誤.故選B.圖1 圖2方法技巧1.判斷空間直線、平面間的位置關(guān)系時，注意對平面的基本性質(zhì)及有關(guān)定理的應(yīng)用.2.判斷空間直線、平面間位置關(guān)系的命題的真假時，常借助幾何模型（長方體、正方體）或?qū)嵨铮▔?、桌面等?3.注意反證法在判斷空間兩直線位置關(guān)系時的應(yīng)用.訓(xùn)練2若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是（D）A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條直線相交D.l至少與l1，l2中的一條直線相交解析解法一（反證法）若l∥l1，l∥l2，則l1∥l2，這與l1，l2是異面直線矛盾.故l至少與l1，l2中的一條直線相交.解法二（模型法）如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.1.[命題點1]到空間不共面的四點距離相等的平面的個數(shù)為（C）A.1 B.4 C.7 D.8解析當(dāng)空間四點A，B，C，D不共面時，則四點構(gòu)成一個三棱錐.當(dāng)平面一側(cè)有一個點，另一側(cè)有三個點時，如圖1，當(dāng)平面過AD，BD，CD的中點時，滿足條件.因為三棱錐有4個面，則此時滿足條件的平面有4個. 圖1 圖2當(dāng)平面一側(cè)有兩個點，另一側(cè)有兩個點時，如圖2，當(dāng)平面過AB，BD，CD，AC的中點時，滿足條件.因為三棱錐的相對棱有3對，則此時滿足條件的平面有3個.所以滿足條件的平面共有7個.故選C.2.[命題點2/多選]已知G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則下列表示直線GH，MN是異面直線的圖形是（BD）A B C D解析A中，直線GH∥MN；B中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；C中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；D中，G，M，N三點共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面.學(xué)生用書·練習(xí)幫P3311.[2024廣東省深圳市第二高級中學(xué)模擬]已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關(guān)系（B）A.兩兩垂直 B.兩兩平行C.兩兩相交 D.兩兩異面解析如圖1，可得a，b，c可能兩兩垂直；如圖2，可得a，b，c可能兩兩相交；如圖3，可得a，b，c可能兩兩異面.故選B.圖1 圖2 圖32.[2024河南焦作模擬]已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.若直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則（B）A.α∥β，l∥αB.α與β相交，且交線平行于lC.α⊥β，l⊥βD.α與β相交，且交線垂直于l解析若α∥β，則由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，這與m，n是異面直線矛盾，故α與β相交.設(shè)α∩β＝a，過空間內(nèi)一點P，作m'∥m，n'∥n，m'與n'相交，設(shè)m'與n'確定的平面為γ.因為l⊥m，l⊥n，所以l⊥m'，l⊥n'，故l⊥γ，因為m⊥α，n⊥β，所以m'⊥α，n'⊥β，所以a⊥m'，a⊥n'，所以a⊥γ，又因為l?α，l?β，所以l與a不重合，所以l∥a.故選B.3.[多選/2024貴州省遵義市南白中學(xué)聯(lián)考]已知a，b是兩條不重合直線，α，β是兩個不重合平面，則下列說法正確的是（BC）A.若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線B.若a∥b，b?α，則直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線C.若α∥β，a?α，則a∥βD.若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交解析選項正誤原因A?若α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面.B√若a∥b，b?α，則平面α內(nèi)所有與b平行的直線都與a平行.C√若α∥β，則平面α內(nèi)所有直線都與β平行，因為a?α，所以a∥β.D?若α∩β＝b，a?α，則當(dāng)a∥b時，a∥β.4.[多選/2023廣東省廣州市模擬]已知直線l與平面α相交于點P，則下列結(jié)論正確的是（ABD）A.α內(nèi)不存在直線與l平行B.α內(nèi)有無數(shù)條直線與l垂直C.α內(nèi)所有直線與l是異面直線D.至少存在一個過l且與α垂直的平面解析直線l與平面α相交于點P，故α內(nèi)不存在直線與l平行，A正確.若l⊥α，則α內(nèi)的所有直線都與l垂直；若l與α不垂直，設(shè)與l在平面α內(nèi)的射影垂直的直線為n，則平面α內(nèi)與n平行的直線都與l垂直，有無數(shù)條，B正確.平面α內(nèi)過點P的直線與l相交，C錯誤.若l⊥α，則過l的任一平面都與α垂直；若l與α不垂直，取l上異于點P的一點Q，過Q作QM⊥平面α于點M，則平面PQM⊥α，D正確.故選ABD.5.[多選/2023高三名校模擬]下列關(guān)于點、線、面的位置關(guān)系的命題中不正確的是（ABC）A.若兩個平面有三個公共點，則它們一定重合B.空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi)C.兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b是異面直線D.正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則A，M，O三點共線，且A，M，O，C四點共面解析如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三個點在一條直線上，平面ABCD與平面ADD1A1相交，不重合，故A不正確；從點A出發(fā)的三條棱AA1，AB，AD不在同一平面內(nèi)，故B不正確；若a∥b，則a，b確定一個平面，且a，b分別與直線c，d的交點都在此平面內(nèi)，則c，d共面，與c，d是異面直線矛盾，所以直線a，b可能是異面直線，也可能是相交直線（c，d中的一條直線過a，b的交點），故C不正確；如圖，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因為直線A1C交平面AB1D1于點M，所以M∈AO，即A，M，O三點共線，因為直線和直線外一點可以確定一個平面，所以A，O，C，M四點共面，故D正確.故選ABC.6.如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則（B）A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B.BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C.BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D.BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線解析設(shè)CD的中點為O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過點M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝（32）2＋（32）2＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN7.[多選/2024云南昆明高三校考]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，BC，CD，B1C1的中點，則下列結(jié)論正確的是（AC）A.AF∥平面A1DEB.AG∥平面A1DEC.A1，D，E，H四點共面D.A1，D，E，C1四點共面解析如圖1，取A1D的中點M，連接AM，EF，ME，BC1，則EF∥BC1，EF＝12BC1，AM∥BC1，AM＝12BC1，所